立體幾何壓軸小題含答案

一、選擇題

1.如圖，已知正方體ABC。-A8C的棱長為4,點E，尸分別是線段4?，

D

1111

C。上的動點，點P是上底面A3C。內(nèi)一動點，且滿足點P到點尸的距離等

111111

于點尸到平面ABBA的距離，則當點尸運動時，PE的最小值是（）

11

A.5B.4c.D.2,/5

【答案】D

【解析】

試題分析：因為點P是上底面ABCO內(nèi)一動點，且點P到點F的距離等于

1111

點P到平面ABBA的距離，所以，點尸在連接A，BC中點的連線上.為使

111111

當點P運動時，PE最小，須PE所在平面平行于平面A4O。，

11

PE=卜+令=2平，選D

考點：1.平行關(guān)系；2.垂直關(guān)系；3.幾何體的特征.

2如圖在一個二面角的棱上有兩個點A,8,線段AC,8。分別在這個二面

角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱A8，AB=4cm,AC=6cm,BD=3cm,CD=2^V7cm9

則這個二面角的度數(shù)為（）

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)所求二面角的大小為e,貝!）<￡）&>9，因為。=D8+8A+AC，

所以CD2=（DB+BA+AC）2=DB2+BA1+AC2+2DB-BA+2DB-AC+2BA-AC

而依^2DB-BA^O^BA-_AC^.______

所以|CD|2=|DB|2+|BAh+|AC\i-2BD-AC114x17=4?鈕2拉—2x8x6cos0

所以cosa=-L而。且（）,兀］以巴6竺，故選B.

考點：1.二面角的平面角；2.空間向量在解決空間角中的應(yīng)用.

3已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：加）

可得這

個幾何體的體積是（）

48

A.產(chǎn)B.3OT73C.3cm3D.4訓

【答案】B.

【解析】

試題分析：分析題意可知，該幾何體為一四棱錐，???體積

V=%/z=-x22x2=-

?33

3

考點：空間幾何體的體積計算.

4如圖，渥正方體ABC。-ABC對角線AC上一動點，設(shè)AP的長度為x，

D

11111

若APB。的面積為/（x），則/（x）的圖象大致是（）

【答案】A

【解析】

試題分析：設(shè)AC與BD交于點0,連接0P.易證得8。上面ACCA,從而可得

II

3OJ_OP.設(shè)正方體邊長為1,在心AACC中cos/C4。=巫="?在AA0P中

?1~

OA金,設(shè)AP=X,(OW喬)，由余弦定理可得

2

之戶1,所以二室一1.所以

OP2=X2+[Tjx'~x~=x2~~x+l0P=V~X+2

/(x)=^x^.teA.

2V62

考點：1線面垂直，線線垂直;2函數(shù)圖象.

5如圖所示，正方體ABCD-ABC。的棱長為1,￡尸分別是棱M,CC的

中點，過直線民尸的平面分別與棱DD,交于M,N,設(shè)fiW=x,》注0,1],

給出以下四個命題：

(1)平面MEN/，平面8DQE；

1

(2)當且僅當X=3時，四邊形MEN尸的面積最小；

(3)四邊形MEN/周長L=/(x),xe[O,l]是單調(diào)函數(shù)；

(4)四棱錐C-ME7VE的體積V=〃(x)為常函數(shù)；

以上命題中假命廖的序號為()

A.(1)(4)B.(2)C.(3)D.(3)(4)

【答案】C

【解析】

試題分析：(1)由于防//AC，AC1BD,AC1則AC，平面BBDD，則

EFl.平面BBDD，又因為EFu平面EMFN，則平面MEN77J?平面B￡>￡>⑹；(2)

由于四邊形MEN/為菱形，S=LEF,MN,EF=j2,要使四邊形MENF的

MENF2

1

面積最小，只需MN最小，則當且僅當一？時，四邊形MENF的面積最??；

ri,i

MF=I(2-X)2+1f(x)=4-2)2+1

(3)因為\2,\2/(x)在［0,1］上不是單調(diào)函

lcfE-1=2

數(shù)⑷Li=7……\CM￡=24,尸到平面CME的距離

v=：.］=，s=：.C'E-1=：V=1,1=1./jW=L

為1,F-CME§4也，又ACW萬4,F-CNE4~12,否為

常函數(shù).

