理論力學課件

1第二章平面匯交力系與平面力偶系§

2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法§

2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法§2-3平面力對點之矩的概念及計算

§2-4平面力偶理論2

匯交力系;平面匯交力系;空間匯交力系.作用在剛體上的匯交力系是共點力系.

由于匯交力系是共點力系,其合成可用幾何法和解析法.(1)幾何法:平行四邊形法;三角形法和多邊形法.§

2-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法3應(yīng)用合矢量投影定理進行匯交力系的合成.R=

FiRx=

FixRy=

Fiy匯交力系的平衡

匯交力系平衡的必要和充分條件是匯交力系的合力等于零.=0§

2-2平面匯交力系合成與平衡的解析法4(1)匯交力系平衡的幾何條件

匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是力多邊形封閉.(2)匯交力系平衡的解析條件

Fix=0

Fiy=0三力平衡定理:一剛體受不平行的三力作用而處于平衡時,此三力的作用線必共面且匯交于一點.5證明:

設(shè)有不平行的三力F1,F2和F3分別作用在一剛體的A,B和C三點而平衡.ABCF1F2F3AF1F2F3RO

根據(jù)力的可傳性將力F2F3移至其作用線的交點OR=F1+F2F1于R

必等值,反向,共線.F1+F2+F3=0F1+R=06例題2-1.畫出組合梁ACD中AC和CD部分及整體的受力圖.PADBC解:組合梁由AC和CD兩部分組成.

兩部分均為三點受力而平衡.7PADBCRDCD桿上力P的方向已知且D點的約束反力的方位可以確定,因而應(yīng)先畫CD桿的受力圖.ORC8PADBCPADBCRBRARBRA分別畫AC桿和整體的受力圖.RDRC

I9例題2-2.如圖所示的平面剛架ABCD,自重不計.在B點作用一水平力P,設(shè)P=20kN.求支座A和D的約束反力.PADBC2m4m10PADBC2m4m解:取平面鋼架ABCD為研究對象畫受力圖.RA

平面剛架ABCD三點受力，C為匯交點.RD

CPRA取匯交點C為研究對象.tg=0.5

Fix=0

P+RAcos=0RA=-22.36kN

Fiy=0RAsin+RD=0RD

=10kNRD11例題2-3.圖示為簡易起重機.桿AB的A端是球形支座.CB與DB為繩索.已知CE=ED=BE.=30o.

CBD平面與水平面的夾角

EBF=30o,且與桿AB垂直.C點與D點的連線平行于y軸.物塊G重W=10kN.不計桿AB及繩索的自重.求桿AB及繩索CB和DB所受的力.GWABCDEF

12GWABCDEF

解:取銷釘B和物塊G為研究對象.桿AB為二力桿.CB和DB為柔繩約束.畫受力圖.xySzTCTD13GWABCDEF

xySzTCTD寫出力的解析表達式.W=-10kS=Ssin30oi+Scos30okTC=-TC

sin45ocos30oi-TC

cos45oj

+TC

sin45osin30okTD=-TD

sin45ocos30oi+TD

cos45oj+TD

sin45osin30ok14寫出平衡方程求解

Fix=0Ssin30o-TC

sin45ocos30o-TD

sin45ocos30o

=0(1)

Fiy=0-TC

cos45o

+TD

cos45o

=0(2)

Fiz=0-10+Scos30o+TC

sin45osin30o+TD

sin45osin30o

=0(3)聯(lián)立(1)---(3)式得：S=8.660kNTC

=TD

=3.535kN15

取桿AB為z軸

畫受力圖.GWABCDEF

xSzTCTDyTD=TDiTC

=TCjS=S

kW=-10sin30ocos45oi-10sin30ocos45oj-10cos30ok16寫出平衡方程求解

Fix=0TD

-10sin30ocos45o

=0TD

=3.535kN

Fiy=0TC

-10sin30ocos45o=0TC

=3.535kN

Fiz=0S-10cos30o=0S=8.660kNGWABCDEF

xSzTCTDy17§2-3平面力對點之矩的概念及計算(1)力對點的矩mo(F)=r×F

mo(F)表示力F繞O點轉(zhuǎn)動的效應(yīng).O點稱為矩心.力矩矢是定位矢量.

力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向.力矩的幾何意義:mo(F)=±2

OAB面積=±Fd力矩的單位:N·m或

kN·m1819§2-4平面力偶理論(1)力偶(F,F

)力偶與力偶矩由大小相等,方向相反而不共線的兩個力組成的力系.ABFF′力偶所在的平面為力偶作用面.力偶兩力之間的垂直距離d

稱為力偶臂20

力偶沒有合力.因此力偶不能與一個力等效,也不能用一個力來平衡.力偶只能與力偶等效,也只能與力偶平衡.(2)力偶矩矢m=

rBA×F=rAB×F′ABFF′rBAdm

在平面問題中則有m=±Fd21(3)力偶兩力的矩之和定理:ABFF′rBAdm

rB

rAO證明:在空間任取一點o為矩心.mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=

rBA×F=(rB-rA)×F=rB×F+rA×F′=m

力偶中兩力對空間任一點的矩的矢量和等于該力矩矢,而與矩心的選擇無關(guān).22(4)力偶的等效條件:力偶矩矢相等.推論1:只要力偶矩矢保持不變.力偶可以從剛體的一個平面移到另一個平行的平面內(nèi),而不改變其對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).推論2:力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移,而不會改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).推論3:在保持力偶矩大小不變的條件下,可以任意改變力偶的力的大小和力臂的長短,而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).力偶矩矢是自由矢量.23(5)平面力偶系的平衡.對于平面力偶系則有:

mi=0例題2-4.不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為m1與m2的力偶作用,轉(zhuǎn)向如圖.問m1與m2的比值為多大,結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDm1m224解:取桿AB為研究對象畫受力圖.

桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束.則A處約束反力的方位可定.RC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)60o60oABCDm1m2RA25取桿CD為研究對象.因C點約束方位已定,則D點約束反力方

位亦可確定.畫受力圖.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:26第三章平面任意力系

§

3-1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化

§

3-2平面任意力系的簡化結(jié)果分析

§3-3平面任意力系的平衡條件和平衡方程

§3-4平面平衡力系的平衡方程

§3-5物體系的平衡·靜定和超靜定問題

§3-6平面簡單桁架的內(nèi)力計算

例題

返回27力線平移定理

作用于剛體上的力,可以平移到同一剛體的任一指定點,但必須同時附加一力偶,其力偶矩等于原來的力對此指定點的矩.28證明:設(shè)一力F作用于剛體的A點上,且此力到指定點O的距離為d.AodFF1F2AodFF1F2AodFmF1+F2=0F1=F2=F[F1,(F2,F)][F1,m=Fd]mo(F)=Fd=m

一個力平移的結(jié)果可得到同平面的一個力和一個力偶.反之同平面的一個力F1和一個力偶矩為m的力偶也一定能合成為一個大小和方向與力F1相同的力F其作用點到力作用線的距離為29§

3-1平面任意力系向作用面內(nèi)一點簡化平面任意力系向一點簡化的實質(zhì)是一個平面任意力系變換為平面匯交力系和平面力偶系(1)主矢和主矩A1A2AnF1F2Fn

設(shè)在剛體上作用一平面任意力系F1,F2,…Fn各力作用點分別為A1,

A2,…

An

如圖所示.o在平面上任選一點o為簡化中心.30根據(jù)力線平移定理,將各力平移到簡化中心O.原力系轉(zhuǎn)化為作用于O點的一個平面匯交力系F1',F2',…Fn'以及相應(yīng)的一個力偶矩分別為m1,m2,…mn的附加平面力偶系.其中oF1'F2'Fn'm1m2mnF1

=F1,

F2'=F2,…Fn'=Fnm1=mo(F1),m2=mo(F2),…mn=mo(Fn)31將這兩個力系分別進行合成.

一般情況下平面匯交力系F1',F2',…Fn'可合成為作用于O點的一個力,其力矢量R'稱為原力系的主矢.R'=F1'+F2'+…+Fn'=F1+F2+…+Fn

R'=

Fi

一般情況下附加平面力偶可合成一個力偶,其力偶矩Mo稱為原力系對于簡化中心O的主矩.Mo=m1+m2+...+mn

=mo(F1)+mo(F2)+...+mo(Fn)Mo

=

mo(Fi)32結(jié)論:平面任意力系向作用面內(nèi)已知點簡化,一般可以得到一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中心,其矢量稱為原力系的主矢,并等于這個力系中各力的矢量和;這個力偶的力偶矩稱為原力系對于簡化中心的主矩,并等于這個力系中各力對簡化中心的矩代數(shù)和.

力系的主矢

R'只是原力系中各力的矢量和,所以它的大小和方向與簡化中心的位置無關(guān).

力系對于簡化中心的主矩Mo

,一般與簡化中心的位置有關(guān).33§

3-2平面任意力系的簡化結(jié)果分析(a)R'

0,Mo

=0原力系簡化為一個作用于簡化中心O的合力

R',且R'=

Fi(b)R'=0,Mo

0原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且Mo

=

mo(Fi)(c)R'

0,Mo

0力系可以簡化為一個合力R,其大小和方向均與R'相同.而作用線位置與簡化中心點O的距離為:34(d)R'=0,Mo

=0原力系為平衡力系.其簡化結(jié)果與簡化中心的位置無關(guān).(3)合力矩定理

dOAR

當平面任意力系簡化為一個合力時,合力對力系所在平面內(nèi)任一點的矩,等于力系中各力對同一點的矩的代數(shù)和.mo(R)=R

OA=R'

OA=MOMO=

mo(Fi)

mo(R)=

mo(Fi)35(4)固定端支座:AXAmA既能限制物體移動又能限制物體轉(zhuǎn)動的約束.AYAABCF1F2F3例題3-1.正三角形ABC的邊長為a,受力如圖.且

F1=F2=F3=F

求此力系的主矢;對A點的主矩及此力系合力作用線的位置.36解:求力系的主矢ABC2FRx=-F1-F2cos60o-F3cos60o=-2FRy=F2sin60o-F3sin60o=0R=2F求對A點的主矩MA=aF2sin60o=0.87aFMAABC2Fd求合力作用線的位置37例題3-1.圖示力系有合力.試求合力的大小,方向及作用線到A點的距離.AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o解:求力系的主矢Rx=20cos60o+18cos30o=25.59kNRy=25+20sin60o-18sin30o=33.32kN38求力系的主矩AB1m1m1m25kN20kN18kN60o30o

