江蘇省南通市天星湖2021-2022學(xué)年高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知Z，b，2是平面內(nèi)三個(gè)單位向量，若則|￡+2@+|3￡+%—4的最小值（）

A.V29B.729-372C.719-273D.5

2.設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線，貝IJ“（而+/）_!_萌”是荏恁卜（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

3.某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120。，并在扇形弧上正面等距安裝7個(gè)發(fā)彩色光的小燈泡且在

背面用導(dǎo)線相連（弧的兩端各一個(gè)，導(dǎo)線接頭忽略不計(jì)），已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長(zhǎng)度

為（）

A.58厘米B.63厘米C.69厘米D.76厘米

4.已知等差數(shù)列{可}的前"項(xiàng)和為S“，且4=-3,品=24,若［+勺=0且貝h的取

值集合是（）

A.{1,2,3}B.{6,7,8}C.{1,2,3,4,5}D.{6,7,8,9,10}

5.已知/是函數(shù)/（x）=lnx圖象上的一點(diǎn)，過M作圓工2+、2-2y=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則必.礪

的最小值為（）

A.2V2-3B.-1C.0D.---3

2

6.已知拋物線C：y2=2px（p>。），直線丁=斤卜；一^}%>0）與。分別相交于點(diǎn)4,M與C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,

^\AM\^\MN\,貝必=（）

A.3B.C.2yl2D.-

33

7.已知函數(shù)/（x）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R的奇函數(shù)，且g（x）=/（x—l）,則“2019）的值為（）

A.2B.0C.-2D.±2

22

8.已知雙曲線C:\-g=l(a>0,6>0),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，月、鳥為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)G在C的漸近線上，F(xiàn)2GVOG,

且后|OG|=|G￡|,則該雙曲線的漸近線方程為()

A.y=+——xB.y=+xC.y=±xD.)=±也x

22

9.若“X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且/(x+2)=-/(x),則

A./(X)的值域?yàn)镽B.“X)為周期函數(shù)，且6為其一個(gè)周期

C.7(》)的圖像關(guān)于x=2對(duì)稱D.函數(shù)/(X)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)

10.在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊分別為a/,c,若依次成等差數(shù)列，貝！|()

tanAtanBtanc

A.a,4c依次成等差數(shù)列B.揚(yáng)，無依次成等差數(shù)列

C.依次成等差數(shù)列D./力3,。3依次成等差數(shù)列

11.已知雙曲線C：十專一Ka>。/>0)的焦點(diǎn)為入，且c上點(diǎn)p滿足西?電>0,冏1=3,|%|=4,

則雙曲線C的離心率為

A.B.75C.-D.5

22

12.設(shè)函數(shù)g(x)=,+(1-五)x-a(aeR,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，定義在R上的函數(shù)/(x)滿足f(-x)+/(x)=x2,

且當(dāng)xWO時(shí)，f\x)<x.若存在/e(x|/(x)+gN/(l—x)+x1,且不為函數(shù)y=g(x)-x的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

。的取值范圍為()

]廠廠1

A.B.(&,+oo)C.We,+℃)D.--,+℃>

I2)L27

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y>0

13.設(shè)實(shí)數(shù)X,y滿足〈龍一y+220,則z=2x—y的最大值是.

5x-y-6W0

14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為.

15.某次足球比賽中，A,B,C,。四支球隊(duì)進(jìn)入了半決賽.半決賽中，A對(duì)陣C,3對(duì)陣。，獲勝的兩隊(duì)進(jìn)入決

賽爭(zhēng)奪冠軍，失利的兩隊(duì)爭(zhēng)奪季軍.已知他們之間相互獲勝的概率如下表所示.

ABCD

A獲勝概率—0.40.30.8

8獲勝概率0.6—0.70.5

C獲勝概率0.70.3—0.3

。獲勝概率0.20.50.7—

則A隊(duì)獲得冠軍的概率為.

16.學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)同一類的A，B,C,。四件參賽作品，只評(píng)一件一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同

學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：

甲說：“C或。作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說：“3作品獲得一等獎(jiǎng)”；

丙說：“A,。兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)“；丁說：“C作品獲得一等獎(jiǎng)”.

若這四位同學(xué)中有且只有兩位說的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=?一ln(x+1)(.>0),且曲線>=/(x)在x=l處的切線方程為y=

(1)求的極值點(diǎn)與極值.

(2)當(dāng)左2(，xe[0,+oo)時(shí)，證明：f(x)<kx2.