故選(3)

考點：1.面面垂直的判定定理；2.建立函數(shù)模型.

6已知三棱柱ABC-AB的側(cè)棱與底面邊長都相等，A在底面ABC上的射

C

1-1

影為BC的中點，則異面直線AB與CC所成的角的余弦值為()

1

(A)?(B)叵(C)叵(D)2

4444

【答案】D.

【解析】

試題分析：連接A8；A4〃CC，，NAAB是異面直線43與CC所成的角或

11111

其補角；在qZV1D4中，設(shè)A4=1,則4)=理,4。=1；在陽△四中，A52=1;

11212112

1+1-1

在AABA中，COSZAAB=____三=?.；即面直線AB與CC所成的角的余弦值

112x1x141

為生

4

考點：異面直線所成的角.

7.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩

個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為

側(cè)視圖

俯視

A.B.12nC.4舟D.3n

【答案】D

【解析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體為四棱錐，側(cè)棱垂直底面，底面是正

方形，將此四棱錐還原為正方體，則正方體的體對角線即外接球的直徑，

2r=y/S，；.r=、3,因此S=4兀/'2=3兀，故答案為D.

2表面積

考點：由三視圖求外接球的表面積.

8曾圖，棱長為1的正方體ABCD-ABC中，P為線段AB上的動點，

11111

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.DC1DP

11

B.平面。APJ.平面AAP

111

C.ZAPD的最大值為90

1-

D.AP+P,的最小值為,2+傕

【答案】C

【解析】

^§分析：'.■ADVDC^AB1DC?ADC\AB^A：.DC_L平面ABC。，DPu

1111111111111

平面ABCD

因此OC_LOP，A正確；由于1M?!?平面AABB，DAu平面。AP，故平

1111111111

面。AP_L平面AAP

111

故B正確，當0<“〈此時，4P。為鈍角，C錯；將面A4B與面ABCO沿

121111

AB展成平面圖形，線段AO即為AP+P。的最小值，利用余弦定理解

111

二后，故D正確，故答案為C.

考點：棱柱的結(jié)構(gòu)特征.

9下列命題中，錯誤的是（）

A.一條直線與兩個平行平面中的一個相交，則必與另一個平面相交

B.平行于同一平面的兩條直線不一定平行

C.如果平面a不垂直于平面p,那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面

P

D.若直線/不平行于平面a,則在平面a內(nèi)不存在與/平行的直線

【答案】B

【解析】

試題分析：由直線與平面的位置關(guān)系右知A正確;平行于同一個平面的兩

條直線可以相交、平行或異面，故B錯，所以選B.

考點:直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì).

0已知如圖所示的正方體ABCD-ABCD,點P、Q分別在棱BB、

11111

DD上，且叫=也，過點A、P、Q作截面截去該正方體的含點A的部

1BB]DD11

分，則下列圖形中不可能是截去后剩下幾何體的主視圖的是（)

【答案】A

【解析】

試題分析：當P、B重合時，主視圖為選項B；當P到B點的距離比B

11

近時，主視圖為選項C；當P到B點的距離比B遠時，主視圖為選項D,

1

因此答案為A.

考點：組合體的三視圖

1一個幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為

（）

AdB.V3C.HD.Vn

21644

【答案】C

【解析】

試題分析：由三視圖可知：該幾何體是一個如圖所示的三棱錐P-ABC,它

是一個正四棱錐P-ABCD的一半，其中底面是一個兩直角邊都為6的直角

三角形，高PE=4.

設(shè)其外接球的球心為O,。點必在高線PE上，外接球半徑為R,

則在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2,

即R2=（4-R）2+（3點）2,解得：R=1Z,故選C.

