四川省達州市渠縣第二中學2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題（含解析）

四川省達州市渠縣第二中學2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學模擬測試題（二）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把你認為正確的答案寫在相應(yīng)的位置上)1．下列說法中正確的是（

）A．有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形2．一個圓柱和一個正方體按如圖所示放置，則其主視圖為（

）A． B． C． D．3．已知反比例函數(shù)圖象上有三點，，，且，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．4．已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則m的值為（

）A． B．4 C． D．5．在一個不透明的布袋中裝有30個白球和若干黑球，除顏色外其他都相同，小強每次摸出一個球記錄下顏色后并放回，通過多次試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則布袋中黑球的個數(shù)可能是（

）A．15 B．20 C．25 D．306．在中，已知，則下列比例式中成立的是（）A． B． C． D．7．如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角是等腰直角以原點O為位似中心的位似圖形，且相似比為2：1，點，，C在上，則點的坐標為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知是的中線，E是線段上一點，且，的延長線交于點，則的值為（

）

A． B． C． D．9．如圖，直線與雙曲線交于兩點，點在軸上，連接，且，已知的面積為，則的值為（

）

A． B． C． D．10．如圖，矩形的對角線相交于點O，F(xiàn)是上的一點，連接，將沿翻折，點C恰好與點O重合，延長交于點E，連接．則下列結(jié)論：①是等邊三角形；②；③四邊形是菱形；④，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．若，則．12．學習電學知識后，小婷同學用四個開關(guān)，一個電源和一個燈泡設(shè)計了一個電路圖，現(xiàn)任意閉合其中兩個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于．13．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是．14．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，Rt△OAB的直角頂點B在x軸的正半軸上，點A在第一象限，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C．交AB于點D，連結(jié)CD．若△ACD的面積是2，則k的值是．15．如圖，正方形中，，O是邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，，連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，則線段長的最小值為．三、解答題（共90分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16．解方程：(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．17．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于10月16日至22日在北京舉行，這是一次具有里程碑意義的大會，必將對中國和世界產(chǎn)生深遠影響．某校積極組織學生學習二十大相關(guān)會議精神，并組織了二十大知識問答賽，將比賽結(jié)果分為A，B，C，D四個等級，根據(jù)如下不完整的統(tǒng)計圖解答下列問題：(1)求該校參加知識問答賽中C等級的學生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖；(2)求扇形統(tǒng)計圖中C級所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)；(3)已知結(jié)果為A等級的這4名學生1名來自七年級，1名來自八年級，2名來自九年級，現(xiàn)準備從這4人中隨機抽取兩名同學參加二十大宣講，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學生來自不同年級的概率．18．如圖，在平面直角坐標系中，已知的三個頂點坐標分別是，，．(1)將繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，請畫出，并求出點C經(jīng)過的路徑長；(2)以A為位似中心畫，使它與相似，相似比為，并直接寫出的坐標．19．如圖，在與中，已知，，，，，連接．(1)求證：；(2)若，求的面積．20．如圖，在四邊形中，，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，四邊形的面積等于，求的長21．如圖1，在光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)，反射角等于入射角．這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，林舒同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒在點處，手電筒的光從平面鏡上點處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點，落在墻上的點處，點到地面的高度，點到地面的高度，手電筒到木板的水平距離，木板到墻的水平距離為．圖中，，，在同一條直線上．

(1)求的長；(2)求點E到地面的高度的長．22．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于，兩點．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；（2）直線交軸于點，點是軸上的點，若的面積是，求點的坐標．23．我市某著名旅游“網(wǎng)紅打卡地”景區(qū)在2021年國慶長假期間，共接待游客達26萬人次，預(yù)計在2023年國慶長假期間，將接待游客達萬人次．(1)求該景區(qū)2021至2023年國慶長假期間接待游客人次的年平均增長率；(2)該景區(qū)某商店銷售一款旅游紀念品，每件紀念品成本價為10元，根據(jù)銷售經(jīng)驗，在旅游旺季，若每件紀念品定價25元，則平均每天可銷售300件，若每件價格降低1元，則平均每天可多銷售30件．2023年國慶期間，店家決定進行降價促銷活動，則當每件售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在銷售此款紀念品實現(xiàn)平均每天4680元的利潤？24．如圖，在邊長為6的正方形中，點是線段上一點，過點作交的延長線于點，連接交于點，過點作于點，交于點，連接，．(1)求證：；(2)求證：；(3)當點是線段的三等分點時，請直接寫出的長．25．在矩形中，，．分別以，邊所在的直線為x軸，y軸建立如圖所示的平面直角坐標系．(1)如圖1，將沿對角線翻折，交于點P，求點P的坐標；(2)如圖2，已知H是上一點，且，于點，求四邊形的面積；(3)如圖3，點，點是上一點，且，是直線上的一個動點，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個點N，使以O(shè)、D、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案與解析

