拋物線與阿基米德三角形（解析版）-【高考總復(fù)習(xí)】2022高考數(shù)學(xué)滿分突破之解析幾何篇

專題04拋物線與阿基米德三角形

【突破滿分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板1：

拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形.阿基

米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明如下結(jié)論：

拋物線與阿基米德三角形定理：

拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的

三角形面積的三分之二.

下面來逐一介紹阿基米德三角形的一些推論：

如圖，已知。是拋物線/=2刀準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過。作拋物線的切線

QA、分QB別交拋物線于A、B兩點(diǎn)，為4B中點(diǎn)，貝心

1.若他過焦點(diǎn)，則AB的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。在其準(zhǔn)線上.

2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即q=%.

3.45過拋物線的焦點(diǎn)

4.AQVBQ

5.阿基米德三角形面積的最小值為p2

【考點(diǎn)精選例題精析】：

例1.(1)(2021?全國高二課時(shí)練習(xí))拋物線上任意兩點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P,稱△E4B為“阿基米德

三角形”，當(dāng)線段A3經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)產(chǎn)時(shí)，△PA8具有以下特征：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PFLAB.

若經(jīng)過拋物線y?=4x的焦點(diǎn)的一條弦為A8,“阿基米德三角形''為且點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為4,則直線A8

的方程為()

A.x-2^-1=0B.2x+y-2=0

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】

由為“阿基米德三角形“，且線段AB經(jīng)過拋物線y,=4x的焦點(diǎn)，得到點(diǎn)P(-1,4),進(jìn)而得到直線尸尸的

斜率，再由PFL45，得到直線A8的斜率即可.

【詳解】

設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為產(chǎn)，

由題意可知，拋物線V=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1,

因?yàn)椤鱎4B為“阿基米德三角形“，且線段AB經(jīng)過拋物線丁=4x的焦點(diǎn)，

所以點(diǎn)尸必在拋物線的準(zhǔn)線上，

所以點(diǎn)P（T，4）,

直線PF的斜率為==-2.

-1-1

又因?yàn)镻F_LAB,

所以直線A8的斜率為

所以直線AB的方程為y-0=g（x-l）,即x-2y-l=0,

故選：A.

（2）.（2020?云南師大附中高三月考（理））過拋物線V=2PMp>0）的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A、

8兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過A、8兩點(diǎn)作拋物線的切線4、4相交于點(diǎn)?.△尸/3又常被稱作阿基米德

三角形.下面關(guān)于△P43的描述：

①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；

②AP-L尸8；

③設(shè)A（4yJ、3（孫必），則△PA8的面積S的最小值為今；

?PF±AB；

⑤PM平行于*軸.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

作出圖形，設(shè)點(diǎn)A（X，y）、見王,為），設(shè)直線AB的方程為*=吶+^，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)

立，列出韋達(dá)定理，求出直線4、4的方程，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；利用直線24、總斜率的

關(guān)系可判斷②的正誤；計(jì)算出△248的面積S的表達(dá)式，可判斷③的正誤；利用直線PF、A8的斜率關(guān)系

可判斷④的正誤；求出立線PM的斜率，可判斷⑤的正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

先證明出拋物線丁=2px（p>0）在其上一點(diǎn)（%,%）處的切線方程為%y=px+pxo.

證明如下：

由于點(diǎn)（天,%）在拋物線V=2px上，則y；=2%,

聯(lián)立，2”,可得2yoy=y2+2p%,即丁-2%y+y；=0,A=0,

[%y=px+px°

1

所以，拋物線y=2Px（p>0）在其上一點(diǎn)（七,％）處的切線方程為yoy=px+px（>.

X=/27V+——

聯(lián)立，"2,消去x得y2-2〃?py-p2=0,

./=2Px

由韋達(dá)定理可得乂%=~P2，凹+必=2mp,

對于命題①，拋物線V=2px在點(diǎn)A處的切線方程為yy=px+pX|,即yy=px+三,

同理可知，拋物線V=2px在點(diǎn)8處的切線方程為%y=px+日，

2

%

一22iA_￡

yty=px+x==

解得2p2

聯(lián)立，2,所以點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為

A

?,_弘+>2_mn

y2y=px+2y--~--mp

即點(diǎn)p在拋物線的準(zhǔn)線匕①正確；

2

對于命題②，直線4的斜率為尢=2，直線4的斜率為七=上，=T，

%%乂必

所以，AP±PB,②正確；

對于命題④，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)尸為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)

PFYAB-.