18.(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S”是對(duì)與，的等差中項(xiàng).

an

(1)證明：閡｝為等差數(shù)列，并求s“；

(2)設(shè)么=^——數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為7.,求滿足[N5的最小正整數(shù)〃的值.

19.(12分)如圖1,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，ZaM>=60。，E為的中點(diǎn)，以3E為折痕將ABCE折起

到APBE的位置，使得平面平面ABCO,如圖2.

(1)證明：平面446,平面PBE；

(2)求點(diǎn)O到平面Q鉆的距離.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=；加(％2eR).

(1)若m=1,求證：f(x)10.

(2)討論函數(shù)/(?的極值；

(3)是否存在實(shí)數(shù)加，使得不等式/.(x)〉］--1在(L”)上恒成立？若存在，求出心的最小值；若不存在，請(qǐng)

xe

說明理由.

21.(12分)設(shè)數(shù)陣其中4、42、%、%e{l,2,…,6}.設(shè)5={01,02L,,，}={1,2,i,6},

其中4<02<…<4,IGN*且/W6.定義變換外為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有攵或一女，則將這一行中每個(gè)數(shù)都

乘以一1；若其中沒有攵且沒有-左，則這一行中所有數(shù)均保持不變"(上=4、02、…、,)./(4)表示“將4經(jīng)

過氣變換得到4,再將4經(jīng)過。.變換得到4、…，以此類推，最后將4T經(jīng)過外變換得到4"，記數(shù)陣4中四個(gè)

數(shù)的和為1(4).

<12)

(D若4寫出4經(jīng)過。2變換后得到的數(shù)陣A；

(13、

(2)若4=(36)'S={1,3},求7；.(4)的值；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：1(4)的所有可能取值的和不超過T.

22.(10分)已知AABC中，內(nèi)角4,民。所對(duì)邊分別是其中a=2,c=6.

(1)若角A為銳角，且sinC=y±，求sinB的值；

3

(2)設(shè)/(C)=esinCeosC+3cos2。，求/(C)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

由于，J,且為單位向量，所以可令％=(LO),B=(O,l),再設(shè)出單位向量c的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入根+2[+忸+2區(qū)

中，利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)c=(x,y),a=(1,0),I=(0,1),則/+丁=],從而

卜+2c|+pa+2b-c卜^(2x+l)-+(2y)-+^(JC-3)-+(>?-2)-

=,卜2+丫2)+彳2+y2+4x+]+J(x-30+(y-2)2

2222

=J(x+2y+y2+^(x-3)+(jy-2)>V5+2=a,等號(hào)可取到.

故選：A

【點(diǎn)睛】

此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題.

2.C

【解析】

利用向量垂直的表示、向量數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

由于點(diǎn)A,B,。不共線，貝II

(AB+AC)±BC^(A6+AC)-BC=0<=>(AB+AC)-(AC-Afi)=AC2-Afi2=0=/2=病

網(wǎng)=國(guó)”;

故"(麗+恁)_1股”是“|同=|碼，，的充分必要條件.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

由于實(shí)際問題中扇形弧長(zhǎng)較小，可將導(dǎo)線的長(zhǎng)視為扇形弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)榛￠L(zhǎng)比較短的情況下分成6等分，

所以每部分的弦長(zhǎng)和弧長(zhǎng)相差很小，可以用弧長(zhǎng)近似代替弦長(zhǎng)，

故導(dǎo)線長(zhǎng)度約為彳X30=20〃=63(厘米).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，屬于容易題.

4.C

【解析】

首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足q+%=。的，?的取值集合.

【詳解】

設(shè)公差為d,由題知%=-3=>q+3d=-3,

S12=24=>124+2里1=24,

解得%=-9,d=2,

所以數(shù)列為-9,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,11,-,

故i"1,2,3,4,5}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓，可知卜若設(shè)=貝!而用=|礪卜,所以

MA-MB=\MA^cos2^=2sin2^+—4--3,而要求宓.礪的最小值，只要sinG取得最大值，若設(shè)圓

sure

f+y2—2y=0的圓心為C,貝心也夕二點(diǎn)，所以只要|MC|取得最小值，若設(shè)A/(x,lnx),則

\MC\2=x2+(\nx-l)2,然后構(gòu)造函數(shù)g(x)=f+(lnx-l)2,利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.

