奇函數(shù)+M模型問題-2023年新高考數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸小題（解析版）

奇函數(shù)+M模型問題

一、單選題

L(2023叁?山西大同?高三號(hào)階代練習(xí))函數(shù)/(①)=-^―+考■的最大值為M,最小值為N,則M+

e■+-1|創(chuàng)十]

N=()

A.3B.4C.6D.與m值有關(guān)

【答案】C

【解析】由題意可知J3)=*不+T署=3—與F+1魯p

e+1|x|+le+1|x|+l

設(shè)g(1)=-(+；)+￡[,則g(c)的定義域?yàn)?一8,+8),

所以9(f)=e-+l+MTT=Te_1+所卜P⑺'

所以g(x)為奇函數(shù)，

所以g(6)max+9(￡)min—。，

所以/(0)max+/(4)min=河+N=^(X)niax+3+g(±)min+3=6,

故選：c.

2.(2023-全國(guó)?高三壽題練習(xí))已知函數(shù)/(工)=("-2a:)sin3-1)+黃]在[-1,1)U(1,3]上的最大值為

M,最小值為N,則Af+N=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由/(x)=[(x—I)2—l]sin(s-1)+1+J]

令a—1=3

因?yàn)棰貵[—1,1)U(1,3],所以力￡[—2,0)U(0,2];

那么J(x)轉(zhuǎn)化為g(t)=t2sint+.—sint4-1,16[—2,0)U(0,2],

令h(t)=/sint+J—sint,16[—2,0)U(0,2],

則h(—t)=(-t)2sin(-t)+1—sin(—t)=—(t2sint+—sin力=-h(t)>

(T)t

所以,"%)是奇函數(shù)

可得h(t)的最大值與最小值之和為0,

那么的最大值與最小值之和為2.

故選：3.

3.(2023-全國(guó)?高三壽題練習(xí))已知函數(shù)/(0=ln(x+V1W)+[+4在]-8,8]上的最大值和最小值分

別為則A/+m=()

A.8B.6C.4D.2

【答案】A

【解析】設(shè)gQ)=1口3+，1+/)+.,aw[-8,8],

因?yàn)間(-c)=ln(-c+A/1+/)一3=ln(-----，夕)-；=一。(乃，

x'⑦+"1+ar'x

所以函數(shù)g(c)為奇函數(shù)，

所以gQ)max+g(￡)min=。，

所以J(c)niax+/(4)mfn—[g(0)max+4]+[。(①)min+4]—8,

所以M+m=8.

故選：A.

4.(2023-全國(guó)-高三專題練習(xí))函數(shù)/(。)=<在[—2019,0)U(0,2019]上的最大值為”,

最小值為N,則M+N=()

A.4038B.4C.2D.0

【答案】B

I解析"廣型空空="+2

設(shè)加)=』則g(.，)=紀(jì)要=『=一代)，為奇函數(shù)-

,f(2)max=9(￡)max+2,/(X)mi?=gQ)min+2

即M+771=g(H)max+g3)min+4=4

故選3

5.(2023-全Bl?商三*題練習(xí))已知函數(shù)/(z)=(T2-2x)sin(a;-l)+x+l在區(qū)間[-1,3]的最大值為”,

最小值為m?，則M+m—

A.4B.2C.1D.0

【答案】A

【解析】設(shè)￡=2一1,則.f(z)=(X2-2x)sin(x-1)+x+1=(t2—l)sint+1+2,tC[—2,2],記g(t)=(t2—

l)sint+￡+2,則函數(shù)y=g(t)—2=(t2—l)sint+1是奇函數(shù)，由已知y=g(t)—2的最大值為M—2,最小

值為m—2,所以M—2+(m—2)=0,即M+m=4,故選A.

2

6.(2023春?貴州貴陽(yáng)?高三貴用一中校考階段練習(xí))函數(shù)/(,)=In]若+(x-2x)sin(a；-1)+2工+a在

[0,2]上的最大值與最小值的和為8,則a的值為()

A.-2B.2C.4D.6

【答案】B

【解析】因?yàn)閒(x)=In31：+(X2—2a?)sin(a;-1)+2x+a,

X十1

所以f3+D=+(①2—l)sinx+2N+2+Q,

令g(%)=f(①+1)-2-a=|n-|-+(/-l)sina;+2x,

因?yàn)閒Q)的定義域?yàn)閇0,2],

令i+l€[0,2],得：[-1,1],

故。(力)的定義域?yàn)閇—L1],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且9(-u)=+[(-X)2—l]sin(-a7)-2x=-ln^—-(x2-l)sinx—2x=-g⑺,

所以g(i)為奇函數(shù)，

所以ff(x)max+ff(x)min=0,

即/(工+l)max—2—a+f(x+l)rnii>—2—a=0,

故:re[-1,1],f(x+1)rnax+f(x+l)niil,-4+2a

所以當(dāng)：EC[0,2]時(shí)，.f(￡)max+/(±),nM=4+2a,

所以4+2a=8,解得：a—2.

