人教A版2021學年高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程 綜合拔高練習題含答案解析

人教A版2021學年高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程綜合拔

高練習題含答案解析

姓名：班級：學號：

題號—?二二四五六總分

評分

一、選擇題（共12題）

竺-

1、雙曲線胃”的焦點坐標是（）

A.卜卮卑，陲用B.fT?喇，居畸

C加一伺，如同|D颯-孰蒯尚

?/7

2、已知方程喃**耀W-%表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4,則n的取值

范圍是

A.（-1,3）B.（-1,濾）C.（0,3）D.（0,有）

*

-=3.

3、已知F是雙曲線C：3的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標

是（1,3）,則口^的面積為

11

A.SB.5

SS

C.ID.S

4、漸近線方程為富士承二旗的雙曲線的離心率是（）

病—史

5、雙曲線C：可一至=1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,0為坐標原點，若忸蝴斗牌1,

則apFo的面積為

露I,.3_聆=劣

6、設(shè)鼠超是雙曲線"京奈一’（a>0,b>0）的左、右焦點，螃是坐標原點.過焉作。

的一條漸近線的垂線，垂足為朋.若倒匐=遍陽I,則。的離心率為

7、設(shè)F為雙曲線C：察一’（a>0,b>0）的右焦點，0為坐標原點，以0F為直徑的圓

與圓x，y2=￡交于P、Q兩點.若|PQ|=|OF|,則C的離心率為

A.顯B,8

C.2D.后

竺一/=工

8、已知雙曲線C：飛,0為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸

近線的交點分別為M、N.若苴OMN為直角三角形，則|MN|=

警

鼠后

A.鬟B.3C.D.4

;-鼻=曲附斕做:如蒯

9、已知雙曲線舒濟的離心率為2,過右焦點且垂直于富軸的直線與雙曲線

交于施■兩點.設(shè)思海到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為哪和嗎,且哪需4n配則雙曲

線的方程為

=1m_貯=工

A.罩嫻-B.螂察

10、過點（2,—2）與雙曲線x?—2y2=2有公共漸近線的雙曲線方程為（）

11、若m為實數(shù)，則“，：懶3：罷”是“曲線C：礴吟2表示雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不

必要條件

小序

12、設(shè)雙曲線#浸””的左、右焦點分別為“，若雙曲線上存在一點黑，使

點呻石，且閾則刊則雙曲線的離心率為（）

更叵也I

A.TB.公C.SD.遂

二、填空題（共8題）

方姆-r=蜂1融吸

1、在平面直角坐標系展鞭中，若雙曲線索經(jīng)過點（3,4）,則該雙曲線的漸

近線方程是_____.

2、雙曲線寡一瓦一'（a>0）的一條漸近線方程為解一方“，則a=.

3、已知雙曲線妒：鼠二瞰死礴㈤”酬的右頂點為總以城為圓心，散為半徑作圓拯，圓城

與雙曲線爛的一條漸近線于交娥、腰兩點，若&齦螺?=醐/，則?的離心率為.

4、已知雙曲線C：產(chǎn)一/=貽'碎揖*新的左、右焦點分別為F“Fz，過R的直線與C的兩條

漸近線分別交于A,B兩點.若，眼=,純闌爵磔=顧，則C的離心率為

=遇瀏：；噌抵制哪

5、雙曲線笳是等軸雙曲線,點好為其右支上一動點，若點逑到直線

塞「般科為=用的距離大于哪恒成立，則實數(shù)喉的最大值為一

窖-土-史=[

6、已知F為雙曲線.叫寓一,的左焦點，P,Q為雙曲線C同一支上的兩點.若PQ的長

等于虛軸長的2倍，點Q民廊;在線段PQ上，則△蟀■?的周長為.

與一/=蜘常版泊嚼

7、已知雙曲線C：/球右支上非頂點的一點A關(guān)于原點0的對稱點為B,F

瓜『3J；加』

御——?

為其右焦點，若盤F1竄卷，設(shè)上筮悔.孰且飛,.然“4凡則雙曲線c離心率的取值范圍是

學！“雪飛

姍馬需為二蜘制題事顧；徵與一%=口

8、已知橢圓]朝，雙曲線喉隼.若雙曲線N的兩條漸近線與橢

圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為

；雙曲線N的離心率為.

三、解答題（共2題）

1、已知椀，男分別是雙曲線E：濯翼的左、右焦點，P是雙曲線上一點，

罵到左頂點的距離等于它到漸近線距離的2倍，

期i求雙曲線的漸近線方程；

整［I當々.%嘴=褥時，松璃璃的面積為褊&,求此雙曲線的方程.

