浙江省杭州杭州經濟開發(fā)區(qū)五校聯考2023-2024學年數學九上期末統考試題含解析

浙江省杭州杭州經濟開發(fā)區(qū)五校聯考2023-2024學年數學九上期末統考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，已知是中的邊上的一點，，的平分線交邊于，交于，那么下列結論中錯誤的是（）A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BECC．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE2．實施新課改以來，某班學生經常采用“小組合作學習”的方式進行學習，學習委員小兵每周對各小組合作學習的情況進行了綜合評分．下表是其中一周的統計數據：組別1234567分值90959088909285這組數據的中位數和眾數分別是A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，953．兩地相距，甲、乙兩人從兩地出發(fā)相向而行，甲先出發(fā).圖中表示兩人離地的距離與時間的關系，結合圖象，下列結論錯誤的是（）A．是表示甲離地的距離與時間關系的圖象B．乙的速度是C．兩人相遇時間在D．當甲到達終點時乙距離終點還有4．“汽車行駛到有交通信號燈的路口時，前方恰好遇到綠燈”，這個事件是（）A．確定事件 B．隨機事件 C．不可能事件 D．必然事件5．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的兩根，則x1＋x2－x1·x2的值是（）A．1 B．3 C．－1 D．－36．某校九年級“詩歌大會”比賽中，各班代表隊得分如下（單位：分）：9，7，8，7，9，7，6，則各代表隊得分的中位數是（

