理論力學(xué)4-空間力系

第三章空間力系第三章

空間力系空間匯交力系力對(duì)軸之矩和力對(duì)點(diǎn)之矩空間力偶系空間力系的簡(jiǎn)化空間力系的平衡條件和平衡方程物體的重心3.1空間匯交力系yxzFFxFyFzikj假設(shè)力與正交坐標(biāo)系Oxyz三軸間夾角，那么用直接投影法3.1力在直角坐標(biāo)軸的投影yxzFFxFyFzFxyjg當(dāng)力與坐標(biāo)軸Ox、Oy間的夾角不易確定時(shí)，可把力F先投影到坐標(biāo)平面Oxy上，得到力Fxy，然后再把這個(gè)力投影到x、y軸上，這叫間接投影法。3.1力在直角坐標(biāo)軸的投影1.合成將平面匯交力系合成結(jié)果推廣得：合力的大小和方向?yàn)椋?.2

空間匯交力系的合成與平衡或3.2力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩3.2.1力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hB空間力對(duì)點(diǎn)的矩的作用效果取決于：力矩的大小、轉(zhuǎn)向和力矩作用面方位。這三個(gè)因素可用一個(gè)矢量MO(F)表示，如圖。其模表示力矩的大??；指向表示力矩在其作用面內(nèi)的轉(zhuǎn)向(符合右手螺旋法那么)；方位表示力矩作用面的法線。由于力矩與矩心的位置有關(guān)，所以力矩矢的始端一定在矩心O處，是定位矢量。3.2.1力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢以r表示力作用點(diǎn)A的矢徑，那么以矩心O為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，那么xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik3.2.1力對(duì)點(diǎn)的矩以矢量表示－力矩矢力矩矢MO(F)在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為xyzOFMO(F)rA(x,y,z)hBjik力F對(duì)z

軸的矩定義為：力對(duì)軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量，是一個(gè)代數(shù)量，其絕對(duì)值等于力在垂直于該軸平面上的投影對(duì)于軸與平面交點(diǎn)的矩。4.2.2力對(duì)軸的矩xyzOFFxyhBAab符號(hào)規(guī)定：從z軸正向看，假設(shè)力使剛體逆時(shí)針轉(zhuǎn)那么取正號(hào)，反之取負(fù)。也可按右手螺旋法那么確定其正負(fù)號(hào)。由定義可知：(1)當(dāng)力的作用線與軸平行或相交(共面)時(shí)，力對(duì)軸的矩等于零。(2)當(dāng)力沿作用線移動(dòng)時(shí)，它對(duì)于軸的矩不變。力對(duì)軸之矩實(shí)例FzFxFy4.2.3力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式xyzOFFxFyFzA(x,y,z)BFxFyFxyabxy設(shè)力F沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量分別為Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z，力作用點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y,z)，那么同理可得其它兩式。故有比較力對(duì)點(diǎn)的矩和力對(duì)軸的矩的解析表達(dá)式得：即：力對(duì)點(diǎn)的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的某軸上的投影，等于力對(duì)該軸的矩。3.2.4力對(duì)點(diǎn)的矩與力對(duì)過(guò)該點(diǎn)的軸的矩的關(guān)系求力F在三軸上的投影和對(duì)三軸的矩。解：yxzFjqbcaFxy如下圖，長(zhǎng)方體棱長(zhǎng)為a、b、c，力F沿BD，求力F對(duì)AC之矩。解：FbbcaABCDa[例]：如圖所示，試求力F對(duì)點(diǎn)A的力矩的大小。 OAdddz34xy分析：先將力分解，在對(duì)A點(diǎn)三個(gè)軸取矩。AxAyAz

力偶由一個(gè)平面平行移至剛體另一個(gè)平行平面不影響它對(duì)剛體的作用效果。3.3空間力偶3.3.1空間力偶的性質(zhì)AFF'R'RBOF'2A1F'1B1F2F1由力偶的性質(zhì)可知：力偶的作用效果取決于力偶矩的大小、力偶轉(zhuǎn)向和作用面方位。因此可用一矢量M表示：選定比例尺，用M的模表示力偶矩的大小；M的指向按右手螺旋法那么表示力偶的轉(zhuǎn)向；M的作用線與力偶作用面的法線方位相同。如下圖。M稱為力偶矩矢。力偶矩矢為一自由矢量。空間力偶的等效條件是：兩個(gè)力偶的力偶矩矢相等。FMF'3.3.2力偶的矢量表示4.3.3空間力偶等效定理力偶作用面不在同一平面內(nèi)的力偶系稱為空間力偶系?？臻g力偶系合成的最后結(jié)果為一個(gè)合力偶，合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：3.3.4空間力偶系的合成根據(jù)合矢量投影定理：于是合力偶矩的大小和方向可由下式確定：3.3.4空間力偶系的合成

空間力偶系可以合成一合力偶，所以空間力偶系平衡的必要與充分條件是：合力偶矩矢等于零。即：因?yàn)椋核裕荷鲜郊礊榭臻g力偶系的平衡方程。3.3.5空間力偶系的平衡例2.曲桿ABCD,∠ABC=∠BCD=900,AB=a,BC=b,CD=c,m2,m3求：支座反力及m1=?解：根據(jù)力偶只能與力偶平衡的性質(zhì),畫出構(gòu)件的受力圖見(jiàn)圖示。約束反力ZA和ZD形成一力偶,XA與XD形成一力偶。故該力系為一空間力偶系?？山獾?4.3空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程F'R＝0，MO＝