當(dāng)AB不與*軸垂直時(shí)，宜線AB的斜率為*=

tn

直線PF的斜率為%=—kAB-*=-1,則P/U4?.

-P

綜上，PFYAB.④正確；

對于命題③，|AB\=\l\+m2?|y-%|，

|PF|=Jp2+(%)=^p1+nrp1=p>j\+m2

所以,

2

M-|PF|=gJ"]?|y,-yJpJi+>=夕加+1)-p

y+

\m=0

當(dāng)且僅當(dāng)上時(shí)，等號成立，③錯(cuò)誤；

IK=±0

對于命題⑤,當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),此時(shí)直線PM

與x軸重合，⑤錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查了拋物線的焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì)以及韋達(dá)定理法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，

屬于中等題.

【變式訓(xùn)練1-1】.（2020?昆明市?云南師大附中高三（理））阿基米德（公元前287年?公元前212年）是古

希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之

神”的稱號.拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形.如圖，△R4B為阿

基米德三角形.拋物線犬=20，（p>O）上有兩個(gè)不同的點(diǎn)4（尤2，）,3（々,%），以48為切點(diǎn)的拋物線的切線

PAPB相交于P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（）

（1）若弦AB過焦點(diǎn)，則為直角三角形且/4P8=90°;

（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是（當(dāng)區(qū),竽）；

（3）△PA3的邊A8所在的直線方程為（％+x2）x-2py-xlx2=0；

（4）/XPAB的邊A3上的中線與y軸平行（或重合）.

A.(2)(3)(4)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.(1)(3)(4)

【答案】D

【分析】

設(shè)%,x,<x2）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率,

利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得&“L=M=T，正確;

P

寫出切線方程，聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得（2）錯(cuò)誤;

用A8兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出心8，寫出直線AB方程，并化簡可得（3）正確;

設(shè)N為拋物線弦A8的中點(diǎn)，立即得（4）正確;

【詳解】

2

,由得y=^~則￥=二，所以女戶人二-1,kpB=&

由題意設(shè)A再,,叫x,/=2py,f

22PpPP

若弦A8過焦點(diǎn)，，x/2=-p2，???即小與8=/_=-1，，月4，依，故（1）正確;

P'

29

以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為）-在=土3-%），以點(diǎn)8為切點(diǎn)的切線方程為y-m=X（x-X2）,聯(lián)立消去

2Pp2pp

》得％=>三，將》=笠三代入）「工=土（》-%），得丫=竽，所以P（與三,芋［,故（2）錯(cuò)誤；

222pp2P122pJ

設(shè)N為拋物線弦AB的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為/=上券，因此則直線PN平行于y軸，即平行于拋物線的對

稱軸，故（4）正確；設(shè)直線48的斜率為卜：力-）1_2/?2〃_*+々,故直線A8的方程為

x2-xlx2-x,2P

y_*=\：&（X7|）,化簡得（&+々）》_24_芭々=0，故（3）正確，

2P2p

故選：D..

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線相交，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，焦點(diǎn)弦性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于中檔題.

【變式訓(xùn)練1-21.（2019?福建廈門雙十中學(xué)高二期中）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形

常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)

的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線V=2Px（p>0）,弦AB過焦點(diǎn)，MBQ為阿基米德三角形,則△ABQ

的面積的最小值為

A.gB.p2C.2p-D.4P2

【答案】B

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識，可得心o=T,即三角形△ABQ為直角二角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線AB垂

直x軸時(shí)，面積取得最小值爐.

