四點(diǎn)共圓（隱圓壓軸五）（解析版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點(diǎn)題型-高分突破》（人教版）

專題4.8四點(diǎn)共圓1.四點(diǎn)共圓如果同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)在同一個圓上，則稱這四個點(diǎn)共圓，一般簡稱為“四點(diǎn)共圓”．2．四點(diǎn)共圓的性質(zhì)(1)共圓的四個點(diǎn)所連成同側(cè)共底的兩個三角形的頂角相等．(2)圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．(3)圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角．3．四點(diǎn)共圓的判定(1)用“角”判定：①一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；②一個外角等于它的內(nèi)對角的四邊形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上；③如果兩個三角形有一條公共邊，且位于公共邊同側(cè)的兩個角相等，則這兩個三角形的四個頂點(diǎn)在同一個圓上．(2)“等線段”判定：四頂點(diǎn)到同一點(diǎn)的距離相等，若OA＝OB＝OC＝OD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓．(3)用“比例線段”判定：若線段AB，CD(或其延長線)交于點(diǎn)P，且PA·PC＝PB·PD，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.模型解讀：模型1：對角互補(bǔ)型：若∠A+∠C=180o或∠B+∠D=180o,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓模型2：同側(cè)等角型（1）若∠A=∠C,則A、B、C、D四點(diǎn)共圓（2）手拉手(雙子型)中的四點(diǎn)共圓條件：△OCD∽△OAB結(jié)論：①△OAC∽△OBD②AC與BD交于點(diǎn)E,必有∠AEB=∠AOB；③點(diǎn)E在△OAB的外接圓上,即O、A、B、E四點(diǎn)共圓.同理：ODCE也四點(diǎn)共圓.模型3：直徑是圓中最長的弦1.定圓中最長的弦是直徑；2.經(jīng)過圓中定點(diǎn)最短的弦是垂直于過這點(diǎn)直徑的弦；3.定弦中最小的圓是以該弦為直徑的圓?！镜淅?】如圖，四邊形ABCD是某高新區(qū)核心地塊用地示意圖，經(jīng)測量得如下數(shù)據(jù)：AB＝30km，BC＝40km，∠B＝120°，∠A+∠C＝180°，請計算這塊規(guī)劃用地的最大面積．【解答】解：∵四邊形ABCD中，∠DAC+∠DCB＝180°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，如圖，延長CB，過點(diǎn)A作AE⊥CB于點(diǎn)E，連接AC，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F．∵∠ABC＝120°，∴∠ADC＝∠ABE＝60°，∴BE＝AB＝15km，AE＝＝15km，CE＝40+15＝55km，∴S△ABC＝＝＝300km2．則當(dāng)△ADC的面積最大時，四邊形ABCD的面積最大．當(dāng)AD＝CD時，DF最大，此時四邊形ABCD的面積最大．在Rt△ACE中，AC＝＝10km，AF＝AC＝5km，∵∠ADF＝＝30°，∴DF＝AF＝5km，∴S△ADC＝＝＝925km2．300+925＝1225km2．∴四邊形ABCD的最大面積為1225km2．【變式1-1】如圖，已知AC＝BC＝4，點(diǎn)D是AB下方一點(diǎn)，且∠C＝∠D＝90°，求四邊形ACBD面積的最大值．【解答】解：過點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，過點(diǎn)D作DF⊥AB，垂足為F，∵∠C＝∠D＝90°，∴AB是圓的直徑，即A，C，B，D四個點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，∵AC＝BC＝4，∴AB＝＝＝，∵四邊形ACBD的面積＝△ACB的面積+△ADB的面積，∴四邊形ACBD的面積＝AB?DE+AB?DF＝AB?（DE+DF），∴當(dāng)DE與DF的和等于圓的直徑時，四邊形ACBD的面積最大，即當(dāng)DE+DF＝時，四邊形ACBD的面積＝××＝16，∴四邊形ACBD面積的最大值為16．【變式1-2】如圖，△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∠BDC＝120°，連接BD，CD并延長分別交AC，AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F，若DE＝6，，則BD的長為（）A．10 B．12 C．15 D．16【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠BDC＝120°，∴A、E、D、F四點(diǎn)共圓，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAF，∴DE＝DF＝6，∵∠BDC＝120°，∴∠CDE＝60°＝∠FAC，∵∠ACD＝∠ACD，∴△CDE∽△CAF，∴AF：AC＝DE：CD＝6：10＝3：5，如圖，延長CF到P，使DP＝DB，∵∠PBD＝60°，∴△BDP為等邊三角形，∴∠P＝60°，∴△AFC∽△PFB，∴PF：PB＝AF：AC＝3：5，設(shè)每一份為k，∴PB＝PD＝5k，PF＝3k，∴DF＝2k＝6，∴k＝3，∴BD＝5k＝15．