）A．9分 B．8分 C．7分 D．6分7．如圖，、、是小正方形的頂點，且每個小正方形的邊長為1，則的值為（）A． B．1 C． D．8．二次函數的部分圖象如圖所示，由圖象可知方程的根是（）A． B．C． D．9．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c＋2的圖象如圖所示，頂點為(－1，1)，下列結論：①abc＜1；②b2－4ac＝1；③a＜2；④4a－2b＋c＞1．其中正確結論的個數是()A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，，直線與這三條平行線分別交于點和點．已知AB=1，BC=3，DE=1.2，則DF的長為（）A． B． C． D．11．某商場降價銷售一批名牌襯衫,已知所獲利潤y(元)與降價x(元)之間的關系是y=-2x2+60x+800,則利潤獲得最多為()A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元12．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍（）A． B． C．且 D．且二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，某小型水庫欄水壩的橫斷面是四邊形ABCD，DC∥AB，測得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比為1.2：1，壩頂部DC寬為2m，壩高為6m，則壩底AB的長為_____m．14．若，則銳角α＝_____．15．如圖，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P為CD邊上的動點，當△ADP與△BCP相似時，DP=__．16．如圖，將繞點逆時針旋轉，得到，這時點恰好在同一直線上，則的度數為______．17．如圖，已知反比例函數的圖象經過斜邊的中點，與直角邊相交于點．若的面積為8，則的值為________．18．如果關于x的方程x2-5x+a=0有兩個相等的實數根，那么a=_____.三、解答題（共78分）19．（8分）一只不透明的袋子中裝有3個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出2個球．（1）“其中有1個球是黑球”是事件；（2）求2個球顏色相同的概率．20．（8分）如圖，點F為正方形ABCD內一點，△BFC繞點B逆時針旋轉后與△BEA重合（1）求△BEF的形狀（2）若∠BFC=90°，說明AE∥BF21．（8分）如圖，在中，連接，點,分別是的點（點不與點重合），,相交于點.(1)求，的長；(2)求證：～；(3)當時，請直接寫出的長.22．（10分）在平面直角坐標系中，存在拋物線以及兩點和.(1)求該拋物線的頂點坐標;(2)若該拋物線經過點，求此拋物線的表達式;(3)若該拋物線與線段只有一個公共點，結合圖象，求的取值范圍.23．（10分）已知，如圖，點E在平行四邊形ABCD的邊CD上，且，設，．（1）用、表示；（直接寫出答案）（2）設，在答題卷中所給的圖上畫出的結果．24．（10分）如圖，四邊形ABCD內接于圓，AD、BC的延長線交于點E，F是BD延長線上一點，DE平分∠CDF．求證：AB=AC．25．（12分）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如圖1，當DE∥BC時，有DBEC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）發(fā)現探究：若將圖1中的△ADE繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）到圖2位置，則（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展運用：如圖3，P是等腰直角三角形ABC內一點，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度數．26．如圖1，是一種自卸貨車．如圖2是貨箱的示意圖，貨箱是一個底邊AB水平的矩形，AB=8米，BC=2米，前端檔板高DE=0.5米，底邊AB離地面的距離為1.3米．卸貨時，貨箱底邊AB的仰角α=37°(如圖3)，求此時檔板最高點E離地面的高度．(精確到0.1米，參考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、C【分析】根據相似三角形的判定，采用排除法，逐項分析判斷．【詳解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正確．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正確．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正確．而不能證明△BDF∽△BEC，故C錯誤．故選C．【點睛】本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊和對應角．2、B【解析】中位數是一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數（最中間兩個數的平均數）．由此將這組數據重新排序為85，88，1，1，1，92，95，∴中位數是按從小到大排列后第4個數為：1．眾數是在一組數據中，出現次數最多的數據，這組數據中1出現三次，出現的次數最多，故這組數據的眾數為1．故選B．3、C【分析】根據圖像獲取所需信息，再結合行程問題量間的關系進行解答即可.【詳解】解：A.是表示甲離地的距離與時間關系的圖象是正確的；B.乙用時3小時，乙的速度,90÷3=，故選項B正確；C.設甲對應的函數解析式為y=ax+b，則有：解得：∴甲對應的函數解析式為y=-45x+90，設乙對應的函數解析式為y=cx+d，則有：解得：即乙對應的函數解析式為y=30x-15則有：解得：x=1.4h，故C選項錯誤；D.當甲到達終點時乙距離終點還有90-40×1.4=45km，故選項D正確；故答案為C.【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意、從圖像中獲取問題需要的條件以及數形結合的思想的應用是解答本題的關鍵.4、B【分析】直接利用隨機事件的定義分析得出答案．【詳解】解：“汽車行駛到有交通信號燈的路口時，前方恰好遇到綠燈”，這個事件是隨機事件．故選B．【點睛】此題主要考查了隨機事件，正確把握隨機事件的定義是解題關鍵．5、B【分析】直接根據根與系數的關系求解．【詳解】由題意知：，，∴原式＝2－（－1）＝3故選B．【點睛】本題考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則，．6、C【解析】分析:根據中位數的定義，首先將這組數據按從小到大的順序排列起來，由于這組數據共有7個，故處于最中間位置的數就是第四個，從而得出答案.詳解:將這組數據按從小到大排列為：6＜7＜7＜7＜8＜9＜9，故中位數為：7分，故答案為C.點睛:本題主要考查中位數，解題的關鍵是掌握中位數的定義：將一組數據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛祿膫€數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數．如果這組數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數.7、C【分析】連接BC，AB=，BC=，AC=，得到△ABC是直角三角形，從而求解.【詳解】解：連接BC，由勾股定理可得：AB=，BC=，AC=，∵∴△ABC是直角三角形，∴故選：C．【點睛】本題考查直角三角形，勾股定理；熟練掌握在方格中利用勾股定理求邊長，同時判斷三角形形狀是解題的關鍵．8、A【分析】根據圖象與x軸的交點即可求出方程的根．【詳解】根據題意得，對稱軸為∵∴∴故答案為：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的問題，掌握一元二次方程圖象的性質是解題的關鍵．9、A【分析】根據拋物線的圖像和表達式分析其系數的值，通過特殊點的坐標判斷結論是否正確．【詳解】∵函數圖象開口向上，∴，又∵頂點為(，1)，∴，∴,由拋物線與軸的交點坐標可知：，∴c＞1，∴abc＞1,故①錯誤；∵拋物線頂點在軸上，∴，即，又，∴，故②錯誤；∵頂點為(，1)，∴，∵，∴，∵，∴，則，故③錯誤；由拋物線的對稱性可知與時的函數值相等，∴，∴，故④正確．綜上，只有④正確，正確個數為1個．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，根據二次函數圖象以及頂點坐標找出之間的關系是解題的關鍵．10、B【分析】根據平行線分線段成比例定理即可解決問題．【詳解】解：，，即，，，故選．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．11、D【分析】將函數關系式轉化為頂點式，然后利用開口方向和頂點坐標即可求出最多的利潤.【詳解】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250∵-2＜0故當x=15時，y有最大值，最大值為1250即利潤獲得最多為1250元故選:D.【點睛】此題考查的是利用二次函數求最值，掌握將二次函數的一般式轉化為頂點式求最值是解決此題的關鍵.12、D【分析】根據一元二次方程的定義和根的判別式得出且，求出即可．【詳解】∵關于的一元二次方程有實數根，

