高考數(shù)學 母題題源系列 專題16 離散性隨機變量的分布列、數(shù)學期望 理-人教版高三數(shù)學試題

母題十六離散性隨機變量的分布列、數(shù)學期望【母題原題1】【2018天津，理16】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．（I）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望；（ii）設A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率．【考點分析】本小題主要考查隨機抽樣、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望、互斥事件的概率加法公式等基礎知識．考查運用概率知識解決簡單實際問題的能力．滿分13分．【答案】（Ⅰ）從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案見解析；（ii）．試題解析：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機變量的所有可能取值為．所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學期望．【名師點睛】本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣．超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型．進行分層抽樣的相關計算時，常利用以下關系式巧解：（1）；（2）總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．【母題原題2】【2017天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為．（Ⅰ）設表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．【答案】（I）；（II）．試題解析：（Ⅰ）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．∴隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學期望．（Ⅱ）設表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為．∴這2輛車共遇到1個紅燈的概率為．【考點】離散型隨機變量概率分布列及數(shù)學期望【名師點睛】求離散型隨機變量概率分布列問題首先要清楚離散型隨機變量的可取值有那些？當隨機變量取這些值時所對應的事件的概率有是多少，計算出概率值后，列出離散型隨機變量概率分布列，最后按照數(shù)學期望公式計算出數(shù)學期望．；列出離散型隨機變量概率分布列及計算數(shù)學期望是理科高考數(shù)學必考問題．【母題原題2】【2016天津，理16】某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，．現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．（I）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A（II）設為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析．試題解析：解：由已知，有所以事件發(fā)生的概率為．隨機變量的所有可能取值為，，．所以隨機變量分布列為隨機變量的數(shù)學期望．考點：概率，概率分布與數(shù)學期望【名師點睛】求均值、方差的方法1．已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；2．已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；3．如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．【母題原題3】【2015天津，理16】為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加．現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名．從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽．(I)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；(II)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】(I)；(II)隨機變量的分布列為所以隨機變量的分布列為所以隨機變量的數(shù)學期望．【命題意圖】離散型隨機變量的均值與方差是高考的熱點，主要考查學生對取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的理解，要求學生能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．【命題規(guī)律】離散型隨機變量的均值與方差如單獨考查一般以客觀題形式出現(xiàn)，主要考查利用公式進行計算，難度不大，若以解答題形式出現(xiàn)，一般不單獨考查，常見命題方式有兩種：一是與概率、分布列計算結合在一起進行考查，二是與統(tǒng)計結合在一起進行考查，難度中等．【答題模板】解答本類題目，以2017年第10題高考題為例，一般考慮如下三步：第一步：確定概率求期望抽取的一個零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0．9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0．0026，故．因此．的數(shù)學期望為；第二步：根據(jù)概率判斷合理性如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在之外的概率只有0．0026，一天內(nèi)抽取的16個零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0．