高三數(shù)學(xué)1月份期末測(cè)試卷（理）+人教版（老高考）

高三數(shù)學(xué)1月份期末測(cè)試卷（理）人教版（老高考）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________注意事項(xiàng)：1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上3.本試卷考試時(shí)間：120分鐘，試卷總分150第I卷（選擇題共60分）一、單選題：（本題12題，每題5分，共60分）1．已知，，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)向量與，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．4．聲強(qiáng)級(jí)(單位：)由公式給出，其中為聲強(qiáng)(單位：).某班級(jí)為規(guī)范同學(xué)在公共場(chǎng)所說(shuō)話的文明禮儀，開(kāi)展了“不敢高聲語(yǔ)，恐驚讀書(shū)人”主題活動(dòng)，要求課下同學(xué)之間交流時(shí)，每人的聲強(qiáng)級(jí)不超過(guò)40.現(xiàn)有4位同學(xué)課間交流時(shí)，聲強(qiáng)分別為，，，，則這4人中達(dá)到班級(jí)要求的有（）A．1人 B．2人 C．3人 D．4人5．已知等比數(shù)列中，，則其前5項(xiàng)的積為（）A．64 B．81 C．192 D．2436．已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足為偶函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)遞減．則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．7．已知圓柱上下底面圓周均在球面上，且圓柱底面直徑和高相等，則該球與圓柱的體積之比為（）A． B． C． D．8．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．60 B．80 C．84 D．1209．定義在上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，且在處的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)在上的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線的漸近線交于不同原點(diǎn)的兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足（為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：（本題共4題，每題5分，共20分）13．已知向量，滿(mǎn)足，則在方向上的投影的最小值是______．14．若，則________（用含的式子表示）．15．已知隨機(jī)變量的分布列為（），其中為實(shí)常數(shù)，則______，______．16．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，如星形線，讓一個(gè)半徑為的小圓在一個(gè)半徑為的大圓內(nèi)部，沿著圓的圓周滾動(dòng)，小圓圓周上的任一點(diǎn)形成的軌跡即為星形線．如圖，已知星形線的方程為，周長(zhǎng)為，有如下結(jié)論：①曲線的周長(zhǎng)大于星形線的周長(zhǎng)；②曲線上任意兩點(diǎn)距離的最大值為；③曲線與圓有且僅有個(gè)公共點(diǎn)；④從曲線上任一點(diǎn)作，軸的垂線，垂線與，軸所圍成圖形的面積最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．三、解答題：（本題共6題，17-21題每題12分，22，23選做題每題10分，共70分）17．在①；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，補(bǔ)充到下面的橫線上并作答.問(wèn)題：在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知___________.（1）求角A；（2）若，求的周長(zhǎng).注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，二面角的余弦值為，是棱的中點(diǎn)，，，．（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．小李在縣城租房開(kāi)了一間服裝店，每年只賣(mài)甲品牌和乙品牌中的一種．若當(dāng)年賣(mài)甲品牌，則下一年賣(mài)甲品牌的概率為，賣(mài)乙品牌的概率為；若當(dāng)年賣(mài)乙品牌，則下一年賣(mài)甲品牌的概率為，賣(mài)乙品牌的概率為．已知第一年該店賣(mài)甲品牌，且第年賣(mài)甲品牌有萬(wàn)元利潤(rùn)，賣(mài)乙品牌有萬(wàn)元利潤(rùn)．（1）求前年的利潤(rùn)之和超過(guò)萬(wàn)元的概率；（2）求該服裝店第四年的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．20．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是和，離心率為，點(diǎn)P在橢圓E上，且的面積的最大值為.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)，交該橢圓于A?B兩點(diǎn)，AB中點(diǎn)為Q，射線OQ交橢圓于P，記的面積為，的面積為，若，求直線l的方程.21．已知函數(shù)（）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，令，若函數(shù)的圖象與直線相交于不同的兩點(diǎn)，，設(shè)，（）分別為點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，求證：．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為．（1）當(dāng)變化時(shí)，求的軌跡的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)射線與曲線與的交點(diǎn)分別為（非原點(diǎn)），，求．23．已知a，b，c為正數(shù)，且滿(mǎn)足.（1）證明：.（2）證明：.參考答案1．D【分析】求出集合后可求．【詳解】，，故，故選：D．2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為和，則，，所以對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，所以向量對(duì)應(yīng)的的復(fù)數(shù)是，故選：C.3．A【分析】采用排除法進(jìn)行排除，根據(jù)可知圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，以及導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出單調(diào)區(qū)間即可求解.