2、雙曲線松球/一版*少及陸蝌腦喇?的虛軸長為口，兩條漸近線方程為承'=出#唬

（1）求雙曲線。的方程；

UM

（2）雙曲線。上有兩個點您、感，直線函和色置的斜率之積為1判別衰瞪是否為定

值，；

司鬣嵋府LI

（3）經(jīng)過點‘.潮）的直線物且與雙曲線。有兩個交點跚，篇，直線呦的傾斜角是

府府堰至M...G_附

51取5號J,是否存在直線4—,（其中y第）使得嚓闞恒成立？（其中

曝分別是點蟠翻到片的距離）若存在，求出畛的值，若不存在，請說明理由.

============參考答案============

一、選擇題

1、B

【分析】

根據(jù)雙曲線方程確定焦點位置，再根據(jù)二=?一+就求焦點坐標.

【詳解】

因為雙曲線方程為亨一度=’,所以焦點坐標可設(shè)為磔印做，

因為/=3^*=售撲：1=4￡；=%,所以焦點坐標為修既哪，選B.

【點睛】

由雙曲線方程褊一京=叱煙卻喇可得焦點坐標為綱喉.=白曬:，頂點坐標為磔明頤,

■=ft—?;

漸近線方程為

2、A

【解析】

由題意知：雙曲線的焦點在案軸上，所以蕨書陽罌城-液=醇，解得病=，因為方程

京一家衛(wèi)工表示雙曲線，所以將一陽/叫解得s/獸，所以聰?shù)娜≈捣秶蔷常蔬x

A.

【考點】雙曲線的性質(zhì)

【名師點睛】雙曲線知識一般作為客觀題出現(xiàn),主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.注意

雙曲線的焦距是2c而不是c,這一點易出錯.

3、D

【解析】

由/=渤1鼾=4得￡=氧所以號儂順，將笳=色代入""署，得￥=鶻，所以I?面曰，

又點A的坐標是（1,3）,故4APF的面積為售鬟，選D.

點睛:本題考查圓錐曲線中雙曲線的簡單運算，屬容易題.由雙曲線方程得尊魔，結(jié)合PF

與x軸垂直，可得I踴卜黑最后由點A的坐標是（1,3）,計算4APF的面積.

4、C

【分析】

本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得渤=，肌進一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)

知識、基本計算能力的考查.

【詳解】

根據(jù)漸近線方程為x±y=O的雙曲線，可得渤=融，所以c=瓜’

=E=5^

則該雙曲線的離心率為e1滿一’，

故選C.

【點睛】

理解概念，準確計算，是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤.

5、A

【分析】

本題考查以雙曲線為載體的三角形面積的求法，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算素

養(yǎng).采取公式法，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸和方程思想解題.

【詳解】

由隨＞=羽孤=J5]“重；=替窗=噩

又P在C的一條漸近線上，不妨設(shè)為在律一=彳旦如上,

,同的=石|網(wǎng),屜，|=不然質(zhì)仁-=力-防、*

*^4,故選A.

【點睛】

忽視圓錐曲線方程和兩點間的距離公式的聯(lián)系導(dǎo)致求解不暢，采取列方程組的方式解出三角

形的高，便可求三角形面積.

6、B

【詳解】

分析：由雙曲線性質(zhì)得至計畫=叱㈣=翹然后在雅疝海和在儂泗強中利用余弦定理

可得.

=同

器囪闔＜「-|璃f曲

可咽閾胤

故選B.

點睛：本題主要考查雙曲線的相關(guān)知識，考查了雙曲線的離心率和余弦定理的應(yīng)用，屬于中

檔題.

7、A

【分析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心

率.

【詳解】

設(shè)根與寓軸交于點城，由對稱性可知，儂軸，

又嗨I喇一歲…融為以西為直徑的圓的半徑,

【點睛】

本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避

免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問

題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來.

8、B

【詳解】

分析：首先根據(jù)雙曲線的方程求得其漸近線的斜率，并求得其右焦點的坐標，從而得到

/黑徽=蝴，根據(jù)直角三角形的條件，可以確定直線懶的傾斜角為髓r或/*廣，根據(jù)相關(guān)圖

形的對稱性，得知兩種情況求得的結(jié)果是相等的，從而設(shè)其傾斜角為翻r,利用點斜式寫出直

薪磔腐殿g-馬

線的方程，之后分別與兩條漸近線方程聯(lián)立，求得,、罷，利用兩點間距離公

式求得購的值.

詳解：根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為一爭，且右焦點為摩◎魔，

從而得到正通燃=制『，所以直線輜的傾斜角為髓f或嶺＜：”,

根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為她’，

可以得出直線懶的方程為朋=垂奧一蜀，

分別與兩條漸近線整和3聯(lián)立，

點睛：該題考查的是有關(guān)線段長度的問題，在解題的過程中，需要先確定哪兩個點之間的距

離，再分析點是怎么來的，從而得到是直線的交點，這樣需要先求直線的方程，利用雙曲線

的方程，可以確定其漸近線方程，利用直角三角形的條件得到直線??’的斜率，結(jié)合過右焦

點的條件，利用點斜式方程寫出直線的方程，之后聯(lián)立求得對應(yīng)點的坐標，之后應(yīng)用兩點間

距離公式求得結(jié)果.

