大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)課件

大學(xué)物理

大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)Chap17

(fundamentofquantunmechanics)

量子力學(xué)基礎(chǔ)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)本章要點德布羅意假設(shè)，電子衍射實驗，波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，不確定度關(guān)系；薛定諤方程，*力學(xué)量算符的概念；一維勢箱，隧道效應(yīng)；*原子的振動，*分子的轉(zhuǎn)動；電子的軌道角動量，電子的自旋，氫原子定態(tài)；多電子原子；*關(guān)于量子力學(xué)的爭論。

大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-1德布羅意物質(zhì)波假設(shè)

法國物理學(xué)家德布羅意仔細分析了光的波動說和粒子說的發(fā)展過程，他看到：整個世紀以來，人們對光的本性的認識，注重了它的波動性,而忽視了它的粒子性。而在實物粒子的研究上,我們是否犯了相反錯誤：即只考慮了實物粒子的粒子性,而忽略了它的波動性呢？

1924年，德布羅意提出了一個大膽而具有深遠意義的的假設(shè)：

一切實物粒子也具有波粒二象性。實物粒子—靜質(zhì)量不為零的粒子。一.實物粒子的波粒二象性大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

能量為E、動量為p的粒子與頻率為v、波長為

的波相聯(lián)系，并遵從以下關(guān)系：E=mc2=hv(17-1)(17-2)

這種和實物粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波(物質(zhì)波或概率波),其波長

稱為德布羅意波長。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)二.經(jīng)典波動與德布羅意波(物質(zhì)波)的區(qū)別

經(jīng)典的波動(如機械波、電磁波等)是可以測出的、實際存在于空間的一種波動。而德布羅意波(物質(zhì)波)是一種概率波。簡單的說，是為了描述微觀粒子的波動性而引入的一種方法。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-2德布羅意波的實驗驗證戴維遜-革末單晶電子衍射實驗約恩孫的單縫電子衍射實驗繆仁希太特-杜開爾雙縫電子干涉實驗xxs2s1po圖17-1Ldr2r1...電子束K=0K=1K=1K=2K=2大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-1

(1)電子動能Ek=100eV；(2)子彈動量p=6.63×106kg.m.s-1,求德布羅意波長。

解

(1)因電子動能較小，速度較小，可用非相對論公式求解。=1.23?(2)子彈:h=6.63×10-34=1.0×10-40m

可見，只有微觀粒子的波動性較顯著；而宏觀粒子(如子彈)的波動性根本測不出來。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-2

用5×104V的電壓加速電子，求電子的速度、質(zhì)量和德布羅意波長。

解因加速電壓大，應(yīng)考慮相對論效應(yīng)。

=1.24×108(m/s)=10×10-31(kg)=0.0535?mo=9.11×10-31(kg)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-3

為使電子波長為1?，需多大的加速電壓？

解因電子波長較長，速度較小，可用非相對論公式求解。m=9.11×10-31h=6.63×10-34=150V大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-4不確定關(guān)系

波和粒子是兩個截然不同的概念。既然微觀粒子具有明顯的波粒二象性,那么采用經(jīng)典力學(xué)的方法描述微觀粒子,就將受到限制。

px=0,py=p縫后,由于衍射,落在中央明紋范圍內(nèi)的電子動量的不確定范圍為

0≤px≤psin

先考慮中央明紋。電子衍射前，yx圖17-2

...單能電子束大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)對第一級衍射暗紋，有

xsin

=,其中x—縫寬于是就得xpx=h

若計及更高級次的衍射,應(yīng)有xpx

h

對y和z分量,也有類似的關(guān)系。即電子在x方向上動量的不確定量為

px=psin

yx圖17-2

...單能電子束大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

xpx

h

(17-3)還可寫為

實際上上述公式只用于數(shù)量級的估計,所以這些公式所反映的物理內(nèi)涵是相同的。式(17-3)[(17-4),(17-5)]稱為不確定關(guān)系，又稱測不準關(guān)系。(17-4)(17-5)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)xpx

h

(17-3)1.不確定關(guān)系式(17-3)表明：微觀粒子的坐標測得愈準確(x0)

