2024屆江西省景德鎮(zhèn)市高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE3江西省景德鎮(zhèn)市2024屆高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，所以由交集的概念可知.故選：C.2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限.A.四 B.三 C.二 D.一【答案】A【解析】，則，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：A.3.且是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由且，則，充分性成立；由，若滿足，但且不成立，必要性不成立；故且是的充分不必要條件.故選：B.4.人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，沒(méi)有一點(diǎn)空隙.人們一直疑問(wèn)，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個(gè)三維體建筑，但每一個(gè)蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即尋找面積最大、周長(zhǎng)最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（LaszloFejesToth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長(zhǎng)是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時(shí)，無(wú)論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長(zhǎng)都是最小的.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，則（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正六邊形，所以，，，則.故選：A.5.設(shè)，，（e自然對(duì)數(shù)底數(shù)），則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，，，顯然，對(duì)于，的大小，只需比較大小，令且，則，即在上遞減，所以，故，綜上，，故.故選：B.6.對(duì)某位運(yùn)動(dòng)員近5次比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：比賽次數(shù)x12345得分y3940484850根據(jù)表可得y關(guān)于x的線性回歸方程為：，則下列說(shuō)法不正確的是（）A. B.y與x的相關(guān)系數(shù)C.得分y的方差為22.8 D.預(yù)測(cè)第6次比賽成績(jī)約為54【答案】C【解析】由表格數(shù)據(jù)，，，所以，故，當(dāng)，則，A、D對(duì)；，C錯(cuò)；，B對(duì).故選：C.7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點(diǎn)（D，E在的兩側(cè)）.若四邊形為菱形，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由四邊形為菱形，如下圖示，，，由拋物線性質(zhì)知：，則，故，又，故，所以.公式，證明如下：令直線（斜率存在）為，代入，則，整理得，若，而，若直線傾斜角為（不為直角），則，所以.故選：B.8.數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足：，，，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.數(shù)列有最大值，無(wú)最小值C.，使得D.，使得【答案】D【解析】A選項(xiàng)，中，令得，因?yàn)?，解得，解得，中，令得，即，解得，?fù)值舍去，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，，故，因?yàn)?，故，，故，則單調(diào)遞減，數(shù)列有最大值，無(wú)最小值，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，由于，所以，綜上，，使得，C正確；D選項(xiàng)，，由C選項(xiàng)可知，，，故，所以恒成立，故不存在，使得，D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題9.已知點(diǎn)P在圓O：上，點(diǎn)，.則（）A.直線與圓O相切B.直線與圓O相交，且相交所得弦長(zhǎng)為C.存在點(diǎn)P，使得D.存在點(diǎn)P，使得【答案】BCD【解析】由題設(shè)，，故圓心到直線的距離，所以直線與圓O相交，且弦長(zhǎng)，A錯(cuò)，B對(duì)；過(guò)N作圓O的切線，位于第二象限切點(diǎn)為A，則，故，則點(diǎn)P與A重合時(shí)最大的，那么，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)必然存在，C對(duì)；若，則P在以為直徑的圓上，圓與圓，圓心距為，所以兩圓有交點(diǎn)，故存在P使得，D對(duì).故選：BCD.10.已知向量，，以下結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，，則【答案】BD【解析】A：若，則，，則，所以，錯(cuò)；B：若，則，而，對(duì)；C：若，則，故，，則或，所以或，錯(cuò)；D：若，則，可得，，所以，故，對(duì)；故選：BD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別是所在棱上的點(diǎn)，且滿足，則（）A.若四邊形為矩形，則B.若四邊形為菱形，則E，G或F，H為所在棱中點(diǎn)C.若四邊形為菱形，則四邊形的周長(zhǎng)取值范圍為D.當(dāng)且僅當(dāng)E，F(xiàn)，G，H均為所在棱中點(diǎn)時(shí)，四邊形為正方形【答案】BCD【解析】A：若四邊形為矩形，也有可能，如下圖示，即只需用一個(gè)垂直于一組對(duì)面的平面截正方體，并保證即可，錯(cuò)；B：若四邊形為菱形，，則且對(duì)角線垂直，若E，G或F，H都不是棱中點(diǎn)，如下圖，作，分別交于，因?yàn)镋，G都不是棱中點(diǎn)，則，易知，與菱形矛盾，所以E，G或F，H至少有一對(duì)是棱中點(diǎn)，對(duì)；C：由B分析知：四邊形為菱形，假設(shè)E，G是棱中點(diǎn)，且，所以F，H都是棱中點(diǎn)時(shí)，菱形邊長(zhǎng)最短為2；F，H都是頂點(diǎn)時(shí)，菱形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)為，棱長(zhǎng)的范圍為，故四邊形的周長(zhǎng)取值范圍為，對(duì)；D：要使四邊形為正方形，即用一個(gè)垂直于一組對(duì)面的平面截正方體，且截面過(guò)一組相對(duì)側(cè)棱的中點(diǎn)，結(jié)合矩形和菱形的性質(zhì)，且，則E，F(xiàn)，G，H均為所在棱中點(diǎn)，對(duì).