蘭州成功私立中學(xué)高中奧數(shù)輔導(dǎo)資料

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(內(nèi)部資料)

§19立體圖形，空間向量

直線,平面之間的平行與垂直的證明方法

1.運(yùn)用定義證明(有時(shí)要用反證法)；2.運(yùn)用平行關(guān)系證明；

3.運(yùn)用垂直關(guān)系證明；4.建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量證明.

例如,在證明:直線a，直線人時(shí).可以這樣考慮

(1)運(yùn)用定義證明直線。與。所成的角為90°;(2)運(yùn)用三垂線定理或其逆定理；

(3)運(yùn)用“若aJ■平面a,力ua,則a_Lb”;(4)運(yùn)用“若力〃。且a_Lc,則a_L8”;

(5)建立空間直角坐標(biāo)系，證明75=0.

空間中的角和距離的計(jì)算

I.求異面直線所成的角

⑴(平移法)過(guò)P作。〃a,6〃仇則。與6的夾角就是。與b的夾角；

⑵證明a_L。(或a〃。)，則a與匕的夾角為90°咸0°);

一一71

(3)求。與〃所成的角(。萬(wàn)］)，再化為異面直線。與h所成的角(aG((),一］).

2

2,求直線與平面所成的角

(1)(定義法)若直線a在平面a內(nèi)的射影是直線瓦則。與b的夾角就是a與a的夾角；

(2)證明(或a〃a),則a與a的夾角為90°(或0°);

(3)求Z與。的法向量百所成的角夕則a與1所成的角為90°-?；?。-90°.

3.求二面角

(1)(直接計(jì)算)在二面角a-AB-尸的半平面a內(nèi)任取一點(diǎn)P走A3,過(guò)P作AB的垂線，

交AB于C,再過(guò)P作夕的垂線，垂足為D,連結(jié)CD,則CD_LAB,故NPCO為所求的二面角.

(2)(面積射影定理)設(shè)二面角a-AB-fi的大小為6(6豐90°)，平面a內(nèi)一個(gè)平面圖形F

的面積為SrF在尸內(nèi)的射影圖形的面積為邑，則cos6=±三.(當(dāng)。為鈍角時(shí)取“―”).

(3)(異面直線上兩點(diǎn)的距離公式):EF-=d2+nr+rr-2〃?〃cos"其中。是二面角

a—A3—月的平面角,EA在半平面a內(nèi)且于點(diǎn)A,BF在半平面夕內(nèi)且FB_L

AB于B,而AB=d,EA=m,FB=n.

（4）（三面角的余弦定理），三面角5-ABC中,ZBSC=e,ZCSA=。，/ASB=九又二面角

3-弘-。=仇則cosejosafspcos1

sin/Jsiny

（5）（法向量法）平面a的法向量點(diǎn)與平面月的法向量％所成的角為。，則所求的二面角為

。（同類）或乃（異類）.

4.求兩點(diǎn)A,B間距離

（1）構(gòu)造三角形進(jìn)行計(jì)算;（2）,導(dǎo)面直線上兩點(diǎn)間的距離公式;（3）,求|福卜

5.求點(diǎn)到直線的距離

（1）構(gòu)造三角形進(jìn)行計(jì)算;（2）轉(zhuǎn)化為求兩平行紅色之間的距離.

6.求點(diǎn)到平面的距離

（1）直接計(jì)算從點(diǎn)到平面所引垂線段的長(zhǎng)度；（2）轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的

距離;（3）（體積法）轉(zhuǎn)化為求一個(gè)棱錐的高6=*,其中V為棱錐體積,S為底面面積為底面

上的高.（4）在平面上取一點(diǎn)A,求福與平面的法向量〃的夾角的余弦COS。,則點(diǎn)P到平面

的距離為d=|網(wǎng)Jcosq.

7.求異面直線的距離

（1）（定義法）求異面直線公垂線段的長(zhǎng)；（2）（體積法）轉(zhuǎn)化為求幾何體的高；

（3）（轉(zhuǎn)化法）轉(zhuǎn)化為求平行線面間的距離或平行平面間的距離；

（4）（最值法）構(gòu)造異面直線上兩點(diǎn)間距離的函數(shù)，然后求函數(shù)的最小值；

（5）（射影法）如果兩異面直線。泊在同一平面內(nèi)的射影分別是一個(gè)點(diǎn)P和一條直線I,

則a與。的距離等于P至I」/的距離；（6）（公式法）d2=EF--nr-n2+2利〃cos0.