R'MA

=1×25+2×20sin60o-3×18sin30o

=32.64kN·mMARd39(5)平面平行力系的簡化xyF1x1F2x2FnxnR'MOo

設(shè)在某一物體上作用有一個平面平行力系F1,F2,…Fn

取坐標原點O為簡化中心將力系簡化可得主矢R'和主矩MO,其中R'=

Fi=

YiMO=

mo(Fi)=

F

x40簡化結(jié)果的討論xyRAxo(1)R'

0,Mo

=0原力系簡化為一個作用于簡化中心

O的合力R',且R'=

Fi=

Yi(2)R'=0,Mo

0原力系簡化為一個力偶.此力偶即為原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo

,且MO=

mo(Fi)=

F

x(3)R'

0,Mo

0力系可以簡化為一個合力R

R=R'=

Fi=

Yi41平行分布的線荷載xABAabBqqx(1)定義

集中力;分布荷載;平行分布線荷載(線荷載)線荷載集度qN/m;kN/m均布線荷載非均布線荷載荷載圖42(2)均布線荷載AabBqRCl/2lABabqCl/2lR合力大小:R=

q

xi=q

xi=ql合力作用線通過中心線AB的中點C

xiq

xi43(3)按照線性規(guī)律變化的線荷載ABbqmdxCx2l/3lRqdx合力大小:合力作用點C的位置44例題3-2.求圖示按線性規(guī)律變化的線荷載的合力大小和合力作用點C的位置.ABabq1q2l45解:(1)ABabq1q2lRCdxqdx46(2)應(yīng)用疊加原理ABabq1q2lABq1lABq2-q1lABq1lR1=q1lABq2-q1lC1C22l/347

利用同向平行力的合成得:RCABlR1R2C1C2R=R1+R248§3-3平面任意力系的平衡條件和平衡方程(1)平面任意力系的平衡條件

平面任意力系平衡的必要和充分條件是:力系的主矢和力系對任一點的主矩都等于零.R'=0MO=0(2)平面任意力系的平衡方程(a)一力矩式

Xi=0

Yi=0

mo(Fi)=049(b)二力矩式投影軸x不能與矩心A和B的連線垂直.(c)三力矩式三個矩心A,B

和C不在一直線上.

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

Xi=0

mA(Fi)=0

mB(Fi)=0

mC(Fi)=050例題3-3.在水平梁AB上作用一力偶矩為m的力偶,在梁長的中點C處作用一集中力P它與水平的夾角為

,如圖所示.梁長為l且自重不計.求支座A和B的反力.l/2l/2ABCmP

51解:取水平梁AB為研究對象畫受力圖.XAYA

Xi=0XA-Pcos

=0XA=Pcos

mA(Fi)=0

Yi=0YA-Psin

+RA=0l/2l/2ABCmP

RA52例題3-4.圖示的鋼筋混凝土配水槽,底寬1m,高0.8m,壁及底厚10cm水深為50cm.求1m長度上支座的約束反力.槽的單位體積重量

(=24.5kn/m3.)0.5m0.8m1mABC53解:取水槽為研究對象畫受力圖.XAW1=24.5×1×1×0.1=2.45kNW2=24.5×1×0.7×0.1=1.715kNF=0.5×(1×9.8×0.5)×0.5×1=1.225kNW=(1×9.8)×1×0.9×0.5=4.41kN0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m54利用平衡方程求解:XA

+F=0XA=-1.225kN

Yi=0YA

-W-W1-W2=0YA=8.575kN

mA(Fi)=0mA-(0.5-0.333)F-0.45W-0.5W1-0.95W2=0mA=5.043kN.m

Xi=0XA0.5m0.8m1mABC0.5mYAmAW1W2Fd0.45mW0.45m55例題3-5.一容器連同盛裝物共重W=10kN,作用在容器上的風荷載q=1kN/m,在容器的受力平面內(nèi)有三根桿件支承.求各桿所受的力.2m2mWqABCD30o30o30o30o60o56解:桿件AD,AC和BC都是二力桿.取容器為研究對象畫受力圖QSADSACSBCQ=1×2=2kN2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m57利用平衡方程求解:2×1-10×1-SBCcos30o×2=0SBC=-6.928kN

mA(Fi)=0QSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m58

mC(Fi)=010×2-2×(1+2cos30o)+SAD

×4cos30o=0SAD=-4.196kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m59

mE(Fi)=02×(2cos30o-1)+2SAC=0SAC=-0.732kNQSADSACSBC2m2mWqABCD30o30o30o30o60oE1m60§3-4平面平行力系的平衡方程

平面平行力系平衡的必要和充分條件是:力系中所有各力的代數(shù)和等于零,以及這些力對于任一點之矩的代數(shù)和等于零.(a)一力矩式

Fi=0

mo(Fi)=0(b)二力矩式

mA(Fi)=0

mB(Fi)=061§3-5物體系的平衡·靜定和超靜定問題(1)靜定與靜不定問題

對每一種力系而言,若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目.則應(yīng)用剛體靜力學的理論,就可以求得全部未知量,這樣的問題稱為靜定問題.