故選：BCD.12.已知，則下列說(shuō)法正確是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)無(wú)最大值和最小值D.當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解【答案】ACD【解析】由且，故上，遞增，上，遞減，且極大值，，在內(nèi)趨向于1時(shí)趨向于0且恒負(fù)，則趨向，在上恒成立，趨向于時(shí)趨向于，則趨向3，綜上，圖象如下，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，上不單調(diào)，無(wú)最大值和最小值，或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題.13.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】60【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由題意令，解得，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：60.14.函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意知，，則切點(diǎn)為，，所以切線的斜率為，故函數(shù)在處的切線方程為，即.故答案為：.15.已知曲線向右平移個(gè)單位后得到的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，若為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則_________.【答案】或【解析】由題意可知，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，或，解得，，又因?yàn)椋?，又，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增可得：，解得，由，可得，由，解得，所以，又因?yàn)?，且，所以，解得，所以；?dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增可得：，解得，由，可得，由，解得，所以，所以，又因?yàn)榈?，且，所以，解得，所以，，綜上所述，或.故答案為：或16.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，，交y軸于Q，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】中，，中，，，而，故，且，則，故雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，時(shí)，滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，不滿足，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，故.18.如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.且（1）求∠ACB的大?。唬?）若，求的大小.解：（1）由題意知，，，由正弦定理，得，整理，得，又，所以，有，又，所以，由，得，即.（2）由題意知，點(diǎn)C是的重心，如圖，延長(zhǎng)DA、BC分別交AB、AD于點(diǎn)E、F，則E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，由（1）知，又，則，得，由，知為等邊三角形，有，所以，直角中，，所以，在中，由余弦定理，得，由，得，即的值為.19.如圖，三棱錐中，與均為等邊三角形，，M為的中點(diǎn).（1）求證：；（2），求二面角的余弦值.（1）證明：連接，由與均為等邊三角形，則，所以，，面，所以面，面，則.（2）解：設(shè)，由（1），，則，故，又，，面，故面，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，又，易得，由，若面的一個(gè)法向量為，則，令，故；由，若面的一個(gè)法向量為，則，令，故，所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值.20.某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選手可以選擇結(jié)束闖關(guān)游戲并獲得相應(yīng)獎(jiǎng)金，也可以選擇繼續(xù)闖關(guān)，若有任何一關(guān)闖關(guān)失敗，則連同前面所得獎(jiǎng)金全部歸零，闖關(guān)游戲結(jié)束.選手小劉參加闖關(guān)游戲，已知他第一，二，三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為，，.第一關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，第二關(guān)闖關(guān)成功選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率為，且每關(guān)闖關(guān)成功與否互不影響.（1）求小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率；（2）設(shè)小劉所得獎(jiǎng)金為X，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意，要使小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零，選擇闖第二關(guān)且失敗，或選擇闖第二關(guān)且成功，又選擇闖第三關(guān)且失敗，所以小劉第一關(guān)闖關(guān)成功，但所得總獎(jiǎng)金為零的概率.（2）由題意，，且，，，，X的分布列如下：0100030006000元.21.已知橢圓C：的焦距為，左右頂點(diǎn)分別為A，B.M是C上異于A，B的點(diǎn)，滿足MA，MB的斜率之積為.（1）求C的方程；（2）P，Q是橢圓C上的兩點(diǎn)（P在Q的左側(cè)），AP，BQ的斜率為，，且.且AQ與PB相交于T，求的取值范圍.