故選：C．【變式1-3】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，△ADC沿直線CD翻折至△ABC所在平面內(nèi)得△A′DC，AA′與CD交于點(diǎn)E．若，，則點(diǎn)A′到AB的距離是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，∴CD＝AD＝BD＝AB，∵，，∴AB＝＝＝5，∴AD＝BD＝，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，AC＝A′C＝，AD＝A′D＝，∴A′D＝AD＝，∴△AA′B為直角三角形，∴A、B、A′、C四點(diǎn)共圓，以AB為直徑，D為圓心作圓，過點(diǎn)A′作A′F⊥AB，設(shè)CD與AA′交于點(diǎn)O，如圖，∵，∴∠A′CO＝∠BAO，∵∠A′OC＝∠BOA，∴△A′OC∽△BOA，∴，設(shè)OC＝x，則OB＝BC﹣OC＝，∴，∴OA＝，OA′＝2﹣，在Rt△AOC中，OC2+AC2＝OA2，∴，解得：x＝或（舍去），∴OA′＝2﹣＝，OB＝2＝，在Rt△OA′B中，A′B＝＝＝3，設(shè)DF＝a，則BF＝BD﹣DF＝，在Rt△A′DF中，A′F2＝A′D2﹣DF2＝，在Rt△A′BF中，A′F2＝A′B2﹣BF2＝，∴，解得：a＝，∴A′F＝＝，即點(diǎn)A′到AB的距離是．故選：B．【變式1-4】如圖，正方形ABCD和正方形DEFG邊長分別為a和b，正方形DEFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①AG＝CE；②AG⊥CE；③點(diǎn)G、D、H、E四點(diǎn)共圓；④DH平分∠ADE；⑤AC2+EG2＝CG2+AE2，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③⑤【答案】D【解答】解：在△ADG和△CDE中，，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE；連接AC，∵△ADG≌△CDE，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DAG+∠CAG+∠ACD＝90°，∴∠DCE+∠CAG+∠ACD＝90°，即∠AHC＝180°﹣（∠DCE+∠CAG+∠ACD）＝90°，∴AG⊥CE；∵AG⊥CE，∠GDE＝90°，∴點(diǎn)G、D、H、E四點(diǎn)在以EG為半徑的圓上；∵a和b不一定相等，∴DH不一定平分∠ADE；連接AC，AE，EG，CG，∵AH2+CH2＝AC2，HG2+HE2＝EG2∴AC2+EG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，∵AH2+EH2＝AE2，CH2+HG2＝CG2，∴AE2+CG2＝AH2+CH2+HG2+HE2，即AC2+EG2＝CG2+AE2，∴①②③⑤結(jié)論正確；故選：D．【變式1-5】如圖，AB＝AD＝6，∠A＝60°，點(diǎn)C在∠DAB內(nèi)部且∠C＝120°，則CB+CD的最大值（）A．4 B．8 C．10 D．6【答案】A【解答】解：如圖，連接AC，BD，在AC上取點(diǎn)M使DM＝DC，∵∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∴A，B，C，D，四點(diǎn)共圓，∵AD＝AB，∠DAB＝60°，∴△ADB是等邊三角形，∴∠ABD＝∠ACD＝60°，∵DM＝DC，∴△DMC是等邊三角形，∴∠ADB＝∠ACD＝60°，∴∠ADM＝∠BDC，∵AD＝BD，∴△ADM≌△BDC（SAS），∴AM＝BC，∴AC＝AM+MC＝BC+CD，∵四邊形ABCD的周長為AD+AB+CD+BC＝AD+AB+AC，且AD＝AB＝6，∴當(dāng)AC最大時，四邊形ABCD的周長最大，則CB+CD最大，此時C點(diǎn)在的中點(diǎn)處，∴∠CAB＝30°，∴AC的最大值＝AB×cos30°＝4，∴CB+CD最大值為AC＝4，故選：A．【變式1-6】如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，將該紙片翻折，使得點(diǎn)C落在邊AB的F處，折痕為DE，D，E分別在邊BC，AC上，∠AFD＝∠DEF，若DE＝4，BD＝9，則DF＝6，△ABC的面積為．【答案】6，．【解答】解：連接AD，過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，∠CED＝∠DEF，∠C＝∠DFE，∵∠AFD＝∠DEF，∴∠CED＝∠AFD，∴A、F、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠DAF＝∠DEF，∠CAD＝∠DFE，∴∠AFD＝∠DAF，∠CAD＝∠C，∴DF＝AD＝CD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠CED＝∠DEF＝∠DAF，∴△BAD∽△CED，∴，∵DE＝4，BD＝9，DF＝AD＝CD，∴，∴DF＝AD＝CD＝6，∴BC＝BD+CD＝9+6＝15，∵AG⊥BC，AB＝AC，∴BG＝CG＝＝，∴DG＝CG﹣CD＝＝，在Rt△ADG中，由勾股定理得＝＝，∴＝＝．故答案為：6，．【變式1-7】如圖，以C為公共頂點(diǎn)的Rt△ABC和Rt△CED中，∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，且點(diǎn)D在線段AB上，則∠ABE＝30°，若AC＝10，CD＝9，則BE＝．【答案】30°，．