，動量就愈不準確(

px

)

；微觀粒子的動量測得愈準確(

px0)

，坐標就愈不準確(x

)

。但這里要注意，不確定關(guān)系不是說微觀粒子的坐標測不準；也不是說微觀粒子的動量測不準；更不是說微觀粒子的坐標和動量都測不準；而是說微觀粒子的坐標和動量不能同時測準。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

這是因為微觀粒子的坐標和動量本來就不同時具有確定量。這本質(zhì)上是微觀粒子具有波粒二象性的必然反映。由上討論可知，不確定關(guān)系是自然界的一條客觀規(guī)律,不是測量技術(shù)和主觀能力的問題。4.不確定關(guān)系提供了一個判據(jù)：當不確定關(guān)系施加的限制可以忽略時，則可以用經(jīng)典理論來研究粒子的運動。當不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略時，那只能用量子力學(xué)理論來處理問題。為什么微觀粒子的坐標和動量不能同時測準?大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-4

估算氫原子中電子速度的不確定量。

解電子被束縛在原子球內(nèi),坐標的不確定量是

x=10-10m(原子的大小),按不確定關(guān)系:xpx

h,則電子速度的不確定量為

電子速度的不確定量是如此之大！可見,微觀粒子的速度和坐標不能同時準確測定。這也表明，不確定關(guān)系施加的限制不允許我們用經(jīng)典理論來研究氫原子的問題，像氫原子這樣的微觀粒子只能用量子力學(xué)理論來處理。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-5

子彈質(zhì)量m=0.1kg,速度測量的不確定量是

x=10-6m/s(應(yīng)當說這個測量夠精確的了！)，求子彈坐標的不確定量。

解按不確定關(guān)系:xpx

h,則子彈坐標的不確定量為

可見,子彈的速度和坐標能同時準確測定。這表示，不確定關(guān)系施加的限制可以忽略，像子彈這樣的宏觀物體可以用經(jīng)典理論來研究它的運動。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-6

波長

=5000?的光沿x軸正方向傳播，波長的不確定量為

=10-3?，求光子坐標的不確定量。

解

光子的動量

按不確定關(guān)系:xpx

h,

則光子坐標的不確定量為大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-7

用不確定關(guān)系估算氫原子的最小能量。

解

電子在氫原子內(nèi)運動時,

x=r最小的動量:大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)E有極小值的必要條件是=0求得大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-3波函數(shù)一.波函數(shù)對微觀粒子，由于不確定關(guān)系施加的限制不可以忽略，它的速度和坐標不能同時確定，因此微觀粒子的運動狀態(tài),不能用坐標、速度、加速度等物理量來描述。由于微觀粒子具有波粒二象性，這就要求在描述微觀粒子的運動時，要有創(chuàng)新的概念和思想來統(tǒng)一波和粒子這樣兩個在經(jīng)典物理中截然不同的物理圖像。波函數(shù)就是作為量子力學(xué)基本假設(shè)之一引入的一個新的概念。量子力學(xué)認為：微觀粒子的運動狀態(tài)可用一個復(fù)函數(shù)

(x,y,z,t)來描述，函數(shù)

(x,y,z,t)

—稱為波函數(shù)。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)二.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

波動觀點粒子觀點明紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2大,電子出現(xiàn)的概率大;暗紋處:電子波強

(x,y,z,t)

2小,電子出現(xiàn)的概率小?？梢?，波函數(shù)模的平方

(x,y,z,t)

2與粒子在該處附近出現(xiàn)的概率成正比。xxs2s1po圖17-3Ldr2r1...電子束K=0K=1K=1K=2K=2大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：

波函數(shù)模的平方

(x,y,z,t)

2

表示粒子在t時刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率，即概率密度。

而

(x,y,z,t)

2dxdydz

上式一般稱為波函數(shù)

的歸一化條件。波函數(shù)都應(yīng)當是歸一化的。(17-6)