若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目.則單獨應(yīng)用剛體靜力學的理論,就不能求出全部未知量,這樣的問題稱為靜不定問題.(2)物體系統(tǒng)的平衡62

物體系統(tǒng)是指由若干個物體通過適當?shù)募s束相互連接而組成的系統(tǒng).解靜定物體系統(tǒng)平衡問題的一般步驟:(a)分析系統(tǒng)由幾個物體組成.(b)按照便于求解的原則,適當選取整體或個體為研究對象進行受力分析并畫受力圖.(c)列平衡方程并解出未知量63例題3-6.三鉸拱ABC的支承及荷載情況如圖所示.已知P=20kN,均布荷載q=4kN/m.求鉸鏈支座A和B的約束反力.1m2m2m3mABCqP64解:取整體為研究對象畫受力圖.XAYAXBYB

mA(Fi)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kN

Yi=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN1m2m2m3mABCqP

Xi=04×3+XA+XB=0(1)65取BC為研究對象畫受力圖.XCYC1m3mBCPXB19.5kN

mC(Fi)=0-1×20+2×19.5+3XB=0XB

=-6.33kN(2)把(2)式代入(1)式得:XA=-5.67kN66例題3-7.組合梁ABC的支承與受力情況如圖所示.已知P=30kN,Q=20kN,

=45o.求支座A和C的約束反力.2m2m2m2m

PQABC67解:取整體為研究對象畫受力圖.

Xi=0XA-20cos45o=0XA=14.14kN

Yi=0YA-30-20sin45o+RC=0(1)2m2m2m2m

PQABCRCXAYAmA

mA(Fi)=0mA-2×30-6×20sin45o+8RC=0(2)68取BC桿為研究對象畫受力圖.2m2m

QBCXBYBRC

mB(Fi)=0-2×20sin45o+4RC=0RC

=7.07kN(3)

把(3)式分別代入(1)和(2)式得:YA=37.07kNmA=31.72kN.m69例題3-8.構(gòu)架的尺寸及所受荷載如圖所示.求鉸鏈E和F的約束反力.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500N70解:取整體為研究對象畫受力圖.2m2m2m2m2m2mABCDEFG500N500NXAYARB

Xi=0XA

+500=0XA=-500N71取AEGC桿為研究對象畫受力圖.2m2m2mACEG500N500NYAXEXGYEYG

mG(Fi)=02×500-2XE+4×500=0XE

=1500N72

取DEF桿為研究對象畫受力圖.YE'XFYF1500N

Xi=0XF-1500=0XF=1500N

mE(Fi)=02×500+2YF=0YF

=-500N

Yi=0-500-YE'+(-500)=0YE'=-1000N500N2m2mDEF73例題3-9.求圖示構(gòu)架在水平力P作用下支座A和B的約束反力.PaaaaABCDEFGH74解:取整體為研究對象.PaaaaABCDEFGH75畫整體受力圖.XAXBYB

mA(Fi)=02aYB

-2aP=0YB=P

Yi=0YA+P=0YA=-P

Xi=0XA+XB+P=0(1)PaaaaABCDEFGHYA76

取CFGHE為研

究對象畫受力圖.PCEFGHYCXCXEYE

mE(Fi)=0-2aYC-aP=0取CFG為研究對象畫受力圖.CFGXCYCYGXG

mG(Fi)=077取ACD為研究對象畫受力圖.DACXAYAXC'YC'XDYD

mD(Fi)=0(2)把(2)式代入(1)式得:78(1)基本概念桁架:由一些直桿在兩端用鉸鏈彼此連接而成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu).平面桁架:桁架中所有桿件的軸線都位于同一平面內(nèi).節(jié)點:桿件與桿件的連接點.

三根桿件用鉸鏈連接成三角形是幾何不變結(jié)構(gòu).§3-6平面簡單桁架的內(nèi)力計算79簡單桁架:在一個基本三角形結(jié)構(gòu)上依次添加桿件和節(jié)點而構(gòu)成的桁架.ABCDEABCDE

由簡單桁架聯(lián)合而成的桁架為聯(lián)合桁架.80(2)平面桁架的基本假設(shè)(a)各桿件都用光滑鉸鏈連接.(b)各桿件都是直的,其軸線位于同一平面內(nèi),且通過鉸鏈的中心.(c)荷載與支座的約束反力都作用在節(jié)點上且位于軸線的平面內(nèi).(d)各桿件的自重或略去不計,或平均分配到桿件兩端的節(jié)點上.桁架中各桿都是二力桿,桿件的內(nèi)力都是軸力.81節(jié)點法

節(jié)點法的理論基礎(chǔ)是平面匯交力系的平衡理論.在應(yīng)用節(jié)點法時,所選取節(jié)點的未知量一般不應(yīng)超過兩個.零桿:在一定荷載作用下,桁架中內(nèi)力為零的桿件.S1=0S2=01231212S1=0PS2S1=0S3S282例題3-10.判定圖示桁架中的零桿.ABCDEFGHIPP解:AB和BC是零桿.CI是零桿.EG是零桿.EH是零桿.83例題3-11.一屋頂桁架的尺寸及荷載如圖所示,試用節(jié)點法求每根桿件的內(nèi)力.5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m84解:取整體為研究對象畫受力圖.RARH去掉零桿BC和FG5kN5kN10kN10kN10kNAHBCDEFG4×4=16m2×3=6m85

mA(Fi)=0-10×(4+8+12)-5×16+16RH

=0RH=20kNRA=20kN取節(jié)點A為研究對象畫受力圖.5kNA20kNSACSAB

sin

=0.6cos

=0.8

Yi=020-5+0.6SAC=0SAC=-25kN

Xi=0(-25)×0.8+SAB=0SAB=20kN取節(jié)點B為研究對象畫受力圖.