1．C【分析】本題考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定；運用矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定可求解．【詳解】解：A、有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形不一定是平行四邊形（如梯形），故該選項錯誤；B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故該選項錯誤；C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項正確；D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項錯誤；故選：C．2．B【分析】本題考查了三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．找到從正面看得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．【詳解】解：一個圓柱和一個正方體按如圖所示放置，則其主視圖左邊是一個矩形，右邊是一個正方形．故選：B．3．D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)．先配方根據(jù)偶次方的非負性可得，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得．【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象位于第一、三象限；在每一象限內(nèi)，隨的增大而減小，∵，∴，即，故選：D．4．D【分析】此題考查了一元二次方程的根的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．將代入求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，∴，∴，故選：D．5．B【分析】本題考查了利用頻率估計概率．在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)出未知數(shù)列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)袋中有黑球x個，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是方程的解；則，布袋中黑球的個數(shù)可能有20個．故選：B．6．B【分析】由∠1＝∠A+∠C，∠1＝∠A+∠ANM，易證得MN∥BC，然后由平行線分線段成比例定理，即可求得答案，注意排除法的應(yīng)用．【詳解】∵∠1＝∠A+∠C，∠1＝∠A+∠ANM，∴∠ANM＝∠C，∴MN∥BC，∴，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理與平行線的判定．此題難度不大，解題的關(guān)鍵是注意比例線段的對應(yīng)關(guān)系．7．B【分析】本題考查的是位似變換的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點C的坐標，根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵點，，∴，∵為等腰直角三角形，∴點C的坐標為，∵與位似，位似比為2：1，∴點坐標為，即點坐標為，故選：B．8．D【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，取的中點H，連接，則是的中位線，可得，再證明得到，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，取的中點H，連接，∵是的中線，即點D是的中點，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選D．