玻恩對波函數(shù)的這種統(tǒng)計解釋，把微觀粒子的波粒二象性作出了完美的描述。1.因為在整個空間內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率是1,所以有

表示粒子在t時刻在(x,y,z)處的體積元dxdydz中出現(xiàn)的概率。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)2.波函數(shù)的標準條件

由于一定時刻在空間給定點粒子出現(xiàn)的概率是唯一的,并且應(yīng)該是有限的(具體說應(yīng)該小于1),在空間不同點處,概率分布應(yīng)該是連續(xù)的,不能逐點躍變或在任何點處發(fā)生突變。

因此，波函數(shù)

的標準條件應(yīng)該是：單值、有限、連續(xù)。應(yīng)當指出，物質(zhì)波與經(jīng)典物理中的波動是不同。對機械波,y表示位移;對電磁波,y表示電場E或磁場B，波強與振幅A的平方成正比。在量子力學(xué)中,物質(zhì)波不代表任何實在的物理量的波動,波的振幅的平方

(x,y,z,t)

2表示粒子在t時刻在(x,y,z)處的單位體積中出現(xiàn)的概率。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

在量子力學(xué)中微觀粒子的運動狀態(tài)是用波函數(shù)

(x,y,z,t)來描述的。

但描述微觀粒子運動狀態(tài)的波函數(shù)

(x,y,z,t)又到那里去尋找呢？答案是：求解薛定諤方程。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-5薛定諤方程一.自由粒子的波函數(shù)和薛定諤方程根據(jù)德布羅意關(guān)系式,能量為E和動量為p的自由粒子與一單色平面波相聯(lián)系,波長和頻率為

=h/p,v=E/h

由波動理論可知,頻率為v、波長為

、沿x方向傳播的單色平面波的波動方程為寫為復(fù)數(shù)形式就是這就是自由粒子的波函數(shù)。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)粒子在空間某處出現(xiàn)的概率密度為

由此可見,概率密度不隨時間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),簡稱定態(tài)。下面研究自由粒子的波函數(shù)滿足什么方程。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)自由粒子勢能為零，在非相對論情況下有在以上式子中消去p,E，就得大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)二.定態(tài)薛定諤方程若粒子在某勢場V中運動,則粒子的總能量應(yīng)為大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)設(shè)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)于是就得這是薛定諤方程的一般形式?！绽顾惴茴D算符于是薛定諤方程的一般形式可寫為(17-7)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)若勢能V不顯含時間t,則得并注意到將上式兩端除以=E大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)其解另一方程:(17-8)上式稱為定態(tài)薛定諤方程。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)概率密度：

概率密度不隨時間而改變,是一種穩(wěn)定狀態(tài),即為定態(tài)。波函數(shù)：(17-8)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-6一維無限深方勢阱

設(shè)質(zhì)量為m的粒子,只能在0<x<L的區(qū)域內(nèi)自由運動,粒子在這種外力場中的勢能函數(shù)為

0在阱外,粒子出現(xiàn)的概率為零,故(x)=oxL圖17-4

V(x)o大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)在阱內(nèi),定態(tài)薛定諤方程為令有

它的通解是：

(x)=Csin(kx+)式中C，是由邊界條件決定的常數(shù)。xL圖17-4

V(x)o

0大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)(x)=Csin(kx+)

由于Ψ(x)在x=0處必須連續(xù),所以有

Ψ(0)=Csin=0,=0故波函數(shù)：

(x)=Csinkx

又由于Ψ(x)在x=L處也必須連續(xù),所以又有

Ψ(L)=CsinkL=0故kL=n

于是(n=1,2,……)(n=0,(x)=0;而n為負數(shù)與正數(shù)表達同樣的概率,所以n=1,2,…...)xL圖17-4

V(x)o大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)1.能量是量子化的。(n=1,2,……)于是(n=1,2,……)(17-9)