Xi=0SBA-20=0SBA=20kN20kNSBAB86聯(lián)立(1)(2)兩式得:SCD=-22kNSCE=-3kN10kND-22kN-22kNSDE

Yi=0根據(jù)對稱性得:SDG=-22kNSGE=-3kNSGH=-25kN0.8[-(-22)-(-22)]-10-SDE=0SDE=25.2kN10kNCSCD-25kNSCE

取節(jié)點C為研究對象畫受力圖.

Xi=00.8×[SCD+SCE-(-25)]=0(1)

Yi=00.6×[SCD-SCE-(-25)]-10=0(2)取節(jié)點D為研究對象畫受力圖.87截面法

截面法的理論基礎(chǔ)是平面任意力系的平衡理論.在應(yīng)用截面法時,適當選取截面截取桁架的一部分為研究對象.所選斷的桿件的數(shù)目一般不應(yīng)超過三根.

截面法的關(guān)鍵在于怎樣選取適當?shù)慕孛?而截面的形狀并無任何限制.88例題3-12.圖示為某鐵路橋中的一跨,設(shè)機車的一段進入橋梁時,橋梁所受的荷載是P=300kN,Q=800kN,Q1=550kN.試用截面法求桿件DF,DG和EG的內(nèi)力.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7m89解:取整體為研究對象畫受力圖.

mH(Fi)=0RA-55RA+(49.5+44+38.5+33+27.5)P+22Q1+(16.5+11+5.5)Q=0RA

=1750kNPPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRH90取m—m截面把桁架分為兩部分.PPPPPQ1QQQABCDEFGH10×5.5=55m7mRARHmm91取左部分為研究對象畫受力圖.SDFPPABCDERAGSDGSEG

mG(Fi)=0(5.5+11)P-16.5RA-7SDF=0SDF=3275kNYi=0SDG=-1462.5kN

mD(Fi)=0-11RA+5.5P+7SEG=0SEG

=2514kN92例題3-13.懸臂式桁架如圖所示,試求桿件GH,HJ和HK的內(nèi)力.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILP93解:取m—m截面把桁架分為兩部分.2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILPmm94

取右半桁架為研究對象畫受力圖.

mI(Fi)=03SHK-6P=0SHK=2PSHKSHJSGISGJn

再取n—n截面截斷桁架并取右半桁架為研究對象畫受力圖.2m2m2mABEHDGJCFIPmmn95

mF(Fi)=0SEHSEGSDFSCF3SEH-4P=0取節(jié)點H為研究對象畫受力圖.Xi=0SHKHSHJSHESHG

cos=0.8sin=0.6SHE-SHK

+SHG

cos

=0

Yi=0-SHJ

-SHG

sin

=02m2mABEDGCFPnn96例題3-14.圖示為一平面組合桁架.已知力P,求AB桿的內(nèi)力S1.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/297解:取整體為研究

對象畫受力圖.

Xi=0XAYARBXA+P=0XA=-P

mA(Fi)=0aRB-aP=0RB

=P

Yi=0YA+P=0YA=-Pa/3a/3PABCDEFa/3a/2a/298

對整體進行構(gòu)成分析.a/3a/3PABCDEFa/3a/2a/2PPP

桁架由兩個簡單桁架ABC

和DEF用AE,CD,BF三根桿連接而成.

這類問題應(yīng)先截斷連接桿,求出其內(nèi)力.99

截開連接桿AE,CD和BF并取下半個桁架為研究對象畫受力圖.SAESBFSCDPPPOABC

mO(Fi)=0100取節(jié)點B為研究對象畫受力圖.PSBASBFSBCB

Yi=0

Xi=0101例題3-15.試計算圖示桁架桿件BC和DE的內(nèi)力.aaaaaABCDEP102解:取整體為研究對象畫受力圖.XAYARB

Xi=0XA

+P=0XA

=-P

mA(Fi)=0-3aP+2aRB=0

Yi=0YA+RB

=0aaaaaABCDEP103取m—m截面把桁架分為兩部分.aaaaaABCDEPP3P/23P/2mm104

取右部分為研究對象畫受力圖.BP3P/2ESBCSEDS1S2S3

mE(Fi)=0aRB

-3aSBC

=0

Xi=0-SBC

-SED+P=0105再見106

§4-1空間匯交力系

§4-2力對點的矩和力對軸的矩

§4-3空間力偶

§4-4空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩

§4-5空間任意力系的平衡方程

§4-6重心

例題

返回第四章空間力系靜力學107§4-1空間匯交力系匯交力系的實例匯交力系;平面匯交力系;空間匯交力系.作用在剛體上的匯交力系是共點力系.匯交力系的合成

由于匯交力系是共點力系,其合成可用幾何法和解析法.(1)幾何法:平行四邊形法;三角形法和多邊形法.108(2)解析法應(yīng)用合矢量投影定理進行匯交力系的合成.R

=

FiRx=

FixRy=

FiyRz=

Fiz匯交力系的平衡

匯交力系平衡的必要和充分條件是匯交力系的合力等于零.=0109(1)匯交力系平衡的幾何條件

匯交力系平衡的必要和充分的幾何條件是力多邊形封閉.(2)匯交力系平衡的解析條件

Fix=0

Fiy=0

Fiz=0三力平衡定理:一剛體受不平行的三力作用而處于平衡時,此三力的作用線必共面且匯交于一點.110§4-2力對點的矩和力對軸的矩OxyzABFrmo(F)d(1)力對點的矩mo(F)=

r×F

mo(F)表示力F繞O點轉(zhuǎn)動的效應(yīng).O點稱為矩心.力矩矢是定位矢量.

