一定是直角三角形嗎-教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)

PAGEPAGE6義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上（北京師范大學(xué)出版社）1.2《一定是直角三角形嗎》教學(xué)設(shè)計(jì)陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)王李萍一、教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是探索勾股定理的逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單問題.《一定是直角三角形嗎》是北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第一章第2節(jié)的內(nèi)容.勾股定理的逆定理屬于事實(shí)性知識(shí)，本節(jié)課繼探索勾股定理之后，勾股定理應(yīng)用之前，在本章起著承上啟下的作用.同時(shí)，勾股定理的逆定理又是初中階段學(xué)生判定直角三角形非常重要的依據(jù).本節(jié)課將勾股定理的條件和結(jié)論互相交換得到一個(gè)新的命題，探索并證明這個(gè)命題是真命題，這也是我們數(shù)學(xué)中研究問題的常用視角.同時(shí)，勾股定理的逆定理是從邊的角度判定一個(gè)三角形是直角三角形，和前面學(xué)過的一些判定方法不同，它是通過數(shù)的計(jì)算來作形的判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.探索定理的過程又體現(xiàn)了科學(xué)探索的一般方法“特殊驗(yàn)證—大膽猜想—小心求證”，從特殊到一般再回到特殊問題.故學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容有利于培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)提出問題、發(fā)現(xiàn)問題、和探索解決問題方法的能力，同時(shí)拓展學(xué)生思維，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)樹立正確、科學(xué)的價(jià)值觀．所以，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：探索并證明勾股定理的逆定理.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置根據(jù)《課標(biāo)》要求和教學(xué)內(nèi)容解析，確定本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)如下：（1）理解勾股定理逆定理的具體內(nèi)容及勾股數(shù)的概念；（2）能根據(jù)三角形三邊的條件判斷三角形是否為直角三角形；（3）經(jīng)歷一般規(guī)律的探索過程,發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力；經(jīng)歷從實(shí)驗(yàn)到驗(yàn)證的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力；（4）體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)和用數(shù)學(xué)的興趣；在探索過程中體驗(yàn)成功的喜悅，在合作交流的過程中提高團(tuán)隊(duì)意識(shí).三、學(xué)生學(xué)情分析從知識(shí)上看，學(xué)生已經(jīng)探索并學(xué)習(xí)勾股定理，知道勾股定理是直角三角形重要的性質(zhì)，勾股定理是根據(jù)“形”的特征得到“數(shù)”的關(guān)系.同時(shí)，七年級(jí)學(xué)習(xí)了全等三角形，知道通過全等三角形可以將數(shù)量和位置關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.從八年級(jí)學(xué)生的理解能力和思維特征上看，七年級(jí)學(xué)習(xí)中已經(jīng)積累了一定的逆向思維、逆向研究的經(jīng)驗(yàn)，如：已知兩直線平行，有什么樣的結(jié)論？反之，滿足什么條件的兩直線平行？這既揭示了知識(shí)前后的內(nèi)在聯(lián)系，也是一種研究問題的常見視角.因而，本課時(shí)由勾股定理出發(fā)逆向思考獲得逆命題，學(xué)生應(yīng)該已經(jīng)具備這樣的意識(shí)，但具體研究中，可能要用到反證法、構(gòu)造全等三角形等思路，對(duì)現(xiàn)階段學(xué)生而言可能還具有一定困難，需要教師適時(shí)的引導(dǎo).因此，本節(jié)課的難點(diǎn)為：探索勾股定理逆定理的過程及定理的證明.四、教學(xué)策略分析：數(shù)學(xué)是一門培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生思維的重要學(xué)科，因此，在教學(xué)中，不僅要使學(xué)生“知其然”而且要使學(xué)生“知其所以然”，讓學(xué)生了解探究問題一般過程和方法.根據(jù)本課內(nèi)容特點(diǎn)，本節(jié)課采用“實(shí)驗(yàn)—猜想—?dú)w納—論證—應(yīng)用”的模式進(jìn)行，從創(chuàng)設(shè)問題情景入手，通過知識(shí)再現(xiàn)，逆向思考得到關(guān)于直角三角形判別條件的猜想，通過動(dòng)手操作驗(yàn)證猜想的合理性，由合情推理得到一般結(jié)論，再通過演繹推理證明結(jié)論的正確性.