8.求平行的線線，線面，面面之間的距離的方法，通常是轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)與線或點(diǎn)與面之間的距離.

三.多面體與旋轉(zhuǎn)體

1.柱體（棱柱和圓柱）

（1）側(cè)面積5廁=c-/（c為直截面周長(zhǎng)，/為側(cè)棱或母線長(zhǎng)）（2）體積V=Sh（S為底面積,/z為高）

2.錐體（棱錐與圓錐）

⑴正棱錐的側(cè)面積Sw=1c-/?'（c為底面周長(zhǎng),"為斜高）（2）圓錐的側(cè)面積:5側(cè)=7trl

（r為底面周長(zhǎng),/為母線長(zhǎng)）（3）錐體的體積:V=1夕?（S為底面面積,h為高）.

3

3.錐體的平行于底面的截面性質(zhì):與=（,匕=（.

Sh2V/?3

C4Q

4.球的表面積:S=4IR2；球的體積:V=—;TR3

3

四.解題思想與方法導(dǎo)引

1.空間想象能力;2.數(shù)形結(jié)合能力;3.平幾與立幾間的相互轉(zhuǎn)化;4.向量法

例題講解

1.正四面體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

A,l:2B,l:3C,l:4D,l:9

2.由曲線f=4y,x?=-4>,工=4,》=-4圍成的圖形繞^軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體

積為匕;滿足/+>2<16/2+（卜一2）224?2+（/+2）224的點(diǎn)（蒼?。┙M成的圖形繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為匕，則（）

A，K=g%B,V,=|V2C,l/=KD，M=2%

3.如右圖，底面半徑r=1,被過(guò)A.D兩點(diǎn)的傾斜平面所截，截面是離心

率為一的橢圓，若圓柱母線截后最短處=L則截面以下部分的

2

幾何體體積是（）

A,—B,27C,TCD,（1+）兀

4.在四面體ABCD中，設(shè)A3=1,8=6,直線AB與CD的距離為2,夾角為三廁四

3

面體ABCD的體積等于（）

61百

A,--B,—C,—D,——

2233

5.三個(gè)圓柱側(cè)面兩兩相切，且它們的軸也兩兩相互垂直,如果每個(gè)圓柱底面半徑都是I,

那么，與這三個(gè)圓柱側(cè)面都相切的最小球的半徑是（）

V2-1V5-1

A,V2-1B「6一］

-，2D-

6.四面體ABCD的頂點(diǎn)為A,B,C,D淇6條棱的中點(diǎn)為“］，"2，%，”4，％，”6，共10個(gè)

點(diǎn)，任取4個(gè)點(diǎn)，則這4個(gè)點(diǎn)不共面的概率是（）

572447

A亍B,—C,—D,—

103570

7.正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為a,則異面直線C力與BD間的距離等于.

8.正四棱錐S—A3CD中，乙458=45°,二面角A—S3—C為。且cos6=/〃+M,(加，

n為整數(shù))，則m+n-.

9.在正三棱錐P-ABC中,AB=a,Q4=加,過(guò)A作平面分別交平面PBC于DE.當(dāng)截面

AADE的周長(zhǎng)最小時(shí),S^DE=，P到截面ADE的距離為.

10.空間四個(gè)球，它們的半徑分別是2,2,3,3.每個(gè)球都與其他三個(gè)球外切.另一個(gè)小球與這

四個(gè)球都相切，則這個(gè)小球的半徑等于.

11.三個(gè)12x12的正方形都被連接兩條鄰邊的中點(diǎn)的直線分成A,B兩

片，如圖，把這六片粘在一個(gè)正六邊形的外面，然后折成多面體,則這個(gè)

多面體的體積為?一I\O

12.直三棱柱ABC-ABC中，平面ABC1.平面AB旦4，且AC=

6明,則AC與平面ABC所成的角6的取值范圍是.

13.如圖，直三棱柱—中,AC=BC,連接

C4,若Afi,18C1,求證:AB}±CA

14.如圖，設(shè)S—ABCD是一個(gè)高為3,底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐,

K是棱SC的中點(diǎn)，過(guò)AK作平面與線段SB,SD分別交于M,N

(M,N可以是線段的端點(diǎn)).試求四棱錐S-AMKN的體積V

的最大值與最小值.