4

考點：三視圖，球與多面體的切接問題，空間想象能力

2如右圖，在長方體中，A8=11，AD=7,AA=12,一質(zhì)

11111

點從頂點A射向點E（4312）,遇長方體的面反射（反射服從光的反射原理），

將I次到第，次反射點之間的線段記為L0=2,3,4），L=AE，將線段

i1

豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是（）

1234

【答案】C

【解析】

試題分析：

因為3>2_，所以AE延長交0c于?過F作FM垂直DC于例.在矩形A4FM中

4111I11

分析反射情況：由于AM=咤>1。，第二次反射點為E在線段.上，此時

51

EM=3第三次反射點為E在線段FM上，此時*歷=4，第四次反射點為E在

13223

線段A尸上，由圖可知，選C.

1

考點：空間想象能力

13.一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加

工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】試題分析：由圖可得該幾何體為三棱柱，因為正視圖，側(cè)視圖，俯視

圖的內(nèi)切圓半徑最小的是正視圖（直角三角形）所對應(yīng)的內(nèi)切圓，所以最大球

的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑,，

則8-r+6-r=\JQ2+62nr=2，故達B.

考點：三視圖內(nèi)切圓球三棱柱

14已知二面角a-/-P為60。，ABua,ABLbA為垂足，a>up，Cel，

NACQ=135。，則異面直線AB與CO所成角的余弦值為

A.1B.顯C.褥D.1

4442

【答案】B.

【解析】

試題分析：如圖作BE'p于E，連結(jié)AE，過A作AG〃C。，作E㈤于G，

連結(jié)8G，貝!J3_G.A設(shè)GAB^2a.在AABE中，

NBAQ=EO°,NAE9=B0°,A=8在：aRt^AElGa中，

??

NG9A=QE°-C4ZG,="。襦Rt^BG電=,0Ac

2

AG端0叵異面直線與所成角的余弦值為方，故選

COZBAG=—=------=^—：.,57

AB2a4ABCD

4

B.

考點：1.三垂線定理及其逆定理；2.空間角（異面直線所成角）的計算.

15.在空間直角坐標系。邙中，已知A（2,0,03（2,2,。），（0,2?0）/（1.，若2）

S,S,S分別是三棱錐。-ABC在xOy,yOz,zQx坐標平面上的正投影圖形的面

123

積，則（）

A.s=s=sB.s=S且SHS

1232123

C.s=S且SwSD.s=s且sws

31323231

【答案】D

【解析】

試題分析：三棱錐。-ABC在平面my上的投影為AABC，所以S「2，

設(shè)D在平面yoz、zox平面上的投影分別為D、D，則。-A3C在平，面yoz、

21

zox上的投影分別為\OCD、AOAD，因為。（0,1,/），。（1QJ2），所以

2112

S-S=J2，

21

故選D.

考點：三棱錐的性質(zhì)，空間中的投影，難度中等.

6正方形A8CQ的邊長為2,點、E、F分別在邊A8、8c上，且AE=1，BF=L，

2

將此正

方形沿DE、OF折起，使點A、c重合于點P，則三棱錐尸―OEF的體積是

()

A.1B."C.2GD.正

3693

【答案】B

【解析】

試題分析：解：S^JZDPE=ZDPF=90,^DP1PE,DP1,PF

又因為PEu平面PEF,PFu平面PE/7,且PE「PF=P,所以O(shè)P_L平面PEF

在APEF中，PE=1,PF=#F=JEB2+BF2=,。=手

「甘L?(_

所以cosNEPRuI2J_,sjnZEPF=[.(2)2=小

一雙R一一3rU丁

2

所以S=[PE-PF.sinNEPF=)xlx：x直=叵

APEF22234

所以應(yīng)選B.

考點：1、直線與平面垂直的判定；2、正弦定理與余弦定理；3、棱錐的

體積.

