期中復習三角形培優(yōu)教案（橫版）

三角形

適用學科初中數(shù)學適用年級初中二年級

適用區(qū)域全國新課標課時時長（分鐘）60分鐘

1、與三角形有關的線段

知識點2、與三角形有關的角

3、多邊形及其內角和

一、知識與技能

教學目標1、了解三角形的定義；

2、會畫三角形的高、中線、角平分線，并且知道它們的性質，識記銳角三角形、直角三

角形、鈍角三角形這"三線"的特點；

3、會用三邊關系判定所給三條線段能否構成三角形；

4、識記并會運用三角形的內角和定理；

5、掌握三角形外角的性質；

6、識記多邊形內角和、外角和、對角線公式及對角線引申式并會進行推導以及運用；

二、過程與方法

1、以學生為主，帶領學生復習鞏固，當學生遇到想不起來或者記憶不太清的知識

點需要重點復習；

2、把握重難點、考點結合學生的實際以及期中考試的熱點問題、經典例題進行針

對性的鞏固訓練；

3、讓學生先掌握三角形的邊角關系，再通過引導循序漸進讓學生推導出多邊形內角

和、外角和、對角線公式及對角線引申式；

4、根據(jù)不同學生的實際情況，要求不同學生掌握簡單、鞏固、拔高各種層次的題

型；

5、掌握圖形規(guī)律的一般解題方法：從特殊到一般，將整體分割為幾個個體的研究

方法。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1、讓學生對生活中經常出現(xiàn)的三角形有一個整體認知；

2、讓學生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡單到復雜、整體分離的學習方法；

3、形成對圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對解決此類問題的信心；

4、培養(yǎng)學生、轉化、分類討論等數(shù)學思想，形成特定的數(shù)學思維。

教學重點三角形三邊關系、"三線"性質、內外角和定理、多邊形及其內角和

教學難點多邊形及其內角和

教學過程

一、課堂導入

L（萊蕪）若一個正n邊形的每個內角為156°,則這個正n邊形的邊數(shù)是（）.

2、（包頭）長為9,6,5,4的四根木條，選其中三根組成三角形，選法有（）

3、如圖,MBC中，BO,CO分別是/ABC,zACB的平分線，NA=50°,貝!UBOC等于（）

0

BC

問題：以上是三角形這一章的重難點內容，它們僅僅是一個示例，相信有很多同學對于以上三個題目

有自己的解題思路，好的，在這一章我們將主要圍繞這些內容，這類題型乃至稍微復雜一點的題型進行

復習，如果是一些簡單的題型大家可能都沒問題，如果是遇到一些復雜一點的又有可能考試涉及到的題

型又該如何解答？

二、復習預習

（-）軸對稱與軸對稱圖形：軸對稱圖形是指"一個圖形"；軸對稱是指"兩個圖形"的位置關系。

（二）軸對稱與軸對稱圖形的性質：

軸對稱圖形（或關于某條直線對稱的兩個圖形）的對應線段（對折后重合的線段）相等，對應角（對折

后重合的角）相等。

（三）線段的垂直平分線的性質：

經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，簡稱中垂線。

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。這是一個證明線段相等的辦法。

到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

（四）畫軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸：

如果一個圖形是軸對稱圖形或兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任意一對對應點所連線段的垂直平

分線。因此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個圖形的

對稱?由。

（五）軸對稱變換：

畫一個圖形關于某條直線對稱的圖形，只要分別作出這個圖形上的關鍵點關于對稱?由的對應點，再連接

這些對應點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形。

用坐標表示軸對稱：

（六）在平面直角坐標系中，關于X軸對稱的兩個點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；關于軸對稱

的兩個點的縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)。如關于X軸對稱的點的坐標為（。，詢,關于）‘軸對稱

的點的坐標為

三、知識講解

考點/易錯點1

與三角形有關的線段

1、三角形的中線、高線、角平分線

三角形

的

定義圖形表示法說明

重要線

段

從三角1.是△48C的三角形有三

A

形的一8c邊上的高線。條高,且它們

三角形

2.AD1BCTD

個頂點拄o（或它們的

的高線BDC3.

