河南省南陽市南召縣2023-2024學(xué)年八年級上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023-2024學(xué)年上學(xué)期階段性評價卷三八年級數(shù)學(xué)（華師版）注意事項：1．本試卷共4頁，三個大題，滿分120分，考試時間100分鐘．2．本試卷上不要答題，請按答題卡上注意事項的要求直接把答案填寫在答題卡上。答在試卷上的案無效．一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．1.下列四個數(shù)中，屬于無理數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了無理數(shù)，理解無理數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)”判斷求解．【詳解】解：有理數(shù)有：；無理數(shù)有：；故選：C．2.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A. B.2，3，4 C.6，8，10 D.7，5，6【答案】C【解析】【分析】本題考查的是勾股數(shù)，熟知滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股數(shù)的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：A、∵不是整數(shù)，∴不是勾股數(shù)，故本選項不符合題意；B、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C、∵，∴是勾股數(shù)，故本選項符合題意；D、∵，∴不是勾股數(shù)，不符合題意．故選：C．3.下列計算正確是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了平方差公式，整式乘法，以及完全平方公式，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】解：A、原式，不符合題意；B、原式，不符合題意；C、原式，符合題意；D、原式，不符合題意．故選：C．4.如圖，在等邊三角形中，平分，若，則的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形邊角之間的關(guān)系．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，再由平分，可得出，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵是等邊三角形，，∴．又∵平分，，故選：B．5.下列命題中是真命題的是（）A.直角三角形的兩個銳角互余B.等腰三角形底邊上的中線、高線以及頂角的平分線不一定重合C.三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和D.兩個三角形有兩條邊和一個角分別對應(yīng)相等，這兩個三角形一定全等【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余判定A；根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)判定B；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)判定C；根據(jù)“邊角邊”定理判定D．【詳解】解：A、直角三角形的兩個銳角互余，此選項中命題正確，是真命題，故此選項符合題意；B、等腰三角形底邊上的中線、高線以及頂角的平分線三線重合，此選項中命題錯誤，是假命題，故此選項不符合題意；C、三角形的一個外角等于和它不相鄰兩個內(nèi)角的和，此選項中命題錯誤，是假命題，故此選項不符合題意；D、兩個三角形有兩條邊和它們的夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等，此選項中命題錯誤，是假命題，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查命題真假的判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，全等三角形的判定．6.用反證法證明，“在中，、對邊是、．若，則．”第一步應(yīng)假設(shè)（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)反證法的步驟，直接選擇即可．【詳解】解：根據(jù)反證法的步驟，得第一步應(yīng)假設(shè)不成立，即．故選：C．【點睛】本題考查了反證法，熟知反證法的步驟是關(guān)鍵．7.如圖，在中，，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡判斷，以下結(jié)論中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本作圖得垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的概念可對A進(jìn)行判斷；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可對B進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可對C進(jìn)行判斷，根據(jù)不一定平分，則與不一定相等，可對D進(jìn)行研究判斷．【詳解】解：A、由作圖可知：垂直平分，∴，故此選項正確，不符合題意；B、由作圖可知：垂直平分，∴，故此選項正確，不符合題意；C、由作圖可知：垂直平分，∴，∴，故此選項正確，不符合題意；D、∵，∴，由作圖可知，，但無條件說明平分，∴與不一定相等，故此選項不正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)．8.如圖，在和中，，，，則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．首先證明，推出，，由，推出，推出，即可一一判斷．【詳解】解：在和中，，故A、C、D正確，故選：B．9.如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A，B，C都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.C.的面積為5 D.點A到的距離是1.5【答案】D【解析】【分析】本題考查的是勾股定理及其逆定理，利用網(wǎng)格圖計算三角形的面積，點到直線的距離．熟練掌握勾股定理及其逆定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理及其逆定理判定A，利用勾股定理求出長可判定B；利用網(wǎng)格圖計算三角形的面積可判定C；利用面積公式求出邊的高，即可利用點到直線的距離判定D．【詳解】解：A、，，，，，本選項結(jié)論正確，不符合題意；B、∵，∴，本選項結(jié)論正確，不符合題意；C、，本選項結(jié)論正確，不符合題意；D、點A到的距離，本選項結(jié)論錯誤，符合題意；故選：D．10.如圖，正方形的邊長為4，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，……，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律“”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理以及三角形的面積公式可得出部分、、、的值，根據(jù)面積的變化即可找出變化規(guī)律“”，依此規(guī)律即可解決問題．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，即等腰直角三角形的直角邊為斜邊的倍，面積為的正方形的邊長為．故選：C．二、填空題（每小題3分，共15分）11.比較大?。篲_____．