力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的方位;力矩在力矩平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向.力矩的幾何意義:mo(F)=±2

OAB面積=±Fd力矩的單位:N·m或

kN·m111同一個力對不同矩心之矩的關(guān)系:mA(F)=r1×FmB(F)=r2×FmA(F)-mB(F)=(r1-r2)×FBDFr1r2AR=R

×F若R

F則mA(F)=mB(F)BDFr1r2A顯然mA(F)=

r1×F=r2×F即與D點在力F作用線上的位置無關(guān).112(2)力對點的矩的解析表示mo(F)=

r×F

=

若各力的作用線均在xy平面內(nèi).則Fz=0,即任一力的坐標

z=0則有mo(F)=xFx-yFy=113例題4-1.如圖所示,力F作用在邊長為

a

的正立方體的對角線上.設(shè)oxy

平面與立方體的底面ABCD平行,兩者之間的距離為b.計算力F對O點之矩.zyxaaabBDOCFA114zyxaaabBDOCFA解:寫出力F的解析表達式.F

=Fy+Fz+FxFx==FyFz=FyFzFxrArA=a

i+a

j+b

k115zyxaaabBDOCFA在力F的作用線上取點ErE則有116(2)力對軸的矩zodabABFPFxy(1)定義:力F對于z軸的矩等于此力在垂直于z軸的平面上的投影對于z軸與此平面交點的矩.mz(F)=mo(Fxy)=±Fxydmz(F)=±2

oab面積mo(F)=±2

OAB面積=±Fd117(3)討論:(a)當力的作用線與軸平行或相交亦即力與軸位于同一平面時力對該軸的矩等于零.(b)當力沿其作用線移動時,它對軸的矩不變.(c)在平面力系中,力對力系所在平面內(nèi)某點的矩,就是力對通過此點且與力系所在平面垂直的軸的矩.力矩關(guān)系定理zabFxydmo(F)PoBAFmo(F)=2

OAB面積mz(F)=Fxyd

=2

oab面積118mo(F)與mz(F)有什么關(guān)系?

oab面積=cos

OAB面積2oab面積=2cos

OAB面積mz(F)=|mo(F)|cos

mz(F)=moz(F)

力對任一點的力矩矢在對過此點的任一軸上的投影,等于此力對該軸的矩.mo(F)=imox(F)+jmoy(F)+kmoz(F)=imx(F)+jmy(F)+k

mz(F)119例題4-2.設(shè)曲桿OABD位于同一平面內(nèi),且OA垂直于AB,AB垂直于BD,如圖所示.在曲桿D點上作用一力P,其大小為p=2kN.力P位于垂直于BD的平面內(nèi),且于豎直線成夾角

=30o.求力P分別對圖示直角坐標軸的矩.xzyoABD3cm4cm5cm

P120PxzyoABD3cm4cm5cm

解:(1)根據(jù)力對軸的矩的定義計算M1oPyzd1作和x軸垂直的平面M1.找出交點O.

確定力P在平面M1內(nèi)的分力Pyz=1.732kN.

在平面M1內(nèi)確定力Pyz到矩心O的距離即力臂d1=8cm

計算力Pyz對點A的矩亦即力P對x軸的矩mx(P)=mo(Pyz)=-Pyz

d1=-13.86kN·cm

121作和y軸垂直的平面M2.PxzyoABD3cm4cm5cm

確定力P在平面M2內(nèi)的分力Pxz=P=1kN.

在平面M2內(nèi)確定力Pxz到矩心O的距離即力臂d2=3.464cm計算力Pxz對點A的矩亦即力P對y軸的矩my(P)=mo(Pxz)=-Pxz

d2=-6.928kN·cmM2Pd2亦可用合力矩定理計算:my(P)=mo(Pz)=-Pz

d=-6.928kN·cm找出交點O.o122PxzyoABD3cm4cm5cm

作和z軸垂直的平面M3.o找出交點O.

確定力P在平面M3內(nèi)的分力Pxy=1kN.