15.有一個(gè)〃的長(zhǎng)方體盒子，另有一個(gè)(根+2)x(〃+2)x(p+2)的長(zhǎng)方體盒子,

其中機(jī)〃,〃均為正整數(shù)(m<n<p)，并且前者的體積是后者一半，求p的最大值.

課后練習(xí)

1.甲烷分子由一個(gè)碳原子和四個(gè)氫原子組成，其空間構(gòu)型為一正四面體，碳原子位于該正四

面體的中心，四個(gè)氫原子分別位于該正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)上.若將碳原子和氫原子均視為一

個(gè)點(diǎn)（體積忽略不計(jì)）,且已知碳原子與每個(gè)氫原子間的距離都為。，則以四個(gè)氫原子為頂點(diǎn)

的這個(gè)正四面體的體積為（）

2.夾在兩個(gè)平行平面之間的球，圓柱，圓錐在這兩個(gè)平面上的射影都是圓，則它們的體積之

比為（）

A,3:2:1B,2:3:1C,3：6:2D,6:8:3

3.設(shè)二面角e—a—力的大小是60°,P是二面角內(nèi)的一點(diǎn),P點(diǎn)到。,尸的距離分別為1cm,

2cm，則點(diǎn)P到棱a的距離是（）

2721屈24⑨

A、-----cmB,----cmC,—cmD,-----cm

3333

4.如圖,E,F分別是正三棱錐A-BCD的棱AB,BC

6.若線段AB的兩端點(diǎn)到平面a的距離都等于2,則線段AB所在的直線和平面a

的位置關(guān)系是.

7.若異面直線。力所原角為60°,AB是公垂線,E,F分別是異面直線a/上到A,B距離為

2和平共處的兩點(diǎn)，當(dāng)|￡同=3時(shí)，線段AB的長(zhǎng)為.

8.如圖（1）,在直四棱柱A4G。-ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件

時(shí)，有AC_LA（注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形）

9.如圖(2),是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中,有下列命題：

①AB與EF所連直線平行；②AB與CD所在直線異面；

③MN與BF所在直線成60°；④MN與CD所在直線互相垂直.

其中正確命題的序號(hào)為.(將所有正確的都寫出)

10.如圖，在AA8C中,AB=AC=13,BC=I0,DE//BC分別交AB,AC于D,E.將AADE沿

DE折起來(lái)使得A到4,且A-0E-8為60°的二面角，求4到直線BC的最小距離.

11.如圖，已知矩形ABCD中,AB=l,BC=a（a〉0）,PA_L平面ABCD,且PA=1.

(1)問(wèn)BC邊上是否存在點(diǎn)Q使得PQLQD?并說(shuō)明理由；

(2)若邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使得PQJ.QD,求這時(shí)二面角Q—PO-A的正切.

課后習(xí)題答案

1.過(guò)頂點(diǎn)A,V與高作一截面交BC于點(diǎn)M,點(diǎn)0為正四面體的中心,。|為底面ABC的中心,

設(shè)正四面體VABC的棱長(zhǎng)為“，則AM=—=-AM=—m,

236

22

0A=gAM=*加，Vq=y]VM-O}M=告m，得001=VO「VO=與m—a

在RfAAOq中，AO?=00：+A。：，即/=匹〃―。）2+（也根>，得m=亞。.

則V0]=，有匕Y8c=g.§?加之?sin60°）.VQ=券/選B

溫馨提示:正四面體外接球的半徑V。吶切球的半徑。。尸a:ga=3:1.

2.K:匕：匕=（§]N）：（乃R2.2R）：（].萬(wàn)A2.2R）=2：3：1,選B.

3.設(shè)PAJ_棱a于點(diǎn)A,PM1平面a于點(diǎn)M,PN1平面夕于點(diǎn)N,PA=t,ZPAM=8,則

fsina=l廠G

<,、，得43cosa=5sina,有sina=—尸或---尸（舍去），

jsin（60°-a）=2277277

i/ni

所以f=------=------cm,選B.

sina3

4.由DE_LEF,EF//AC,有DE1AC,XAC1BD,DEQBD=D,WAC1￥ffilABD.

由對(duì)稱性得ZBAC=ACAD=ABAD=90°,于是AB=AC=A。="a.

2

v_1JV2V2.V2_V23v.

%_"￡>=—,（-------a------Q）-----〃=—a，選B.

BACD3222224

5.可由兩個(gè)相同的四棱錐底面重合而成，有2〃=日得r='-,

2

4

外接球的體積V=不選D.