可見，粒子的能量只能取不連續(xù)的值，這叫做能量量子化。整數(shù)n叫做量子數(shù)。當n=1是粒子的基態(tài)能級。這表明,阱內(nèi)不可能有靜止的粒子,這與經(jīng)典理論所得結(jié)果是不同的。因為根據(jù)經(jīng)典理論,粒子的最低能量可以為零。E1又稱為零點能。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)2.粒子在勢阱內(nèi)的概率分布形成駐波波函數(shù)：

(x)=Csinkx，由歸一化條件得于是歸一化波函數(shù)為(17-10)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

根據(jù)經(jīng)典的概念,在勢阱內(nèi)各處,粒子出現(xiàn)的概率是相同的。

量子力學(xué)給出粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點的概率密度為(n=1,2,……)E1E2E3ox圖17-5L

這一概率密度是隨x改變的,粒子在有的地方出現(xiàn)概率大,在有的地方出現(xiàn)的概率小,而且概率分布還和量子數(shù)n有關(guān)。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)例題17-8

設(shè)質(zhì)量m的微觀粒子在寬度為L的一維無限深方勢阱中運動，其波函數(shù)為求：(1)粒子的能量和動量；(2)概率密度最大的位置。解(1)量子數(shù)n=3,粒子的能量:又大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)(2)概率密度最大的位置。粒子出現(xiàn)在勢阱內(nèi)各點的概率密度為有極大值的充要條件是解得E1E2E3ox圖17-5L大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)*§17-7一維勢壘隧道效應(yīng)設(shè)電子在勢場中沿x方向運動,其勢能函數(shù)為Vo,0,令有VoVox圖17-6

a大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)在區(qū)和

區(qū),Vo,0,VoVox圖17-6

a在電子能量E<Vo的情況下,

區(qū):

1,3(x)=Csin(kx+)可見,電子在三個區(qū)域都有出現(xiàn)的概率。就是說，沿x方向運動的電子可以從左向右自由穿過勢壘。這種E<Vo的電子穿過勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)VoVox圖17-6

a

隧道效應(yīng)已經(jīng)為實驗證實，并獲得許多實際應(yīng)用。如半導(dǎo)體隧道二極管；現(xiàn)代杰作：1986年獲諾貝爾物理獎的掃描隧道顯微鏡等。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-8電子自旋1921年，斯特恩(O.Stern)和蓋拉赫(W.Gerlach)實驗證明，電子除了繞核運動外,還有自旋。應(yīng)當指出，電子的自旋是一種量子力學(xué)效應(yīng)，不是機械的自轉(zhuǎn)。用量子力學(xué)理論可以證明，電子自旋角動量為(17-15)

自旋角動量在任意方向(例如z軸正向)的分量Sz滿足下面的量子化條件：(17-16)自旋磁量子數(shù):大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)z0

大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-9量子力學(xué)對氫原子的描述

設(shè)原子核不動，電子是在原子核的庫侖場中運動,其勢能為(與時間無關(guān))

波函數(shù)

應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)波函數(shù)

應(yīng)滿足的條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化。

由于V(r)呈球?qū)ΨQ,顯然取球坐標較方便。取原子核為坐標原點，其定態(tài)薛定諤方程為大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

Ψ(r,

,

)是球坐標中的波函數(shù),可以分離變量：

Ψ(r,

,

)=R(r)

(

)Φ(

)

(17-11)

在E<0(束縛態(tài))的情況下求解上述方程，可得如下結(jié)論：一.能量量子化為使波函數(shù)滿足標準條件，電子(或說是整個原子)的能量只能是(主量子數(shù):n=1,2,……)

(17-12)這和玻爾理論的結(jié)果一致。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)二.角動量量子化為使波函數(shù)滿足標準條件，電子的角動量為

副量子數(shù)(角量子數(shù)):

l=0,1,2,…(n-1)三.角動量的空間量子化

為使波函數(shù)滿足標準條件，電子角動量在任意方向(例如z軸正向)的分量Lz滿足下面的量子化條件:(17-13)(17-14)磁量子數(shù):ml=0,±1,±2,…±l

由上分析可知，不僅電子角動量的大小是量子化的,而且它在空間的方向也有一定的限制，即它在任意方向(例如z軸正向)的分量,也只能取一系列分立的數(shù)值,這稱為空間量子化。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