【詳解】根據(jù)，排除C，因?yàn)?，由得或，可知在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，排除BD故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及由函數(shù)解析式選擇函數(shù)的圖象，屬于?？碱}型.4．C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以這4人中達(dá)到班級(jí)要求的有3人，故選：C5．D【詳解】由題意，解得，又，所以，，故選D.6．A【分析】先得到函數(shù)的周期為6，利用為偶函數(shù)，得到，將化成，再比較的大小關(guān)系，最后利用函數(shù)的單調(diào)性得到的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋缘淖钚≌芷?，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，因?yàn)?，，且?0，3)內(nèi)單調(diào)遞減，所以.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)要注意利用函數(shù)的性質(zhì)把自變量的取值都化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi).7．C【詳解】如圖，由題意得，，，.故選C.8．D【分析】的展開(kāi)式中的系數(shù)是，借助組合公式：，逐一計(jì)算即可.【詳解】的展開(kāi)式中的系數(shù)是因?yàn)榍?，所以，所以，以此?lèi)推，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于使用組合公式：，以達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.9．A【分析】根據(jù)給定條件探求出函數(shù)的性質(zhì)，由此求出，再借助復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題求出即可得解.【詳解】上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，則當(dāng)時(shí)，，，于是得，即f(x)是周期函數(shù)，周期為4，則有，對(duì)兩邊求導(dǎo)得，即，于是當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.10．C【分析】根據(jù)圖像平移化簡(jiǎn)得，若使在上的值域?yàn)?，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，只需即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，在上的值域?yàn)闀r(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，，．故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：把化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)當(dāng)做一個(gè)整體，與函數(shù)作對(duì)應(yīng)，求得參數(shù)取值范圍.11．C【分析】根據(jù)題意，，雙曲線的焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，所以，進(jìn)而，四邊形面積為，由可化簡(jiǎn)得，寫(xiě)出漸近線方程即可.【詳解】根據(jù)題意，，雙曲線的焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為，則，所以，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，漸近線，點(diǎn)到直線的距離，屬于難題.12．C【分析】構(gòu)造函數(shù)，由題意可知在上單調(diào)遞增，再對(duì)分情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出不等式的解集.【詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，可得，即，即，構(gòu)造函數(shù)，所以函數(shù)遞增，則，此時(shí)，即滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，可得，由函數(shù)遞增，則，此時(shí)或，即滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，即滿(mǎn)足.綜上，.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由已知，聯(lián)想到兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，故構(gòu)造出函數(shù)，然后對(duì)分情況討論，利用單調(diào)性即可解答.13．【分析】對(duì)已知不等式兩邊平方并化簡(jiǎn)，利用平面向量數(shù)量積的定義和投影的概念，可得最小值．【詳解】由得，得，所以．設(shè)，的夾角為，則，所以，即在方向上的投影的最小值是．故答案為：14．【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的相關(guān)公式，把根號(hào)下的式子變形為完全平方式，，，再由，開(kāi)方即得，再由即可得解.【詳解】，則而，又，故答案為：.15．【分析】利用分布列的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，，，得到，最后利用數(shù)學(xué)期望的相關(guān)公式求解即可．【詳解】，由，即，得，則，，，∴，即．故答案為：，.16．②③【分析】對(duì)于①，由于的周長(zhǎng)為，從而可進(jìn)行判斷；對(duì)于②，由圖可知左右兩端點(diǎn)或上下兩端點(diǎn)的距離最遠(yuǎn)；對(duì)于③，由于曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為，結(jié)合圖形可得結(jié)論；對(duì)于④，利用基本不等式求解即可【詳解】解：曲線的周長(zhǎng)為，所以①錯(cuò)誤；曲線上左右兩端點(diǎn)，或上下兩端點(diǎn)，的距離最遠(yuǎn)，等于，②正確；曲線上一點(diǎn)到原點(diǎn)的最短距離為，此類(lèi)點(diǎn)共有個(gè)，故曲線與圓有且僅有個(gè)公共點(diǎn)，③正確；不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限上的點(diǎn)則，，④錯(cuò)誤．故答案為：②③17．條件選擇見(jiàn)解析；（1）；（2）周長(zhǎng)為.【詳解】（1）選擇①由余弦定理得，，∴，又，∴，又，∴.選擇②由余弦定理得，，又，∴.（2）由正弦定理得，，由余弦定理得，，即，∴，∴，故周長(zhǎng)為.18．（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，可知平面，從而可證明.