33

6.當(dāng)|AB|<2時(shí),AB〃a；當(dāng)|陰=2時(shí),AB〃?；駻BJ.a;當(dāng)|AB|>2時(shí),AB//a或與a斜

交.

7.由砂=E4+AB+5￡得怛河=|E4|+|AB|+\BF\+2\EA\-\BF\-COSO

⑴當(dāng)夕=60°時(shí)，有9=4+府『+1+221g得|A@=夜；

⑵當(dāng)6=120。時(shí),有9=4+?+1—221.3，得廊卜6

8.ACJ.BD.(或ABCD是正方形或菱形等)

9.將展開的平面圖形還原為正方體N4CF-EMBD,可得只②，④正確.

10.解:設(shè)AABC的高AO交DE于點(diǎn)。］,令A(yù)Q=x,

由AO=J132—52=12,有0。1=12-x,

在。0?中,NA。。=60°,有A。？=A+O。？一2?A??GO?cos60°

得J3(x—6y+36.

當(dāng)x=6時(shí),A1到直線BC的最小距離為6.

11.解：(1)(如圖)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BQ=x，則

Q(l,x,0),P(0,0,1),D(0,a,0)^PQ=(l,x,-l),QD=(-l,a-x,0)

由PQQO,有(1,x,—1)?(—1,a-x,0)=0,得J?—ax+1=0①

若方程①有解，必為正數(shù)解，且小于a.由△=(—a)?-4?0,。>0,得aN2.

⑴當(dāng)a>2時(shí),BC上存在點(diǎn)Q,使PQ1QD；

(ii)當(dāng)0<a<2時(shí),BC上不存在點(diǎn)Q,使PQ1QD.

(2)要使BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q,使PQLQD,則方程①有兩個(gè)相等的實(shí)根,

這時(shí),△=(一a)?—4=0,得a=2,有x=l.

又平面APD的法向量勺=(1,0,0),設(shè)平面PQD的法向量為%=(x,y,z)

而加=(-1,1,0),麗=(0,2,0)-(0,0,1)=(0,2,—1),

?2QD=0ZBf(x,y,z)-(-1,1,0)=0

，解得J=y,z=2y有%=(1,1,2),則

幾2?PD=0[(x,y,z)?(0,2,-1)=0

馬-n2(1,0,0).(1,1,2)1

COS<〃[,%>=,則tan<q,?2>=石所以二面角

同?同1V6

Q—PO—A的正切為逐.

例題答案：

(0。)2=(手。一對(duì)2

1,B設(shè)棱長(zhǎng)為。，外接球的半徑為R,內(nèi)切球的半徑為r,則R2

解得R邛a,r=冬一當(dāng)"張，有廣R=13

22

2.C設(shè)A(O,a)(a>0)，則過(guò)A的兩個(gè)截面都是圓環(huán)，面積分別是(4?-x)^=(4-4”)乃和

22222

(V-x2)n-={(4-a)-[2-(a-2)]}%=⑷一4幻",于是匕=匕.

3,B在橢圓中6=r=1,又￡=交,得。=應(yīng),所求的體積丫=萬(wàn)42.1+1(4.12.2)=2萬(wàn)

a22

4,B過(guò)C作CE&4&以ACOE為底面,BC為側(cè)棱作棱柱A8/一￡8,則所求四面體的體

積匕等于上述棱柱體積匕的g,而ACDE的面積S=；CExC。xsinZECD,AB與CD

的公垂線MN就是棱柱ABF-ECD的高，于是％；MNxCExCDxsin4ECD=

』x2xlx6x且=3,因此乂=-V,=-.

2221322

5,A三個(gè)圓柱的軸為三條兩兩垂直的異面直線，而異面直線的距離都為2,則所求球的半徑

為

r=V2-l.

C^-6C^-6-3_14147

6,D

~C^-270-70

4設(shè)E是CD'上的點(diǎn)，過(guò)E作EH_L￡>C于H,所以EH_L面ABCD,過(guò)H在面ABCD

內(nèi)作HF_L6O,連接EF,所以EFJ.BD,令￡)“=二“￡=。一%，/7/=—X,所以EF=

2

J(a-x)2+(^-x)2=yj^x2-2ax+a2=+-^->等a.