0==>空間任意力系平衡的必要與充分條件為：力系中各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和等于零，且各力對(duì)三個(gè)軸的矩的代數(shù)和也等于零。上式即為空間任意力系的平衡方程。20°[例]圖示傳動(dòng)軸，皮帶輪直徑D1=160mm，圓柱齒輪節(jié)圓直徑D2=240mm，T1=200N，T2=100N，=20°。求：平衡時(shí)力P=？和軸承A,B的約束反力？分析：20°xyz將P分解:Py=Pcos20°Pz=Psin20°解：2、受力分析1、取研究對(duì)象3、列平衡方程∑mx=0Py=Pcos20°Pz=Psin20°將P分解:xyz例3一車床的主軸如圖a所示，齒輪C半徑為100mm，卡盤D夾住一半徑為50mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時(shí)工件等速轉(zhuǎn)動(dòng)，車刀給工件的切削力Px＝466N、Py＝352N、Pz＝1400N，齒輪C在嚙合處受力為Q，作用在齒輪C的最低點(diǎn)。不考慮主軸及其附件的質(zhì)量，試求力Q的大小及A、B處的約束反力。

例4一等邊三角形板邊長(zhǎng)為a,用六根桿支承成水平位置如下圖.假設(shè)在板內(nèi)作用一力偶其矩為M。求各桿的約束反力。A'B'C'16425330o30o30oABCM解:取等邊三角形板為研究對(duì)象畫受力圖。A'B'C'16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6A'B'C'16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S6

例5扒桿如下圖，立柱AB用BG和BH兩根纜風(fēng)繩拉住，并在A點(diǎn)用球鉸約束，A、H、G三點(diǎn)位于xy平面內(nèi)，G、H兩點(diǎn)的位置對(duì)稱于y軸，臂桿的D端吊懸的重物重P=20kN；求兩繩的拉力和支座A的約束反力。解：以立柱和臂桿組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，建立如下圖的坐標(biāo)。列平衡方程：

聯(lián)立求解得：4解:S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmD′CBADC′B′A′

例6均質(zhì)長(zhǎng)方形板ABCD重G=200N，用球形鉸鏈A和碟形鉸鏈B固定在墻上，并用繩EC維持在水平位置，求繩的拉力和支座的反力。解：以板為研究對(duì)象，受力如圖，建立如下圖的坐標(biāo)。解之得：

例7用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計(jì)板的自重，求各桿的內(nèi)力。解：以板為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。4.6.1平行力系中心平行力系中心是平行力系合力通過(guò)的一個(gè)點(diǎn)。平行力系合力作用點(diǎn)的位置僅與各平行力的大小和作用點(diǎn)的位置有關(guān)，而與各平行力的方向無(wú)關(guān)。稱該點(diǎn)為此平行力系的中心。3.6重心F1FRF2yzxOACBr1rCr2

重力是地球?qū)ξ矬w的吸引力，如果將物體由無(wú)數(shù)的質(zhì)點(diǎn)組成，那么重力便構(gòu)成空間匯交力系。由于物體的尺寸比地球小得多，因此可近似地認(rèn)為重力是個(gè)平行力系，這力系的合力就是物體的重量。不管物體如何放置，其重力的合力的作用線相對(duì)于物體總是通過(guò)一個(gè)確定的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱為物體的重心。3.6.2重心

對(duì)于均質(zhì)物體、均質(zhì)板或均質(zhì)桿，其重心坐標(biāo)分別為：3.6.2重心均質(zhì)物體的重心就是幾何中心，即形心。3.6.3確定物體重心的方法1簡(jiǎn)單幾何形狀物體的重心如果均質(zhì)物體有對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心，那么該物體的重心必相應(yīng)地在這個(gè)對(duì)稱面，或?qū)ΨQ軸，或?qū)ΨQ中心上。簡(jiǎn)單形狀物體的重心可從工程手冊(cè)上查到。

2〕圖示弓形面積可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由負(fù)面積法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面積，重心位置查表可得；故所求弓形體物塊的重心的坐標(biāo)為

例8圖示均質(zhì)等厚物塊，其橫截面積由半徑為R的圓弧AMB與弦AB所圍成的弓形，試求其重心在其對(duì)稱面中的位置。解1〕在物塊的對(duì)稱面上建立圖示直角坐標(biāo)系oxy，由對(duì)稱性知，弓形體物塊的重心必在x軸上，故yc=0。扇形OAMB的面積

其重心位置：三角形OAB的面積其重心位置：2用組合法求重心如果一個(gè)物體由幾個(gè)簡(jiǎn)單形狀的物體組合而成，而這些物體的重心是的，那么整個(gè)物體的重心可由下式求出。1〕分割法2〕負(fù)面積法假設(shè)在物體或薄板內(nèi)切去一局部〔例如有空穴或孔的物體〕，那么這類物體的重心，仍可應(yīng)用與分割法相同的公式求得，只是切去局部的體積或面積應(yīng)取負(fù)值。

例9求圖示均質(zhì)板重心的位置。解一：〔組合法〕建立如圖坐標(biāo)：解二：〔負(fù)面積法〕

x

y

a

a

a

a

C1

C2

O

x

a

a

a

a

C2

C1

O

y1001002020zC12zC1zC2yC1zC例I-2：求右圖截面的形心。解：1、形心