本節(jié)課通過“問題串”啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生尋找邊的關(guān)系判斷直角三角.通過“弱”和“強(qiáng)”的提示語試圖調(diào)動(dòng)不同層次學(xué)生思維的深入，學(xué)生分組遵循“組間無差距”、“組內(nèi)有梯度”的原則，營(yíng)造“可探索”的環(huán)境，使學(xué)生積極參與，互相討論，一步步地掌握勾股定理逆定理的內(nèi)容，更好地理解并證明勾股定理的逆定理，從而體會(huì)轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想.同時(shí)采用多媒體輔助教學(xué)，將不同組學(xué)生的做法進(jìn)行展示，鼓勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)從不同角度闡述自己的想法，并及時(shí)肯定或優(yōu)化解題思路，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更有成就感，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.五、教學(xué)過程：教學(xué)過程設(shè)計(jì)說明第一環(huán)節(jié)：?jiǎn)栴}引入1、溫故知新：上節(jié)課我們一起研究了勾股定理，對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)更加深入，那么你知道直角三角形有什么特征？（學(xué)生思考時(shí)教師在黑板上畫出直角三角形ABC,并標(biāo)注直角和各邊，學(xué)生回答后，引導(dǎo)學(xué)生從角和邊兩個(gè)角度進(jìn)行梳理.）2、提出問題：①（口述）反過來，一個(gè)三角形滿足什么條件就是直角三角形？你如何得到一個(gè)直角三角形？②（展示）：你能用一根繩子得到直角三角形嗎？3、古埃及人的智慧：金字塔的地基必須嚴(yán)格地成為正方形，四個(gè)角就必須是嚴(yán)格的直角；不管是哪一個(gè)角有微小的偏差，都會(huì)使整個(gè)建筑物走形。那時(shí)候還沒有發(fā)明測(cè)量?jī)x器，要做出周長(zhǎng)一公里那么大的正方形，怎樣準(zhǔn)確畫出直角，很可能是古埃及人要解決的最大難題。第二環(huán)節(jié)：探究勾股定理的逆定理1、探索發(fā)現(xiàn)：聰明的埃及人制作了這樣一條神奇的繩子，就像大家現(xiàn)在手中拿到的一樣.古埃及人在一條繩子上打了一些等距的結(jié)，你能用這條繩子圍成一個(gè)直角三角形嗎？說說你的理由.（四人小組合作，得到直角三角形，并驗(yàn)證它是直角三角形）師：利用等距的節(jié)點(diǎn)使得你得到的三角形滿足什么條件？（三角形的三邊長(zhǎng)分別為3、4、5）師：你是如何判斷它是直角三角形的？（學(xué)生可以測(cè)量最大角，也可以測(cè)量另外兩個(gè)較小的角，還可以通過反證法說明它不可能是銳角三角形或鈍角三角形，也可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注直角邊長(zhǎng)為3、4的直角三角形與邊長(zhǎng)為3、4、5的三角形之間的全等關(guān)系，從而說明它是直角三角形.）師：通過驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為3、4、5（單位：cm）的三角形是直角三角形，且，那么其它滿足這個(gè)條件的三角形也是直角三角形嗎？2、特殊驗(yàn)證：下面有四組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c（單位：cm）:①5，12，13；②1.5，2，2.5；③4，7.5，8.5；④6，8，10，這四組數(shù)都滿足.分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)作出三角形，它們都是直角三角形嗎？你是怎么判斷的？（作圖前，可以先提問學(xué)生“已知三角形的三邊長(zhǎng)如何畫出這個(gè)三角形？”給學(xué)生方法上的指導(dǎo).）經(jīng)過學(xué)生充分討論后，匯總各小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)：①5，12，13滿足，可以構(gòu)成直角三角形；②3.5，12，12.5滿足，可以構(gòu)成直角三角形；③4，7.5，8.5滿足，可以構(gòu)成直角三角形；④6，8，10滿足，可以構(gòu)成直角三角形.3、大膽猜想：從上面的分組實(shí)驗(yàn)，我們能不能得出一個(gè)更一般的結(jié)論？如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.4、小心求證：如何來論證這個(gè)猜想？有同學(xué)認(rèn)為測(cè)量的方法此時(shí)不可行，覺得這個(gè)猜想可能不對(duì).你認(rèn)為這個(gè)猜想正確嗎？你能給出一個(gè)更有說服力的理由嗎？你能結(jié)合圖形寫出這個(gè)猜想的條件和結(jié)論嗎？獨(dú)立思考后和你的同伴交流.（此問題給學(xué)生一定的活動(dòng)時(shí)間和適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，根據(jù)前面特殊驗(yàn)證的經(jīng)驗(yàn)，沒有數(shù)據(jù)，不能直接測(cè)量，提出“哪種方法可以繼續(xù)推廣呢？”學(xué)生先獨(dú)立思考后小組合作討論，敘述的理由只要合理都給與肯定.）理由1：上節(jié)課“議一議”活動(dòng)的結(jié)論：銳角三角形和鈍角三角形中，任意兩邊的平方和都不等于第三邊的平方，則這幾個(gè)三角形一定不是銳角三角形或者鈍角三角形，只能是直角三角形.