2022屆高三二輪練習(xí)卷 數(shù)學(xué)（十四）圓的方程 答案版

專題十四專題十四圓的方程XXXXXXXXX1．直線與圓的位置關(guān)系1．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲線表示圓心，半徑為的圓，由題意可知，圓心到直線的距離應(yīng)小于等于半徑，所以，，解得，故選C．2．若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，直線為軸與曲線顯然有公共點(diǎn)；時(shí)，經(jīng)過原點(diǎn)，斜率為，曲線為圓心（2，2）半徑為2的上半圓．當(dāng)直線經(jīng)過半圓的右端點(diǎn)A恰好有公共點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至軸滿足題意，如下圖．由于，故，解得，綜上，故選D．3．若曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示．由題意可得，曲線的圖象為以(0，0)為圓心，2為半徑的半圓，直線l恒過A(2，4)，由圖當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，圓心到直線l的距離d＝r，即，解得；當(dāng)直線l過B點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率，則直線l與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故選A．4．已知，，在直線上存在點(diǎn)，使，則的最大值是（）A．9 B．11 C．15 D．19【答案】B【解析】設(shè)以線段為直徑的圓為圓，則圓心為，半徑，故圓的方程為．因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓上．因?yàn)辄c(diǎn)在直線l上，所以圓心到直線的距離，解得，故選B．5．過點(diǎn)作圓的兩條切線與圓C分別切于A，B兩點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，圓心為，過點(diǎn)作圓的兩條切線與圓C分別切于A，B兩點(diǎn)，則，，故點(diǎn)A，B在以MC為直徑的圓上，而以MC為直徑的圓的方程為，得，即直線的方程為，故選A．6．已知直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方法1：由知，圓心到直線的距離為，即，即，則“”是“”的必要不充分條件．方法2：設(shè)，聯(lián)立，化為，，解得，，，∵，∴，，，，解得，符合，則“”是“”的必要不充分條件，故選B．7．（多選）已知圓和直線，則（）A．直線l與圓C的位置關(guān)系無法判定B．當(dāng)時(shí)，圓C上的點(diǎn)到直線l的最遠(yuǎn)距離為C．當(dāng)圓C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1時(shí)，D．如果直線l與圓C相交于M、N兩點(diǎn)，則的最小值是3【答案】BC【解析】由，得，所以圓心，半徑為2，對A：由直線的方程可得，所以直線恒過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，故選項(xiàng)A錯誤；對B：時(shí)，直線的方程為，即，設(shè)圓心到直線距離為，則，所以圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，故選項(xiàng)B正確；對C：當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)，圓心到直線距離為1，即，解得，故選項(xiàng)C正確；對D：直線恒過定點(diǎn)，且在圓內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)取得最小值，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D錯誤，故選BC．8．（多選）已知圓與直線，下列說法正確的是（）A．直線l與圓C一定相交B．若，則圓C上至少有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1C．若，則圓C關(guān)于直線l對稱的圓的方程是D．若，直線l與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，P為圓C上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則最大或最小【答案】BCD【解析】對于A，直線是繞點(diǎn)(0,2)轉(zhuǎn)動的動直線，和圓不一定相交，比如時(shí)，圓心到直線的距離為，直線和圓相離，故A錯誤；對于B，令，解得，此時(shí)圓C上至少有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1，故B正確；對于C，設(shè)圓心(3,3)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則，解得，故對稱圓的方程為，故C正確；對于D，如圖示，當(dāng)PB和圓相切時(shí)，最大或最小，此時(shí)，故D正確，故選BCD．9．已知圓，直線，則使“圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都是1”成立的一個(gè)充分條件是“______”．【答案】3【解析】若圓C與直線相切，或相離都不可能有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，故圓C與直線相交，即圓心C到直線的距離，要使圓C上恰有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離是1，需，即，圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都是1，則，根據(jù)充分條件的定義知使“圓C上至少有3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都是1”成立的一個(gè)充分條件是“”，故答案為3．10．若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．【答案】【解析】關(guān)于的方程有解等價(jià)于有解，等價(jià)于與的圖象有公共點(diǎn)，等價(jià)于，等價(jià)于，其圖象為為圓心2為半徑的圓的上半部分，作圖可得當(dāng)平行直線介于兩直線之間時(shí)滿足題意，易得直線的截距為0，設(shè)直線的截距為，由直線與圓相切可得直線到點(diǎn)的距離為2，可得，解得或（舍去），，解得，故答案為．