2024屆吉林省長春市第150中學數(shù)學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2024屆吉林省長春市第150中學數(shù)學高一下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．2．我國古代數(shù)學名著九章算術記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．643．設的內角所對邊的長分別為，若,則角=（）A． B．C． D．4．已知F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，則|AB|+|DE|的最小值為A．16 B．14 C．12 D．105．若函數(shù)只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A．或 B．C．或 D．6．若實數(shù)x,y滿足x2y2A．4，8 B．8，+7．如果直線m//直線n，且m//平面α，那么n與αA．相交 B．n//α C．n?α8．已知，若、、三點共線，則為（）A． B． C． D．29．某幾何體的三視圖如圖所示(實線部分)，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．10．已知圓內接四邊形ABCD各邊的長度分別為AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，則AC的長為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設點是角終邊上一點，若，則=____.12．若是方程的解，其中，則________．13．若在等比數(shù)列中，，則__________．14．若點到直線的距離是，則實數(shù)=______．15．的內角的對邊分別為.若，則的面積為__________.16．若角的終邊經(jīng)過點，則___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在數(shù)列中，，.（1）分別計算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項公式，并用數(shù)學歸納法加以證明.18．已知，且與的夾角.（1）求的值；（2）記與的夾角為，求的值.19．在公差不為零的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和．20．已知數(shù)列滿足.（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項公式；（2）求的前項和．21．已知數(shù)列{}的首項.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，若，求最大正整數(shù).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

利用，得出異面直線與所成的角為，然后在中利用銳角三角函數(shù)求出.【題目詳解】如下圖所示，設正方體的棱長為，四邊形為正方形，所以，，所以，異面直線與所成的角為，在正方體中，平面，平面，，，，，在中，，，因此，異面直線與所成角的余弦值為，故選D.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用平移直線，選擇合適的三角形，利用銳角三角函數(shù)或余弦定理求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題．2、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個組合體，它由成一個直三棱柱和兩個全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.3、B【解題分析】

試題分析：，由正弦定理可得即；因為，所以，所以，而，所以，故選B.考點：1.正弦定理；2.余弦定理.4、A【解題分析】設，直線的方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理直線與拋物線的交點滿足，由拋物線定義可知，當且僅當（或）時，取等號.點睛:對于拋物線弦長問題，要重點抓住拋物線定義，到定點的距離要想到轉化到準線上，另外，直線與拋物線聯(lián)立，求判別式，利用根與系數(shù)的關系是通法，需要重點掌握.考查最值問題時要能想到用函數(shù)方法和基本不等式進行解決.此題還可以利用弦長的傾斜角表示，設直線的傾斜角為，則，則，所以.5、A【解題分析】

根據(jù)題意，原題等價于，再討論即可得到結論．【題目詳解】由題，故函數(shù)有一個零點等價于即當時，，,符合題意；當，時，令，滿足解得,綜上的取值范圍是或故選：A．【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點，對數(shù)函數(shù)的性質，二次函數(shù)根的分布問題，考查了分類討論思想，屬于中檔題．6、A【解題分析】

利用基本不等式得x2y2【題目詳解】∵x2y2≤(x2+y2)24∴x2故選A．【題目點撥】本題考查基本不等式求最值問題，解題關鍵是掌握基本不等式的變形應用：ab≤(a+b)7、D【解題分析】

利用直線與平面平行的判定定理和直線與平面平行的性質進行判斷即可.【題目詳解】∵直線m/直線n,且m/平面∴當n不在平面α內時，平面α內存在直線m'//m?n//m'，符合線面平行的判定定理可得n/平面α當n在平面α內時，也符合條件，n與α的位置關系是n//α或【題目點撥】本題主要考查線面平行的判定定理以及線面平行的性質，意在考查對基本定理掌握的熟練程度，屬于基礎題.8、C【解題分析】

由平面向量中的三點共線問題可得：，由基本定理及線性運算可得：即得解.【題目詳解】因為，若，，三點共線則，解得，即即即即故選：【題目點撥】本題考查平面向量基本定理和共線定理，屬于基礎題.9、A【解題分析】