∴且，

解得：1且，

故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義和根的判別式，能得出關于的不等式是解此題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、（7+6）【解析】過點C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為：E，F，得到兩個直角三角形和一個矩形，在Rt△AEF中利用DF的長，求得線段AF的長；在Rt△BCE中利用CE的長求得線段BE的長，然后與AF、EF相加即可求得AB的長．【詳解】解：如圖所示：過點C作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為：E，F，

∵壩頂部寬為2m，壩高為6m，

∴DC=EF=2m，EC=DF=6m，

∵α=30°，

∴BE=（m），

∵背水坡的坡比為1.2：1，

∴，

解得：AF=5（m），

則AB=AF+EF+BE=5+2+6=（7+6）m，

故答案為（7+6）m．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是利用銳角三角函數的概念和坡度的概念求解．14、45°【分析】首先求得cosα的值，即可求得銳角α的度數．【詳解】解：∵，∴cosα＝，∴α＝45°．故答案是：45°．【點睛】本題考查了特殊的三角函數值,屬于簡單題,熟悉三角函數的概念是解題關鍵.15、1或4或2.1．【分析】需要分類討論：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根據該相似三角形的對應邊成比例求得DP的長度．【詳解】設DP=x，則CP=1-x，本題需要分兩種情況情況進行討論，①、當△PAD∽△PBC時，=∴，解得：x=2.1；②、當△APD∽△PBC時，=，即=，解得：x=1或x=4，綜上所述DP=1或4或2.1【點晴】本題主要考查的就是三角形相似的問題和動點問題，首先將各線段用含x的代數式進行表示，然后看是否有相同的角，根據對應角的兩邊對應成比例將線段寫成比例式的形式，然后分別進行計算得出答案．在解答這種問題的時候千萬不能出現漏解的現象，每種情況都要考慮到位.16、20°【解析】先判斷出∠BAD=140°，AD=AB，再判斷出△BAD是等腰三角形，最后用三角形的內角和定理即可得出結論．【詳解】∵將△ABC繞點A逆時針旋轉140°，得到△ADE，∴∠BAD=140°，AD=AB，∵點B，C，D恰好在同一直線上，∴△BAD是頂角為140°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=(180°?∠BAD)=20°，故答案為：20°【點睛】此題考查旋轉的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理，解題關鍵在于判斷出△BAD是等腰三角形17、【分析】過D點作x軸的垂線交x軸于E點，可得到四邊形DBAE和三角形OBC的面積相等，通過面積轉化，可求出k的值．【詳解】解：過D點作x軸的垂線交x軸于E點，∵△ODE的面積和△OAC的面積相等．的面積與四邊形的面積相等，∴四邊形DEAB＝8，設D點的橫坐標為x，縱坐標就為∵D為OB的中點．∴∴四邊形DEAB的面積可表示為：∴故答案為：【點睛】本題考查反比例函數的綜合運用，關鍵是知道反比例函數圖象上的點和坐標軸構成的三角形面積的特點以及根據面積轉化求出k的值．18、【分析】若一元二次方程有兩個相等的實數根，則方程的根的判別式等于0，由此可列出關于a的等式，求出a的值．【詳解】∵關于x的方程x2-5x+a=0有兩個相等的實數根，∴△=25-4a=0，即a=．故答案為：.【點睛】一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．三、解答題（共78分）19、（1）隨機（2）【解析】試題分析：（1）直接利用隨機事件的定義分析得出答案；（2）利用樹狀圖法畫出圖象，進而利用概率公式求出答案．試題解析：（1）“其中有1個球是黑球”是隨機事件；故答案為隨機；（2）如圖所示：，一共有20種可能，2個球顏色相同的有8種，故2個球顏色相同的概率為：=．考點：列表法與樹狀圖法．20、（1）等腰直角三角形（2）見解析【分析】（1）利用正方形的性質得BA＝BC，∠ABC＝90°，然后根據旋轉的定義可判斷旋轉中心為點B，旋轉角為90°，根據旋轉的性質得∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，則可判斷△BEF為等腰直角三角形；（2）根據旋轉的性質得∠BEA＝∠BFC＝90°，從而根據平行線的判定方法可判斷AE∥BF．【詳解】（1）△BEF為等腰直角三角形，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵△BFC逆時針旋轉后能與△BEA重合，∴旋轉中心為點B，∠CBA為旋轉角，即旋轉角為90°；∵△BFC逆時針旋轉后能與△BEA重合，∴∠EBF＝∠ABC＝90°，BE＝BF，∴△BEF為等腰直角三角形；（2）∵△BFC逆時針旋轉后能與△BEA重合，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，∴∠BEA＋∠EBF＝180°，∴AE∥BF．【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質．21、（1）AD=10，BD=10；（2）見解析；（3）AG=．【分析】（1）由可證明△ABC∽△DAC，通過相似比即可求出AD，BD的長；（2）由（1）可證明∠B=∠DAB，再根據已知條件證明∠AFC=∠BEF即可；（3）過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，根據平行線的性質得到，計算出CH和AH的值，由已知條件得到≌，設AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，再由平行線的性質得到，表達出即可解出x，即AG的值．【詳解】解：（1）∵，∴，又∵∠ACB=∠DCA，∴△ABC∽△DAC，∴，即，解得：CD=8，AD=10，∴BD=BC-CD=18-8=10，∴AD=10，BD=10；（2）由（1）可知，AD=BD=10，∴∠B=∠DAB，∵∠AFE=∠B+∠BEF，∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，∵，∴∠AFC=∠BEF，又∵∠B=∠DAB，∴～；（3）如圖，過點C作CH∥AB，交AD的延長線于點H，∴，即，解得：CH=12，HD=8，∴AH=AD+HD=18，若，則≌；∴BF=AG，設AG=x，則AF=15-x，HG=18-x，∵CH∥AB，∴，即，解得：，（舍去）∴AG=．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質以及平行線分線段成比例，解題的關鍵是熟悉相似三角形的判定，并靈活作出輔助線．22、（1）（0,2）；（2）；（3）m=2或.【分析】（1）是頂點式，可得到結論；