【詳解】

記圓X2+y2一2),=o的圓心為0,設(shè)NAMC=8,則附囿=|叫=V1,sin9=尚，設(shè)

M(x,lnx),|MC\2=X2+(lnx-l)2,ifig(x)=x2+(lnx-l)2,則

[2

g'(x)=2x+2(lnx-l)?—=—(x2+lnx-l),令/7(幻=/+lnx-l,

xx

因?yàn)椤ā?=/+111%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，且/1)=0,所以當(dāng)0<》<1時(shí)，/2(x)</z(l)=0,g<x)<0；當(dāng)》>1

時(shí)，/7(X)>/l)=0,g'(X)>0,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,物)上單調(diào)遞增，所以g(X)min=g(D=2,即

受，所以兩?礪■祝12cos26=2sin2e+———3>0(當(dāng)sin。=變時(shí)等號(hào)成立).

|MC|B/2,0<sin6>

2sin-02

此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值，利用了導(dǎo)數(shù)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.

6.C

【解析】

根據(jù)拋物線的定義以及三角形的中位線，斜率的定義表示即可求得答案.

【詳解】

顯然直線>=上［》一々)化>0)過拋物線的焦點(diǎn)廠［5,0

如圖，過4M作準(zhǔn)線的垂直，垂足分別為C,D,過M作AC的垂線，垂足為E

根據(jù)拋物線的定義可知MQ=MF,AC=AF,又AM=MN,所以M為AN的中點(diǎn)，所以MQ為三角形NAC的中位線,

以I

故MD=CE=EA=-AC

2

設(shè)則AF=AC=2t,所以AM=3f,在直角三角形AEM中，ME=^AM2-AE2=^9t2-t2=l4lt

.ME2ypitrr

所以k=tan2^.MAE=---=------2j2

AEt

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查求拋物線的焦點(diǎn)弦的斜率，常見于利用拋物線的定義構(gòu)建關(guān)系，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性及題設(shè)中關(guān)于g(x)與/(X-1)關(guān)系，轉(zhuǎn)換成關(guān)于/(X)的關(guān)系式，通過變形求解出/(X)的周期,

進(jìn)而算出〃2019).

【詳解】

g(%)為R上的奇函數(shù)，,g(0)=/(T)=0,g(-x)=-g(%)

=0,/(-x-l)=-/(x-l),/(-X)=-/(x-2)

而函數(shù)/(x)是R上的偶函數(shù)，???/(x)=〃-x),??./(x)=—/(x-2)

.??J(%-2)=-/(x-4),.-./(x)=/(%-4)

故/(x)為周期函數(shù)，且周期為4

,-./(2019)=/(-1)=0

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

根據(jù)巴GLOG,先確定出G8,G。的長(zhǎng)度，然后利用雙曲線定義將行|OG|=|G￡|轉(zhuǎn)化為a,4c的關(guān)系式，化簡(jiǎn)

b

后可得到2的值，即可求漸近線方程.

a

【詳解】

如圖所示：

又因?yàn)閙|OG|=|G"|,所以指口同=|次|所以卡|5可=|京2+函|,

所以6|而『=|GA+用司」所以6a2=〃+4c2+28x2cxcos(180O-NGgK),

所以6/=b2+4c2+2〃x2cx所以6=2〃,2=血,

a

所以漸近線方程為y=土夜x.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)雙曲線中的長(zhǎng)度關(guān)系求解漸近線方程，難度一般.注意雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離等于虛軸長(zhǎng)度的一半.

【解析】

運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義，周期性定義，根據(jù)表達(dá)式判斷即可.

【詳解】

/(4)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，貝(1/(一x)=-/(x),/(0)=0,

又/(x+2)=-/(x),/*+4)=-/(%+2)=/(x),

即/(X)是以4為周期的函數(shù)，f(4k)=/(0)=0(左GZ),

所以函數(shù)/(x)的零點(diǎn)有無窮多個(gè)；

因?yàn)?(x+2)=—/(x),/[(x+l)+l]=/(-x),令f=l+x,則+=—f),

即/(x+l)=/(l-x),所以/(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，

由題意無法求出/(x)的值域，

所以本題答案為D.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，主要是抽象函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.

10.C

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得2cos8=」^一，由正弦定理可得

sinAsinC

2acosB=h2f再由余弦定理可得/+c?=2/?2，從而可得結(jié)果.

