巧用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題

巧用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解題廣西上思縣上思中學(xué)王春雷關(guān)鍵詞：化歸與轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程內(nèi)容摘要：化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過程。應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活地解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題，是提高思維能力的有效保證。常用的化歸與轉(zhuǎn)化方法有等價(jià)變換、數(shù)形結(jié)合法、函數(shù)與方程的思想、換元法、反證法、特殊值法等。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵于知識(shí)的發(fā)生、開展和應(yīng)用的過程，是知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。而數(shù)學(xué)科的考試，是按照“考查根底知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力〞的原那么，測試中學(xué)數(shù)學(xué)根底知識(shí)、根本技能、根本思想和方法，考查思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、解決實(shí)際問題的能力。所以，歷年高考均十分重視考查數(shù)學(xué)思想方法，把對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查融合在對(duì)“三基〞的檢測和能力的考核之中?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯(lián)想、類比等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行變換，化歸為在知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的數(shù)學(xué)思想?；瘹w與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實(shí)際就是轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如：未知向的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的表達(dá)。應(yīng)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想，運(yùn)用數(shù)學(xué)變換的方法去靈活地解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題，是提高思維能力的有效保證，那么，我們應(yīng)該如何在平時(shí)解題過程中注意培養(yǎng)化歸與轉(zhuǎn)化意識(shí)，以進(jìn)一步提高解題能力呢？下面結(jié)合例題談一談如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化。利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中，存在許許多多具有等價(jià)性的問題，“恒等變形〞是解題的最根本的方法，如解方程和不等式的過程本身就是一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的過程。例1、〔2003年全國高考〕。設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減。不等式的解集為。如果和有且僅有一個(gè)正確，求的取值范圍。分析：“和有且僅有一個(gè)正確〞等價(jià)于“正確且不正確〞或“不正確且正確〞，所以應(yīng)先求出和分別正確時(shí)的解集，再用集合間的關(guān)系來運(yùn)算。解：函數(shù)在上單調(diào)遞減不等式的解集為函數(shù)在上恒大于1。函數(shù)在上的最小值為。不等式的解集為。如果正確且不正確，那么如果不正確且正確，那么所以的取值范圍為。二、利用反證法的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化如果一個(gè)命題從正面解決不好入手或比擬麻煩，可以從命題的反面入手來解決。如：證明命題的唯一性、無理性，或所給的命題以否認(rèn)形式出現(xiàn)〔如：不存在、不相交等〕，并伴有“至少〞“不都〞“都不〞“沒有〞等指示性詞語時(shí)，均可考慮用反證法的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。反證法是數(shù)學(xué)解題中逆向思維的直接表達(dá)。例2、以下三個(gè)方程：，，中，至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍。分析：此題假設(shè)采用正面討論，那么必須分成“有且只有一個(gè)方程有實(shí)根〞，“有兩個(gè)方程有實(shí)根〞和“三個(gè)方程全部有實(shí)根〞三種不同情況來討論，求解過程將會(huì)非常復(fù)雜。所以，應(yīng)采用補(bǔ)集和反證法的思想來求。解：假設(shè)方程沒有一個(gè)有實(shí)根，那么有解之得：滿足三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的的解集是。三、用數(shù)形結(jié)合的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合的思想就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想，其實(shí)質(zhì)就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的圖形結(jié)合起來，從而降低原命題的難度，使問題容易得到解決。例3、如果實(shí)數(shù)滿足，那么的最大值是〔〕A.B.C.D.分析：由于方程表示的曲線以為圓心，以為半徑的圓〔如右圖所示〕，滿足方程的是圓上的點(diǎn)；而是坐標(biāo)原點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線的斜率，所以題目可轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)與圓上各點(diǎn)連線的斜率的最大值。結(jié)合圖像，易知直線與圓相切的時(shí)候，直線的斜率就是所求斜率的最大值。解：即所求的最大值是，應(yīng)選D。四、利用函數(shù)與方程的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化函數(shù)與方程的思想是求數(shù)量關(guān)系的主要思想方法。一個(gè)數(shù)學(xué)問題，如能建立描述其數(shù)量特征的函數(shù)表達(dá)式，或列出表示其數(shù)量關(guān)系的方程式〔組〕〔包括不等式〔組〕〕，那么一般可使問題得到解答。例4、平行四邊形中，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔，點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)，求點(diǎn)的軌跡方程。分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊平行且相等，所以可以將此題轉(zhuǎn)化為相等向量的性質(zhì)來求解。解：設(shè)的坐標(biāo)分別為那么在平行四邊形中，點(diǎn)在橢圓上，把點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程中，即得點(diǎn)的軌跡方程：五、利用換元法的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化對(duì)結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，量與量之間的關(guān)系不甚明了的命題，通過適當(dāng)?shù)囊胄伦兞俊矒Q元〕，往往可以簡化原有結(jié)構(gòu)，使其轉(zhuǎn)化為便于研究的形式。常用的換元法有代數(shù)代換、三角代換、整體代換等。在應(yīng)用換元法時(shí)要特別注意新變量的取值范圍，即代換的等價(jià)性。例5、〔2004年高考廣西理科〕解方程：分析：假設(shè)令，〔〕，那么原方程可轉(zhuǎn)化為求含絕對(duì)值的二次方程的解。解：令，〔〕，原方程可化為：=1\*GB3①當(dāng)〔即〕時(shí)，方程可化為：解之得：，或〔不舍題意，舍去〕=2\*GB3②當(dāng)〔即〕時(shí)，方程可化為：解之得：或〔均不舍題意，舍去〕所以，原方程的解為六、利用特殊化的思想來實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中。解題時(shí)，將一般問題特殊化和將特殊問題一般化是常用的兩種策略。對(duì)一些較為抽象或一般規(guī)律又無顯露的數(shù)學(xué)問題，尤其是答案相對(duì)唯一的選擇題，可以采用抽象問題具體化，一般問題特殊化的方法來驗(yàn)證，而無需作費(fèi)時(shí)費(fèi)力的嚴(yán)格推證，從而防止“小題大做〞，以降低難度，盡快確定正確答案。例6、〔2001年全國高考〕一間民房的屋頂有如以下圖三種不同的蓋法：=1\*GB3①單向傾斜；=2\*GB3②雙向傾斜；=3\*GB3③四向傾斜。記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3。假設(shè)屋頂斜面與水平面所成的角都是α，那么〔〕

(A)P3=P2>P1(B)P3>P2=P1(C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1分析：由射影面積公式〔〕可知：與斜面和水平面所成角有關(guān)，而與斜面內(nèi)圖形形狀及圖形放置無關(guān)。所以可以抓住“所成角都是〞及“射影面積〔民房面積〕不變〞，取特值，就將三種不同的房蓋均變成平房蓋，而同一間民房的面積全部相同，從而得解。解：令，即可知選D。當(dāng)然，除了上述常用方法外，數(shù)學(xué)解題中還存在其它的轉(zhuǎn)化方法，如：在求空間距離問題時(shí)，可利用等積法〔點(diǎn)線距離常用等面積法，點(diǎn)面距離常用等體積法〕將它轉(zhuǎn)化為解三角形的問題；在求空間角〔異面直線所成的角或二面角的平面角〕時(shí)，可通過平移變換、作輔助線等方法轉(zhuǎn)化為同一個(gè)平面或三角形中；而求函數(shù)的值域〔或最值〕，有時(shí)也可以根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)，通過求該函數(shù)的反函數(shù)的定義域來得到?！捎诒疚钠邢?，這里就不一一舉例?？?/p>