9、A

【詳解】

分析：由題意首先求得A,B的坐標，然后利用點到直線距離公式求得b的值，之后利用離心

率求解a的值即可確定雙曲線方程.

詳解：設(shè)雙曲線的右焦點坐標為面上哪(c>0),則與=%=嘰

則啕普碣=噎=酷=頗，則於朧5

雙曲線的離心率:

蘭-貯=工

據(jù)此可得：靖=臂，則雙曲線的方程為予V-'

本題選擇A選項.

點睛：求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法.具體過程是先定形，再定量，即先確

定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a,b,c,e及漸近線之間的關(guān)系，求出a,b的值.如

果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為

就潦'”，再由條件求出X的值即可.

10、D

【解析】

【分析】

先設(shè)出所求雙曲線的方程，利用已知雙曲線的漸近線求得詡和貓的關(guān)系，然后把點輅,心力代

入雙曲線方程求得現(xiàn)，進而求得演，則雙曲線的方程可得.

【詳解】

依題意可知所求雙曲線的焦點在,歲軸,

設(shè)出雙曲線的方程為礴“譚'

根據(jù)已知曲線方程可知其漸近線方程為

把點！鴛一繳代入得薩一浮一中求得題=富礪=近，

，巴_二=4

雙曲線的方程為：砥可，

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了雙曲線的標準方程與漸近線方程的關(guān)系，考查基本的運算能力.

11、A

【分析】

根據(jù)方程表示雙曲線求出微的范圍，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.

【詳解】

解：若方程隙哪-3表示雙曲線,

則輜咽一勖曙淑，得財Y繳Y翳，

由懶,?：獸可以得到如:僦2：S,故充分性成立;

由如:小翳推不出卜??＜氧故必要性不成立；

2+上=81

則“心：嬲/：翦”是“方程腌蹄表示雙曲線”的充分不必要條件,

故選：，斑.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合雙曲線方程的特點求出懶的取值范圍是解決

本題的關(guān)鍵.

12、C

【解析】

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合I魏卜那溜I,得到怪皤1和I巡I,然后根據(jù)勾股定理，得到闕西的關(guān)

系，從而得到雙曲線的離心率.

【詳解】

因為點在雙曲線需一嬴匕且㈣=4陶

限就IelI雪城i

隱IV隨卜至

所以t1

京—--海

整理得，

所以離心率酎一巾添一號.

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線的定義，根據(jù)幾何關(guān)系求雙曲線的離心率，屬于簡單題.

二、填空題

1、犀=蕓0利

【分析】

根據(jù)條件求做，再代入雙曲線的漸近線方程得出答案.

【詳解】

嬖_￡=工

由已知得1蕾.，

解得通=6或題=-垂，

因為愚海卿，所以額=點.

因為螂=n,

所以雙曲線的漸近線方程為解'=長顯.

【點睛】

雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)，往往以小題的形式考查，其難度一般較小，是高考必得分題.

雙曲線漸近線與雙曲線標準方程中的穌題密切相關(guān)，事實上，標準方程中化1為o,即得漸近

線方程.

2、5

【分析】

先根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，再根據(jù)已知條件列式求解.

【詳解】

般=it—第—=—

由雙曲線的標準方程可得漸近線方程為班，結(jié)合題意可得雷5

故答案為：5

【點睛】

本題考查雙曲線漸近線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

述

3、虧

【解析】

如圖所示，

由題意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,

VZMAN=60°,

/.|AP|=怎b,

設(shè)雙曲線C的一條漸近線y=^x的傾斜角為0，則tan。

又tan°=前，

，解得￡=31/,

答案：T

點睛:

求雙曲線的離心率的值（或范圍）時，可將條件中提供的雙曲線的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于雙曲

VI宮=一

線基本量談確商的方程或不等式，再根據(jù)獻謝&和謝轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程或不

等式，通過解方程或不等式求得離心率的值（或取值范圍）.

4、2.

【分析】

通過向量關(guān)系得到,藍盛=,魂’和皿』堀就，得到/箍礴?=*?2端，結(jié)合雙曲線的漸近線可得

2羸碣=2減稀”垂透=正盛端檄尸球＞從而由：=a3、點可求離心率.