【詳解】

???二二,—依次成等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

112cosAsinC+sinAcosC_sin(A+C)_sinB2cos3

---H=---,-----------------.-------=--------——---，

tanAtanCtanBsinAsinCsinAsinCsinAsinCsinB

2cosB=s"8正弦定理得射cos3=加，

sinAsinC

由余弦定理得/+02一〃=。2,a2+c2^2h2f即依次成等差數(shù)列，故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦

定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷.如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的

式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

11.D

【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出。，利用勾股定理可以求出C,最后求出離心率.

【詳解】

依題意得，2a^\PF2\-\PFt\=i,\FlF2\=^\PF2f+\PFlf=5,因此該雙曲線的離心率《=戶撲源j=5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運(yùn)算能力.

【解析】

先構(gòu)造函數(shù)7(x)=/(x)-;由題意判斷出函數(shù)T(x)的奇偶性，再對(duì)函數(shù)T(x)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可求

出結(jié)果.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)T(x)=〃x)—

因?yàn)?(r)+/(x)=x2,

所以T(x)+T(_x)=/(x)_gx2+/(_x)_g(_x)2=/(》)+/(_》)_丁=0,

所以T(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)xWO時(shí)，T'(x)=f'(x)-x<0,所以T(x)在(7,()］上單調(diào)遞減，

所以T(x)在K上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇嬖?x/(x)+g2/(l-x)+x,,

所以/(Xo)+gz/(l-％0)+40，

1112

所以7(%)+5,+/"(1_/)+5(1-X0)+/,

化簡(jiǎn)得T(毛)27(1_/)，

所以Xo〈l-Xo，即94；

■^-/t(x)=g(x)-x=er-y/ex-a^x<^,

因?yàn)閤0為函數(shù)y=g(x)-x的一個(gè)零點(diǎn)，

所以/?(%)在xKg時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)

11

因?yàn)楫?dāng)X"］時(shí),〃,(x)=e*-〃4/-五=0，

所以函數(shù)A(x)在x<g時(shí)單調(diào)遞減,

由選項(xiàng)知。>0,一亍<°<5'

所以要使〃(x)在Xwg時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，

只需使解得“2日,

所以a的取值范圍為［當(dāng),+8,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.1

【解析】

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，然后判斷求出目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求解.

【詳解】

x+y..0

作出實(shí)數(shù)X,y滿足x-y+2..o表示的平面區(qū)域，如圖所示：

5^-y-6?0

由z=2x-y可得y=2x-z,則-z表示直線z=2x-y在y軸上的截距，截距越小，z越大.

x+y=0

由u.，八可得此時(shí)Z最大為1,

5%—y—6=0

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

14.6

【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,

設(shè)圓柱底面半徑為廣，由已知有產(chǎn)+『=22,

r—>

即圓柱的底面半徑為由.

故答案為：目.

【點(diǎn)睛】

本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.

15.0.18

【解析】

根據(jù)表中信息，可得A勝C的概率；分類討論B或D進(jìn)入決賽，再計(jì)算A勝B或A勝C的概率即可求解.

【詳解】

由表中信息可知，A勝C的概率為0.3；

若B進(jìn)入決賽，B勝D的概率為0.5,則A勝B的概率為Q5x0.4=0.2；

若D進(jìn)入決賽，D勝B的概率為0.5,則A勝D的概率為0.5x0.8=04；

由相應(yīng)的概率公式知，則A獲得冠軍的概率為P=0.3x(0.5x0.4+0.5x0.8)=0.18.

故答案為：0.18

【點(diǎn)睛】

本題考查了獨(dú)立事件的概率應(yīng)用，互斥事件的概率求法，屬于基礎(chǔ)題.

16.B

【解析】

首先根據(jù)“學(xué)校藝術(shù)節(jié)對(duì)A、B、C、。四件參賽作品只評(píng)一件一等獎(jiǎng)”，故假設(shè)A、B、C、。分別為一等獎(jiǎng)，然后判

斷甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的說法的正確性，即可得出結(jié)果.

【詳解】

若A為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；

若B為一等獎(jiǎng)，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯(cuò)誤，滿足題意；

若C為一等獎(jiǎng)，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；

若D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說法均錯(cuò)誤，不滿足題意；

綜上所述，故B獲得一等獎(jiǎng).

【點(diǎn)睛】

本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時(shí)候，可以采用依次假設(shè)

A、B、C、。為一等獎(jiǎng)并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)極小值點(diǎn)為x=0,極小值為0,無極大值；(2)證明見解析

【解析】

⑴先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求。，結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點(diǎn)及極值；(2)令

g(x)=^2-f(x),問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.