【詳解】

設(shè)4%,%）,8。2，%），過A,B的切線交于Q,

直線A8的方程為：x=my+^,

把直線A8的方程代入)尸=2px(p>0)得：y2-2pmy-p1=0,

2222

所以X+必=2pm,y,y2=-p,xtx2=^~,貝U|A31=V1+m>j(yl+y2)-4yty2=2P(1+m),

由導(dǎo)數(shù)的知識得："°，⑥o

2網(wǎng)2y]x2

所以.即。=7

所以AQJ.8Q,所以|AQF+|8Q|2=|AB|2,

因?yàn)镾=1IAQI?I80區(qū):(|AQ『+1BQ『)=口ABF=12p(l+>)『，

2444

當(dāng)帆=0時(shí)，可得S的最大值為/,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線A3過拋物線的焦點(diǎn),

則切線AQ與切線BQ互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.

【變式訓(xùn)練1-3】.(2021?浙江高三期末)拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米

德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于

阿基米德三角形面積的已知A(-2,1),B(2,1)為拋物線C:/=4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的

斜率為;弦A3與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為.

Q

【答案】-1I

【分析】

由y=求得y'=gx,則左=y'(-2),寫出在A點(diǎn)處和8點(diǎn)處拋物線C的切線方程，求得交點(diǎn)，再求

得阿基米德三角形面積，再根據(jù)弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積與阿基米德三角形面積的關(guān)系求解.

【詳解】

因?yàn)閥=,

4

所以y，

所以&=yk=_2=；x(_2)=T,

所以在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為-1,

切線方程為：y-l=-(x+2),即y=-x-l,

同理在B點(diǎn)處拋物線CD切線方程y=x-l,

fx=0

由〈y=-x-I\,解得〈

y=x-\=

所以兩切線的交點(diǎn)為p(o,-1),

所以阿基米德三角形面積s=gx4x2=4,

所以弦48與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為S=3x4x2=4x(=g,

故答案為：-1,q

例2.（2020年模擬題精選）已知拋物線E:x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線E上，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

為8,且月=9。

（1）求拋物線E的方程；

（2）若點(diǎn)M是拋物線E準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)〃作直線〃與拋物線E相切于點(diǎn)N,證明：FMYFN.

【解析】（1）由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為卜=-勺又點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為8,且忸可=9,于是8+^=9,

2

p=2,故拋物線E的方程為X=4），O

（2）設(shè)點(diǎn),N（x0,y0）,與工°，：N=y'=^-x,切線方程為了一為二^^^一兩），即

11丫2_4fr2_4A<r2_4A

>=2_/不一_1/2,令y=_i,可解得加=配二??.M與，,T,又尸（0,1）,???屈=^-,-2,

）

242x012XGJ（2.6

而=（而，％-1）

...麗..成=?―4.%—2%+2="）-4_，3+2=0。:,FM人FN。

2/22

【考點(diǎn)點(diǎn)睛】當(dāng)點(diǎn)尸在準(zhǔn)線上時(shí)，AB過焦點(diǎn)，底邊AB的中線平行于對稱軸，且S%B的最小值為02。

證明：（此步驟必須牢記，在大題中要體現(xiàn)）

設(shè)拋物線方程為：V=2px,設(shè)P（-多為）由前面步驟可知AB："即過焦點(diǎn)。

A8的中點(diǎn)為（衛(wèi)生?，江而由上面步驟可知："&=p/n=yp,即底邊AB的中線平行于對稱

122/2

軸。

-22

Sp4B^|PF||AB|=gJ/??+/A/><卜］+電+p|p^l1+m~\m（yl+%）+2p|=p（l+/n）2,當(dāng)〃z=0

時(shí)，其面積最小為P、

【變式訓(xùn)練2-1】.已知拋物線無2=4y的焦點(diǎn)為尸，A、8是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，AB所在直線經(jīng)過拋物線的

焦點(diǎn)F,過A、8兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為

證明：麗'.Q為定值.

【解析】：由題意，設(shè)直線AB的方程為AB:y=^x+l代入f=4y得f一4日—4=0

設(shè)A。,M）,B（X2,%）則％+W=4左,xtx2=-4

22

又V=2所以切線方程分別為MA:y=2X—二，MB:y=三%—三

'224-24

從而M（?多?一1）

k一=2,k=2芯+_=]_________________

所以FM%|+x2,故FM內(nèi)+/4即萬狂_|_詬所以由二4月=0為定值.