0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．第三步：剔除值，求估計值由，得的估計值為，的估計值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9．22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計值為10．02．，剔除之外的數(shù)據(jù)9．22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計值為．【方法總結】1．高考對離散型隨機變量的均值與方差的考查主要有以下三個命題角度：(1)已知離散型隨機變量符合條件，求其均值與方差；(2)已知離散型隨機變量的均值與方差，求參數(shù)值；(3)已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷．2．求離散型隨機變量均值、方差的基本方法(1)已知隨機變量的分布列求它的均值、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解；(2)已知隨機變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標準差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．3．解答題中對期望與方差的考查常與分布列結合在一起進行考查，求解此類問題要先根據(jù)隨機變量的定義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量的取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)均值與方差的公式計算，若隨機變量服從二項分布，可直接利用公式求解．4．均值與方差的實際應用對于均值與方差的實際應用，命題模式通常是已知離散型隨機變量滿足兩種方案，試作出判斷．求解這類問題要用到均值與方差．(1)D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，統(tǒng)計中常用eq\r(D（X）)來描述X的分散程度．(2)隨機變量的均值反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要的理論依據(jù)，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．1．【2018天津南開中學模擬】現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲．（1）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（2）用分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）．（2）分布列見解析；．【解析】分析：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的槪率為，去參加乙游戲的概率為．設“這4個人中恰有人去參加甲游戲”為事件，則，（1）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的槪率為；（2）的所有可能取值為0，2，4．由于與互斥，與互斥，所以，，，所以的分布列是所以隨機變量的數(shù)學期望．【名師點睛】該題考查的是有關概率的問題，涉及到的知識點有古典概型及其概率計算公式，離散型隨機變量的分布列及其期望，在解題的過程中，需要認真審題，正確使用公式計算結果．2．【2018天津部分區(qū)二?！磕炒髮W數(shù)學學院擬從往年的智慧隊和理想隊中選拔4名大學生組成志愿者招募宣傳隊．往年的智慧對和理想隊的構成數(shù)據(jù)如下表所示，現(xiàn)要求選出的4名大學生中兩隊中的大學生都要有．（1）求選出的4名大學生僅有1名女生的概率；（2）記選出的4名大學生中女生的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）見解析．【解析】分析：（1）選出的4人中智慧隊和理想隊的都要有，選法種數(shù)是種，選出的4名大學生僅有1名女生的選法有2種選法：從智慧隊中選取1女生的選法共有種，從理想隊中選取1女生的選法共有種，由此能求出選出的4名大學生僅有1名女生的概率．

（II）隨機變量X的取值可為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和．詳解：所以，選出的4名大學生僅有1名女生的概率為（2）隨機變量的可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以隨機變量的分布列為．【名師點睛】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔．3．【2018天津河東區(qū)二?！磕持谐闱蜿牭暮笮l(wèi)線上一共有7名球員，其中3人只能打中后衛(wèi)，2人只能打邊后衛(wèi)，2人既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)，主教練決定選派4名后衛(wèi)上場比賽，假設可以隨機選派球員．（1）在選派的4人中至少有2人能打邊后衛(wèi)的概率；（2）在選派的4人中既能打中后衛(wèi)又能打邊后衛(wèi)的人數(shù)的分布列與期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，．（2）的取值為0、1、2，則分布列為：012P【名師點睛】（1）本題主要考查古典概型、對立事件的概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力、分析推理能力和計算能力．（2）計算概率首先是讀題審題，然后是概率定性（六大概型：古典、幾何、互斥、獨立、獨立重復試驗、條件），再代公式．4．【2018天津河北區(qū)二?！磕车財M建立一個藝術博物館，采取競標的方式從多家建筑公司選取一家建筑公經(jīng)過層層篩選，甲、乙兩家建筑公司進入最后的招標．現(xiàn)從建筑設計院聘請專家計了一個招標方案：兩家公司從6個招標問題中隨機拋取3個問題，已知這6個問中，甲公司可正確回答其中的4道題，而乙公司能正確回答每道題目的概率均為，且甲、乙兩家公司對每題的回答都是相互獨立，互不影響的．