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，對于帶根號的無理數(shù)的大小比較，關(guān)鍵在于利用平方法先轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的大小比較，進(jìn)而解答．先比較兩個數(shù)的平方大小，即可得到它們的大小關(guān)系．【詳解】解：∵，，∴，故答案：．12.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了提取公因式法分解因式，正確運(yùn)用提取公因式法分解因式是解題關(guān)鍵．直接提取公因式得出答案．【詳解】解：，故答案為：．13.命題“兩直線平行，同位角相等”的逆命題是___________．【答案】同位角相等，兩直線平行【解析】【分析】根據(jù)把一個命題的題設(shè)和結(jié)論互換就得到它的逆命題解答即可．【詳解】∵原命題的條件為：兩直線平行，結(jié)論為：同位角相等．∴其逆命題為：同位角相等，兩直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．14.上小學(xué)的小雨在認(rèn)識直角三角形的學(xué)習(xí)活動中，需要完成一個用卡紙剪出2個直角三角形的任務(wù)，上初二的姐姐剛學(xué)完勾股定理的相關(guān)知識，她對妹妹說，不用直角三角尺或量角器也可以判斷剪出的兩個三角形是否為直角三角形．姐姐量出兩個三角形的三邊長分別為：圖形①；圖形②．請你用所學(xué)知識判斷：圖形______是直角三角形．【答案】②【解析】【分析】本題考查勾股定理的逆定理，兩短邊的平方和等于最長邊的平方和，三邊構(gòu)成的三角形是直角三角形，由此判斷即可．【詳解】解：，圖形①不是直角三角形；，圖形②直角三角形，故答案為：②．15.如圖，在中，，，，是∠ABC的平分線，若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】過點作于點，交于點P，過點P作于Q，則即為的最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求出的長，即為的最小值．【詳解】解：在中，，由勾股定理得：，過點作于點，交于點P，過點P作于Q，如圖，平分，于點，于Q，，∴的最小值，，，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，三角形的面積．解題關(guān)鍵是作出的最小值的垂線段．三、解答題（本大題共8個小題，共75分）16.（1）計算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，實數(shù)的運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握；（1）先算乘方，絕對值，平方根和立方根的化簡，再算加減即可；（2）利用平方差公式，完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，再合并同類項即可；【詳解】（1）；（2）．17.如圖，琳琳想要測量水庫的寬，水庫西邊有一座水房D，在的中點C處有一棵百年古樹，琳琳從點A出發(fā)，沿直線一直向前經(jīng)過點C走到點E（點A，C，E在同一條直線上），使，然后她測得點E與水房D之間的距離是，求水庫的寬．【答案】水庫的寬為15米【解析】【分析】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，在實際生活中，對于難以實地測量的線段，常常通過兩個全等三角形，轉(zhuǎn)化需要測量的線段到易測量的邊上或者已知邊上來，從而求解．利用全等三角形的判定定理證得．然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到．【詳解】解：根據(jù)題意知，，在與中，所以．所以米．答：水庫的寬為15米．18.如圖，在中，，，是邊的中點，求的長．【答案】4【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)．等腰三角形底邊上的中線把等腰三角形分成兩個全等的直角三角形．利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)得到，然后在直角中，利用勾股定理求得高線的長度，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可求解．【詳解】解：∵是邊的中點，∴是邊上的高線．∵，∴．在中，由勾股定理，得．19.某中學(xué)想把校園內(nèi)一塊不規(guī)則的四邊形荒地開辟為勞動實踐基地，如圖所示，測得四邊形中，，，，，，請你計算出四邊形的面積．【答案】【解析】【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，三角形面積．連接，利用勾股定理求出，再由勾股定理判定出是直角三角形，然后由，即可求解．【詳解】解：連接，∵∴∵，，∴，，∴∴∴即四邊形的面積為．20.如圖，在中，，是的平分線，于點E，，，求的長．【答案】【解析】【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等以及勾股定理．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可先求出的長，的長已知，根據(jù)勾股定理可求出解．【詳解】解：是平分線，于，，．，．21.如圖，在中，點D是射線上一點．（1）實踐與操作，僅用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．①在的上方作射線，使得；②作的平分線，交于點N．（2）求證：是等腰三角形．【答案】（1）見詳解（2）見詳解【解析】【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟記各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)作一個角等于已知角，以及角平分線的基本作法分別作出圖形即可；（2）根據(jù)角平分線的定義，以及平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【小問1詳解】解：如圖所示，作，則，射線即為所求；如圖所示，射線即為所求；【小問2詳解】證明：由作圖可知，是的角平分線，又，∴是等腰三角形．22.根據(jù)兩數(shù)和（差）的完全平方公式解決下列問題：（1）若，，求；（2）若，求的值．【答案】（1）11（2）14【解析】【分析】本題考查完全平方公式，熟練是解題的關(guān)鍵．（1）由兩數(shù)差的完全平方公式求解即可；（2）由兩數(shù)和的完全平方公式求解即可．．【小問1詳解】解：∵，，，∴；【小問2詳解】解：∵∴．23.八年級的同學(xué)在一次探究試驗活動中發(fā)現(xiàn)，解決幾何問題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線（延長的線段等于中線長）或延長過中點的線段，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，進(jìn)而使得問題得以解決．（1）如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍；（2）如圖2，在中，點D是的中點，點M在邊上，點N在邊上，若．求證：；（3）如圖3，和均為等腰直角三角形，且，連接，，點D為邊的中點，連接．請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．【答案】（1）（2）見解析（3），【解析】【分析】（1）延長至，使，連接，由證明得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）延長至點，使，連接、，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，在中，由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（3）延長至，使，連接，同（1）得：，由全等三角形的性質(zhì)得出，，證出，證明得出，，則．延長交于，證出，得出，即可．【小問1詳解】解：延長至，使，連接，如