在平面M3內(nèi)確定力P到矩心O的距離即力臂d3=8cm計算力Pxy對點O的矩亦即力P對z軸的矩mz(P)=mo(Pxy)=-Pxy

d2=-8kN·cmPxyM2d2123(2)根據(jù)力矩關(guān)系定理計算x=-4px=psin30oxzyoABD3cm4cm5cm

y=8z=0

py=0pz=-pcos30o124例題4-3.力F作用在邊長為a的立方體上如圖所示.求力F對各軸之矩.oABCB'C'A'O'F125解:oABCB'C'A'O'F力F的作用線與AO,A'O′,BC平行.與B'C'重合.

mAO(F)=mA'O'(F)=mBC(F)=mB'C'(F)=0126力F的作用線與A'B',oABCB'C'A'O'FC'O',BB'和CC'相交.

mA'B'(F)=mC'O'(F)=mBB'(F)=mCC'(F)=0127求力F對AA'

、OO'

、A′A

和O′O軸之矩.mAA'(F)=mOO'(F)=aFmA'A(F)=mO'O(F)=-aFoABCB'C'A'O'F128求力F對AB、OC、BA和CO軸之矩.mAB(F)=-aFmBA(F)=aFoACC'A'O'B'FBmOC(F)=-aFmCO(F)=aF129力偶與力偶矩ABFF′d(1)力偶(F,F

)

由大小相等,方向相反而不共線的兩個力組成的力系.§4-3空間力偶130

力偶所在的平面為力偶作用面.力偶兩力之間的垂直距離d

稱為力偶臂.

力偶沒有合力.因此力偶不能與一個力等效,也不能用一個力來平衡.力偶只能與力偶等效,也只能與力偶平衡.(2)力偶矩矢m

=

rBA×F=rAB×F′ABFF′rBAdm

在平面問題中則有m=±Fd131力偶的等效條件力偶兩力的矩之和定理:ABFF′rBAdm

rB

rAO證明:在空間任取一點o為矩心.mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)

=

rBA×F=(rB-rA)×F=

rB×F

+rA×F′=m

力偶中兩力對空間任一點的矩的矢量和等于該力矩矢,而與矩心的選擇無關(guān).132(2)力偶的等效條件:力偶矩矢相等.推論1:只要力偶矩矢保持不變.力偶可以從剛體的一個平面移到另一個平行的平面內(nèi),而不改變其對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).推論2:力偶可以在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)移,而不會改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).推論3:在保持力偶矩大小不變的條件下,可以任意改變力偶的力的大小和力臂的長短,而不改變它對剛體的轉(zhuǎn)動效應(yīng).力偶矩矢是自由矢量.133力偶系的合成與平衡

設(shè)一空間力偶系由n個力偶組成,其力偶矩矢分別為:m1,m2,…,mn.由于力偶矩矢是自由矢量,則n個力偶矩矢組成一個匯交矢量系.利用合矢量投影定理進行力偶系的合成與平衡.(1)力偶系的合成m

=

mimx

=

mixmy

=

miymz

=

miz對于平面力偶系則有:M

=

mi134力偶系的平衡

空間力偶系平衡的必要合充分條件是:力偶系中所有各力偶矩矢在三個直角坐標軸中每一軸上的投影的代數(shù)和等于零.

mix=0

miy=0

miz=0對于平面力偶系則有:

mi=0135例題4-4.有四個力偶(F1,F1

)(F2,F2

)(F3,F3

)和(F4,F4

)分

別作用在正方體的四個平面DCFE,CBGF,ABCD和BDEG

內(nèi).各力偶矩的大小為

m1=200N.m;m2=500N.m;

m3=3000N.m;m4=1500N.m,轉(zhuǎn)向如圖所示.求此四個力偶的

合力偶矩.xyzABDEFGF1CoF2F2′F3F3′F4F4′F1′136解:寫出每個力偶矩矢的解析表達式m1=200im2=-500jm3=3000km4=1500cos45o

i+1500sin45ojMx

=200+1500cos45o=1261N.mMy=-500+1500sin45o

=560.7N.mMz

=3000N.mxyzABDEFGF1CoF2F2′F3F3′F4F4′F1′137例題4-5.不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為m1與m2的力偶作用,轉(zhuǎn)向如圖.問m1與m2的比值為多大,結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDm1m2138解:取桿AB為研究對象畫受力圖.

桿AB只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束.則A處約束反力的方位可定.RC

mi=0RA=RC=RAC=aaR-m1=0m1=aR

(1)60o60oABCDm1m2RA139

取桿CD為研究對象.因C點約束方位已定,則D點約束反力方

位亦可確定.畫受力圖.60o60oDm2BCARDRC

RD=RC

=RCD=a

mi=0-0.5aR+m2=0m2=0.5aR

(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:140§4-4空間任意力系向一點的簡化·主矢和主矩(1)主矢與主矩

力線平移定理:作用于剛體上的一力F,可以平行移動到剛體上的任一點O.但必須同時在此力線與O所決定的平面內(nèi)附加一力偶,此附加力偶矢的大小和方向等于力F對O點的矩矢的大小和方向.

設(shè)一剛體受空間任意力系F1,F2…Fn作用,各力作用點分別為A1,A2…An

.141

在剛體內(nèi)任取一點O為簡化中心,應(yīng)用力線平移定理,依次將各力平移到點即得到一個作用于簡化中心O的空間匯交力系

F1,

F2…Fn和一個由力偶矩矢分別為m1,m2…mn的附加力偶所組成的空間力偶系.A1A2AnF1F2FnOxyzm1m2mnF'1F'2F'nOxyz142其中:F'1=F1,F'2=F2,…,F'n=Fnm1

=

mo(F1),m2

=

mo(F2),…,

mn

=

mo(Fn)

空間匯交力系F1,F2…Fn可合成為作用在O點的一個力R'.矢量R'稱為原力系的主矢.R'=

F'i=

Fi

由力偶矩矢分別為m1,m2…mn

的附加力偶所組成的空間力偶系可合成為一個力偶,其力偶矩矢Mo稱為原力系對簡化中心的主矩.Mo=

mi=

mo(Fi)143

結(jié)論:空間任意力系向任一點簡化,一般可得到一個力和一個力偶.這個力作用在簡化中心,它的矢量稱為原力系的主矢,并等于這力系中各力的矢量和;這個力偶的力偶矩矢等于原力系中各力對簡化中心的矩的矢量和,并稱為原力系對簡化中心的主矩.

