2023屆浙江省寧波市高三下學(xué)期4月二模數(shù)學(xué)試題

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2023屆高三下學(xué)期4月二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A．B．C．1D．23．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（）A．B．C．D．4．己知非零向量滿足，則（）A． B．C． D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（）A．寸B．2寸C．寸D．3寸6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（）A．2B．4C．6D．107．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點(diǎn)．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．8．己知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2023B．2025C．2027D．2029二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（）A．5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B．9號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數(shù)為D．5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大10．己知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A． B．C． D．11．已知平面于點(diǎn)O，A，B是平面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A．SA與SB所成的角可能為 B．SA與OB所成的角可能為C．SO與平面SAB所成的角可能為 D．平面SOB與平面SAB的夾角可能為12．三支不同的曲線交拋物線于點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，記的面積為，下列說(shuō)法正確的是（）A．為定值 B．C．若，則 D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．14．寫(xiě)出一個(gè)半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．15．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈“1→4→2→1”．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（m為正整數(shù)），若，則m所有可能取值的集合為_(kāi)__________．16．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3，P在棱AB上，且滿足，記四面體ABCD的內(nèi)切球?yàn)榍?，四面體PBCD的外接球?yàn)榍颍瑒t_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（I）若，求；（Ⅱ）若的最大角為最小角的2倍，求a的值．18．（12分）盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購(gòu)買與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)買1件盲盒套餐．開(kāi)售第二日，銷售門(mén)店對(duì)80名購(gòu)買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計(jì)年齡低于30歲183048年齡不低于30歲221032合計(jì)404080（I）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人購(gòu)買1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某消費(fèi)者在開(kāi)售首日與次日分別購(gòu)買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中，P（）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.6350.82819．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．（I）求證：平面ABCD；（Ⅱ）設(shè)，，，平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為，求BC的長(zhǎng)．20．（12分）己知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（I）求首項(xiàng)的值及的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求滿足的最大正整數(shù)n的值．21．（12分）已知雙曲線，點(diǎn)與雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為．（I）求雙曲線E的方程；（Ⅱ）直線與圓相切，且交雙曲線E的左、右支于A，B兩點(diǎn)，交漸近線于點(diǎn)M，N．記，的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求直線l的方．22．（12分）已知函數(shù)．（I）討論函數(shù)的單調(diào)性：（Ⅱ）若是方程的兩不等實(shí)根，求證：（i）；（ii）．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．AC10．ABC11．AC12．AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．214．或（填一個(gè)即可）15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解：（I）當(dāng)時(shí)，，在中，由余弦定理，得，所以．（Ⅱ）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，將，代入上式得，解得．18．解：（I）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)．4分（Ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：0123P（或）．（Ⅲ）設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得．19．（I）證明：如圖，在平面ABCD中取一點(diǎn)E，并過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD，所以；同理，過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以；因?yàn)?，平面ABCD，所以平面ABCD．（Ⅱ）解：由（I）及，如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面PBC的法向量為，由得，設(shè)平面PCD的法向量為，由得，由題知，即，解得，所以BC的長(zhǎng)為．20．解：（I）解法1：當(dāng)時(shí)，，則，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以公比為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且滿足題意，所以的通項(xiàng)公式為．解法2：由題知，，即，由①代入②，得，解得或．（舍去），所以的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由（I）得，所以，所以，由得，即，令，則，所以在時(shí)單調(diào)遞增，且，而，所以滿足條件的最大正整數(shù)．21．解：（I）設(shè)是雙曲線上的任意一點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以，得，所以雙曲線E的方程為．（Ⅱ）由直線與圓相切得，由直線交雙曲線的左、右支于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，得，可得（注：解得扣1分），點(diǎn)到AB的距離，故，設(shè)，聯(lián)立方程組，，點(diǎn)O到MN的距離，故，當(dāng)時(shí)，，整理得，即（舍去），所以，所以直線方程為．22．解：（I），當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）因?yàn)槭欠匠痰膬刹坏葘?shí)根，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，即是方程的兩不等實(shí)根，令，則，所以在上遞增，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，所以，即，令．（i）要證，只需證，解法1：記，則，令，則，所以在上遞增，，所以，所以，所以，所以，即，所以得證．解法2：先證，令，只需證，只需證：，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，得證．因?yàn)?，所以，所以，即，所以，得證．解法3：由，設(shè)，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．