（2）把A點坐標代入得方程，于是得到結論；

（3）分兩種情況：當拋物線開口向上或向下時，分別畫出圖形，找到臨界位置關系，求出m的值，再進行分析變化趨勢可得到結論．【詳解】（1）是頂點式，頂點坐標為；（2）∵拋物線經過點，

∴m=9m+2，

解得：，∴(3)如圖1，當拋物線開口向上時，拋物線頂點在線段上時，；當m>2時，直線x=1交拋物線于點（1，m+2）,交點位于點B上方，所以此時線段與拋物線一定有兩個交點，不符合題意；如圖2，當拋物線開口向下時，拋物線頂過點時，；直線x=-3交拋物線于點（-3，9m+2）,當時，9m+2<m，交點位于點A下方，直線x=1交拋物線于點（1，m+2）,交點位于點B上方，所以此時線段與拋物線一定有且只有一個交點，符合題意；綜上所述，當或時，拋物線與線段只有一個公共點.【點睛】本題考查了拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考慮特殊情況是關鍵，考查了數形結合的數學思想．23、（1）；（2）見解析【分析】（1）先表示出，繼而可表示出；（2）延長AE、BC交與G即可．【詳解】解：（1）四邊形是平行四邊形，，∵，，；（2）如圖，延長AE、BC交與G，則即為所求．四邊形是平行四邊形，∴AD∥BC，∴，∴，又∵，∴∴.【點睛】本題考查了平面向量及平行四邊形的性質，解答本題注意利用平行線分線段成比例的知識，難度一般．24、見解析【解析】試題分析：先根據角平分線的性質得出∠CDE=∠EDF，再由對頂角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根據圓內接四邊形的性質得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，進而可得出結論．證明：∵DE平分∠CDF，∴∠CDE=∠EDF．∵∠EDF=∠ADB，∴∠CDE=∠ADB．∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．考點：圓周角定理．25、（1）=；（2）