解：（1）設(shè)，，因?yàn)镸A，MB的斜率之積為，所以，因?yàn)镸是C上的點(diǎn)，所以，所以，故，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故橢圓C的方程為：.（2）設(shè)的斜率為，AP，BQ的斜率為，，因?yàn)樵跈E圓上，所以，，所以，同理，易知，由，所以，設(shè)的方程為：，的方程為：，聯(lián)立，則，解得：，聯(lián)立，可得：，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，即，解得：，聯(lián)立，可得：，因?yàn)橹本€與橢圓交于兩點(diǎn)，即，解得：，由可得：，則，即，則，所以，因?yàn)椋裕?的取值范圍為.22.已知函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)值域；（2）是否存在正整數(shù)a使得恒成立？若存在，求出正整數(shù)a的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題設(shè)，則，若，則，，可得，遞增；若，則，，可得，遞減；又，綜上，，值域?yàn)?（2）由，，則，令，，則，且，當(dāng)，，（舍）；當(dāng)，則，故，令，則，又，對(duì)于，有，即遞增，所以，故恒成立，所以，即在上遞增，又，則，所以在上遞增，又，即，，符合題意；當(dāng)，令，則，，所以（舍）；綜上，正整數(shù)a的取值集合.江西省景德鎮(zhèn)市2024屆高三第一次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意，，所以由交集的概念可知.故選：C.2.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第（）象限.A.四 B.三 C.二 D.一【答案】A【解析】，則，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限.故選：A.3.且是的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由且，則，充分性成立；由，若滿足，但且不成立，必要性不成立；故且是的充分不必要條件.故選：B.4.人們把蜂房譽(yù)為自然界最奇異的建筑，蜂房是由許許多多的正六棱柱組成，一個(gè)挨著一個(gè)，緊密地排列，沒(méi)有一點(diǎn)空隙.人們一直疑問(wèn)，蜜蜂為什么不讓其巢室呈三角形、正方形或其他形狀呢？雖然蜂窩是一個(gè)三維體建筑，但每一個(gè)蜂巢都是六面柱體，而蜂蠟墻的總面積僅與蜂巢的截面有關(guān).由此引出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即尋找面積最大、周長(zhǎng)最小的平面圖形.1943年，匈牙利數(shù)學(xué)家陶斯（LaszloFejesToth）證明了，在所有首尾相連的正多邊形中，正六邊形的周長(zhǎng)是最小的.1999年，黑爾斯證明了周邊是曲線時(shí)，無(wú)論曲線是向外凸還是向內(nèi)凹，由正六邊形組成的圖形周長(zhǎng)都是最小的.如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF，則（）A.4 B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為的正六邊形，所以，，，則.故選：A.5.設(shè)，，（e自然對(duì)數(shù)底數(shù)），則a，b，c大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，，，顯然，對(duì)于，的大小，只需比較大小，令且，則，即在上遞減，所以，故，綜上，，故.故選：B.6.對(duì)某位運(yùn)動(dòng)員近5次比賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下表：比賽次數(shù)x12345得分y3940484850根據(jù)表可得y關(guān)于x的線性回歸方程為：，則下列說(shuō)法不正確的是（）A. B.y與x的相關(guān)系數(shù)C.得分y的方差為22.8 D.預(yù)測(cè)第6次比賽成績(jī)約為54【答案】C【解析】由表格數(shù)據(jù)，，，所以，故，當(dāng)，則，A、D對(duì)；，C錯(cuò)；，B對(duì).故選：C.7.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點(diǎn)（D，E在的兩側(cè)）.若四邊形為菱形，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】由四邊形為菱形，如下圖示，，，由拋物線性質(zhì)知：，則，故，又，故，所以.公式，證明如下：令直線（斜率存在）為，代入，則，整理得，若，而，若直線傾斜角為（不為直角），則，所以.故選：B.8.數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足：，，，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.數(shù)列有最大值，無(wú)最小值C.，使得D.，使得【答案】D【解析】A選項(xiàng)，中，令得，因?yàn)?，解得，解得，中，令得，即，解得，?fù)值舍去，A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故，，故，因?yàn)?，故，，故，則單調(diào)遞減，數(shù)列有最大值，無(wú)最小值，B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，由于，所以，綜上，，使得，C正確；D選項(xiàng)，，由C選項(xiàng)可知，，，故，所以恒成立，故不存在，使得，D錯(cuò)誤.故選：D.二、選擇題9.已知點(diǎn)P在圓O：上，點(diǎn)，.則（）A.直線與圓O相切B.直線與圓O相交，且相交所得弦長(zhǎng)為C.存在點(diǎn)P，使得D.存在點(diǎn)P，使得【答案】BCD【解析】由題設(shè)，，故圓心到直線的距離，所以直線與圓O相交，且弦長(zhǎng)，A錯(cuò)，B對(duì)；過(guò)N作圓O的切線，位于第二象限切點(diǎn)為A，則，故，則點(diǎn)P與A重合時(shí)最大的，那么，當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)必然存在，C對(duì)；若，則P在以為直徑的圓上，圓與圓，圓心距為，所以兩圓有交點(diǎn)，故存在P使得，D對(duì).故選：BCD.10.已知向量，，以下結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，則C.若，，則D.