故選：B

7.(2023春?山西忻州?玄三統(tǒng)才階段練習(xí))已知函數(shù)/(?)=迎士號(hào)嚼署里空的最大值與最小值之和為

6,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

3a+2sini+acosza(3+cosx)+2sinx2sina;

【解析】/(“)=-----TT----------=Q+,定義域?yàn)镽,

3+cosx3+cosa;3+COST

令9(1)=3鬻五,工€凡

因?yàn)間(-a；)=一五等*7=-gQ))所以函數(shù)g(2)為奇函數(shù),

設(shè)g(1)的最大值為M,最小值為m.

所以A/+m=0,

因?yàn)?(1)1皿=。+“，/3焉】=。+皿，函數(shù)/(%)的最大值與最小值之和為6,

所以J(^)max+/(^)nun=2。+Af+7九=2。=6,解得。=3.

故選：B

8.(2023春?寧夏石嘴山?高三平，中學(xué)?？计谥?若對(duì)任意見沙￡區(qū),有『3+")=/(3;)+/(2/),則函數(shù)

gQ)=^+/Q)+3在［-2019,2019］上的最大值”與最小值m的和M+m=()

ar+1

A.-6B.6C.-3D.5

【答案】B

【解析】在/(c+y)=f3)+/(y)中，令a=y=。得/(o+o)=2/(0),即/(o)=o,令g=得/(%?)+

/(-1)=0,即/(一1)=一/3),???/(])是奇函數(shù)，令無(wú)3)=—T7V+/(±),則h(x)=+/(一⑼=

or+1力~+1

--^--f(x)=-h(z),h,(x)是奇函數(shù)，，在對(duì)稱區(qū)間上九Qmx+Ma;)=0,當(dāng)工€[-2019,2019]時(shí),

x'+11nto

g(z)a=M=/i(x),nax+3,g(x)mia=M=/i(x)min+3,/.M+m=/i(x)max+h(x)min+6=6.

故選：B

9.(2023春?江蘇常州?高三常州市第一中學(xué)校才開學(xué)考試)已知a>0,且a片1,函數(shù)/(x)=誓答+In

(布下一21)(—IVz&l),設(shè)函數(shù)/㈤的最大值為M,最小值為",則()

A.M+N=8B.M+N=10C.M-N=8D.M-N=10

【答案】A

l解析】/Q)=+ln(V!T4?-2x)(-1<X<1),

a+1

令gQ)=ln(Vl4-4x2—2x),x€[—1,1],

由g(-x)=ln(Vl+4x2+2x)=In/L---

VI+4x~-2x

——ln(Vl+4x2—2x)——g(x),

可知g(—z)=—g(M,

故g(⑼函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

設(shè)g(⑼的最大值是a,則g(x)的最小值是一a,

令人(0=一一——,

a+1

當(dāng)OVaVl時(shí),田①)在［-1,1］遞減,

所以八3)的最小值是“-1)=一一駕，八(工)的最大值是帆1)=一一1Y，

故M—1)+”(1)—■—2,

：.f(x)的最大值與最小值的和是10—2=8,

當(dāng)a>l時(shí)，九㈤在單調(diào)遞增，

所以無(wú)Q)的最大值是"-1)=一一駕，”⑼的最小值是八(1)=——IY，

CLrXClI1

故7i(—1)+/i(l)=-2,

故函數(shù),(H)的最大值與最小值之和為8,

綜上：函數(shù)/(⑼的最大值與最小值之和為8,

故選：A.

10.(2028叁?河南焦作?商三溫縣第一商11中學(xué)校才階盤練習(xí))若函數(shù)/3)=±或在區(qū)間

［-3,5］上的最大值、最小值分別為〃、<1，則p+q的值為().