理由2：以a和b為鄰邊長(zhǎng)，構(gòu)造三角形，觀察隨著夾角的增大第三邊的變化趨勢(shì)：越來越大；根據(jù)勾股定理，夾角是直角時(shí)，第三邊長(zhǎng)度等于c，夾角不是直角時(shí)，第三邊長(zhǎng)度肯定不等于c，因此邊長(zhǎng)為，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.理由3：構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明：已知：如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，且.你能否判斷△ABC是直角三角形？并說明理由.解：是，理由如下：（根據(jù)學(xué)生給出的理由教師完善并引導(dǎo)學(xué)生條理化，如果沒有同學(xué)介紹第3種，教師可以直接介紹方法讓學(xué)生說出證明過程）第三環(huán)節(jié)：勾股定理的逆定理及勾股數(shù)通過以上探究得到如下定理：勾股定理的逆定理：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)此定理的條件和結(jié)論，為后面反思總結(jié)做鋪墊，同時(shí)追問“那條邊所對(duì)的角是直角”)符號(hào)語言：∵在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且，∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°.滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).（教師此時(shí)直接提問，之前驗(yàn)證的數(shù)據(jù)中有沒有勾股數(shù)，哪些都是勾股數(shù)，鞏固勾股數(shù)的定義，同時(shí)也讓學(xué)生體會(huì)：邊長(zhǎng)是勾股數(shù)的三角形是直角三角形.）思考：1．這個(gè)結(jié)論與勾股定理的區(qū)別和聯(lián)系.2．如果，那么這個(gè)三角形可能是直角三角形嗎？（學(xué)生獨(dú)立思考后作答，教師板書勾股定理逆定理的內(nèi)容并列舉勾股數(shù)）結(jié)論：1.將勾股定理的條件和結(jié)論互換就得到這個(gè)結(jié)論.2.如果，那么這個(gè)三角形不是直角三角形.溫故知新主要讓學(xué)生回憶直角三角形的性質(zhì)，梳理直角三角形六要素之間的關(guān)系；問題1回憶直角三角形的判定方法，學(xué)生一般會(huì)選擇從角的方向利用測(cè)量?jī)x器來判定，此時(shí)條件、結(jié)論是可以互換的；問題2引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突從而引出古埃及人的智慧.介紹古埃及人智慧，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化的興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活.同時(shí)了解探索勾股定理逆定理的必要性.為下一個(gè)環(huán)節(jié)做鋪墊.探索發(fā)現(xiàn)：讓學(xué)生動(dòng)手操作得到直角三角形，并體會(huì)古人在沒有精確測(cè)量?jī)x器時(shí)如何利用邊長(zhǎng)3、4、5得到直角三角形.從而發(fā)現(xiàn)通過邊的關(guān)系也可以判定直角三角形.特殊驗(yàn)證：進(jìn)行更多的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，對(duì)“探索發(fā)現(xiàn)”的結(jié)論和說理方法進(jìn)行推廣.大膽猜想：從特殊到一般，發(fā)展合情推理能力.通過特殊的驗(yàn)證，學(xué)生能較容易得出猜想.教師需要更加清晰地引導(dǎo)學(xué)生分析猜想的條件和結(jié)論.小心求證：體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力.一般來說，學(xué)生不會(huì)僅僅滿足于測(cè)量活動(dòng)的結(jié)果，部分學(xué)生會(huì)進(jìn)行理性的思考.也可能有部分同學(xué)因?yàn)闇y(cè)量工具或者方法的影響得到不一樣的結(jié)論.及時(shí)提出問題，讓學(xué)生明確，僅僅基于測(cè)量結(jié)果得到的結(jié)論未必可靠，需要進(jìn)一步通過說理等方式使學(xué)生確信結(jié)論的可靠性，同時(shí)明晰結(jié)論.通過第二環(huán)節(jié)的測(cè)量驗(yàn)證和說理論證，得出猜想的是正確的.此環(huán)節(jié)敘述勾股定理逆定理的符號(hào)語言，讓學(xué)生明確條件和結(jié)論，以及說明一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)需要找出直角.同時(shí)也要讓學(xué)生體會(huì)數(shù)的關(guān)系可以推出形的特征.認(rèn)識(shí)常見的勾股數(shù)能較為快速的判斷直角三角形.人們對(duì)勾股數(shù)的研究也很深入，此時(shí)拋磚引玉為課后研究勾股數(shù)提供基礎(chǔ).思考1進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)該定理與勾股定理之間的關(guān)系，為日后學(xué)習(xí)互逆定理打好基礎(chǔ)，同時(shí)體會(huì)數(shù)學(xué)上變換條件和結(jié)論是研究問題的常見視角.