8,5因各側(cè)面為全等的等腰三角形.在ASAS內(nèi)作高AE,則CE也是A58C的高，故

145°

^4￡。=9.設(shè)5?1=1則4￡：=?！辏?7，/18=8。=2411-^-,4。2=482+8。2

=8而殍=4(1345。)=4-2亞能=絲黑二”=-3+瓜

得用+〃=—3+8=5.

9,拽5a2.巫a將三棱錐的側(cè)棱PA剪開，當(dāng)AADE的周長(zhǎng)最小時(shí)，其展開圖如圖

645

^ADE的周長(zhǎng)即是展開圖中線段AA'的長(zhǎng).易證^ABD

sAPAB，又PA=2AB=2a,故AD=AB=2BD=a,

3PD3

PD=PB-BD=-a,DE=——BC==a.MDE中,

2PB4

I-i7J55

DE上的高A”=JAQ2—(一。E)2=*a于是

V28

22

SMDE=-xAHxDE=之叵?；從P向底面作高PO.則P0=yJp^-AO

264

qPD2Q0=2x姮a3=之叵a3設(shè)p到截面的距離

又口"DE_ru,_二得丫=-V

S~PB2~16^A-PDE\6A-PBC

SPBC161264

為d'則匕"。-==；小SM.=鳴°'于是d=?..

10,4設(shè)半徑為3的球心為A,B,半徑為2的球心為C,D.則易知

AB=6,CD=4,AC=AD=BC=BD=5.設(shè)小球中心為O,半徑為r，則O在

四面體ABCD內(nèi)且AO=BO=3+r,CO=DO=2+r.取AB中點(diǎn)E,連結(jié)

CE,DE,則CE1AB,DE_LAB,故平面CDE為線段AB的垂直平分面

a,所以O(shè)在平面CDE內(nèi)，又由OC=OD=2+r知O在CD的垂直平

分面p內(nèi)，故0在等腰△CED底邊CD上的高EF±（F為CD中點(diǎn)），易算出ED=EC=

32-32=4,得AECD為等邊三角形.于是EF=—ED=26.而OF=y/0C2-CF2

2

=J(2+r)2-22=〃(4+r).0E=JoV-A爐=J(3+?2-32="(6+r)，代入OE+OF

=EF=25/3得Jr(4+r)+Jr(6+r)=2G，解得r=4.

123

11,864將幾何體補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為12的正方體,幾何體的體積為正方體體積的一半，為一.

2

12,0°<6<30°作AD_LA由于D,易證AD_L平面4BC,所以NACD=6.設(shè)例=a,

AB=x，則AD=—-=?sin6,故犬=即三里.易證BC，平面片ABB,,

y/a2+x2l-3sin-0

Q2?2zjt

故NC8A=90°,從而AB＜AC,即x＜Ga,于是04上一空二＜3"2,卜皿4＜上,

l-3sin“e2

又0°＜夕＜90°,得0°＜夕＜30°.

13,證明:設(shè)D,。分另ij為AB,A4的中點(diǎn).連結(jié)CD,G。及B。，￡>A.因?yàn)锽D/Jp、人,所以

四邊形80同。為平行四邊形，得因AC=BC,于是用G=￡A.又D,。分別為

AB,A4的中點(diǎn)，故CD1AB,G。1AB|，而AB|在平面ABC（或A與￡）內(nèi)的射影為AB

（或仁耳），得AB,±CD,ABt1CQ,又已知ABt1BQ,所以1平面BCQ，從而的

.LBD］，又BD\HDA{，所以ABt_L.又ABt,LQD,，得AB{_L平面A,CD,從而得證.

14,解:為了建立V與原四棱錐5-ABC。的關(guān)系.我們先引用

下面的事實(shí)：

（如圖）設(shè)為,用,G分別在三棱錐S-ABC的側(cè)棱SA,SB,SC上，

又S-A用G與S—ABC的體積分別是乂和V,則

V；SA-5B.-SC,

V-SASBSC'

事實(shí)上，設(shè)C,G在平面SAB的射影分別是H,”「則C旦=/

11CHSC

又怒=騁'所以*端尸=塞舒.下面回到原題.

3ASAB

設(shè)型=x?=y,因S—ABC。的體積為匕=_Lx3x22=4.于是由上面的事實(shí)有

SBSD3

4=匕-,皿1匕-由，匕-AMK得V=SM-SM&4?SMSNSK

lvV$_ABDVSWBD匕W匕-皿''2SBSDSASBSDSC

SMSKSASN-SKSA+；個(gè)=于是y