若，，則【答案】BD【解析】A：若，則，，則，所以，錯(cuò)；B：若，則，而，對(duì)；C：若，則，故，，則或，所以或，錯(cuò)；D：若，則，可得，，所以，故，對(duì)；故選：BD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別是所在棱上的點(diǎn)，且滿足，則（）A.若四邊形為矩形，則B.若四邊形為菱形，則E，G或F，H為所在棱中點(diǎn)C.若四邊形為菱形，則四邊形的周長(zhǎng)取值范圍為D.當(dāng)且僅當(dāng)E，F(xiàn)，G，H均為所在棱中點(diǎn)時(shí)，四邊形為正方形【答案】BCD【解析】A：若四邊形為矩形，也有可能，如下圖示，即只需用一個(gè)垂直于一組對(duì)面的平面截正方體，并保證即可，錯(cuò)；B：若四邊形為菱形，，則且對(duì)角線垂直，若E，G或F，H都不是棱中點(diǎn)，如下圖，作，分別交于，因?yàn)镋，G都不是棱中點(diǎn)，則，易知，與菱形矛盾，所以E，G或F，H至少有一對(duì)是棱中點(diǎn)，對(duì)；C：由B分析知：四邊形為菱形，假設(shè)E，G是棱中點(diǎn)，且，所以F，H都是棱中點(diǎn)時(shí)，菱形邊長(zhǎng)最短為2；F，H都是頂點(diǎn)時(shí)，菱形邊長(zhǎng)最長(zhǎng)為，棱長(zhǎng)的范圍為，故四邊形的周長(zhǎng)取值范圍為，對(duì)；D：要使四邊形為正方形，即用一個(gè)垂直于一組對(duì)面的平面截正方體，且截面過(guò)一組相對(duì)側(cè)棱的中點(diǎn)，結(jié)合矩形和菱形的性質(zhì)，且，則E，F(xiàn)，G，H均為所在棱中點(diǎn)，對(duì).故選：BCD.12.已知，則下列說(shuō)法正確是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)在上單調(diào)遞減C.函數(shù)無(wú)最大值和最小值D.當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解【答案】ACD【解析】由且，故上，遞增，上，遞減，且極大值，，在內(nèi)趨向于1時(shí)趨向于0且恒負(fù)，則趨向，在上恒成立，趨向于時(shí)趨向于，則趨向3，綜上，圖象如下，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，上不單調(diào)，無(wú)最大值和最小值，或時(shí)，關(guān)于x的方程有且僅有1個(gè)解.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題.13.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】60【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由題意令，解得，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：60.14.函數(shù)在處的切線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】由題意知，，則切點(diǎn)為，，所以切線的斜率為，故函數(shù)在處的切線方程為，即.故答案為：.15.已知曲線向右平移個(gè)單位后得到的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，若為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則_________.【答案】或【解析】由題意可知，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，或，解得，，又因?yàn)?，所以，又，所以，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增可得：，解得，由，可得，由，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以，解得，所以；?dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增可得：，解得，由，可得，由，解得，所以，所以，又因?yàn)榈?，且，所以，解得，所以，，綜上所述，或.故答案為：或16.已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是C的右支上一點(diǎn)，，交y軸于Q，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的漸近線方程為_(kāi)_______.【答案】【解析】中，，中，，，而，故，且，則，故雙曲線C的漸近線方程為.故答案為：.四、解答題17.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，時(shí)，滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求.解：（1）當(dāng)時(shí)，，得，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，此時(shí)，不滿足，所以數(shù)列從第二項(xiàng)起是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，故.18.如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.且（1）求∠ACB的大?。唬?）若，求的大小.解：（1）由題意知，，，由正弦定理，得，整理，得，又，所以，有，又，所以，由，得，即.（2）由題意知，點(diǎn)C是的重心，如圖，延長(zhǎng)DA、BC分別交AB、AD于點(diǎn)E、F，則E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，由（1）知，又，則，得，由，知為等邊三角形，有，所以，直角中，，所以，在中，由余弦定理，得，由，得，即的值為.19.如圖，三棱錐中，與均為等邊三角形，，M為的中點(diǎn).（1）求證：；（2），求二面角的余弦值.（1）證明：連接，由與均為等邊三角形，則，所以，，面，所以面，面，則.（2）解：設(shè)，由（1），，則，故，又，，面，故面，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，又，易得，由，若面的一個(gè)法向量為，則，令，故；由，若面的一個(gè)法向量為，則，令，故，所以，由圖知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值.20.某娛樂(lè)節(jié)目闖關(guān)游戲共有三關(guān)，游戲規(guī)則如下，選手依次參加第一，二，三關(guān)，闖關(guān)成功可獲得的獎(jiǎng)金分別為1000元、2000元、3000元.獎(jiǎng)金可累加，若某關(guān)闖關(guān)成功，選