（2）先證明平面平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，故以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角.【詳解】（1）、證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以．由題意知，，又，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以．又，平面，，所以平面，又平面，所以．?）由平面，平面，得平面平面，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則平面，故以為原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，過(guò)點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．易知為二面角的平面角，所以．在中，，，得，，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則即則，令，則，故為平面的一個(gè)法向量．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．19．（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)題意，把該服裝店前年賣(mài)的品牌有種情況，結(jié)合獨(dú)立事件的概率公式，分別求得相應(yīng)的概率，即可求解.（2）由（1）分別求得服裝店第三年賣(mài)甲、乙品牌的概率，得到第四年賣(mài)甲、乙品牌的概率，結(jié)合第四年甲乙品牌的利潤(rùn)值，進(jìn)而求得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）由題意，該服裝店前年賣(mài)的品牌有種情況：“甲、甲、甲”的概率為，利潤(rùn)為萬(wàn)元；“甲、甲、乙”的概率為，利潤(rùn)為萬(wàn)元；“甲、乙、甲”的概率為，利潤(rùn)為萬(wàn)元；“甲、乙、乙”的概率為，利潤(rùn)為萬(wàn)元所以前年的利潤(rùn)之和超過(guò)萬(wàn)元的概率為．（2）由（1）知該服裝店第三年賣(mài)甲品牌的概率為，賣(mài)乙品牌的概率為，所以第四年賣(mài)甲品牌的概率為，從而第四年賣(mài)乙品牌的概率為，又第四年賣(mài)甲品牌的利潤(rùn)為萬(wàn)元，賣(mài)乙品牌的利潤(rùn)為萬(wàn)元，因此第四年的利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望為．20．（1）；（2）.【分析】（1）由P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大，即，再根據(jù)離心率為求解.（2）由，即，，易知當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，不合題意，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，由點(diǎn)差法得到然后聯(lián)立方程，分別求得求解.【詳解】（1）依題意，顯然當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí)，的面積最大為，即，又由離心率為，，解得，，，所以橢圓C的方程為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)AB斜率不存在時(shí)，，不合題意，當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)，，則，兩式作差得：，即，故直線OP的方程為：，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，因?yàn)椋?，即，解得：，所以直線AB的方程為.21．（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求導(dǎo)后，分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出的解析式，利用斜率公式求出，將所證不等式化為（），再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可證結(jié)論成立.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，且．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增；若，則，在上單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以．要證，即證．因?yàn)?，所以，即證．令，則，即證（）．令（），則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，（）．①令（），則，所以在上單調(diào)遞增，則，即（）．②綜合①②得（），所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將所證不等式化為（），再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立是解題關(guān)鍵.22．（1）；（2）.【分析】（1）先求出兩直線的普通方程，然后聯(lián)立方程組消去得，再將其轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程即可；（2）求出的極坐標(biāo)方程為，再令，代入與的極坐標(biāo)方程可求出，進(jìn)而可求出的值【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，得普通方程為，利用得的直角坐標(biāo)方程為．設(shè)，由題設(shè)得消去得．所以的普通方程為．故的極坐標(biāo)方程為．（2）將（為參數(shù)）消去參數(shù)，可得化為極坐標(biāo)方程為．令，則，所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程與普通方程的互