向它的延長線）相交

ZADB=ZADC=90

對邊所o于一點，這個

o

在的直交點叫做三

線作垂角形的垂心。

線，頂點

和垂足

之間的

線段。

三角形有三

三角形

條中線，都在

中，連接

1.八。是/XABC的三角形的內

—頂A

三角形8c邊上的中線。部，且它們相

點和它

的中線交于一點，這

42.BD=DC=-BCO

對邊中2

個交點叫做

點的線

三角形的重

段。

心。三角形的

重心在三角

形的內部。

三角形

三角形有三

—內

條角平分線，

角的平

都在三角形

分線與

的內部，且它

三角形它的對41.AD是/VlBC的

們相交于一

的邊相交，N84C的平分線。

點，這個交點

角平分連接這2.Z1=Z2=,

2叫做三角形

線個角的ZBAC

O的內心。

頂點與

三角形的內

交點之

心在三角形

間的線

的內部。

段。

2、三邊關系

①判斷三條線段能否構成三角形，最簡捷的方法是：用兩條較短的線段的長度之和與最長線段的長度

進行比較，若兩條較短線段的長度之和大于最長線段的長度，則這三條線段可以組成三角形；否則不能

組成三角形。

②已知兩邊長求第三邊長的取值范圍的方法：已知三角形兩邊長為a,b,則第三邊長x的取值范圍

是卜-耳<x<a+bo

考點/易錯點2

與三角形有關的角

1.三角形內角和定理

(1)定理：三角形內角和是180°BPzA+zB+zC=180°

(2)作用：它是三角形三個內角必須滿足的條件；它實際上提供了三個內角滿足的一個等量關系，是

求三角形角度時常用的一個條件。

(3)定理形式的變形：

①//=180°-乙B-Z.C;②N8+ZC=180°-N/

-ZA+-ZB+-ZC=90°

③222(數(shù)學中的公式不是一成不變的，它可以變通。)

2.直角三角形的性質：直角三角形兩銳角互余；直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三

角形。

3.三角形的外角及三角形內角和定理的推論

(1)三角形外角：三角形的一邊與另一條邊的延長線組成的角。

(2)三角形的外角性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

(3)三角形的外角和是360%

考點/易錯點3

1.在三角形中進行有關角的計算時，要注意三角形內角和定理這一隱含條件的應用；

2.“直角三角形的兩個銳角互余"和"有兩個角互余的三角形是直角三角形〃是直角三角形的重要性質及

判定，利用此性質和判定比應用三角形內角和定理更直接、便捷；

3.本講中很多求角的度數(shù)的問題都可以采用列方程的方法來解答；

4.三角形的外角和與它相鄰的內角互為鄰補角。

考點/易錯點4

多邊形及其內角和

1、多邊形的有關概念

①多邊形的定義

在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。

注意：(1)理解多邊形的定義要從以下兩方面考慮：一是"在同一平面內"；二是"一些線段首尾順次相

接"；兩者缺一不可。

(2)多邊形通常以邊數(shù)來命名，具有〃條邊的多邊形叫〃邊形。三角形、四邊形都屬于多邊形。

②.多邊形的內角、外角、對角線的概念

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內角。

多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

注意：從〃邊形的一個頂點可以引出（〃-3）條對角線，過〃個頂點有條對角線，但每條對角

〃（九—3）

線都計算了兩遍，所以〃邊形共有條對角線。

③.正多邊形的概念

各邊相等各角也相等的多邊形稱為正多邊形。

注意：正多邊形必須同時滿足兩個條件：一是"各邊相等〃、二是“各角也相等〃，兩者缺一不可。例如，

各角都相等的四邊形是矩形；各邊相等的四邊形是菱形。只有各角相等，各邊也相等的四邊形是正方形

（正四邊形X

考點/易錯點5

2、多邊形的內角和

1.一般地，〃邊形的內角和等于（"2）180（?>3）o

探究方法：由于從〃邊形的一個頂點可引（〃-3）條對角線，這些對角線把〃邊形分成（〃-2）個三

角形，每個三角形的內角和是180。，所以〃邊形的內角和為（”2）18。。,而正〃邊形的每個內角為

（“2）-180°

no

2.任何多邊形的外角和都等于360%

探究方法：由于〃邊形的任何一個外角加上與它相鄰的內角都等于180。，〃個外角連同它們各自相鄰

的內角共有2〃個角，這些角的總和等于〃」8。。，所以外角和為〃」8?！?（"2）」8。。=36。。，即多邊形的外角

和為360°

考點/易錯點6

方程思想是我們學習數(shù)學的重要思想方法之一。用方程思想求解數(shù)學問題時，應從題中的已知量與未知

量的關系入手，找出相等關系，運用數(shù)學符號語言將相等關系轉化為方程，再通過解方程，使問題得到

解決。方程思想應用非常廣泛，我們不但能用方程思想解決代數(shù)問題，而且還能夠解決有關的幾何問題。

考點/易錯點7

1.利用多邊形的內角和公式伍-2）/80。解決實際問題時，如果知道〃的值，那么可以直接求出〃邊形的

內角和；如果知道多邊形的內角和，那么可以根據(jù)多邊形的內角和公式（-2）」8。。構造方程，通過解方程

求得邊數(shù)。

2.利用多邊形的外角和等于360。解決問題時，應真正理解多邊形的外角和與邊數(shù)無關。所以，在解決

多邊形問題時常把內角問題轉化為外角和問題解決。

四、例題精析

[例題1]

【題干】某同學用長分別是5cm,7cm,9cm,13cm的四根木棒擺三角形（用其中三根木棒首尾

順次相接），每擺好一個后，拆開再擺，這樣最多可以擺出不同的三角形的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C.