【詳解】

如圖,

由磁感二?4鼠得靠d*,=，/啜?，又圓費=錢徽得0A是三角形用碣潮的中位線，即廨時$泡懸^震!=黛凝,

由端整礴離=@得惠普_L,,霏遙儀@然_L離便,7則=麴臃有端

乂0A與0B都是漸近線，得2摩餒&二微弱&乂2逮@弱IT備五鎮(zhèn)稅霸=版，得

“?嚼=2娥毒=&^=*.又漸近線0B的斜率為之=8礴=選，所以該雙曲線的離

靜）=〃皆八=也《質(zhì)%=曩

心率為堿V湖.

【點睛】

本題考查平面向量結(jié)合雙曲線的漸進線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素

養(yǎng).采取幾何法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

高

5、T

【分析】

由等軸雙曲線得出雙曲線的漸近線，直線需一/g=頓與和它平行的漸近線的距離就是所求的

最大值.

【詳解】

雙曲線是等軸雙曲線，則其漸近線為修=土對，直線室一妙』二或與直線解=益的距離為可，所

以等軸雙曲線#繳*”右支上點逑到直線需一/內(nèi)二娜的距離大于m,即懈的

最大值為s.

故答案為：％.

【點睛】

本題考查等軸雙曲線的定義，考查雙曲線的幾何性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.

6、32

【分析】

根據(jù)題意畫出雙曲線圖象，然后根據(jù)雙曲線的定義“到兩定點的距離之差為定值.“解

決.求出周長即可.

【詳解】

窖宜LL

解：根據(jù)題意，雙曲線,,硯蜜的左焦點,氮一舛"嚷，所以點魂"場哪是雙曲線的右焦

點，虛軸長為：6；

雙曲線圖象如圖：

I醇IT蟒I=蝠,=%②

而|出=煤，

①+②

得：|櫻1可鰥H期1=?我

...周長為|繳|對鮮|H尊=制嘿蹩『贊

故答案為32.

【點睛】

本題考查雙曲線的定義，通過對定義的考查，求出周長，屬于基礎(chǔ)題.

7、陣響?

【解析】

【分析】

設(shè)雙曲線的左焦點為F,連接從尸，魂FU酒，可得四邊形、F3F'為矩形，運用勾股

定理和雙曲線的定義，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性，計算可得所求范圍.

【詳解】

解：設(shè)雙曲線的左焦點為F,連接，I尸，3尸,

.盤察1尊爵，可得四邊形為矩形，

設(shè)幽|=馳，性般|=膊.，即有BFit

且?墨?=般3,蒯.-融=融，

■域

3mII

同"嗎凄'血i-怎畫魏杼她

劣―------

*衛(wèi)M

Mm

F露寤M

由恥后旬，可得牝=3中_d4

0門＞

^誦n'

fc#-(€:HX4li-￥

則tt':可得t

即有世

旗管g或

1__5_'

,4------------M

他隨翻帶------

則他畫詢

即有險同圓砌

故答案為：熙回

【點睛】

本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查離心率的范圍，注意運用勾股定理和對勾函數(shù)的

單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題.

8、4-12

【解析】

分析：由正六邊形性質(zhì)得漸近線的傾斜角，解得雙曲線中妣七卷關(guān)系，即得雙曲線N的離心

率；由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為*二帶4氮二，再根據(jù)橢圓定義得

箱升扁=魯稔解得橢圓M的離心率.

詳解：由正六邊形性質(zhì)得橢圓上一點到兩焦點距離之和為彩帶后"再根據(jù)橢圓定義得

廠-=-^==^S-l.

筑化依=鼬，所以橢圓M的離心率為磔：

般二韭二需

雙曲線N的漸近線方程為耀,由題意得雙曲線N的一條漸近線的傾斜角為

=電二胸=3L

點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于魏懿盧的方程或

不等式，再根據(jù):談確商的關(guān)系消掉額得到闞擢的關(guān)系式，而建立關(guān)于魏禹茂的方程或不等式，要

充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等.

三、解答題

1、（1）4M費期=確（2）面‘盛

【解析】

試題分析：（1）由瑞到左頂點的距離等于它到漸近線距離的緣倍，根據(jù)點到直線距離公式可

麗=一礪

得35,從而可得雙曲線的漸近線方程；（2）由余弦定理，結(jié)合雙曲線的定義可得

閾|璃=卷：再根據(jù)函巡茍的面積為哪一,可得

亙喈=段0=蜩#k

4，得豺=囑，從而可得結(jié)果.

際it網(wǎng)

="=1

試題解析：（1）因為雙曲線的漸近線方程為融卷翎二叫則點蠲到漸近線距離為求導(dǎo)書曾

,4

（其中C是雙曲線的半焦距），所以由題意知戴樸謝=儲，又因為儲撲然=/，解得"一豕一，

故所求雙曲線的漸近線方程是蛔?出期=唬

⑵因為2部第!=端?",由余弦定理得|巡『H巡!『一用料iH,嘴|蝴蟾?1s3,零!廣，即

㈣