矩陣?yán)碚摰谖逭抡n后習(xí)題解答

第五章課后習(xí)題解答

0cc

1.設(shè)A=c0c.討論c取何值時A為收斂矩陣.

cc0

4-c-c

解：由于|小3-川=一,2—c=(/l+c)2(/l—2c),所以A的特征值為4=2c,

-c-cA

%=4=—c，于是XA)=2H,而矩陣A收斂的充要條件是r(A)<1即

11

<c<

-2-2-

2.若吧屋>=A,證明也叫屋>|=|同］,其中A"),AeC""，||?|為C"*"中的任

何一種矩陣范數(shù)，并問該命題的逆命題是否成立，為什么？

證：由于lim川*>=Ao*>-4|=0,再利用矩陣范數(shù)的三角不等式推知

>ooATOOHII

WbMgWTI，

所以有國WTMIbo,即睡MH小

(1、

—(10、

該命題的逆命題不成立，例如取卬乃=I1工oj，A=U",并取矩陣范數(shù)

為Frobenius范數(shù)，則有［甸=liraJl+1+=亞=||A||,但!imA”)不

存在，所以limAU)*A.

Ar—>co

w,,x/

3.設(shè)AeC'"N3")eC,limA(?)=A,lim3⑷=5,證明lim=AB.

左TOOA—>00上一>8

證：limAU)BU)=AS=-Afill=0,利用矩陣范數(shù)的性質(zhì)有

A->ooA->ooIIII

忸八B⑷一AB|=|鄧**--AB(i)+AB(k}-AB］

<||(AU)-A)BU>||+||A(Ba)-5)|

4|叫||(建,-A)||+||A|M一B||

由已知條件limAa)=A,limB［k}=5及第2題結(jié)論知lim||AU)-All=0,

A->ocA—>ookT9IIII

lim|BU)-=0,忸叫=忸|.由此可見上面不等式的右邊趨于0,所以

lim|Aa)Ba)-Afi||=0.

4.設(shè)A(k)eCnxn,limAa)=A,(A(k)y'和A-1都存在,證明lim(屋)尸=4T.

上一>8

證：記adjA為矩陣A的伴隨矩陣，&為A中元素電的代數(shù)余子式，則

國，碑…公］

(建)尸=㈣￡,其中ad'=蠟反)"■磁.

(

detA)：：：

、德反…琛，

易知A肉是4⑷中元素的〃一1次多項(xiàng)式，由多項(xiàng)式函數(shù)的連續(xù)性知limA陽=A,

lJkT8〃"

故limadjAa)=adjA.同理deL4a)是Aw中元素的〃次多項(xiàng)式，所以

Af8

limdetA?=detAw0,于是lim(A⑴尸=lim幽騫=幽a=A-1.

在一>8A—>ooA—>oodetAdetA

5.設(shè)矩陣級數(shù)收斂(絕對收斂)，證明￡尸4聯(lián),。也收斂(絕對收斂)，且

k=Q4=0

方正建上尸整心］。，

A=0\左=0)

(k)mnsxmnx,

其中AGC,PeC,QeC.

NN

證：記S<N)=Z尸A#Q=P(ZA"))。，于是

k=0k=0

0N8

VPAWQ=limSw=P(limVAW)Q=P(YA(k))Q

00000000

可見若z心收斂，則z尸屋°。也收斂.如果￡屋)絕對收斂,則Z||A⑹|收斂.又由

k=0k=0A=0k=0

于同啊《kiiiriM4中叫,其中c是與人無關(guān)的正常數(shù)，由比較判別法知

￡|p建劃收斂，故￡P(guān)A(k)Q也絕對收斂.

A=0k=0

6.討論下列基級數(shù)的斂散性:

7

解：⑴設(shè)4=

-1-3

?1

可求得A的特征值為4=%=-2,所以r(A)=2.基級數(shù)2與一的收斂半徑為

k=lk~

r=lim——

A:—>oo匕

81

由r(A)=2>r知矩陣基級數(shù)ZuA"發(fā)散?