22

例3.已知拋物線。：/=2°M0>0）的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線分別交拋物線于A3兩點(diǎn).

（1）若以AB為直徑的圓的方程為（x—2）2+（y—3『=16,求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)A3分別作拋物線的切線4,4,證明：4,4的交點(diǎn)在定直線上.

【答案】（1）V=4y；（2）證明見解析.

【分析】

（1）根據(jù)拋物線的定義可求圓心到準(zhǔn)線的距離為4,從而可求拋物線的方程.

⑵設(shè)A（x，x）,3（9,%），利用導(dǎo)數(shù)求出45兩點(diǎn)處的切線方程，從而可求《的交點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立

宜線和拋物線的方程可得彳/2=-/,從而可得《4的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，故4,4的交點(diǎn)在定直線上.

【詳解】

（I）設(shè)A3中點(diǎn)為M，A到準(zhǔn)線的距離為4,5到準(zhǔn)線的距離為4，

M到準(zhǔn)線的距離為d，則M（2,3）且d=%+臺3+g

由拋物線的定義可知，4=|4月,4=忸月，所以4+4=|陰=8,

由梯形中位線可得d=4±L=4,所以3+^=4,可得p=2,

22

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=4y.

2

無右，尤

⑵證明：設(shè)4（%,，,）,8（々,%），山V=2py,得了=丁，則y'=一,

2pp

所以直線4的方程為y-y

直線&的方程為丁一%=—{x~x2），

X.

y-y=：工（x-X）x=------

p，解得2

聯(lián)立得

y-必="^-(x-x2)

12P

即直線41,的交點(diǎn)坐標(biāo)為土芋，芋.

I2Ip）

因?yàn)锳B過焦點(diǎn)尸（0,41，

I2J

由題可知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB方程為y-弓=丘,

代入拋物線V=2py中，得X?-2〃點(diǎn)一=0,

所以X/2=1p2,故j/'=-g'，所以/1，4的交點(diǎn)在定宜線丫=-§上.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：拋物線中過焦點(diǎn)的弦長問題要注意利用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離問題，對于焦點(diǎn)在y軸上的

拋物線的切線問題，可以利用導(dǎo)數(shù)來求切線方程，從而簡化運(yùn)算.

【變式訓(xùn)練3-1】.已知?jiǎng)狱c(diǎn)。在X軸上方，且到定點(diǎn)尸（0,1）距離比到X軸的距離大1.

（1）求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡。的方程；

（2）過點(diǎn)P（l,l）的直線/與曲線。交于A，3兩點(diǎn)，點(diǎn)A，3分別異于原點(diǎn)O,在曲線。的A，3兩點(diǎn)

處的切線分別為4，4,且4與4交于點(diǎn)M，求證：M在定直線上.

【答案】（1）x2=4y（yw0）；（2）證明見解析

【分析】

(1)設(shè)Q(x,y)(y>0),由到定點(diǎn)E(O,1)距離比到％軸的距離大1，可得斤而二斤一丁=1,化簡可

得點(diǎn)。的軌跡C的方程；

(2)由題意可知，直線/的斜率存在且不為1，設(shè)直線/的方程為丁=伙彳-1)+1/。1)與1=43,聯(lián)立,

2

設(shè)4(石,%)，B(x2,y2),可得%+々，的值，又^=工，所以y'=5,可得切線4的方程，同理

42

可得切線4的方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，可得其在定直線上.

【詳解】

解：⑴設(shè)Q(x,y)(y>0),

則有Jf+(y_l)2_y=i，化簡得V=4y(ywO),

故軌跡C的方程為x2=4.y(y工O).

(2)由題意可知，直線/的斜率存在且不為1，

設(shè)宜線/的方程為y=%(x-1)+1(%H1)與V=4),

聯(lián)立得了2一4"+4左一4=0，

設(shè)A(%(，y),5(孫力)，

則須+%=4Z,%/=4攵-4,

丫2Y

又>=亍，所以y=3，

所以切線《的方程為y=](x—xJ+X，

即,=工_五，

-24

同理切線4的方程為y=￡》—今

聯(lián)立得x=-、+"=2k,y-土上-k—\.