高為的阿棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，點S,A,B,C,

D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點S之間的距

離為()

A?/10B.V2W3C.3D.M

222

【答案】A

【解析】

試題分析：由題意可知ABCD是小圓，對角線長在，四棱錐的高猊，

推出高就是四棱錐的一條側(cè)棱，最長的側(cè)棱就是球的直徑，然后利用勾股定

理求出底面ABCD的中心與頂點S之間的距離.

解：由題意可知ABCD是小圓，對角線長為，四棱錐的高為，點S,

A,B,C,D均在半徑為1的同一球面上，球的直徑為2,所以四棱錐的

一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點，最長的側(cè)棱就是直徑，所以底面ABCD的

中心與頂點S之間的距離為：J（二）2十（1）2邛

故選A

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查球的內(nèi)接多面體的知識，能夠正確推出四棱錐

的一條側(cè)棱垂直底面的一個頂點，最長的側(cè)棱就是直徑是本題的關(guān)鍵，考

查邏輯推理能力，計算能力.

8二面角a-/-B為60。，A、B是棱/上的兩點，AC、BD分別在半平面

a,P內(nèi)，AC1/?BDLI，且AB=AC=a，BD=2a，則CD的長為（）

A.2aB.小aC.aD.

【答案】A

【解析】

試題分析：根據(jù)異面直線上兩點間的距離公式"=J7+/+巷cos丁，

對于本題中，d=a，m=a，n=2，9=60*?故

C2（2122a-2-aeoa?s60=Q2

考點：異面直線上兩點間距離，空間想象能力.

9長方體的表面積是24,所有棱長的和是24,則對角線的長是（）.

A.而B.4C.3忘D.2萬

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)出長方體的長、寬、高，表示出長方體的全面積，十二條棱

長度之和，然后可得對角線的長度.

考點：長方體的結(jié)構(gòu)特征，面積和棱長的關(guān)系.

0已知棱長為1的正方體ABC。-ABC。中，E,F,M分別是AB、AD、

1111

AA的中點，又P、Q分別在線段AB.AD上，且AP=AQ=x,0<x<l，設(shè)面MEF口面

1111111

MPQ=/,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.///面ABCD

B./1AC

C.面MEF與面MPQ不垂直

D.當x變化時，/不是定直線

【答案】D

【解析】

試題分析：解：連結(jié)AC,BO，交于點OAC,8。交于點O

II11IIIII

由正方體的性質(zhì)知，BD//BD,AC//AC,AC1BD,AC1BD

III1IIII

因為Ej是的中點，所以所//8。

因為AP=AQ,所以PQ//BO

II11

所以PQ//EF，所以PQ//平面MEF,￡7?//平面神0,

由MEFp|面MPQ=/,EFu平面ME/，所以耳7//，而Efu平面ABC。,/《平

面ABCD,

所以，///面ABCD,所以選項A正確；

由ACJ_3。，EF//BD得EFLAC而EF/〃，所以/，AC,所以選項B正確;

連則OM//AC,而ACLAB,ACJ.BO,BD//EF,AB//MF

111111111

所以，，所以O(shè)MJ,平面MEF，過直線/與平面ME/7垂直

111

的平面只能有一個，所以面MEF與面MPQ不垂直，所以選項C是正確的；

因為EF/〃，M是定點，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，

所以直線/是唯一的，故選項D不正確.

考點：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線，直線與平面，平面與平

面的平行與垂直的判定及性質(zhì).

2如圖，等邊三角形ABC的中線與中位線OE相交于G，已知ATM是

△ADE繞OE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是（）

A.動點4在平面ABC上的射影在線段AP上

B恒有平面平面BCDE

C.三棱錐4-￡/切的體積有最大值

D.異面直線4七與80不可能垂直

【答案】D

【解析】

試題分析：由于A，GJ_OE,FGJ_OE.所以。E_L平面AFG.經(jīng)過點人作平面

ABC的垂線垂足在AF上.所以A選項正確.由A可知B選項正確.當

平面AOE垂直于平面BCDE時，三睜A一石尸。的體積最大，所以C正確.因

為BDEF,設(shè)A6=2a所以EF=A'E=a,當A'F=&時,

JTa<A'?G（F'生G匹GF）a

T.所以異面直線4E與BD可能垂直.所以D

選項不正確.