（ii）要證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，令得即①令得即②①+②得，即，所以命題得證.浙江省寧波市2023屆高三下學(xué)期4月二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A．B．C．1D．23．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（）A．B．C．D．4．己知非零向量滿足，則（）A． B．C． D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》中有“天池盆測(cè)雨”題，在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為36寸，盆底直徑為12寸，盆深18寸．若某次下雨盆中積水的深度恰好是盆深的一半，則平均降雨量是（注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積）（）A．寸B．2寸C．寸D．3寸6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且在上沒(méi)有最小值，則的值為（）A．2B．4C．6D．107．設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓外，P，Q在橢圓上，且P是線段AQ的中點(diǎn)．若直線PQ，PF的斜率之積為，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．8．己知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．2023B．2025C．2027D．2029二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．根據(jù)某地3月5日到3月15日的每天最高氣溫與最低氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：）繪制如下折線圖，那么下列敘述正確的是（）A．5號(hào)到11號(hào)的最低氣溫與日期之間呈線性相關(guān)關(guān)系且為正相關(guān)B．9號(hào)的最高氣溫與最低氣溫的差值最大C．最高氣溫的眾數(shù)為D．5號(hào)到15號(hào)的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大10．己知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)與的定義域均為，是偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（）A． B．C． D．11．已知平面于點(diǎn)O，A，B是平面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則（）A．SA與SB所成的角可能為 B．SA與OB所成的角可能為C．SO與平面SAB所成的角可能為 D．平面SOB與平面SAB的夾角可能為12．三支不同的曲線交拋物線于點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，記的面積為，下列說(shuō)法正確的是（）A．為定值 B．C．若，則 D．若，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差為2，則__________．14．寫(xiě)出一個(gè)半徑為1，且與圓和圓均外切的圓的方程__________．15．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈“1→4→2→1”．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”等）．如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需經(jīng)過(guò)8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）．猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足（m為正整數(shù)），若，則m所有可能取值的集合為_(kāi)__________．16．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為3，P在棱AB上，且滿足，記四面體ABCD的內(nèi)切球?yàn)榍?，四面體PBCD的外接球?yàn)榍?，則_________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（I）若，求；（Ⅱ）若的最大角為最小角的2倍，求a的值．18．（12分）盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有的可能性出現(xiàn)隱藏款X．為避免盲目購(gòu)買與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)買1件盲盒套餐．開(kāi)售第二日，銷售門(mén)店對(duì)80名購(gòu)買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：A款盲盒套餐B款盲盒套餐合計(jì)年齡低于30歲183048年齡不低于30歲221032合計(jì)404080（I）根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；（Ⅱ）甲、乙、丙三人每人購(gòu)買1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）某消費(fèi)者在開(kāi)售首日與次日分別購(gòu)買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率．附：，其中，P（）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.6350.82819．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，平面平面ABCD．（I）求證：平面ABCD；（Ⅱ）設(shè)，，，平面PBC與平面PCD的夾角的余弦值為，求BC的長(zhǎng)．20．（12分）己知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足．（I）求首項(xiàng)的值及的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求滿足的最大正整數(shù)n的值．21．（12分）已知雙曲線，點(diǎn)與雙曲線上的點(diǎn)的距離的最小值為．（I）求雙曲線E的方程；（Ⅱ）直線與圓相切，且交雙曲線E的左、右支于A，B兩點(diǎn)，交漸近線于點(diǎn)M，N．記，的面積分別為，當(dāng)時(shí)，求直線l的方．22．（12分）已知函數(shù)．（I）討論函數(shù)的單調(diào)性：（Ⅱ）若是方程的兩不等實(shí)根，求證：（i）；（ii）．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．AC10．ABC11．AC12．AD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．214．或（填一個(gè)即可）15．16．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解：（I）當(dāng)時(shí)，，在中，由余弦定理，得，所以．（Ⅱ）由已知，最大角為角A，最小角為角C，即，由正弦定理得，即，又，所以，將，代入上式得，解得．18．解：（I）零假設(shè)為：：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即有的把握認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)．4分（Ⅱ）的所有可能取值為0，1，2，3，，所以的分布列為：0123P（或）．（Ⅲ）設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開(kāi)后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于A款盲盒套餐，設(shè)事件：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于B款盲盒套餐，，故由條件概率公式可得．19．（I）證明：如圖，在平面ABCD中取一點(diǎn)E，并過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD，因?yàn)槠矫鍼AD，所以；同理，過(guò)點(diǎn)E作直線，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAB，因?yàn)槠矫鍼AB，所以；因?yàn)?，平面ABCD，所以平面ABCD．（Ⅱ）解：由（I）及，如圖，以A為原點(diǎn)，AD，AB，AP方向分別為x軸，y軸，z軸正向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，設(shè)平面PBC的法向量為，由得，設(shè)平面PCD的法向量為，由得，由題知，即，解得，所以BC的長(zhǎng)為．20．解：（I）解法1：當(dāng)時(shí)，，則，即，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以公比為2，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且滿足題意，所以的通項(xiàng)公式為．