24

兩式消去左得x—2y—2=0,

當(dāng)k=1時(shí)，x=2,y=o.

所以交點(diǎn)M的軌跡為直線x-2y-2=0,去掉（2,0）點(diǎn).

因而交點(diǎn)M在定直線上.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查軌跡方程的求法，宜線與拋物線的位置關(guān)系等知識，考查學(xué)生的綜合計(jì)算能力，屬于難題.

例4.已知點(diǎn)P是拋物線。：丁=,尤2-3的頂點(diǎn)，A,3是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且序.而=-4.

4

（1）判斷點(diǎn)。（0,1）是否在直線A3上？說明理由;

（2）設(shè)點(diǎn)M是鉆的外接圓的圓心，點(diǎn)M到x軸的距離為d,點(diǎn)N（l,0）,求的最大值.

【答案】（1）不在，證明見詳解；（2）廂+1

8

【分析】

（1）假設(shè)直線方程y="+b，并于拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理.，計(jì)算西?麗=-4，可得力=—1，

然后驗(yàn)證可得結(jié)果.

（2）分別計(jì)算線段PA,P8中垂線的方程，然后聯(lián)立，根據(jù)（1）的條件可得點(diǎn)M的軌跡方程y=2/,

然后可得焦點(diǎn)F，結(jié)合拋物線定義可得|MN|-dW|N司+：,計(jì)算可得結(jié)果.

O

【詳解】

（1）設(shè)直線方程＞=依+匕，4（與,乂）,3（工2，%）

根據(jù)題意可知直線斜率一定存在，尸（0,-3）

y=kx-\-b

則《1,nf_4米_4(3+0)=0

y=-x--3

I4

X\X2=-4(3+0),玉+工2=4左

△=(—4左＞+16/?+48

PA=(xl,yi+3),麗=(孫必+3)

則必/3=用%2+（X+3）（%+3）

PA-PBx,x2+y1y2+3（^+y2）+9

y]y2+。）（姐+。）=左2平2+姑（石+工2）+匕2

yx+y2=kx}+b+kx2+h=k^x}+x2）+2b

22

PA-PB=[k+1）xix2+（3k+kb）（<xi+x2）+b+6b+9

由那尸方=一

所以（左2+1）%%2+（3左+奶）（玉+為2）+〃+6b+9=-4

將中2=-4（3+8）,%+x2=4左代入上式

化簡可得6+2人+1=0,所以人=—1

則直線方程為丁=丘-1,

所以直線過定點(diǎn)（0,—1）,△=（-4Z『+16b+48>0

所以可知點(diǎn)。（0,1）不在直線上.

⑵設(shè)

線段Q4的中點(diǎn)為當(dāng)口）

線段網(wǎng)的中點(diǎn)為G（￡,上鏟）

v+3

則直線PA的斜率為X」一,

不

直線PB的斜率為*="土^

%2

可知線段E4的中垂線的方程為y-2r=—一三（X-?

2乂+312

14X2

由M=：%；-3,所以上式化簡為y——rX+-4—1

4%,8

4x~

即線段R4的中垂線的方程為y=--

X8

同理可得:

4無，

線段PB的中垂線的方程為y=-1工+V—1

x28

4X2J

y=——rx+----------1

X832

則〈2=>

4K1尤］2+/2+X1%2-8

y=——rx+-y

%8M32

由（1）可知：玉+%=4左=-4（3+5）=-8

XM=k

所以《

%-+X,2+%X,―8JM=2內(nèi)

y

M32

即“9,242）,所以點(diǎn)M軌跡方程為y=2/

焦點(diǎn)為,

I8）

所以|MN|-d=|MN|-（陽一1w+：

當(dāng)A/,N,E三點(diǎn)共線時(shí)，|MN|-d有最大

所以|MN|-d=|MN|-|M/|+1W|NF|+」=辰+i

888

【點(diǎn)睛】

本題考查直線于拋物線的綜合應(yīng)用，第（1）問中難點(diǎn)在于計(jì)算處6,第（2）問中關(guān)鍵在于得到點(diǎn)M的軌

跡方程，直線與圓錐曲線的綜合常常要聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，屬難題.