2．圓與圓的位置關(guān)系1．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．外離【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，，圓的圓心為，半徑為1，，兩圓相交，故選B．2．已知圓平分圓的周長，則（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】由圓平分圓的周長可知，圓經(jīng)過圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，所以圓的圓心在圓與圓的公共弦上，兩圓方程相減整理得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，又圓心，所以，所以，故選C．3．圓與圓的位置關(guān)系為（）A．相交 B．相離 C．相切 D．無法確定【答案】A【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，∴，而，∴兩圓相交，故選A．4．已知點(diǎn)，，若點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為1，3，則符合條件的直線l的條數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由題意可知直線l是圓與的公切線，因?yàn)椋赃@兩個(gè)圓外離，所以它們有4條公切線，故選D．5．（多選）若圓（）上總存在到原點(diǎn)距離為3的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．1 B． C．2 D．3【答案】BC【解析】根據(jù)題意，到原點(diǎn)距離為3的點(diǎn)的軌跡方程為，若圓（）上總存在到原點(diǎn)距離為3的點(diǎn)，則圓（）與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得，故選BC．6．（多選）若圓和圓恰有三條公切線，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】由圓，可得，圓心為，半徑為2，由圓，可得，其圓心為，半徑為4，由題可得，∴，取則，故A錯誤；由，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴，故B正確；由可知為圓心半徑為3的圓上任意一點(diǎn)，則，即，故C正確；由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴，故D錯誤，故選BC．7．（多選）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓，則下列結(jié)論正確的是（）A．圓恒過原點(diǎn)B．圓與圓內(nèi)切C．直線被圓所截得弦長的最大值為D．直線與圓相離【答案】ABC【解析】A．代入點(diǎn)得恒成立，A正確；B．，即兩圓心距離等于兩圓半徑差，B正確；C．直線被圓所截得弦長為，，即直線被圓所截得弦長的最大值為，C正確；D．圓心到直線的距離，故圓和直線相切或相交，D錯誤，故選ABC．8．設(shè)與相交于兩點(diǎn)，則________．【答案】【解析】將和兩式相減：得過兩點(diǎn)的直線方程：，則圓心到的距離為，所以，故答案為．9．已知圓與圓相交于，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________；若圓上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)的值為__________．【答案】，或或【解析】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑．，因?yàn)閳A和圓相交于，兩點(diǎn)，所以，兩圓的方程相減，可得直線的方程為．因?yàn)閳A上存在點(diǎn)，使得為等腰直角三角形，①當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，則直線過圓的圓心，所以，即；②當(dāng)或?yàn)橹苯琼旤c(diǎn)時(shí)，則直線或直線過圓的圓心，則，即到直線的距離為，所以，解得或，故答案為；或或．10．已知兩圓和．求：（1）取何值時(shí)兩圓外切？（2）取何值時(shí)兩圓內(nèi)切，此時(shí)公切線方程是什么？（3）求時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長．【答案】（1）；（2），；（3），．【解析】（1）解：由題意，兩圓和，可化為和，可得圓心坐標(biāo)分別為，半徑分別為，當(dāng)兩圓相外切時(shí)，可得，即，解得．（2）解：由圓心距，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，可得，即，解得，因?yàn)?，可得兩圓公切線的斜率是，設(shè)切線方程為，則有，解得，當(dāng)時(shí)，直線與圓相交，舍去；故所求公切線方程為，即．（3）解：由圓和，兩圓的方程相減，可得，可得，即兩圓的公共弦的方程為，則圓心到公共弦的距離為，又由弦長公式，可得弦長為．11．已知圓，直線，當(dāng)時(shí)，直線l與圓O恰好相切．（1）若l被圓O截得弦長為，求l方程；（2）若直線l上存在兩點(diǎn)M?N，滿足，在圓O上存在點(diǎn)P使得，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題干可知，，將圓心代入表達(dá)式得，故，若l被圓O截得弦長為，則弦心距，將代入得，解得，又，故直線方程為．（2）當(dāng)直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，即，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，滿足，符合題意；當(dāng)直線與圓無公共點(diǎn)時(shí)，即，因?yàn)椋栽谝詾橹睆降膱A上，設(shè)中點(diǎn)為，則圓的方程為，此時(shí)圓與圓，則圓心距，即，故只需到直線距離，解得，故，綜上所述，．12．在平面直角坐標(biāo)中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，設(shè)點(diǎn)，在圓上是否存在點(diǎn)使，若有請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若沒有請說明理由．【答案】存在，或．【解析】由題設(shè)，與y軸的交點(diǎn)為，對稱軸為，若與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，則，，∴，若圓半徑為，圓心為，∴，解得，∴圓半徑為，圓心為，則圓的方程為，設(shè)，由題意有，整理得．