高考第一輪復習講義 第17講 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性（原卷版+解析版 ）

第17講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·吉林吉林·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍(

)A． B． C． D．2．（2022·全國·哈師大附中模擬預測）已知，為的導函數(shù)，則的圖像大致是（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（2022·北京·首都師范大學附屬中學三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．6．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，，則減區(qū)間是（

）A． B． C． D．，7．（2022·山東·德州市教育科學研究院二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其導函數(shù)的圖象見下圖，且對恒成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．8．（2022·山東·煙臺二中模擬預測）已知，p：；q：函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．（多選）（2022·全國·高三專題練習）對于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．有最小值 D．有兩個零點11．（多選）（2022·重慶八中高三階段練習）函數(shù)均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，則下列各函數(shù)一定在R上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．12．（多選）（2022·山東·青島二中高三期末）記的導函數(shù)為，若對任意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有（

）A． B．C． D．13．（2022·湖北·模擬預測）已知定義域為R的函數(shù)，有且，，則的解集為___________．14．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是________．15．（2022·北京·二模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為__________；滿足以上條件的一個函數(shù)是__________．16．（2022·河北·高三階段練習）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是_________．17．（2022·山東師范大學附中高三期中）設函數(shù)(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實數(shù)，當時，試判斷與的大小關(guān)系并證明18．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．2．（多選）（2022·福建泉州·模擬預測）若，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為______．4．（2022·江蘇江蘇·三模）設函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若在上單調(diào)遞增，求.第17講導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎鞏固】1．（2022·吉林吉林·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，恒成立，故，即．故選：A﹒2．（2022·全國·哈師大附中模擬預測）已知，為的導函數(shù)，則的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，排除選項A、D，令，，當，，在遞減，故選B．3．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴∵函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)∴在區(qū)間上有根∴當a＝0時，x＝－1不滿足條件當時，∵，∴，∴.故選：D．4．（2022·湖北·房縣第一中學模擬預測）已知函數(shù)，不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：因為，所以，所以在上單調(diào)遞減，則等價于，解得，即原不等式的解集為.故選：B.5．（2022·北京·首都師范大學附屬中學三模）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故A不符合題意；對于B，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，故B不符合題意；對于C，函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C符合題意；對于D，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以是奇函數(shù)，又，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D不符合題意.故選：C.6．（2022·全國·高三專題練習）函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，，則減區(qū)間是（

）A． B． C． D．，【答案】B【解析】函數(shù)，則，當時，恒成立，函數(shù)在其定義域內(nèi)是遞增．當時，令，解得：，當時，，函數(shù)是遞增．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，故得：，解得：，在時，，函數(shù)是遞減．故選：B．7．（2022·山東·德州市教育科學研究院二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，其導函數(shù)的圖象見下圖，且對恒成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】又由導函數(shù)的圖象得，當時，，單調(diào)遞增，故選：D.8．（2022·山東·煙臺二中模擬預測）已知，p：；q：函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得，又，又，要使函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，有，解得，顯然，即p是q的充分不必要條件.故選：A.9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為的定義域為，，由，得，解得，所以的遞增區(qū)間為．由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是．故選：A.10．（多選）（2022·全國·高三專題練習）對于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．在(0，＋∞)上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．有最小值 D．有兩個零點【答案】BC【解析】∵，∴，由可得，，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有最小值，即，所以A錯誤，BC正確，D錯誤.故選：BC.11．（多選）（2022·重慶八中高三階段練習）函數(shù)均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，則下列各函數(shù)一定在R上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】取，故，設，則，在上，，故在上為減函數(shù)，故A錯誤.而，設，則，在上，，故在上為減函數(shù)，故D錯誤.設，，任意，則，因為均是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，所以即，故是R上的單調(diào)遞增函數(shù).而因為是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，故，且，所以即，故是R上的單調(diào)遞增函數(shù).故BC正確.故選：BC12．（多選）（2022·山東·青島二中高三期末）記的導函數(shù)為，若對任意的正數(shù)都成立，則下列不等式中成立的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】解：因為，所以，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即，所以，故A錯誤；同理，即，所以，故B正確；因為，所以，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，化簡得，故C正確；同理，即，化簡得，故D錯誤.故選：BC.13．（2022·湖北·模擬預測）已知定義域為R的函數(shù)，有且，，則的解集為___________．【答案】【解析】，在為增函數(shù)，又為偶函數(shù)，∴，則，得或，解集為故答案為：．14．（2022·全國·高三專題練習）若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】，由于函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，所以有兩個不相等的實數(shù)根，所以.故答案為：15．（2022·北京·二模）已知奇函數(shù)的定義域為R，且，則的單調(diào)遞減區(qū)間為__________；滿足以上條件的一個函數(shù)是__________．【答案】

（答案不唯一）【解析】由可得，所以或，所以當或時，，當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以滿足條件的一個函數(shù)可以為（答案不唯一）故答案為：，（答案不唯一）16．（2022·河北·高三階段練習）若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則m的取值范圍是_________．【答案】【解析】，則原向題等價于在上有解，即在上有解，即在上有解，因為，且在上單調(diào)遞減，所以當時，，所以.故答案為：17．（2022·山東師范大學附中高三期中）設函數(shù)(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)任意正實數(shù)，當時，試判斷與的大小關(guān)系并證明【解】(1)時，，，令得；令得或故的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，(2)結(jié)論：，證明如下：設，由均為正數(shù)且得設，則①當時，由得即故單調(diào)遞減，從而而，此時成立②當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故的最小值為此時只需證，化簡后即證設，故單調(diào)遞增，從而有，即證綜上：不等式得證．18．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)設，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對任意的，有．【解】(1)解：因為，所以，即切點坐標為，又，∴切線斜率∴切線方程為：(2)解：因為，

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.(3)解：原不等式等價于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因為，∴，所以命題得證.【素養(yǎng)提升】1．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設，因為，當時，，當時，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.2．（多選）（2022·福建泉州·模擬預測）若，則下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】令，則恒成立，所以單調(diào)遞增，其中，，則存在，使得①當時，即，若，則，且，則，不滿足，故，且，所以又因為，所以，D正確；②當時，，即（1）當時，，，則成立，故，B正確；（2）當時，，若，則，因為，且在上單調(diào)遞增，所以當時，，則，所以，所以，又因為，所以，選項C正確.故選：BCD3．（2022·湖南·長沙一中模擬預測）已知正實數(shù)，滿足，則的最大值為______．【答案】【解析】由得，所以，，因為，所以，設（），則，遞增，所以由得，所以，，設，則，所以時，，遞增，時，，遞減，所以．故答案為：．4．（2022·江蘇江蘇·三模）設函數(shù).(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若在上單調(diào)遞增，求.【解】(1)解：因為，可得，設，則所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由，所以當時，；當時，，所以當