主矢R'只取決于原力系中各力的大小和方向,與簡化中心的位置無關(guān);而主矩Mo

的大小和方向都與簡化中心的位置有關(guān).144(2)主矢與主矩的解析表達式R'=iR'x+jR'y+kR'zR'x=

XiR'y=

YiR'z=

ZiMo

=i

Mox+j

Moy+k

Moz=i

mox(Fi)+j

moy(Fi)+k

moz(Fi)7-5.空間任意力系簡化結(jié)果的幾種情形(1)R'=0,Mo=0原力系平衡.(2)R'

0,Mo=0原力系的最后簡化結(jié)果為作用于簡化中心的一個力R',即原力系的合力R.145(3)R

=0,Mo

0原力系的最后簡化結(jié)果為一個力偶,其力偶矩矢為Mo.此時主矩Mo與簡化中心的位置無關(guān).(4)R'

0,Mo

0這是簡化結(jié)果的最一般情形.(a)R'

Mo=0原力系的最后簡化結(jié)果為作用于O'點的一個合力R

=

R'.且OO'=Mo/R'(b)R'

Mo

0原力系的最后簡化結(jié)果為由一個力和一個力偶所組成的力系即力螺旋.R'

Mo

0為右螺旋.R'

Mo

0為左螺旋.146

空間力系的合力矩定理:空間力系如能合成一個合力,則其合力對任一點之矩,等于力系中各力對同一點之矩的矢量和.mo(R)=

mo(Fi)mx(R)=

mx(Fi)my(R)=

my(Fi)mz(R)=

mz(Fi)R'MoO(

R'

Mo

0

)R'MoO(

R'

Mo

0

)147例題4-6.邊長1m的正方體的AB邊上作用一力F=10kN,在面A'B'C'O'上作用一力偶矩m=5kN.m的力偶.如圖所示.求最后的簡化結(jié)果.解:取O為簡化中心并建立坐標.oABCB'C'A'O'Fmxyz148計算主矢和主矩Mo

=mo(F)+m=-5kR'

Mo

=(-10j)

(-5k)=0FoABCB'C'A'O'xyzO'R=

F=-10jR'=F=-10j確定最后簡化結(jié)果149例題4-7.邊長為2m的正方體兩側(cè)面AOO‘A’和BCC‘B’

上分別作用大小均等于10kN的力F和F‘.如圖所示.求最后的簡化結(jié)果.oABCB'C'A'O'FF'xyzD解:取D點為簡化中心建立坐標.150計算主矢oABCB'C'A'O'FF'xyzD151計算主矩m1=mD(F)=r1

F

m2=

mD(F')=r2

F'MD=oABCB'C'A'O'FF'xyzD152確定最后簡化結(jié)果oABCB'C'A'O'xyzDR'

MD==-2000最后簡化結(jié)果為左螺旋.R'MD153§4-5空間任意力系的平衡方程(1)空間任意力系平衡的必要和充分條件:R'=0,Mo=0(2)空間任意力系的平衡方程:

mx(Fi)=0

my(Fi)=0

mz(Fi)=0

Xi=0

Yi=0

Zi=0(7-1)154(3)討論:(a)對于空間匯交力系

mx(Fi)=0,

my(Fi)=0,

mz(Fi)=0則其平衡方程為:

(b)對于空間力偶系

Xi=0,

Yi=0,

Zi=0則其平衡方程為:

Xi=0

Yi=0

Zi=0(7-2)

mx=0

my=0

mz=0(7-3)155(c)對于空間平行力系

Xi=0,

Yi=0,

mz(Fi)=0則其平衡方程為:

其他各種力系的平衡方程也可以從方程(7-1)用同樣的方法導(dǎo)出.

Zi=0

mx(Fi)=0

my(Fi)=0(7-4)156例題4-8.一不計重量的正方形薄板,由六根直桿支持如圖所示.假設(shè)這六根桿都可以看作兩力桿,求在力P作用下各桿的內(nèi)力.PaaADBCD'A'B'C'a157PaaADBCD'A'B'C'a解:

(1)取薄板為研究對象畫受力圖并選取坐標.S1S2S3S5S6xyzS4158

寫出各力的解析式及力線上任一點的坐標.(0,a,0)(-a,a,0)PaaADBCD'A'B'C'aS1S2S3S5S6xyzS4(0,0,0)159計算各力對A點的矩.PaaADBCD'A'B'C'aS1S2S3S5S6xyzS4160應(yīng)用平衡方程計算:(1)

Yi=0(2)

Zi=0(3)

mx(Fi)=0(4)

my(Fi)=0(5)

Xi=0