A.2B.1C.6D.3

【答案】C

x

_【解_析,_】因?yàn)?/“(H、)=-3-?-&---~---鬲sin'(-x----1-)sin(a;-1)

sin(z-1)

所以/(n)—3="(i+l)-3=-嚕

5

因?yàn)楹瘮?shù)/(z+l)-3為奇函數(shù)，所以它在區(qū)間［-4,4］上的最大值、最小值之和為0,

也即p-3+q-3=0,

所以p+q=6

11.(2023春?林建及門?商三及門一中校才階段練習(xí))己知/⑺=在1+ax+cos2x，若f(f)=2,則

/(一專)等于()

O

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】??"(4)=+QI+COS2N,

??J3)+/(-，)=最y+2，i+2cos2a=儕y+或1+2cos2%=1+2cos2%,

；J傳)+/(-5)=1+2cos牛=0,

OOO

故選：A.

12.(2023樂廣西桂林?商一?？计谥?已知函數(shù)/⑺=In(VTW-3工)+1，則〃電2)+/(舄)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

［解析】由于Vl+9x~-3x>3|c|—：近>()恒成立，

故/Q)=ln(Jl+922—3c)+1的定義域?yàn)镽,

令g(x)=/(x)—1=ln(Vl+9x2—GR,則g(—x)=ln(Vl+9rc2+3x),

而g{x}+g(—力)=ln(Vl+9x2—3a：)+In(V1+9a:24-3x)=Ini=0,

故g(—1)=一gQ),故g(￡)為奇函數(shù)，

則9(lg2)+g(舄)=g(lg2)+g(-lg2)=g(lg2)-g(lg2)=0,

即〃lg2)—1+/(lgy)-l=0,.-./(lg2)+/(lg^)=2,

故選:C

13.(2023-全'國(guó)?高三'題練習(xí))若對(duì)Vc,yC有/Q+y)=/(x)+/(y)-4,則函數(shù)g(c)=~~r+f(x)

x+1

在［—2018,2018］上的最大值和最小值的和為()

A.4B.8C.6D.12

【答案】B

【解析】V工，,eR.有/(①+y)=f(①)+f(y)-4,

取c=y=0,則/(O)=f(O)+f(O)—4,故f(0)=4,取y=一應(yīng)則f(0)=f(x)+f(-x)-4,故JQ)+f(—a:)

=8,

令h(x)=f(x)—4,則h(x)+h(—x)=/(x)—4+f(—x)—4=8—4—4=0,故從工)為奇函數(shù)，：式工)=

-/fv+式x)、設(shè)以⑼=一芝「>

則g(x)=cp［x)+h(x)+4,V<p(—x)----=一@3),故0(￡)為奇函數(shù)，故y=3(力)+九3)為奇函數(shù)，

X+1

故函數(shù)g在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是0,

而g(x)是將函數(shù)g的圖像向上平移4個(gè)單位，即在［-2018,2018］上最大值和最小值均增加4,

故函數(shù)g(i)在［-2018,2018］上的最大值和最小值的和是8,

故選：3.

14.(2023?廣西桂林?統(tǒng)考一模)/3)是定義在R上的函數(shù),/(z+*)+5為奇函數(shù)，則/(2023)+/(-2022)

=()

A.-1B.—x-C.D.1

【答案】A

【解析】/⑻是定義在R上的函數(shù),加+3)+/為奇函數(shù)，則

./-(-x+y)+y=-［/(x+y)+y］=>/(-x+y)+/(x+^-)=-l.

???7(2023)+7(-2022)=/(^-+y)+/(-^-+y)=-1.

故選：A

15.(2023叁?河南洛用?玄一盂洋縣第一方級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知關(guān)于力的函數(shù)/(⑹=

5.+板2+y+sin”+#在［—2022,2022］上的最大值為M,最小值N,且A/+N=2022,則實(shí)數(shù)t的值

x2+t

是()

A.674B.1011C.2022D.4044

【答案】B

1,5a:3+tx2+3x+sinx+i2t(x2+1)4-5x;i4-3x4-sina;5x:i+3x+sinx

【r&解z析】：/(￡)=-----------T--;------=--------T----------------=t+----------T--;-------,xc￡

X-+t3T+￡X~+t

［-2022,2022］,

???令g(z)=+陰sine,工G[-2022,2022],則f(x)=gQ)+t,

X-Vt

gQ)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(-工)=昱二彳誓■辿旦=二*.=_*),

所以g(;r)為奇函數(shù)，

.,?9(C)max+g(2)min=0(奇函數(shù)的性質(zhì)),

M+N=f(￡)1nlMt+/3)min=g他)mw+t+g3)ndn+t=2022,

:.2t=2022,即t=1011.