考點：1.線面位置關(guān)系.2.面面的位置關(guān)系.3.體積公式.4.異面直

線所成的角.5.空間想象力.

2已知棱長為1的正方體ABCO-ABCQ中，E,F,M分別是AB、AD、

1111

AA的中點，又P、Q分別在線段A8、AD上，且AP=AQ=x,0<x<l?設(shè)面MEF門面

I1111II

MPQ=/,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.///面ABCD

B./1AC

C.面MEF與面MPQ不垂直

D.當x變化時，/不是定直線

【答案】D

【解析】

試題分析：解：連結(jié)AC,BD,ACAC,B。交于點。AC,80交于點O

IIIIIIIJI

由正方體的性質(zhì)知，BD//BD,AC/1AC,AC1BD,AC1BD

III1IIII

因為瓦F是AD,AB的中點，所以瓦7/8。

因為AP=AQ,所以PQ//B。

1111

所以PQ//EF,所以PQ//平面MEF,EF〃平面MPQ,

由MEFp|面MPQ=2,EFu平面MEQ所以EF/〃，而Efu平面ABC。,/《平

面ABCD,

所以，///面ABCD,所以選項A正確；

由ACJ_5Q，EF//BD得EF上AC而EF〃l，所以/，AC,所以選項B正確;

連則OM//AC,而BD//EF,AB//MF

111111111

所以，/，所以O(shè)MJ,平面MEE，過直線/與平面MEF垂直

111

的平面只能有一個，所以面MEF與面MPQ不垂直，所以選項C是正確的；

因為所///，M是定點，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，

所以直線/是唯一的，故選項D不正確.

考點：1、直線平面的位置關(guān)系；2、直線與直線，直線與平面，平面與平

面的平行與垂直的判定及性質(zhì).

2把四個半徑都是1的球中的三個放在桌面上，使它兩兩外切，然后在

它們上面放上第四個球，使它與前三個都相切，求第四個球的最高點與桌

面的距離（）

A.1246

2—

ly/6

C.

D.3

【答案】A

【解析】由題意，四球心組成棱長為2的正四面體的四個頂點,

則正四面體的高方=j=（2.走了=也?

而第四個球的最高點到第四個球的球心距離為求的半徑1,且三個球心到

桌面的距離都為1,故第四個球的最高點與桌面的距離為11#,選A.

3

24.如圖所示，四邊形ABCD為正方形，QA_L平面ABCD,PD〃QA,

QA=AB=PD.則棱錐Q—ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值是

()

A.2:1

B.1:1

C.1:2

D.1:3

【答案】C

【解析】設(shè)AB=a.由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q-

ABCD的體積V=1.

1—a2

2

易證PQL面DCQ,而PQyADCQ的面積為由a：，

2

所以棱錐P-DCQ的體積V=1”故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-

23a

DCQ的體積的比值為1:1,選C.

25.正四面體ABCD,線段AB〃平面a,E,F分別是線段AD和BC的

中點，當正四面體繞以AB為軸旋轉(zhuǎn)時，則線段AB與EF在平面a上的射

影所成角余弦值的范圍是()

A.[0,V2]B.[V2,1]C.[，，1]D.[],V2]

22222

【答案】B

【解析】

試題分析:

如圖，取AC中點為G,結(jié)合已知得GF//AB,則線段AB、EF在平面a上

的射影所成角等于GF與EF在平面a上的射影所成角，在正四面體中，

AB±CD,又GE//CD,所以GE,GF,所以GE2+GQ,當四面體繞AB

轉(zhuǎn)動時，因為GF〃平面a,GE與GF的垂直性保持不變，顯然，當CD

與平面a垂直時，GE在平面上的射影長最短為0,此時EF在平面a上的

射影E尸的長取得最小值L,當CD與平面a平行時，GE在平面上的射影

112

長最長為1，E尸取得最大值也，所以射影EF長的取值范圍是

2??2??22

而GF在平面a上的射影長為定值1,所以AB與EF在平面a上的射影所

2

成角余弦值的范圍是[在，1].故選B

2

考點：1線面平行；2線面垂直。

26.已知正方體ABC。-ABC。中，線段上（不包括端點）各有

11111111

一點P,Q,且BP=3Q,下列說法中，不正確的是（）

11

A、C、P、Q四點共面

A直線PQ與平面3CCB所成的角為定值

II

C7<ZPAC<1

32

D.設(shè)二面角P-AC-3的大小為0,則tan。的最小值為石

【答案】D

【解析】試題分析：如下圖：：PG//AC//AC，/-AC、P、Q四點共面，

I1

故A正確；直線PQ與平面BCC8所成的角為NPQ8=:為定值，故B正

??14

_7171

確；：P在上移動，貝!)/44。</尸4。</84。，而NA4C=_,N3AC=_，

111115?5

：.^<ZPAC<^_,故C正確；二面角P-40-臺的平面角即為面「。。與

32

面A8C所成的夾角，P從8移動到A(不在A,3處)，二面角在增大，但

1111

無最大值和最小值，故D不正確，則選D.

考點：1.線面平行；2.線面角；2.二面角的平面角.

27.如圖，正方體ABC。-ABCO的棱長為W，以頂點A為球心，2為半

1111

徑作一個球，則圖中球面與正方體的表面相交所得到的兩段弧長之和等于

()

A±B.tC.nD.巴

【答案】A

【解析】

試題分析：由題得，圓弧GR在以B為圓心，半徑為BG的圓上，而圓弧科

在以A為圓心，半徑為AE=2的圓上.故GF==2兀.BG=1-2K-JAG^-AB2=-,

442

由于cosNAAE="=^nNAAE=30o，故NEAF=3Oo,貝UFF=30。乙1，2=兀，

'AET?360<>I

所以GF+"=上故選A.

6

考點：圓弧長度的計算球

28.將正方形ABC￡)沿對角線的折成直二面角A-BQ-C，有如下四個結(jié)論:

?ACJ-BD；@AACD是等邊三角形;③AB與平面BCD所成的角為60°；

④AB與CO所成的角為60。.其中錯.誤的結(jié)論是

A.①B.②C.③D.@

【答案】B

【解析】

試題分析:如圖，

①取AC中點E,連接DE,BE,

AD=DC,AB=BC,：.DE1AC,BE1AC,DEcBE=EAC1面DEB,

故AC，BO，①正確：②顯然，AC=/AD=2^C，△/￡￡）不是等邊三角形,

④取CD的中點H,取BC中點F,連接EH,FH,則EH=FH=E

F,\EFH是等邊三角形，故AB與CD所成的角為60。③由④知AB與平

面所成的角為60°

考點：直線與平面垂直的判定，兩條異面直線所成的角，直線與平面所成

的角

29.如圖，用一邊長為"的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角

形，做成一個蛋巢，將表面積為4加的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形

狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為

【答案】D

【解析】

試題分析：蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得

的截面圓的直徑為1.雞蛋的表面積為若4n,所以球的半徑為L所以球心

到截面的距離為￡1=仁.而截面到底面的距離即為三角形的高1,所

V422

以球心到底面的距離為八+L

22

考點：空間幾何體及其基本計算.

30.設(shè)OABC是四面體,G是ZkABC的重心,G是OG上一點，且OG=3GG,

111

若茄=x^+y熊+zM,則(x,y,z)為()

(A)(一)(B)(_)

。(一)(D)(一)

【答案】A

【解析】。&=八+五

=HA+-Xl4R+4C)

=晟尊(茄晶)+G-加

胃(右+最+而

由OG=3G#知，晶胃0&=：(OA+OR+OC),

，(x,y,z)=H).