【解析】根據(jù)三角形的三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊進行分析。從4根不同長度的木棒中任

選根，有種可能:再逐一檢驗,發(fā)現(xiàn)第三組不可能，

345,7,9;5,9,13;5,7,13;7,9,13o

因為5+7<13。所以選C。

［例題2］

【題干】一個三角形的兩邊長分別為5cm和3cm,第三邊也是整數(shù)，且周長是偶數(shù)，則第三邊長是

：)

A.2cm或4cmB.4cm或6cmC.4cmD.2cm或6cm

【答案】B.

【解析】設第三邊長為x,貝！］5-3<x<5+3,即2<x<8。又x為偶數(shù)，因此x=4或6。故選B。

[例題3]

【題干】等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm兩部分，則這個等腰三角形

的底邊長是_____O

【答案】5cm.

【解析】設等腰三角形的腰長是底邊是根據(jù)題意，得：

xcm,ycmo

XfX…

X4—=12XH—=21

<2或2,

y+—=21y+—=12

、2、2

解得或f=

y=171y=5

根據(jù)三角形的三邊關系，知：不能組成三角形，應舍去。所以它的底邊是

8,8,175cmo

[例題4]

【題干】如圖，D為AABC中BC邊上的任意一點(不與B、C重合)，AE和AF分別是3BD和3CD

的角平分線。B

求證：

zEAF=|zBACoD/A

【答案】:AE和AF分別是“ABD杵ACD的角平分線-3=/4忖/BAD,止/2忖9口，

/.z3+z2=lzBAD+lzCAD=i(zBAD+zCAD)=izCAB,

2222

即/EAF竹/BAC。

【解析】從三角形的角平分線的定義，你能得到什么呢？“是“8。的角平分線，得到N3=N4=g

/8/。;/尸是“。的角平分線得到N1=N2=#CI。。從需要求證的N￡4尸我們想到它等于N3+N2,

再通過計算，就可以得到結論。

[例題5]

【題干】有一塊三角形綠地，現(xiàn)在要把它分成面積相等的四塊三角形，請你設計一個可行的方案，并

畫出示意圖。

【答案】如圖①所示：先找出的中點。，再連接DB,再找出的中點E,連接/￡CE,就可

以把三角形的綠地分成面積相等的四塊；

如圖②所示：先找出的中點。，再連接DC,再找出。右的中點E,連接/巳找到8c的中點F,

連接DF,就可以把三角形的綠地分成面積相等的四塊。

圖①圖②

【解析】根據(jù)"等（同）底等（同）高的三角形面積相等"，結合三角形的中線、等分點的定義去設

計方案。本題屬于方案設計類問題。實質是把一個三角形分成面積相等的四個三角形，”等（同）底等

（同）高的三角形面積相等"是根本依據(jù)，還有很多方案，只要滿足條件均可。如下圖所示:

[例題6]

【題干】如圖,在△48C中，4?平分N847且與8c相交于點。,ZB=40°,ZBAD=30°,貝！J/C

的度數(shù)是____________.

【答案］80°.

【解析】平分/必0且與8c相交于點。，「?/加仁2/8/。，?.2加。=30°,

:.^BAC=60°,.?/8=40°,/.zC=180o-(乙B+Z.BAC)=180°-(40°+60°)=80°

[例題7]

【題干】如圖，在△/8C中，/￡OB、0c分別平分乙ABC、N/U8,O2L8C,求證：N1=N2。

【答案】在“8。中，/8/U+N/8c+//告180°j/EOB、OC分別平分NmC"BC、Z.ACB,

"OAB二1ABAC,乙OBA二i乙ABC,乙OCD:乙OCB二1乙ACB,:z.l=^OAB+z.OBA=1

2222

(^BAC+^ABC)=^{180°-〃6)=90。-^ABC；：OD1.BC,:.z,2=^°-/。。=90°-^ABC,

.,.zl=z20

【解析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，N1=4N/8G4

22

/以「，/2=90°-；"",而〃比；〃8/m「三個角的一半之和等于90°,所以/2等于〃歌

與NHIC的一半的和，所以N1與/2相等。

[例題8]

【題干】如圖,凸六邊形ABCDEF的六個角都是120°,邊長AB=2cm,BC=8cm,CD=11cm,

DE=6cm，你能求出這個六邊形的周長嗎？

【答案】46cm.