故選：B

二、填空題

16.(2023-全國(guó)?商三階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(”)=產(chǎn),aCR的最大值為“，最小值為m,則M+m

【答案】1

（，+iy+a/：/+2z+1+az*1.1

【解析】73)________________________________2x+ax^

2/+2—2/+2—22d+2

人/\\1__2x+ax

令g3）一/（工）一2一三”

則g(-X)=二:工二罕?=一。(力，所以g3)為奇函數(shù),

Zx"+2

所以9(力的最大最小值分別為M—方，772—

由奇函數(shù)的性質(zhì),可得(A/—y)+(m-y)=0,

所以Af+m=1.

故答案為：1.

17.(2023-全國(guó)?；?三專題練習(xí))函數(shù)〃工)="3+simc(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在區(qū)間［一1,1］上的最大

值和最小值之和等于.

【答案】2

［解析】f(x)--；［T?+sinx=>f(x)-1=?。二三+sine,

e+ee+e

設(shè)八㈤=f(i)-1,xE［-1,1］,

則h(-x)='三一J+sin(-x)=-一J：—sinx=—/i(x),所以無(wú)(％)為奇函數(shù)，

eIeeIe

h'(x)=f(x)=/i+COST>0,

(e"+1)-

因此函數(shù)/z(rr)在:r€［—1,1］上單調(diào)遞增.

h(x)的最大值和最小值之和=/?,(1)+%(—1)=0,

故/(⑼在區(qū)間［-1,1］上的最大值和最小值之和為2.

故答案為：2.

18.(2023?全國(guó)?商三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/⑺=2()18111+x)+2019sinx+2020,xG[—的最大

值為M,最小值為N,那么M+N=.

【答案】4040

【解析】令g(c)=20181n(Vx2+14-x)H-2019sinx,xE[—*

因?yàn)?018111(，爐+l—i)+20181n(^/(—x)2+1+c)=20181nl=0,

2019sin(—rr)+2019sinT=0,

故g(7)+g(f)=。,所以9⑺為[-y.y]上的奇函數(shù)，

故g(±),皿+g(N)min=0-

又MngQhnx+ZOZO,N=g(H)min+2020,

故M+N=4040.

故答案為：4040.

19.(2023年?湖南長(zhǎng)沙?；?三長(zhǎng)沙一中校聯(lián)考濟(jì)盤弊習(xí))已知函數(shù)〃工)=log3(c+J?不1)+言]在

[―fc,fc](fc>0)上的最大值與最小值分別為A1和7八,則函數(shù)g(rc)=(Al+m)i+[("+m)⑦一的圖象

的對(duì)稱中心是.

【答案】(4,1)

2

【解析】已知/(2)=log:i(x+J-+1)+/[.,/(-X)=logs(一工+Vx+1)+(、矢]=

2

log:i(-￡C+Vx+1)+]工>

則/3)+/(一/)=2,故函數(shù)/(①)在定義域內(nèi)為非奇非偶函數(shù)，

令九(rr)=/(x)-1,

則h{x}+h\—x)=/(x)-14-/(—x)—1=0,

則h{x}在定義域內(nèi)為奇函數(shù)，

設(shè)九(工)的最大值為t,則最小值為一九則/(c)的最大值為M=t+1,最小值為m)=一1+1,

則Al+m=2,J.g(x)=2x+.?…,

(2x—1)

11[2(a—x)—l]3+(2x—l)3

所以g(。)+g(Q-x)^2x+"1)3+2a-2x+=2o+(2s-l)3-^(a-rr)-1]:,二

[2(a-x)-l+2x-l]{[2(a-rr)-l]2-[2(a-x)-l](2x-l)4-(2ir-l)2}_

(21)；?[2(Q—I)-一

2(Q-1){[2(<z—x)—1]"—[2(Q—x)—1](2x-1)+(2x—I)2}

(2G—?[2(a—x)—1]3

:.當(dāng)a=1時(shí),g(c)+g(l—%)=2,

g(x)關(guān)于(?l*」)中心對(duì)稱,

故答案為：(y.l)

20.(2023-河南?河南宿海用中學(xué)校聯(lián)考模極II測(cè))已知函數(shù)/Q)=(e/+1-1)1sin(x+要)—3,則/⑺

在［-27T,0］上的最大值與最小值之和為.