1,

【變式訓(xùn)練4-1】.已知點(diǎn)P是拋物線C:y=-f—3的頂點(diǎn)，A，8是。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且中.而=_①

4

（1）判斷點(diǎn)。（0,-1）是否在直線A3上？說明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)M是△Q43的外接圓的圓心，求點(diǎn)M的軌跡方程.

【答案】（1）點(diǎn)。（0,—1）在直線AB匕理由見解析（2）x2=^y

【分析】

（1）由拋物線的方程可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)直線A3的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求

出數(shù)量積PAgPB，再由題意區(qū).P耳=T可得直線A3恒過（。,-1），即得。在直線AB上；

（2）設(shè)A，B的坐標(biāo)，可得直線P4，PB的斜率及線段Q4，PB的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出線段24，的

中垂線的方程，兩個(gè)方程聯(lián)立求出外接圓的圓心M的坐標(biāo)，山（1）可得M的橫縱坐標(biāo)關(guān)于參數(shù)%的表達(dá)

式，消參數(shù)可得M的軌跡方程.

【詳解】

（1）點(diǎn)0（0,-1）在直線AB上理由如卜，

山題意，拋物線C：y=Lv-3的頂點(diǎn)為尸（0,-3）

4

因?yàn)橹本€與拋物線有2個(gè)交點(diǎn)，

所以設(shè)直線AB的方程為y="+仇A（石,乂），8（無2,%）

y=—%2-3,

聯(lián)立丫4得至底一46一4（3+。）=。，

y=kx+h

其中A=16無2+16（3+6）>0,

xi+x2=4k,xtx2=一4s+3）X,X2=-4（/?+3）

2

所以X+必=左（百+x2）+2b-4k+2b,

22

yty2=（依+。）（仁+b^-kx}x2+姑（石+x2^+b

=-4k2（h+3）+4k2b+b1

=-\2k2+b2

因?yàn)橛?（為,y+3）,PB=（x2,y2+3）

所以PA?尸5=%/+（y+3）（%+3）

=MW+XX+3（X+>2）+9

=-4（b+3）+（-42左2+/）+3（4.2+乃）+9

=b2+2b-3

=4，

所以〃+2/?+l=S+l)2=0,

解得b=—l,

經(jīng)檢驗(yàn)，滿足/>0,

所以直線AB的方程為y=履―1,恒過定點(diǎn)。(0,-1).

(2)因?yàn)辄c(diǎn)M是兇48的外接圓的圓心，所以點(diǎn)〃是三角形RL8三條邊的中垂線的交點(diǎn),

設(shè)線段Q4的中點(diǎn)為F,線段的中點(diǎn)為為E，

因?yàn)镻(0,-3),設(shè)4再，乂)，8(馬，必)

,>'i+3卜_%+3

所以F(5,甘)，風(fēng).，三)，kM=

%）x2

所以線段BI的中垂線的方程為：丁一胃二

y+32

因?yàn)锳在拋物線上，所以y+3=%：,

r24

F4的中垂線的方程為：y-^-+3=--(x-T），即y=」x+（-i,

2x,8

4J，

同理可得線段PB的中垂線的方程為：y=-

x28

4￥

V=---X+———1X；%七（內(nèi)+」2）

?x8

聯(lián)立兩個(gè)方程《',，解得，32

491x「+x?~+x,x9—8

y=---x+---1%=8

x28

由(1)可得玉+工2=4%,x1x2=-4(Z?+3)=二-8,

所以4=_當(dāng)"=b)"'士子》2=（士長,）二=2k2,

5/o8

即點(diǎn)M(%,242),所以

即點(diǎn)M的軌跡方程為：x2

【點(diǎn)睛】

本題考查求直線恒過定點(diǎn)的方程及直三角形外接圓的性質(zhì)，和直線與橢圓的綜合應(yīng)用，屬于難題.

【變式訓(xùn)練4-2】.拋物線C:Y=2py（p>0）的焦點(diǎn)為尸，過尸且垂直于丁軸的直線交拋物線。于M,N

兩點(diǎn)，。為原點(diǎn)，AOMN的面積為2.