A44

31.如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點，這四個點不共面

的一個圖是()

【答案】D

【解析】在A圖中分別連接PS,QR,易證PS〃QR,

.,.P,S,R,Q共面.

在B圖中過P,Q,R,S可作一正六邊形,如圖,故P,Q,R,S四點共面.

在C圖中分別連接PQ,RS,

易證PQ〃RS,...P,Q,R,S共面.

D圖中PS與RQ為異面直線,

.?.P,Q,R,S四點不共面，故選D.

32.設(shè)0—ABC是正三棱錐，G是AABC的重心，G是0G上的一點，且

11

0G=3GG?若0G=xOA+yOB+zOC，則（x,y,z）為（）

11rB.-p學r.mD.'222、

A.—J------J—，一，一

444；（444；1333；(333)

【答案】A

【解析】

試題分析：由G是0G上一點，且。G=3GG,可得

11

O1

又因為G是AABC的重心，所以AG=-L.（AB+AC）］

1132

而OG-xOA+yOB+zOC，所以x=1,y=Lz=1，所以（x,Kz）=（1,，l）,選

4-4-4一444—

考點：1.空間向量的加減法；2.空間向量的基本定理.

33.正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形，則它的體積為

()

A.：pB.4褥

C173D.4褥或部

【答案】D

【解析】分側(cè)面矩形長、寬分別為6和4或4和6兩種情況.

鎮(zhèn)如圖，在平行六面體ABCD-ABCD中，底面是邊長為1的正方形,

1111

若NA|AB=NA〔AD=60。，且A1A=3,則AQ的長為（）

A.而B,2點C.舊D.而

【答案】A

【解析】

試題分析：法一：因為而\用丁+廂*+配=虻＜+9+加)，

111

所以=A7?+A62+AS2+2A^?^5+2^*^7)+2^rHt＞，

1111

即TTC2=9+1+1+2x1xcos120°+2x1x1xcos120°+2x1x1xcos90°=5?故AC=6。

11

法二：先求線A4和面ABCD所稱的角為45，AC=屈，在U中，

1"1

AQ=A4+AC-2AAAX3S45=9+2—2x也■盤工新以4。=腎故A

111?21

正確。

考點：1線面角；2余弦定理；3向量在立體幾何中的應(yīng)用。

35棱長為2的正方體ABC。-A8CO的內(nèi)切球的表面積為（）

1111***

A.竺B.16兀C.4KD.竺1

33

【答案】C

【解析】

試題分析：設(shè)球的半徑為『，則由題意，得2「=2，即「=1，??.內(nèi)切球的表

面積為4兀，故選C.

考點：球的表面積.

35正三棱柱48。一44。［的棱長都為2,E,F,G為AB,441，4c1的

中點，則耳/與平面GE/所成角的正弦值為（）.

A.2B.￡C.隨D.還

561010

【答案】A

【解析】如圖，取4B的中點E,建立如圖所示空間直角坐標系E-xyz.

則反0,0,0),網(wǎng)一1,0,1),4(1,0,2),A(-1,0,2),,(0，,，2),《-；,￡，2；

?<-BF=(—2,Q,—1),EF=(-1,0,1),

1B2J

.?—"nEF~=_x+z=0,

設(shè)平面GEF的一個法向量為〃=(%,y,z),由|1方得

nFG=_x+—y+z=0,

L22-

*z=x—*

y=-y/3x

令x=1,則〃=(1,一褥，1),設(shè)專廠與平面GEF所成角為仇則

.八]/.\nBFlQ

sin0=cos〈%BFK)=-I=

1中5

R如圖，在五四棱fi_1B1C1D1中，A4=2,4B=8C=1,動點P,

ABCD-A1

。分別在線段JQ,4c上，則線段PQ長度的最小值是（）.