【解析】如圖，分別作直線、、的延長線使它們交于點、、

ABCDEFGHPo

因為六邊形的六個角都是所以六邊形的每一個外角的度數(shù)都是

ABCDEF120°,ABCDEF60°o

所以三角形APF、BGC、DHE、GHP者B是等邊三角形。所以GC=BC=8cm,DH=DE=6cm。

所以GH=8+ll+6=25cm,FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8=15cm,EF=PH-PF-EH=25-

所以六邊形的周長為

15-6=4cmo2+8+11+6+4+15=46cmo

[例題9]

【題干】如圖，小亮從/點出發(fā)前進10/77,向右轉15°,再前進10/77,又向右轉15°,...,這樣一直

走下去，他第一次回到出發(fā)點/時，一共走了m。

【答案】240（米）.

【解析】設邊長為10m的正多邊形的邊數(shù)為no依據(jù)多邊形的外角和等于360°,得15。.〃=360。，解

得〃=24。小亮第一次回到出發(fā)點A時，一共走了24x10=240米。

【例題10]

【題干】一個多邊形除了一個內角外，其余內角的和為2478°,求這個內角的度數(shù)。

【答案】42°.

【解析】設這個內角為x度，則此多邊形的內角和為2478+x,而2478=180x13+138,故

2478+x=180xl3+(138+x),又138+x應是180的整數(shù)倍，且0<x<180,故有138+x=180,

x=42,即這個角為42。。

五、課堂運用

【基礎】

1.一個三角形的兩邊分別是5和11,若第三邊是整數(shù)，則這個三角形的最小周長是（）

A.21B.22C.23D.24

【答案】C.

【解析】解：?.第三邊的取值范圍：6<x<16,

第三邊的最小值為7,

這個三角形的最小的周長=5+11+7=23.

故選C.

2.(龍湖區(qū)模擬)如果等腰三角形的兩邊長分別為3和5,那么這個等腰三角形的周長是________

【答案】11或13.

【解析】解：(1)當?shù)妊切蔚难鼮?，底為5時,3,3,5能夠組成三角形，此時周長為3+3+5=11.

(2)當?shù)妊切蔚难鼮?,底為3時,3,5,5能夠組成三角形，此時周長為5+5+3=13.

則這個等腰三角形的周長是11或13.

故答案為11或13.

3、如圖,在AABC中,ZABC與NACB的平分線相交于0點.若NBOC=130°,貝！J/A=.

A

BC

【答案】80°.

【解析】解:..NBOC=130°,

.,.ZOBC+ZOCB=50°,

,?,ZABC與NACB的平分線相交于。點，

/.ZABC=2ZOBC,ZACB=2ZOCB,

「.NABC+NACB=2(ZOBC+ZOCB)=100°,

/.ZBAC=80°.

4.一個五邊形的5個外角的比是1:2:3:4:5,則這個五邊形的最大外角的度數(shù)是_

【答案】120°.

【解析】解:設最小的一個外角是X。，則另外四個外角分別是:2x°,3x°,4x°,5x°.

根據(jù)五邊形的外角和定理得到：

x+2x+3x+4x+5x=360,

15x=360,

x=24.

則最大的外角是：5x24°=120°.

故答案為：120°.

5.如圖，在ZkABC中，D是BC邊上一點，且BD：DC=2：1,AACD的面積為4,則MBC的面積為

【答案】12.

【解析】等高的兩個三角形面積的比等于底的比，因為4ACD的面積為4,所以三角形ABC的面積等于

12.

6.如圖，點D是3BC的邊BC上任意一點，點E、F分別是線段AD、CE的中點，且SBC的面積為

18cm2,貝?。較BEF的面積=.

【答案】4.5.

【解析】解:二?點E是AD的中點,

?1

==

.*.SAABE-SAABDISAACESAADCI

.11

X

-'-SAABE+SAACE=2^^ABC=218=9,

?1i

x

-'-SABCE="SAABC=218=9,

.??點F是CE的中點,

-e-SABEF=2SABCE=-X9=4.5.

故答案為：4.5.

7.已知三角形的三個外角的度數(shù)比為2：3：4,則它的最大內角的度數(shù)為

【答案】100°.