（1）求拋物線。的方程.

（2）P為直線/：丁=%（為<°）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作攏（物線的切線，切點(diǎn)分別為A8,過點(diǎn)P作的

垂線，垂足為“，是否存在實(shí)數(shù)月,使點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)時(shí)，垂足“恒為定點(diǎn)？若不存在，說明理由；

若存在，求出%的值，并求定點(diǎn)”的坐標(biāo).

【答案】（1）X2=4J；（2）存在這樣的％,當(dāng)%=-1時(shí)，H坐標(biāo)為（。，1）.

【分析】

（1）先根據(jù)拋物線的性質(zhì),結(jié)合題中條件,得到|MN|=2p,由三角形面積列出方程求出即可得出拋

物線方程；

（2）先設(shè)A@，x）,8（w，%）,P（Xo，%），直線AP的方程為y-X=Mx-%），根據(jù)直線與拋物線相切，

得到y(tǒng)+X=芳，進(jìn)而推出AB的方程為y+%=若，根據(jù)得到PH方程，由兩直線方程,

即可求出處,確定出結(jié)果.

【詳解】

（1）由題意得，點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為R,由f=2p-K,解得x=±〃，

22

則|MN|=2〃，

由&CMN=：|MN|-|OF|=g-2p-5=gp2=2,解得〃=2,

故拋物線C的方程為f=4y.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)用，使點(diǎn)P在直線/上移動(dòng)時(shí)，垂足〃恒為定點(diǎn)，

設(shè)A（N,x）,％）,尸（%,y0），直線AP的方程為y-X=%（x-占），

1*2Y

將拋物線方程變形為y=A，則y=2，

所以％=工,

2

所以AP的方程為y-y=5（x-xJ.

因?yàn)槠?4%所以直線AP的方程為y+y=芳.

把「（毛,%）代入AP的方程得為+y=歲.

同理可得%+M=竽.

構(gòu)造直線方程為y+%=W，易知A,B兩點(diǎn)均在該直線上，

所以直線A8的方程為＞+%=當(dāng).

故A3恒過點(diǎn)（（）,-%）?

因?yàn)?/p>

所以可設(shè)PH方程為x—%=_，（、_%）,化簡得*=_三（丁_%_2）

所以PH恒過點(diǎn)（0,%+2）.

當(dāng)一%=為+2，即為=-1時(shí)，AB與尸”均恒過。1），

故存在這樣的％,當(dāng)為=-1時(shí)，H坐標(biāo)為（0,1）.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：

求解本題第：問的關(guān)鍵在于用片分別表示出直線A3和尸”的方程；根據(jù)題中條件，先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及

直線AP的方程，山直線與拋物線相切，得出直線AP方程，推出AB的方程，進(jìn)而確定P”的方程，即可

求解.

【達(dá)標(biāo)檢測】:

A卷基礎(chǔ)鞏固

1.（2021?全國高三專題練習(xí)（文））數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：“任何由直線與拋物線所圍成的弓

形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，直線y=2與拋物線Y=4），交于M、N兩點(diǎn)，M

則該點(diǎn)落在陰影部分的概率為（）

D

535-i

【答案】B

【分析】

求出N兩點(diǎn)坐標(biāo)，由阿基米德理論計(jì)算拋物線中弓形，從而得陰影部分面積，然后由幾何概型概率公

式計(jì)算概率.

【詳解】

由題可知，知（-2忘,2）,N（2^2,2）,

S^NM=2x4叵=8叵>

由阿基米德理論可知：弓形面積為S，=&x‘x4四、2=蛆也，5陰=8應(yīng)-誕=逑

弓323陰33

8隹

二概率人二$阱4

SABNM8>/23

故選：B.

2.（2021?全國高二課時(shí)練習(xí)）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角

形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其

準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線y2=2px（p>0）,弦AB過焦點(diǎn)，△AB。為阿基米德三角形，則△43。為（）.