*=ik

(2)設(shè)5=；;，可求得3的特征值為兒=-3,4=5,所以r(5)=5.又

k6*+i

因事級數(shù)g標(biāo)/的收斂半徑r=lim4=lim—-------=6,r(B)<r,所以矩陣事

4+i…6人上+1

級虹i±Bk絕對收斂.

丫

7.計(jì)算￡0.10.7

0.6,

0.10.7

解:設(shè)4=由于|A，=O.9<1,故矩陣基級數(shù)收斂，且其和為

0.30.6k=0

(E—A尸目47

3|_39

8.設(shè)A,3GC"X",A5=54,證明

sin(A+B)-sinAcosB+cosAsinB,cos(A+B)~cosAcos5-sinAsinB.

證：由A6=A4,有6%口=/+%

sin(A+5)=2(*"砌一e-'3B))=

2i2i

=—[(cosA+isinA)(cosB+zsinB)-(cosA-zsinA)(cosB-zsinB)]

2i

=sinAcosB+cosAsinB

同理可證：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB.

"210、

9.設(shè)4=001,求sinAr

10,

M：|/LE3-A|=(/l+l)(/l-l)(/l-2)=0

求得A的特征值為4=-1,4=1，4=2,于是存在可逆矩陣

-1

使得piAP=1.再根據(jù)矩陣函數(shù)值公式得

2

e4,=Pdiag(e-',e',e2,)P-'

6e2'4e2'-3e'-e''2e2'-3e'+e''

=-03/+3〃3e'-3e''

6,,

03e'-3e-'3e'+3e-'

sinAt=Pdiag(sin(-r),sint,sin2f)pT

sin2t4sin2,一2sin，2sin2t-4sint

06sinr

6sinr0

-26、

10.設(shè)4=-103,求e",cos4.

-1T4>

A+12-6

解：由,紇一A|=12-3=(4-1丫=0得A的特征值4=1,解

11A-4

，-2-26、

齊次線性方程組（A—EJx=0,即-1-13x=0得2=1的兩個無關(guān)特征向量

、TT3,

%=（一1,1,0尸,%=（2,1,11.又對&2,因非齊次方程組（4一七3）萬2=。2相容，故可求得

2(01-1、

解夕2=（T，0,0）。由/,%，62構(gòu)造可逆矩陣P=110,pT=001

,01⑺1-1

fl00、

使P'AP^011為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.于是

00U

200、-12-rN0oY0-1"1-2/-2t6t、

eA,=P0￡te'PT=11ooe’te'001e-t\-t3f

00e'、000-1-13,-t-t1+3/

7o>7

'cos/003r2/sinr4-cos/2,sin/-6/sin/'

cosAt=P0cost-tsintp-'=tsintcosf+fsinf-3/sinf

、o0cost>、tsinttsintcosr-3/sin/.

'1000、

1100

11.設(shè)4=,求InA

0110

、001工

解：方法一：事實(shí)上，可證明了（AT）="（A）F成立.本題中為一約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣,

由/（A）=in（A）知/⑴=o,./（1）=i,r（i）=-i,r（D=2.所以

T￡、T(0

ADno空中01

2!3!~2310

rr

ln(A)=[ln(A)]=/（I）r⑴-01—10

誓-2~2

/(i)r⑴011

I/(i)>--10

o>k32)

-

1

11

方法二：對A求得P,使得P-"P==J,再得到

11

0000

1000

lnA=PlnJ-pT=-1100

2

11.八

-——10

L32

12.設(shè)AQ)和Ai(。均為〃階可微矩陣，證明也勤=-4-(。]她2〕Ai").

dtydt)

證：對A(f)AT⑺=后兩端關(guān)于f求導(dǎo)數(shù)可得

9十(/)+4?"=。.

dtdt

兩邊左乘A-1⑺并移項(xiàng)即得，")=-A-1(r)f竺S]AT⑺

dtydt)

13.設(shè)/(X)=rr(X，X),Xw/rx",求生.

dX

解：這是數(shù)量函數(shù)對矩陣變量的導(dǎo)數(shù).設(shè)X=(%)，則

\J/ntxn

“刈=|心遼—「X).

5=1t=\

又因?yàn)?7^=2%(i=1,2,…,機(jī)；j=1,2,…

,〃)，所以

喝

(

<=2XJ=2X.