思考2用反證法和勾股定理來說明這個(gè)三角形不是直角三角形，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生理解體會(huì)勾股定理和逆定理的區(qū)別。第四環(huán)節(jié)：例題講解應(yīng)用定理1、初步應(yīng)用：下列哪組數(shù)能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)？說說你的理由.（1）7，24，25；（2）15，17，8；（3）3，5，6.（使用定理判定時(shí)需要先找到最長(zhǎng)邊，再進(jìn)行關(guān)系驗(yàn)證，如果有同學(xué)使用了來驗(yàn)證，及時(shí)肯定并板書公式的變形；有了思考2可以直接通過關(guān)系不滿足來否定是直角三角形.學(xué)生獨(dú)立思考后回答，教師補(bǔ)充.）2、問題解決：一個(gè)零件的形狀如圖1所示，其中∠A=90°，按規(guī)定這個(gè)零件中∠DBC也應(yīng)為直角，工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖2所示，這個(gè)零件合格嗎？圖1圖1圖2（本題需要學(xué)生先使用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判定直角三角形從而指出直角.學(xué)生先獨(dú)立思考，再進(jìn)行板演，教師規(guī)范書寫過程.）圖2此環(huán)節(jié)分為初步應(yīng)用和鞏固提高兩部分，初步應(yīng)用注重于定理本身的使用.鞏固提高需要使用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，再使用逆定理進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生對(duì)判定和性質(zhì)進(jìn)行區(qū)分，增強(qiáng)定理使用的靈活性.第五環(huán)節(jié)：小結(jié)與思考問題：回顧本節(jié)課，我們探索了什么問題？如何探索的？獲得了什么結(jié)論？說說你的感受.（師生相互交流總結(jié)出：1．今天所學(xué)內(nèi)容①會(huì)利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形；②滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)；2．從今天所學(xué)內(nèi)容及所作練習(xí)中總結(jié)出的經(jīng)驗(yàn)與方法：①數(shù)學(xué)是源于生活又服務(wù)于生活的；②數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)總是要經(jīng)歷觀察、歸納、猜想和驗(yàn)證的過程，同時(shí)遵循由“特殊→一般→特殊”的發(fā)展規(guī)律；③利用三角形三邊數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是直角三角形時(shí)，當(dāng)遇見數(shù)據(jù)較大時(shí)，要懂得將作適當(dāng)變形，便于計(jì)算.）通過問題讓學(xué)生回憶本節(jié)課的主要內(nèi)容，從知識(shí)性和方法性兩方面入手，既有提示語弱的問題，又有提示語強(qiáng)的問題，試圖照顧到不同層次學(xué)生對(duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)，學(xué)生自述，教師補(bǔ)充并引導(dǎo).第六環(huán)節(jié)：布置作業(yè)，課堂延伸1、基礎(chǔ)鞏固：習(xí)題1.3第1，2，3題；2、動(dòng)手實(shí)踐：做一條古埃及人“神奇的繩子”，有哪些方法？與你的同伴進(jìn)行交流.3、思考交流：你還有其它的方法來證明這個(gè)結(jié)論嗎？獨(dú)立思考后與你的同伴交流.（基礎(chǔ)鞏固在作業(yè)本上完成，動(dòng)手實(shí)踐學(xué)生課后完成，方法多樣，重在勾股數(shù)的應(yīng)用，思考交流拓寬學(xué)生視野.）基礎(chǔ)鞏固是勾股定理及其逆定理的直接使用，鞏固課堂內(nèi)容，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力；動(dòng)手實(shí)踐具有一定的挑戰(zhàn)性和開放性，發(fā)展學(xué)生的主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)、靈活運(yùn)用知識(shí)的意識(shí)，難度稍大，課后可以小組合作完成；思考交流試圖拓寬學(xué)生解決問題的視野，由淺入深，層層遞進(jìn)，滿足不同學(xué)生的需求.第七環(huán)節(jié)：教學(xué)反思本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)是建立在“以學(xué)生的發(fā)展為本，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)”的教育理念上，融入了新課標(biāo)的思想內(nèi)涵，尊重學(xué)生的直觀感覺，并從學(xué)生的直觀感覺出發(fā)逐步將學(xué)生的思維引向嚴(yán)密性、邏輯證明等方面，設(shè)計(jì)中突出體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。1、引入環(huán)節(jié)力求自然，從直角三角形的特征入手，讓學(xué)生了解，直角三角形的特征主要從角和邊的方向考慮，反過來，再提出“如何得到直角三角形”時(shí)，也應(yīng)該有角方面考慮和邊方面的考慮.學(xué)生在回答此問題時(shí)重點(diǎn)是利用測(cè)量工具測(cè)量直角或測(cè)量另外兩個(gè)銳角，也就是從角的