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.隨。位置變化前三種情況都有可能關(guān)系

【答案】B

【分析】

本題首先可根據(jù)題意繪出圖像，然后設(shè)出直線AB，與拋物線方程聯(lián)立得出％%=-/，再然后設(shè)出過點(diǎn)A的

切線，與拋物線方程聯(lián)立得出〃4=?,用同樣的方式設(shè)出過點(diǎn)B的切線，得出〃&=、2,最后根據(jù)《內(nèi)=-1

即可得出結(jié)果.

【詳解】

如圖，結(jié)合題意繪出圖像：

設(shè)A（±,y）,8（七,必），則y：=2pX1,y}=2px2,

設(shè)宜線=x-],

jfjyf=X_—P—

2

聯(lián)立，'2,整理得了2-2p,/y-p2=0,則x+%=2p，"，yly2=-p,

j2=2px

2

設(shè)過點(diǎn)A的切線為勺（y-yj=x-/,

4（）」）1）=X--,整理得尸_2pK），+2p4j_y；=0,

聯(lián)立

）2=2px

則△=（一2〃尢）2—4（2〃&]必一y：）=0,即pk\=M,

2

設(shè)過點(diǎn)B的切線為心（y-%）=x-或，同理可得/的=%,

則/桃2=%%=-P、即A#2=T，S-=T，

K\K2

故△48。是直角三角形,

故選：B.

【點(diǎn)

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的相關(guān)問題的求解，考查韋達(dá)定理和判別式的應(yīng)用，考查學(xué)生對“阿基

米德三角形''的理解，若兩條直線的斜率乘積為-1,則這兩條直線互相垂直，考查計(jì)算能力，是中檔題.

3.（2020?全國（理））古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和拋物線所包圍的

弓形，其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四.”如圖，已知直線x=2交拋物線y2=4x于A,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)A,B在），軸上的射影分別為￡>,C從長方形A8CD中任取一點(diǎn)，則根據(jù)阿基米德這一理論，該點(diǎn)位

于陰影部分的概率為（）

【答案】C

【分析】

求出A8兩點(diǎn)坐標(biāo)，由阿基米德理論計(jì)算拋物線中弓形，從而得陰影部分面積，然后由幾何概型概率公式

計(jì)算概率.

【詳解】

把x=2代入拋物線方程得y=±20,即A（2,2夜）,8（2,-2&）,|陰=4&,

必2=40,S皿=2x4血=8a,

S陰影=80-gx4&='

80

二所求概率為p廠S陰影=3=1?

SABCDS\/23

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何概型，解題關(guān)鍵是求出陰影部分面枳，讀懂并能應(yīng)用阿基米德理論是基礎(chǔ).

4.（2020?云南高三（理））拋物線上任意兩點(diǎn)A、3處的切線交于點(diǎn)尸，稱為“阿基米德三角形”.當(dāng)線

段A8經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，△B4B具有以下特征：①尸點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△P48為直角三角形,

且③若經(jīng)過拋物線V=4x焦點(diǎn)的一條弦為A8,阿基米德三角形為△PAB，且點(diǎn)P的

縱坐標(biāo)為4,則直線A3的方程為（）

A.x-2^-1=0B.2x+y-2=Q

C.x+2y-l=0D.2x-y-2=0

【答案】A

【分析】

由△%B為“阿基米德三角形”，且線段A8經(jīng)過拋物線V=4x焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線匕可求

出點(diǎn)尸（-1,4）,從而得到直線PF的斜率為-2,又尸尸_LAB,所以直線AB的斜率為再利用點(diǎn)斜式即

可求出直線AB的方程.

【詳解】

解：由題意可知，拋物線V=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1,0）,準(zhǔn)線方程為：x=-1,山△以8為“阿基米德

三角形”，且線段AB經(jīng)過拋物線產(chǎn)=4x焦點(diǎn)，可得：P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，

二點(diǎn)P（-1,4）,

...直線尸產(chǎn)的斜率為：±9=-2,

-1-1

又???PF_LA5,

工直線A3的斜率為

：?直線A3的方程為：y-0=；（x-l）,即x-2y-l=0,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的性質(zhì)，是中檔題.

5.（2014年遼寧卷）已知點(diǎn)A（-2,3）在拋物線C：V