（I）求甲、乙兩家公司共答對2道題的概率；（II）設X為乙公司正確回答的題數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）見解析．，，，，∴X得分布列為：∵∴【名師點睛】本題主要考查互斥事件的概率公式、獨立事件同時發(fā)生的概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題．求解該類問題，首先正確要理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所以可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關．5．【2018天津十二校二?！磕炒髮W在一次公益活動中聘用了名志愿者，他們分別來自于，，三個不同的專業(yè)，其中專業(yè)人，專業(yè)人，專業(yè)人，現(xiàn)從這人中任意選取人參加一個訪談節(jié)目．（Ⅰ）求個人來自于兩個不同專業(yè)的概率；（Ⅱ）設表示取到專業(yè)的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）（2）見解析．件“3個人來自于三個不同專業(yè)”，，則由古典概型的概率公式有；（2）隨機變量X的取值為：0，1，2，3則，，，，X0123P．【名師點睛】本題主要考查互斥事件的概率公式以及對立事件同時發(fā)生的概率公式以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題．求解該類問題，首先正確要理解題意，其次要準確無誤的找出隨機變量的所以可能值，計算出相應的概率，寫出隨機變量的分布列，正確運用均值、方差的公式進行計算，也就是要過三關：（1）閱讀理解關；（2）概率計算關；（3）公式應用關．6．【2018天津十二校模擬一】2018年2月25日，平昌冬奧會閉幕式上的“北京8分鐘”驚艷了世界．我們學校為了讓我們更好的了解奧運，了解新時代祖國的科技發(fā)展，在高二年級舉辦了一次知識問答比賽．比賽共設三關，第一、二關各有兩個問題，兩個問題全答對，可進入下一關；第三關有三個問題，只要答對其中兩個問題，則闖關成功．每過一關可一次性獲得分別為1、2、3分的積分獎勵，高二、一班對三關中每個問題回答正確的概率依次為，且每個問題回答正確與否相互獨立．（1）記表示事件“高二、一班未闖到第三關”，求的值；（2）記表示高二、一班所獲得的積分總數(shù)，求的分布列和期望．【答案】（1）；（2）．，則；方法二、．（2）隨機變量X的取值為：0，1，3，6，則，，，，X0136P∴．7．【2018天津部分區(qū)上學期期末考】某大學現(xiàn)有6名包含在內(nèi)的男志愿者和4名包含在內(nèi)的女志愿者，這10名志愿者要參加第十三屆全運會支援服務工作，從這些人中隨機抽取5人參加田賽服務工作，另外5人參加徑賽服務工作．（1）求參加田賽服務工作的志愿者中包含但不包含的概率；（2）設表示參加徑賽服務工作的女志愿者人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）根據(jù)組合數(shù)公式和古典概型概率公式計算；（2）利用超幾何分布的概率公式求出概率賣得出分布列，再計算數(shù)學期望．因此的分布列為01234的數(shù)學期望是=【名師點睛】求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是：“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式（常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等），求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布X～B(n，p))，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得．8．【2018天津一中月考五】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有個紅球、個白球的甲箱和裝有個紅球、個白球的乙箱中，各隨機摸出一個球，在摸出的個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有個紅球，則獲得二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．（1）求顧客抽獎次能獲獎的概率；（2）若某顧客有次抽獎機會，記該顧客在次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）答案見解析．【解析】分析：（1）間接法計算中獎概率；

（2）根據(jù)二項分布的概率公式計算X的各種取值對應的概率，得出分布列即數(shù)學期望．詳解：（1）設顧客抽獎次能中獎的概率為，．故的分布列為數(shù)學期望．【名師點睛】本題考查了古典概型的概率計算，離散型隨機變量的分布列，對二項分布的正確判斷是解該題的關鍵，屬于中檔題．9．【2018天津耀華中學月考三】某校舉行環(huán)保知識大獎賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選題答題的機會，選手累積答對3題或打錯3題即終止其初賽的比賽：答對3題者直接進入初賽，打錯3題者則被淘汰．已知選手甲答對每個問題的概率相同，并且相互之間沒有影響，答題連續(xù)兩次答錯的概率為．（1）求選手甲可進入決賽的概率．（2）設選手甲在初賽中答題的個數(shù)為，試求的分布列，并求的數(shù)學期望．【答案】（1）P（2）見解析【解析】試題分析：設選手甲任答一題，正確的概率為，根據(jù)甲答對每個問題的概率相同，并且相互之間沒有影響，答題連續(xù)兩次打錯的概率為，列出關于的方程，得到甲答對題目的概率，選手甲能夠進入決賽包括兩種情況，這兩種情況是互斥的，由互斥事件的概率公式計算得到答案；的取值為，，，對應的事件分別是前三個題全部答對，前四個題答對了三個，其中第四題一定對，前五個題答對了三個，第五個一定答對，分別求出它們的概率，列出分布列，求出期望；，故隨機變量的分布列為：．10．【2018遼寧葫蘆島二?！