A.&B.照C.2D.4

3333

【答案】C

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,

則A(1,0,0),3(1,1,0),C(0,1,0),C/0,1,2),設(shè)點P的坐標為(0,九24，2

￡[0,1],點。的坐標為(1—〃，//,0),//e[0,1],

PQ=^(1—)Ll)2+(X—|1)2+4A,2=&92+512—2九|1—2(1+1

=5（X-2H）2+5（M-^）2+1,當且僅當丸=1，時，線段PQ的長度取

V559999

得最小值￡.

3

38如圖，在三棱柱ABC-ABC^中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長為2

的等邊三角形，側(cè)棱長為3,則8耳與平面zqq所成的角為（）.

A.：B.}C/D.3

石42

【答案】A

【解析】記點B到平面A8C的距離為d,88與平面ABC所成角為仇

11111

連接8C,利用等體積法，Y='，即1x內(nèi)x1x2x3=ldxlx2x2

14881ClB-ABA013^232

q,得d=3,貝！Jsin0="=1，所以。=上

32~BB26

1

39如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC/BC，CA=CC=2CB,

1111

則直線Bq與直線入可夾角的余弦值為（）.

A.押B.祁C.26D月

5355

【答案】A

【解析】設(shè)CA=2,則C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,0,1),C(0,2,0),B(0,2,1),

可得，8=(—2,2,1),BC=(0,2,一1),由向量的夾角公式得COS〈48,BC)

1111

一0+4-1—L—戶

^/4+4+1X70T4TT押5

4）如圖所示，在正三棱柱ABC—ABC中，A8=1.若二面角C—A8—C

1111

的大小為60。，則點C到平面C/8的距離為（）.

A.BJC,昱D.1

422

【答案】A

【解析】取A8中點D,連接CD,CD,則NCOC是二面角C-AB-C

111

的平面角.

因為A3=1,所以CD=/，

2

所以在RtADCC中，CC=C￡Han60。=4*內(nèi)=3,CD=CD

112V21cosZCDC

1

褥.

設(shè)點C到平面CAB的距離為h,

1

由VC-CAB=VC-ABC,得〔x1x1xx1x1xx/3x3,

11323222

解得。=三.故選A

4

41.在正四棱錐P-ABCD中，Pg,直線PA與平面ABCD所成角為60。,

E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角為（）

A.90，B.60.C.45，D.30

【答案】C

【解析】

試題分析：連接AC,BD交于點O，連接OE,OPo因為E為PC中點，所以O(shè)E

〃PA，所以N0E8即為異面直線PA與BE所成的角。因為四棱錐P-ABCD為

正四棱錐，所以PO_L面ABC。，所以A。為PA在面ABCQ內(nèi)的射影，所以NPAO

即為PA與面ABCO所成的角，即NPAO=60,因為PA=2，所以。4=08=1,

A

OE=1o所以在直角三角形EOB中NOEB=45，即面直線PA與BE所成的角為

45。

考點：1異面直線所成角；2線面角；3線面垂直。

2長方體A3CD-44J?中，AB=A41=2,AD=1,E為CJ的中點,

則異面直線BCy與AE所成角的余弦值為().

A.同B.而C.2底D.訴

10101010

【答案】B

【解析】建立坐標系如圖所示.

則A(1,0,0),及0,2,1),5(1,2,0),￡(0,2,2),華=(T,0,2),AE=(T,2,1).

COS(Be，AE)—AE?BC,—y/30.----_.

1|AE|-|fiC|10

所以舁而直裝BC,與才后所成角的余弦值為病.

110

43若P是平面a外一點，A為平面a內(nèi)一點，〃為平面a的一個法向量,

則點P到平面a的距離是一

A.刖B.Mc.HD.H

[I質(zhì)FI網(wǎng)M

【答豪ic一

【解析】

慳.彳

試題分析：設(shè)抬與〃的夾角為。，則點P到平面a的距離為依卜°‘。=色|,

故C正確.一一一

考點：空間向量、向量的運算.

44.棱長均為3三棱錐S-ABC，若空間一點尸滿足SP^xSA+ySB+zSC~^

（x+y+z=1）則網(wǎng)的最小值為（）

A、押B、而C、MD、

36

1

【答案