例如：l=1,l=2,圖17-7zL0z0

大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)四.電子的概率分布電子云解定態(tài)薛定諤方程，可得氫原子的波函數(shù)：Ψnl(r,

,

)=Rnl(r)

l(

)Φ(

)

電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度:Ψnl(r,

,

)

2

可見，氫原子中的電子是按一定的概率分布在原子核的周圍,這和玻爾理論中電子是在一定軌道上運動完全不同。這種電子在核外空間出現(xiàn)的概率密度,人們往往形象化地稱之為“電子云”。例如：對1S態(tài)的電子，其概率密度為(玻爾半徑)大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

由于p1s是r

的連續(xù)函數(shù)，可見電子在核外(從r=0到r=∞)每點都有一定的概率，只是概率大小不同而已。這和玻爾的軌道運動概念完全不同。而玻爾半徑只是概率最大的位置。aorp1s圖17-8大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)(1)主量子數(shù)：n=1,2,3,…。它大體上決定了原子中電子的能量。(2)角量子數(shù)：l=0,1,2,…,(n-1)。它決定電子繞核運動的角動量的大小。

一般說來,處于同一主量子數(shù)n,而不同角量子數(shù)l的狀態(tài)中的各個電子,其能量稍有不同。小結(jié)：氫原子的運動狀態(tài)有四個量子數(shù)確定。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)

它決定電子自旋角動量的z分量Sz的量子化,也影響原子在外磁場中的能量。(4)自旋磁量子數(shù)：。(3)磁量子數(shù)：ml=0,±1,±2,…,±l。它決定電子角動量z分量Lz的量子化，即空間量子化。(5)波函數(shù)確定電子在核外的概率分布。Ψnl(r,

,

)=Rnl(r)

l(

)Φ(

)

大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)§17-10多電子原子

除了氫原子以及類氫離子以外,其他元素的原子核外都有兩個或兩個以上的電子。要從解薛定諤方程求出描寫電子運動的波函數(shù)和能級是非常復(fù)雜和困難的。在量子力學(xué)中常采用近似的計算方法?？梢宰C明,原子核外電子的運動狀態(tài)仍由四個量子數(shù)來確定。

原子的殼層結(jié)構(gòu)：

1916年柯塞爾(W.Kossel)對多電子原子系統(tǒng)提出了殼層結(jié)構(gòu)學(xué)說：主量子數(shù)n相同的電子分布在同一殼層上。

n=1,2,3,4，5,6……

K,L,M,N,O,P…...大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)l=0,1,2,3,4...…

s,p,d,f,g……如：n=3,l=0,1,2…分別稱為3s態(tài),3p態(tài),3d態(tài)…

主量子數(shù)n愈小其相應(yīng)的能級愈低。在同一殼層中,角量子數(shù)l愈小,其相應(yīng)的能級愈低。多電子原子系統(tǒng)中,核外電子在不同的殼層上的分布還要遵從下面兩條基本原理：1.泡利不相容原理一個原子系統(tǒng)內(nèi)，不能有兩個或兩個以上電子具有完全相同的量子態(tài)(n,l,ml,ms)。利用泡利不相容原理可以計算各個殼層中可能占有的最多電子數(shù)。

主量子數(shù)n相同而角量子數(shù)l不同的電子分布在不同的分殼層或支殼層上。大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)對給定的一個n,l=0,1,2,…,(n-1),共n個值；ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個值；共2個值;(2l+1)2=2n2所以各殼層能容納的最多電子數(shù)為

n=1,2,3,4，5,……KLMNO……最多電子數(shù)：28183250…...量子態(tài)數(shù)為大學(xué)物理-量子力學(xué)基礎(chǔ)對給定的一個l的分殼層,ml=0,±1,±2,…,±l，共(2l+1)個值；共2個值;量子態(tài)數(shù)為2(2l+1)所以各分殼層能容納的最多電子數(shù)為

l=0,1,2,3,4……