∴圓心為，半徑為2，故兩圓的圓心距離，∴兩圓相交，作差可得，聯(lián)立，整理得，∴，即或．3．與圓有關(guān)的綜合性問題1．直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，則面積的最小值為（）A．6 B．4 C．2 D．【答案】C【解析】由直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，得，，所以，由圓得圓心，半徑，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則，所以，，故選C．2．若點(diǎn)是圓上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A．5 B．6 C． D．【答案】C【解析】由題知，直線過定點(diǎn)，所以圓心到定點(diǎn)的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，故選C．3．若點(diǎn)為圓的弦的一個(gè)三等分點(diǎn)，則弦的長度為（）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】不妨設(shè)P為靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，原點(diǎn)為O，，則，由，，得，所以，故，故選A．4．已知圓，過直線上的一點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓中，圓心，半徑，設(shè)，則，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），故選A．5．已知圓，直線，P為直線l上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．當(dāng)四邊形PAOB面積最小時(shí)，直線AB的方程為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵的圓心為，半徑，當(dāng)點(diǎn)P與圓心的距離最小時(shí)，切線長PA、PB最小，此時(shí)四邊形PAOB的面積最小，∴直線l，則PO的方程為，聯(lián)立，解得，∴，∴以O(shè)P為直徑的圓的方程為，即，兩圓方程相減可得，故選B．6．已知圓與直線，過l上任意一點(diǎn)P向圓C引切線，切點(diǎn)為A，B，若線段長度的最小值為，則實(shí)數(shù)m的值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，即，又，所以，故選D．7．（多選）已知圓與圓交于不同的兩點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A． B．C． D．【答案】BC【解析】①②①－②即得公共弦AB所在直線方程，將A的坐標(biāo)代入得：③，故B正確；將B的坐標(biāo)代入得：④③－④得：，故A錯誤；兩圓圓心分別為，因?yàn)閮蓤A半徑相等，所以中點(diǎn)和AB中點(diǎn)為同一點(diǎn)，故，C正確；，D錯誤，故選BC．8．（多選）已知圓，點(diǎn)在圓O外，以線段OP為直徑作圓M，與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則（）A．直線PA，PB均與圓O相切B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在圓上運(yùn)動C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在圓上運(yùn)動D．若，則直線AB的方程為【答案】ACD【解析】由題意知，線段為圓的直徑，則，可得，即原點(diǎn)到直線的距離等于半徑，所以直線均與圓O相切，所以A正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，且，則，所以點(diǎn)P在圓上運(yùn)動，所以B錯誤；當(dāng)時(shí)，，則圓M的半徑為，所以點(diǎn)M在圓上運(yùn)動，所以C正確；若，則點(diǎn)，則圓，又由圓，將這兩圓的方程兩端分別相減并整理，得直線AB的方程為，所以D正確，故選ACD．9．設(shè)，直線與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意得：，，恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，又，點(diǎn)軌跡是以為直徑的圓，即為圓心，為半徑的圓，點(diǎn)軌跡為，圓與圓的圓心距，兩圓相離，的最小值是兩圓圓心距減去兩圓半徑之和，即，故答案為．10．設(shè)點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓的切線PA，PB（切點(diǎn)為A，B），若的最大值為，則該圓的半徑r等于______．【答案】【解析】圓的圓心為，半徑為，若最大值為時(shí)，則，也為最大值，又，最大時(shí)，則最小，點(diǎn)P是直線上的動點(diǎn)，為圓點(diǎn)，故的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，，故答案為．11．已知圓，，則圓與圓的位置關(guān)系是___________；若點(diǎn)P在直線上運(yùn)動，點(diǎn)Q在圓與圓的圓周上運(yùn)動，則|PQ|的最小值為___________．【答案】外切，【解析】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，所以，即圓與圓的位置關(guān)系為外切．因?yàn)椋?，所以直線與直線平行，由于，所以的最小值為兩圓中，任意一個(gè)圓的圓心到直線與半徑的差．因?yàn)閳A的圓心為到直線的距離為，所以的最小值為，故答案為外切，．12．已知，，，且．（1）求動點(diǎn)C的軌跡E；（2）若點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P引軌跡E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，兩條切線PA，PB與y軸分別交于S、T兩點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）動點(diǎn)C的軌跡E是以（2，0）為圓心，1為半徑的圓；（2）．【解析】（1）∵，∴，∴，∴，∴，∴動點(diǎn)C的軌跡E是以(2，0)為圓心，1為半徑的圓．（2）設(shè)切線方程為，即，PA，PB的斜率為，，故圓心C到切線的距離，得，∴，，在