【答案】-6

【解析】/(0=(L+1-l)'(-cosx)-3=(1一1).8sg+兀)-3;

令1=力+兀，當(dāng)］€［―2兀,0］時(shí)，tE［―兀,兀］,=(/—1)?cost-3;

e十JL

令g(t)=/(t)+3=(-1)-cost=■cost,t€［-7C,7r］,

g(T)=；.；］?cos(-t)=-cost=-g(t),

g{t)為定義在［-兀，兀］上的奇函數(shù)，???g(t)max+g(t)min=0,

?■?/(t)nmx+3+/(t)1nto+3=0,即/(t),nax+/(t)mm=-6,

.-./(X)在［-2兀,0］上的最大值和最小值之和為一6.

故答案為：一6.

21.(2023春.河南?方三河南唐港苒中學(xué)校聯(lián)考階盤練習(xí))已知函數(shù)/⑺=(看斤―1戶電+萼)—3,則

/(x)在［―兀,兀］上的最大值與最小值之和為.

【答案】-6

【解析】由題意，得/(⑼=(1,一l)sin(x+4r-)-3=-(—-l)coso;-3,

把/①)的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)g(rr)=-(丁?7一1)cosrr的圖象.

當(dāng)。6［一凡兀］時(shí)，g(-①)=-(—q-p-l)cos(-x)=(房開一1卜。s力=-g(c),即gQ)為奇函數(shù)，

則在［一冗,兀］上。(土)的最大值與最小值之和為0,

故/(4)在［一兀,兀］上的最大值與最小值之和為一6.

故答案為：-6.

22.(2028春?江西萍鄉(xiāng)?方三蘆族中學(xué)?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)“0='皆p在區(qū)間［-2,2］上的最大

值為M,最小值為N,則(M+N—1產(chǎn)22的值為.

【答案】1

【解析】由題意知，/(*)=給粵+l(cC［—2,2］),

設(shè)g(x)=.士2：,則/(工)=g(0+1,

7+1

因?yàn)間(-x)=7；；E=-g(x),

所以g(z)為奇函數(shù)，

gQ)在區(qū)間［-2,2］上的最大值與最小值的和為0,

故M+N=2,

所以(M+N-1)2(,22=(2-1)2皿=1.

故答案為：1

23.(2023春?貴州賽義?高二建義四中階段練習(xí))已知函數(shù)/(為=若/(a)=1,則/(-a)=

1?J1+4

【答案】2

【解析】因?yàn)?(h)=丁為+

11Z11,4

,,.._2121__2(2+2。+2刁，2+4"+4一_c

"Lf⑸"一①)-1+2,+1+4'+1+2--1+4T-2+2'+2T+2+4'+4-"一'

因?yàn)?(a)=1,

所以/(一a)=2.

答案為：2.

24.(2023春?上海普陀?高三t將二中校才)若定義在R上的函數(shù)〃力)為奇函數(shù)，設(shè)網(wǎng)土)=時(shí)(，)一1,且P

(1)=3,則尸(一1)的值為.

【答案】-5

【解析】由F(l)=3可得aW0,因?yàn)?(⑼為奇函數(shù)，所以/(c)的對(duì)稱中心為(0,0),則尸(出)的對(duì)稱中心為

(0,-1),又F(l)=3,則F(-l)=-5.

故答案為：一5.

25.(2023春?河前洛苒?商一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)"⑼=ax:l+bsinx+1,若/(2021)=2,則/(-2021)=—

【答案】0

【解析】由/(2)=ax'+bsinx+1知/(―z)+/(x)=a(—c)：'+bsin(—2)+1+ax'+bsinx+1

3

=-ax-bsinx+1+a?'+bsinx+1=2,則/(-2021)+/(2021)=2,又因?yàn)?(2021)=2,所以/(-2021)

=0.

故答案為：().

4—2sin2re—sin-^?-

26.(2022我?上海浦東新?商一上海市實(shí)腌學(xué)校校考期中)已知函數(shù)沙=-既存在最大值

_LIJz

又存在最小值m,則M+m的值為.

【答案】4

4—2sin2T-sin3x2+2cos2)—sin-^.3a;

2sin~2-

【解析】，3）=------------------=2-

1+cos2x1+cosLx1+cos%

.3sin(—1-x)

sin-^xsin-ya?

令g(①)=彳二---廠，因?yàn)間(一力=_gQ)，

1+cos~x1+cos2(-x)1+cos2rr

所以g（o）為奇函數(shù),

所以/M）的圖像關(guān)于（0,2）對(duì)稱，