【詳解】

(1)由題得函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+8).

(i+x)2T^=(i+x)2-

/'(1)=苒)，由已知得/。)=；，解得

二/(x)=%+%-ln(x+l)=x-ln(x+1),尸(司=1----=

X?14I1人I1

令/'(x)=0,得x=0

令r(x)>0,得x>(),.?./(x)在(0,+?))上單調(diào)遞增.

令/'(x)<0,得—1<X<0.?,/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減

???/(X)的極小值點(diǎn)為戶0,極小值為0,無極大值.

(2)證明：由(1)知”=1,/.=^--ln(x+l)=jc-ln(x+l),

令g(%)=小-/(X)，

即g(x)="2-x+ln(x+l)

?［21

2kx\x+-

二也出WI2k

')x+1x+lx+\

V,xe［0,+oo),〉0恒成立.

/.g(x)=Ax27+111食+1)在［0,+00)上單調(diào)遞增

又g(0)=0,；?g(力Ng(0)=0在［。,”)上恒成立

kx1-x+ln(x+1)20在［0,■+<?)上恒成立

/.kx2>x-ln(x+1),即x-ln(x+l)4發(fā)

/.f(x)<kx2

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬

于中檔題.

18.(1)見解析，S“=G(2)最小正整數(shù)〃的值為35.

【解析】

(1)由等差中項(xiàng)可知2s“=。“+—，當(dāng)〃22時(shí)，得2s“=S“-S,i+1,整理后可得S：—S,3=1,從而證

明｛S；｝為等差數(shù)列，繼而可求S“.

(2)粼=為土^=而1一冊(cè)，則可求出7；=J前1—1,令677-125,即可求出〃的取值范圍，進(jìn)而

求出最小值.

【詳解】

解析：(1)由題意可得2s“=4+工，當(dāng)”=1時(shí)，25,=?,+-,4=1,

當(dāng)“N2時(shí)，2S-1+[,整理可得S：-S,3=l,

3〃一，-1

.??{s方是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，.?.s：=s；+(〃-i)=〃，s.=4.

(2)由(1)可得/=-/="---7==Vn+1-4n,

7^,=V2-V1+V3-x/2H---1-4n-yjn-l+J〃+l-品=y/n+l-1>5>解得n>35>

...最小正整數(shù)”的值為35.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差中項(xiàng)，考查了等差數(shù)列的定義，考查了凡與S“的關(guān)系，考查了裂項(xiàng)相消求和.當(dāng)已知有明與S”的

遞推關(guān)系時(shí)，常代入?進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，一般借助數(shù)列，即后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為常

數(shù).

19.(1)證明見解析(2)立

2

【解析】

(1)由題意可證得PE_LAB,ABLBE,所以平面「跖，則平面Q4B_L平面P8E可證；

(2)解法一：利用等體積法由=可求出點(diǎn)。到平面卜鉆的距離；解法二：由條件知點(diǎn)。到平面RS的

距離等于點(diǎn)E到平面Q鉆的距離，過點(diǎn)E作依的垂線，垂足尸，證明律，平面B46,計(jì)算出EF即可.

【詳解】

解法一：(1)依題意知，因?yàn)镃ELBE,所以PE上BE.

又平面尸3￡，平面ABC。，平面P5Ec平面4BC￡)=3￡,PEu平面PBE,

所以PEL平面A3CO.

又ABi平面ABCO,

所以

由已知，ABCD是等邊三角形，且E為CD的中點(diǎn)，所以BE上CD.

因?yàn)锳B//CD,所以AB，BE.

又PEcBE=E,所以A3_L平面P3E.

又ABI平面Q46,所以平面平面P3E.

由（1）知，PE_L平面且p日=1，

所以三棱錐P—ABD的體積V=%氐1邛.

在RAPBE中,PE=1，BE=￡，得PB=2,

由（1）知，A3,平面P8E,所以AB_LPB,

所以S4ABp=2,

設(shè)點(diǎn)。到平面Q鉆的距離4,

則三棱錐E-PA5的體積V'=2x2xd=Y3,得4=立.

332

解法二：（1）同解法一；

（2）因?yàn)镈E//AB,AB\平面DEU平面Q4B,

所以DE〃平面246.

所以點(diǎn)E到平面PAB的距離等于點(diǎn)D到平面PAB的距離.