由三視圖得出原幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【題目點撥】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎題．10、B【解題分析】

分別在△ABC和△ACD中用余弦定理解出AC，列方程解出cosD，得出AC．【題目詳解】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB×BCcosB＝89﹣80cosB，在△ACD中，由余弦定理得AC2＝CD2+AD2﹣2AD×CDcosD＝34﹣30cosD，∴89﹣80cosB＝34﹣30cosD，∵A+C＝180°，∴cosB＝﹣cosD，∴cosD，∴AC2＝34﹣30×（）＝1．∴AC＝2．故選B．【題目點撥】本題考查了余弦定理的應用，三角形的解法，考查了圓內接四邊形的性質的應用，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，列方程求出m的值．【題目詳解】P（m，）是角終邊上的一點，∴r＝；又，∴＝，解得m＝，，．故答案為．【題目點撥】本題考查了任意角三角函數(shù)的定義與應用問題，屬于基礎題．12、或【解題分析】

將代入方程，化簡結合余弦函數(shù)的性質即可求解.【題目詳解】由題意可得：，即所以或又所以或故答案為：或【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)求值問題，屬于基礎題.13、【解題分析】

根據(jù)等比中項的性質，將等式化成即可求得答案．【題目詳解】是等比數(shù)列，若，則．因為，所以，．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等比中項的性質，考查基本運算求解能力，屬于容易題.14、或1【解題分析】

由點到直線的距離公式進行解答，即可求出實數(shù)a的值．【題目詳解】點（1，a）到直線x﹣y+1＝0的距離是，∴；即|a﹣2|＝3，解得a＝﹣1，或a＝1，∴實數(shù)a的值為﹣1或1．故答案為：﹣1或1．【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式的應用問題，解題時應熟記點到直線的距離公式，是基礎題．15、【解題分析】

本題首先應用余弦定理，建立關于的方程，應用的關系、三角形面積公式計算求解，本題屬于常見題目，難度不大，注重了基礎知識、基本方法、數(shù)學式子的變形及運算求解能力的考查．【題目詳解】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，【題目點撥】本題涉及正數(shù)開平方運算，易錯點往往是余弦定理應用有誤或是開方導致錯誤．解答此類問題，關鍵是在明確方法的基礎上，準確記憶公式，細心計算．16、3【解題分析】

直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義求解，再利用兩角和的正切展開代入求解即可【題目詳解】由任意角三角函數(shù)的定義可得：．則故答案為3【題目點撥】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義和兩角和的正切計算，熟記公式準確計算是關鍵，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),；

(2),證明見解析【解題分析】

(1)分別令即可運算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當時成立,再假設當時,成立,再利用推導出即可.【題目詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當時,成立；假設當時,成立,且即當時,,即,化簡得,,即也滿足,當時成立,故對于任意的,有,證畢.所以.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)學歸納法的運用，其中步驟為：(1)證明當取第一個值時命題成立.對于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設當()且為自然數(shù)）時命題成立,證明當時命題也成立.

綜合(1)(2),對一切自然數(shù),命題都成立.18、（1）；（2）.【解題分析】

(1)求向量的模先求向量的平方；(2)由向量的夾角公式可以求得.【題目詳解】（1）根據(jù)題意可得：故（2），則故.【題目點撥】本題考查向量的數(shù)量積運算，求向量的模和夾角，屬于基礎題.19、（1）；（2）.【解題分析】

(1)先根據(jù)已知求出公差d,即得的通項公式；（2）先證明數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的前n項和公式求．【題目詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由已知得，則，將代入并化簡得，解得，（舍去）．所以．（2）由（1）知，所以，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為4的等比數(shù)列．所以．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列通項的求法，考查等比數(shù)列性質的證明和前n項和的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.20、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】

（1）由條件可得，即，運用等比數(shù)列的定義，即可得到結論；運用等比數(shù)列的通項公式可得所求通項。（2）數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結合等比數(shù)列的求和公式，可得所求的和?！绢}目詳解】解：（1）證明：由，得，又，，又，所以是首相為1，公比為2的等比數(shù)列；，。（2）前項和，，兩