【解析】解:設三個外角的度數(shù)分別為2k,3k,4k,

根據(jù)三角形外角和定理，可知2k°+3k°+4k°=360°,得k=40°,

所以最小的外角為2k=80°,

故最大的內角為180°-80°=100°.

【鞏固】

1.如圖，三角形/8C中，平分N8/C,EG1AD,且分別交AB、八。、/C及8c的延長

線于點EH、F、G,下列四個式子中正確的是

A.Nl=g(N2—N3)B.Z1=2(Z2-Z3)

L1

C.ZG=-(Z3-Z2)D.ZG=-Z1

2

【答案】c.

【解析】解：..AD平分NBAC,EGJ_AD,..NUNAFE,

,.z3=zG+zCFG,zl=z2+zG,zCFG=zAFE,

.'.z3=zG+z2+zG,zG=1(z3-z2).

故選C.

2.如圖所示，在SBC中，已知AD是SBC角平分線，DE是SDC的高線,zB=60°,zC=40°,求

zADB和NADE的度數(shù)

【答案】zADB=80°,zADE=40°.

【解析】解：二?在^ABC中,zB=60°zzC=40°,

.-.zBAC=80°,

?.AD是^ABC角平分線，

/.zBAD=zDAC=-2zBAC=40°',

/.zADB=80°,

?.DE是3DC的高線，

.-.zDEA=90°,

.1.zADE=40°.

3.(吉林)如圖,在Rt^ADB中，ND=90°,C為AD上一點,貝!]x可能是().

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B.

【解析】解：.??NACB是ABCD的一個夕卜角，

.,SO。<6x<180°,

.?.15°<x<30°.

故選B.

4.如圖所示,將-BC沿EF折疊，使點C落到點C'處，試探求Nl,Z2與NC的數(shù)量關系

【答案】Zl+Z2=2ZC.

【解析】解：，/Zl=180°-2zCEF,Z2=180°-2ZCFE,

/.Zl+Z2=360°-2(ZCEF+ZCFE)

=360°-2(180°-ZC)

=360°-360°+2ZC=2ZC.

5.（河西區(qū)一模）如圖,CDIIAF,ZCDE=ZBAF,AB±BC,ZC=124°,ZE=80°,貝UNF=

【答案】134°.

【解析】解：連接AD,在四邊形ABCD中，ZBAD+ZADC+ZB+ZC=360°

?/AB±BC,

.,.ZB=90°,

又?.?NC=124°,

.-.ZBAD+ZADC=360o-124°-90o=146°,

,/CDIIAF,

/.ZCDA=ZDAF,

在四邊形ADEF中,

?/ZADE+ZDAF=360o-ZC-ZB=360o-(124°+90°)=146,

ZDAF+ZEDA+ZF+ZE=360°,

/.ZF+ZE=214°,

又?..NE=80°,

.-.ZF=134°.

c

6.如圖,BC±CD,N1=N2=N3,Z4=60°,Z5=Z6.

(1)CO是"CD的高嗎？為什么？

(2)N5的度數(shù)是多少？

(3)求四邊形ABCD各內角的度數(shù).

【答案】⑴是,見解析(2)30°⑶ZCDA=105°,ZDCB=90°,ZDAB=60°,

ZABC=105°.

【解析】解：(1)CO是ABCD的高.

理由：在MDC中,-.ZBCD=90o,

/.Zl+Z2=90°,

又,「N2=N3,

/.Zl+Z3=90°,

/.CO±DB,

?.CO是ABCD的高.

(2)---COXDB,

.-.Z5=90o-Z4=90°-60o=30°.

(3)zCDA=zl+z4=45°+60°=105°,

?.zDCB=90°,z5=z6=30°

.?.zDAB=z5+z6=30°+30°=60°,

zABC=105°.

【拔高】

1.如圖所示，已知AABC的NABC和NACB的外角平分線相交于D,ZA=40°,求NBDC的度數(shù).

【答案】70°.

【解析】解：vBDxCD是/ABC和NACB夕卜角的平分線,

.-.zCBD=|(zA+zACB),zBCD=1(zA+zABC),

?.zABC+zACB=180°-zA,

zBDC=180°-zCBD-zBCD

=180°-1(zA+zACB+zA+zABC)

=180°--(2zA+180°-zA)=90°--zA=70°.

2'72

2.如圖，在SBC中，AB二AC,點D在AC上,且BD=BC=AD,求^ABC各角的度數(shù).

【答案】ZA=36°,ZABC=ZACB=72°.

【解析】解:設NA=X.

-/AD=BD,

.t.zABD=zA=x;

?「BD=BC,