9．A【分析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，直角三角形的性質(zhì)，設(shè)點為，求出，根據(jù)點和點關(guān)于原點對稱得到，，由直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，得到關(guān)于方程，解方程即可求解，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．【詳解】解：設(shè)點，則,∵，∴，∵點和點關(guān)于原點對稱，∴，，∴，∵的面積為，∴，∴，整理得，，解得，（不符合題意，舍去），∴，∴，故選：．10．A【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．根據(jù)矩形的性質(zhì)和等邊三角形的判定得出是等邊三角形，進而判斷①正確；根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)判斷②正確；證明是等邊三角形，根據(jù)菱形的判定定理可判斷③正確；設(shè)，分別求得和，即可判斷④正確．【詳解】解：∵矩形的對角線相交于點O，∴，∵將沿翻折，點C恰好與點O重合，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，故①正確；∵是等邊三角形，，∴，∴，故②正確；∵，∴，，∴，，∴是等邊三角形，∴垂直平分，∵，∴四邊形是菱形，故③正確；∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，，∴，故④正確；綜上，①②③④都是正確的，故選：A11．##【分析】本題考查比例的性質(zhì)，先得出，再代入求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．12．##【分析】畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果，再找出小燈泡發(fā)光的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有種等可能的結(jié)果，其中小燈泡發(fā)光的結(jié)果有種，∴小燈泡發(fā)光的概率，故答案為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．13．且【分析】此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義．根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式大于0，即可求出m的范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，且，解得：且．故答案為：且．14．【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到S△OCE=S△OBD=k，根據(jù)OA的中點C，利用△OCE∽△OAB得到面積比為1：4，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接OD，過C作CE∥AB，交x軸于E，∵∠ABO＝90°，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過OA的中點C，∴S△COE＝S△BOD＝，S△ACD＝S△OCD＝2，∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴，∴4S△OCE＝S△OAB，∴4×k＝2+2+k，∴k＝，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．15．【分析】連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，證明，可得，由條件可得，根據(jù)，即可得出的最小值．【詳解】解：連接，將線段繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵正方形中，，O是邊的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴線段OF長的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，以及三角形三條邊的關(guān)系．解題的關(guān)鍵是掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．16．(1)，；(2)，．【分析】本題考查了一元二次方程的解法．（1）根據(jù)配方法可以解答此方程；（2）利用求根公式來解方程．【詳解】（1）解：，移項得，配方得，即，∴，∴，；（2）解：，，，，，∴，∴，．17．(1)C級人數(shù)為12人，補全條形統(tǒng)計圖見解析；(2)(3)【分析】本題考查了統(tǒng)計和隨機抽樣的概率．根據(jù)題意求出總?cè)藬?shù)、正確畫出樹狀圖并按照公式求解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)A在頻數(shù)統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)除以扇形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)可求得總?cè)藬?shù)，再求出C級人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；（2）用乘以C的總?cè)藬?shù)所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，求出所有可能和符合條件數(shù)，根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1）解：總?cè)藬?shù)為：（人）；C級人數(shù)為：（人），補全條形統(tǒng)計圖如圖：；（2）解：C級所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：；（3）解：畫樹狀圖如下：從四人中隨機抽取兩名同學共有種可能，恰好抽到的2名學生來自不同年級的有10種可能，恰好抽到的2名學生來自不同年級的概率為：．18．(1)見解析；點經(jīng)過的路徑長為(2)作圖見解析；的坐標為或【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出點A、B、C的對應(yīng)點、、的位置，即可得到，然后求出，再利用弧長公式即可求出點經(jīng)過的路徑長；（2）直接利用位似圖形的性質(zhì)作出，即可得出的坐標．【詳解】（1）解：為所求作的三角形，如圖所示：由勾股定理得：，則點經(jīng)過的路徑長為：；（2）解：如圖，當在點A的上方時，即為所求，此時的坐標為：．如圖，當在點A的下方時，即為所求，此時的坐標為：．【點睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、位似變換、勾股定理以及弧長公式的應(yīng)用，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識．（1）由題意可知，又，從而證明結(jié)論；（2）過A作于G，則是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的長，從而解決問題．【詳解】（1）∵，∴，∴，又∵，∴；（2）過A作于G，由（1）知，，∴，在中，由勾股定理得：，∴∴，∴．20．(1)見解析(2)．【分析】（1）由于知道了垂直平分，因此只要證出四邊形是平行四邊形即可得出是菱形的結(jié)論．（2）利用菱形的面積公式求得的長，根據(jù)勾股定理得出的長，證明，進而利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：是對角線的垂直平分線，，，∵，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（2）解：∵，菱形的面積等于，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴．【點睛】本題主要考查了菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)并靈活運用．21．(1)(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，在實際問題中抽象出相似三角形模型是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)光在鏡面反射中的反射角等于入射角，得到，利用相似三角形的判定證明，，再利用三角形相似性質(zhì)列出比例式，得到方程，即可求出答案；（2）由可證，然后利用三角形相似的性質(zhì)列出比例式，得到方程，即可求出答案．【詳解】（1）光在鏡面反射中的反射角等于入射角，，，，，即，解得：，答：的長為；（2）由題意可得：，，，，解得：，答：點到地面的高度的長為．22．（1）一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)的表達式為；（2）（3，0）或（-5，0）【分析】（1）將點A坐標代入中求得m，即可得反比例函數(shù)的表達式，據(jù)此可得點B坐標，再根據(jù)A、B兩點坐標可得一次函數(shù)表達式；（2）設(shè)點P(x，0)，由題意解得PC的長，進而可得點P坐標．【詳解】（1）將點A（1,2）坐標代入中得：m=1×2=2，∴反比例函數(shù)的表達式為，將點B(n，-1)代入中得：，∴n=﹣2，∴B(-2，-1)，將點A（1，2）、B（-2，-1）代入中得：解得：，∴一次函數(shù)的表達式為；（2）設(shè)點P（x，0），∵直線交軸于點，∴由0=x+1得：x=﹣1，即C（-1，0），∴PC=∣x+1∣，∵的面積是，∴∴解得：，∴滿足條件的點P坐標為（3，0）或（-5，0）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會用坐標表示線段長是解答的關(guān)鍵．23．(1)該景區(qū)2021至2023年國慶長假期間接待游客人次的年平均增長率為；(2)當每件售價定為元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在銷售此款紀念品實現(xiàn)平均每天4680元的利潤額．【分析】本題考查一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用．（1）設(shè)年平均增長率為，由題意得關(guān)于的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可；（2）設(shè)每件售價定為元，由題意得關(guān)于的一元二次方程，解方程并根據(jù)問題的實際意義作出取舍即可．【詳解】（1）解：設(shè)年平均增長率為，由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：該景區(qū)2021至2023年國慶長假期間接待游客人次的年平均增長率為；（2）解：設(shè)當每件售價定為元時，店家在銷售此款紀念品實現(xiàn)平均每天4680元的利潤額，由題意得：，整理得：，解得：，，∵讓顧客獲得最大優(yōu)惠，∴．答：當每件售價定為元時，既能讓顧客獲得最大優(yōu)惠，又可讓店家在銷售此款紀念品實現(xiàn)平均每天4680元的利潤額．24．(1)見解析(2)見解析(3)或3【分析】（1）證明是等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，即可得證；（2）先證明和是等腰直角三角形，可