亢ＫB(yǎng)殖場使用網(wǎng)箱養(yǎng)殖的方法，收獲時隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：)，其頻率分布直方圖如圖：定義箱產(chǎn)量在(單位：)的網(wǎng)箱為“穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱”，箱產(chǎn)量在區(qū)間之外的網(wǎng)箱為“非穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱”．（1）從該養(yǎng)殖場（該養(yǎng)殖場中的網(wǎng)箱數(shù)量是巨大的）中隨機抽取3個網(wǎng)箱．將頻率視為概率，設其中穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱的個數(shù)為，求的分布列與期望；（2）從樣本中隨機抽取3個網(wǎng)箱，設其中穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱的個數(shù)為，試比較的期望與的大?。敬鸢浮浚?）E(X)=（2）相等，易知則P(X=k)=C()k·()3?k=(k=0，1，2，3)，故X的分布列為X0123PX的期望E(X)=3=．（2）穩(wěn)產(chǎn)網(wǎng)箱的頻數(shù)為100·=60，依題意Y～H(100，60，3)，故E(Y)===E(X)．【名師點睛】本題考查了頻率分布直方圖與二項分布列的應用問題，是基礎題．11．【2018四川南充高中模擬】已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關小組，參加由某電視臺舉辦的知識類答題闖關活動，活動共有四關，設男生闖過一至四關的概率依次是，女生闖過一至四關的概率依次是．（1）求男生闖過四關的概率；（2）設表示四人沖關小組闖過四關的人數(shù)，求隨機變量的分布列和期望．【答案】（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）利用相互獨立事件的概率計算公式即可得出；（2）記女生四關都闖過為事件，則，的取值可能為0，1，2，3，4，利用相互獨，，所以的分布如下：．【名師點睛】本題考查了相互獨立與互斥事件的概率計算公式，隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算公式，考查了推理能力與計算能力．12．【2018四川成都七中三模】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”．為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調(diào)研．人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0．05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計支持不支持總計（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動．現(xiàn)從這8人中隨機抽2人①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率．②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：0．1000．0500．0100．0012．7063．8416．63510．828，其中【答案】（1）能（2）①②見解析【解析】分析：（1）由統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結論；

（2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率，

②根據(jù)題意知的可能取值，計算對應的概率值，寫出隨機變量的分布列，計算數(shù)學期望值．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計支持354580不支持15520總計5050100因為的觀測值，值為0，1，2．，，．故隨機變量的分布列為：012所以．【名師點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，也考查了古典概型的概率計算問題，是中檔題．13．【2018江蘇鹽城模擬】袋中共有8個乒乓球，其中有5個白球，3個紅球，這些乒乓球除顏色外完全相同．從袋中隨機取出一球，如果取出紅球，則把它放回袋中；如果取出白球，則該白球不再放回，并且另補一個紅球放入袋中，重復上述過程次后，袋中紅球的個數(shù)記為．(I)求隨機變量的概率分布及數(shù)學期望；(Ⅱ)求隨機變量的數(shù)學期望關于的表達式．【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)．【解析】分析：（1）由題意得到的所有取值，然后利用古典概型概率計算公式求出概率，則可得出答案；（2）設，，則則，，再把、……、用表示，得到，從而說明為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式得答案．所以隨機變量的概率分布如下表：(一個概率得一分不列表不扣分)數(shù)學期望．(Ⅱ)設，．則，．，，，，，．所以，．．由此可知，．又，所以．【名師點睛】求隨機變量及其分布列的一般步驟（1）明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義．（2）利用排列、組合知識或互斥事件、獨立事件的概率公式求出隨機變量取每個可能值的概率；（3）按規(guī)范形式寫出隨機變量的分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證．14．【2018安徽安慶一中模擬】為了研究學生的數(shù)學核素養(yǎng)與抽象(能力指標)、推理(能力指標)、建模(能力指標)的相關性，并將它們各自量化為1、2、3三個等級，再用綜合指標的值評定學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為一級；若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為二級；若，則數(shù)學核心素養(yǎng)為三級，為了了解某校學生的數(shù)學核素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機訪問了某校10名學生，得到如下：（1）在這10名學生中任取兩人，求這