過點(diǎn)E作必的垂線，垂足尸，即石尸，PB.

由（1）知，平面B45,平面P8E,平面平面EFu平面PBE,

所以所，平面Q46,即EE為點(diǎn)。到平面Q46的距離.

由（1）知，PELBE,

在RfAPBE中,PE=\，BE=>/3.得PB=2.

又PExBE=PBxEF,所以EbG

T'

所以點(diǎn)。到平面PAB的距離為也.

2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)

到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計(jì)算即可.

20.(1)證明見解析；(2)見解析；(3)存在，1.

【解析】

(1)加=1,求出/'(X)單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出/(X)向“NO,即可證明結(jié)論；

(2)對(duì)/'(X)20(或/'(X)V0)是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點(diǎn)，若不恒成立，求出/(x)>0,/(x)<0

的解，即可求出結(jié)論；

(3)令/z(x)=,一-L，xe(l,+oo),可證必幻>0.6(1,+0。)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，m?O,/(x)在(1,+8)

為減函數(shù)，0<根<1"(幻在［1,a］上單調(diào)遞減，在(1,+<功都存在/(x)<0,不滿足/(x)>g(x),當(dāng)加之/時(shí)，

設(shè)F(x)='〃?(V-1)一Ex—'+」，且E⑴=0,只需求出F(x)在(1,”)單調(diào)遞增時(shí)〃?的取值范圍即可.

2、,xe

【詳解】

(1)6=1,/(x)=g(x2-l)-lnx(x〉0),

(無)=—_L+x=^_ll,當(dāng)xe(0,l)時(shí)，fr(x)<0,

XX

當(dāng)XG(l,+8)時(shí)，/V)>0,：.f(x)min=f(i)=o,故*x)20.

f，lXi

(2)由題知，x>0,f'(x)=--+lwc=~~

XX

,2[

①當(dāng)機(jī)40時(shí)，f\x)=mx--<o,

x

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，沒有極值;

②當(dāng)相>0時(shí)，/"(1)=絲二二1=0,得x=7=,

x7m

當(dāng)xe0,時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xe,+00時(shí)，f'(x)>0,

7

所以/(X)在［o,表)上單調(diào)遞減，在

，”上單調(diào)遞增.

故/(X)在X=去處取得極小值=+無極大值.

11〃一】一尤

(3)不妨令人(1)=--------------4,

xe'-'xe，T

設(shè)〃(x)=e，i-x,xe(l,+oo),〃'(x)=e*T-1>0在(1,+°。)恒成立，

u(x)在［l,+oo)單調(diào)遞增，.“(x)>“⑴=0,

"T一X20在(1，”)恒成立，

所以，當(dāng)xe(l,+o。)時(shí)，h(x)>0,

由(2)知，當(dāng)加<0,尤>1時(shí)，/(月在(1,”)上單調(diào)遞減,

f(x)<f(l)=O恒成立;

所以不等式小,一擊在(…)上恒成立，只能心0.

當(dāng)0<加<1時(shí)，-7=>1由(1)知/(x)在上單調(diào)遞減,

7nl

</(1)=0,不滿足題意.

當(dāng)加2/時(shí)，設(shè)一］nx-L+-^p,

因?yàn)榧覰l,x>l,所以/7ix2x,e*T>1,0<-4-<1,-1<一一<0,

321

X-X—X+I

——+x+--1

F\x)=--+mx+-^--1>9

xxexxXTX

即尸(X)>>0>

所以F(x)在(I,”)上單調(diào)遞增,

又F(l)=0,所以xw(l,+oo)時(shí)，F(xiàn)(x)>0恒成立,

即/(x)-〃(x)>0恒成立,

故存在諾，，使得不等式/⑴>丁”在上恒成立'

此時(shí)m的最小值是1.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、不等式證明，考查分類討論思想，意在考查直觀想象、邏

輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.

(—2、

21.(1)A=；(2)-5；(3)見解析.

\151

【解析】

fl2),

(D由45〉能求出4經(jīng)過先變換后得到的數(shù)陣4；

(2)由4=16)'S={1,3},求出數(shù)陣4經(jīng)過9、變化后的矩陣，進(jìn)而可求得G(4)的值；

(3)分即￥02和即=62兩種情況討論，推導(dǎo)出變換后數(shù)陣4的第一行和第二行的數(shù)字之和，由此能證明G(4)的

所有可能取值的和不超過-4.

【詳解】

fl2)