【解答】解：∵∠ACB＝∠CDE＝90°，∠A＝∠DCE＝30°，∴∠DBC＝∠DEC＝60°，∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓，∴∠DBE＝∠DCE＝30°，∴∠ABE＝30°，設(shè)BC＝x，則AB＝2x，在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2，∵AC＝10，∴（2x）2＝102+x2，解得：x＝，∴BC＝，設(shè)DE＝a，則CE＝2a，在Rt△CED中，由勾股定理得CE2＝DE2+CD2，∵CD＝9，∴（2a）2＝a2+92，解得：a＝，∴DE＝，CE＝，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝30°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝90°，在Rt△CBE中，由勾股定理得＝．【變式1-8】如圖，AB⊥BC，AB＝5，點(diǎn)E、F分別是線段AB、射線BC上的動點(diǎn)，以EF為斜邊向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，連接AD，則AD的最小值為．【答案】．【解答】解：連接BD并延長，如圖，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∠EDF＝90°，∴∠ABC+∠EDF＝180°，∴B，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∵△DEF為等腰直角三角形，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∴∠DBF＝∠DEF＝45°，∴∠DBF＝∠DBE＝45°，∴點(diǎn)D的軌跡為∠ABC的平分線上，∵垂線段最短，∴當(dāng)AD⊥BD時，AD取最小值，∴AD的最小值為AB＝，故答案為：．【變式1-9】【問題情境】如圖①，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求證：A、B、C、D四點(diǎn)共圓．小吉同學(xué)的作法如下：連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OD，請你幫助小吉補(bǔ)全余下的證明過程；【問題解決】如圖②，在正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個動點(diǎn)，連結(jié)AE，AF，作EP⊥AF于點(diǎn)P．（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好落在正方形ABCD對角線BD上時，線段AP的長度為；（2）如圖③，過點(diǎn)P分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，連結(jié)MN，則MN的最小值為．【答案】【問題情境】見解析；【問題解決】（1）；（2）．【解答】【問題情境】證明：如圖，連結(jié)AC，取AC的中點(diǎn)O，連結(jié)OB、OD，∵∠ADC＝∠ABC＝90°，O為AC的中點(diǎn)，∴OA＝OB＝OC＝OD＝AC，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓；【問題解決】解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，AB＝2，∴AD＝2，DE＝1，∴AE＝，由【問題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，∴∠PAE＝∠PDE，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠PDE＝∠PAE＝45°，∵EP⊥AF，∴△PAE為等腰直角三角形，設(shè)AP長為a，則PE長為a，∴AP2+PE2＝AE2，即，解得：a1＝，（不合題意，舍去），∴線段AP的長度為；故答案為：；（2）由【問題情境】結(jié)論可知，A、D、E、P四點(diǎn)共圓，如圖，過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB交⊙O于點(diǎn)P′，連接PB，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠PMB＝∠MBN＝∠PNB＝90°，∴四邊形MBNP為矩形，∴MN＝PB，要求MN的最小值，即求PB的最小值，由（1）知，AE＝，∴，∵OG⊥AD，且點(diǎn)O為AE的中點(diǎn)，∴OG∥DE，∴OG為△ADE的中位線，∴AG＝1，OG＝，∵OG⊥AD，OH⊥AB，∴四邊形AHOG為矩形，∴AH＝OG＝，OH＝AG＝1，∴BH＝，在Rt△BHO中，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得，PB+OP≥OB，PB≥OB﹣OP＝，∴PB的最小值為，∴MN的最小值為．故答案為：．【變式1-10】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，將△ABC繞A點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使D點(diǎn)落在BC邊上．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：A，D，B，E四點(diǎn)共圓．【答案】（1）10°；（2）證明見解答過程．【解答】（1）解：由旋轉(zhuǎn)知，AD＝AC，∵∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠ADC＝∠C＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∴∠