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衡水一中高三文數(shù)八?？荚囋嚲?/p>

姓名:年級:學(xué)號:

題型選擇題填空題解答題判斷題計算題附加題總分

得分

評卷入得分

一、選擇題(共11題，共55分)

π

1、已知函數(shù)f(x)=2sitι(ωx+φ)(0<φ<2)與y軸的交點為(0,1),且圖象上兩對稱軸之間的最小

π

距離為2,則使f(%+t)-∕(-χ+1)=°成立的Itl的最小值為()

π

A.6

π

B.?

0.

2TT

D.T

【考點】

【答案】A

1

【解析】由題意：函數(shù)千(X)與y軸的交點為(0,D,可得：1=2sinQ,sinφ=2,

nπ

,

?.O<Φ<2,.?.Φ=6j

兩對稱軸之間的最小距離為可得周期T=n,解得：ω=2.

所以：f(×)=2sin(2×+),

?f(×+t)-f(-x+t)=0,

可得：函數(shù)圖象關(guān)于χ=t對稱.求ItI的最小值即可是求對稱軸的最小值，

n

Vf(x)=2sin(2x+)的對稱軸方程為：2x+=2+kπ(k∈Z),

可得：X=時最小，

故答案為:A.

由題意函數(shù)與y軸的交點為(0,1),可得sinφ的值，解出φ,根據(jù)兩對稱軸的最小距離得出周期，

解得ω,從而得到f(x)的解析式，由f(x+t)-f(-χ+t)=0,可得函數(shù)關(guān)于x=t對稱，可得最小值.

5

2、在平面直角坐標系中，已知雙曲線的中心在原點，焦點在X軸上，實軸長為8,離心率為1,則它的漸近

線的方程為()

4

A7=土尹

B.)'=±

9

Cy=±16x

3

+4x

d.y=

【考點】

【答案】D

b5c3

【解析】漸近線的方程為=土？，而彳=Na=8=>α=4,b=3因此漸近線的方程為Y=±4x,

選D.根據(jù)實軸長得出a=4,由離心率得到c=5,從而解得b=3,不難得出漸近線的方程.

o

3、已知三棱錐S—48C外接球的表面積為32",?ABC=90t三棱錐的三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖

的面積的最大值為（）

∣.1—?∣.4—1二

正（主刑用1H（左）網(wǎng)圖

-------h（：

B

A.4

B.4也

C.8

D.4r

【考點】

【答案】A

【解析】由外接球的表面積，可知三棱錐外接球半徑r=2也；據(jù)三視圖可得SCJ.平面力BC,取S4的

中點°,可證為外接球的球心，且為外接球的直徑且S'=城，所以SC=4.側(cè)視圖的高為，側(cè)視圖的

底等于底面△力BC的斜邊4C上的高，設(shè)為α,則求側(cè)視圖的面積的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值，當(dāng)中點,

與BD與的垂足重合時，α=2有最大值，即三棱錐的側(cè)視圖的面積的最大值為B'4X2=4.

故答案為：A.

根據(jù)外接球的表面積得出外接球半徑，由三視圖不難得出SCjL面ABC,取SA的中點0,可證0為外接

球的球心，則SA為外接球直徑，根據(jù)勾股定理得出SC,設(shè)底面ABC的斜邊AC的高為a,則求出a的最大

值即可得到側(cè)視圖面積的最大值.

4、如圖，函數(shù)f(x)的圖象為折線.SC,則不等式f(x)≥xe'的解集是()

A,[-3>°]

B.[-3-l]

C.[-3,2]

D.[-∞^l]

【考點】

【答案】B

【解析】構(gòu)造函數(shù)g(χ)=χe?9?)=(χ+1)滔故。(嗎,(一8,-1)1,(-1,+∞)↑

9(%)的圖像可以畫在以上坐標系中，由圖像知只要保證f(χ)在上方即可；f(χ)=g(χ)在(°，+8)

上有交點(IQ),故得到答案為：[一31]。

所以答案是：Bo

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要

掌握復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：均和“?g(x),稱則〉可以表示成為X的函數(shù),即>=∕S<x))為一個復(fù)合函數(shù)

y=∕,(?<χ))≡^(χ),

5、如圖所示，長方體'B'"-"1'1CIDl中，AB=AD=I,AAI=低面對角線BlDI上存在一點P使得

名尸+尸■短，則的最小值為()

D.2

【考點】

【答案】A

【解析】把對角面及面"1BIDl展開，使矩形BDDIB1,直角三角形0141口1在一個平面上，則

&P+PB的最小值為41B,在三角形4/也中，

ππ3πK

?A1BiB=乙4]BIDl+LD1B1B=4+彳=丁/iBl=1，8/=W由余弦定理得

A?B=^jl2+(√5^)2-2×1×^∑cos-γ=在

故答案為：A將對角面BDl及面AIBIDl展開，使矩形BDDIB1,直角三角形DIAIBl在一個平面上,

在三角形A1B1B中使用余弦定理可求得A1B的大小.

包

6、若Z=1+2i,則7—1()

A.1

B.-1

C.i

D.-i

【考點】

【答案】C

4i4i.

-~=(1+2ι)(l-2i)-l=1

【解析】"-I,所以答案是：C.

7、在△4BC中，三個內(nèi)角”，B,C的對邊分別為α,匕，c,若的面積為S,且4S=(α+曠］，

則Sina+G等于()

A.1

*

B.~~2^

￡

e.?

D.^2^

【考點】

【答案】C

?..M+b2-C2

［解析］a

^=2bsιnC,cosC=2ab

222

,-,2S=absinC,a+b-c=2abcosC，

代入已知等式得：4S=(α+h)2-c2=fi2+b2-c2+2ab,即

2absinC=2abcosC+2abJ

<ab≠0,.?.SEC=C°SC+1,

22

?"?sinC+cosC=91

??.(COSC+I)2+COS2C=1,解得：CoSC=-I(不合題意,舍去)，cosC=0,

■■si∩C-1j

,nJ2

則Sln(I+G=T(SmC+cosC)=y

所以答案是：C.

【考點精析】關(guān)于本題考查的余弦定理的定義，需要了解余弦定

2332123

理：ɑ?=b+c-IbcccsA；?3=c+α-2cacos5;c=β+6-ZaicosC才能得出正確答案.

8、規(guī)定：對任意的各位數(shù)字不全相同的三位數(shù)，若將各位數(shù)字按照從大到小、從左到右的順序排列得到的

三位數(shù)，稱為原三位數(shù)的“和諧數(shù)”；若將各位數(shù)字按照從小到大、從左到右的順序排列得到的三位數(shù)，

稱為原三位數(shù)的“新時代數(shù)”.如圖，若輸入的°=89I,則輸出的八為()

∕???√

［結(jié)'束）

A.2

B.3

C.4

D.5

【考點】

【答案】C

【解析】由題意知：輸入的Q=891,則程序運行如下：

當(dāng)幾=1時，m=981,t=189,a=792,

當(dāng)幾=2時，m=972,t=279,a=693,

當(dāng)幾=3時，m=963,t=369,a=594,

當(dāng)r?=4時，m=954,t=459,α=495,

此時程序結(jié)束，輸出，故答案為：c.

讀程序框圖，模擬運行可得輸出結(jié)果.

9、等比數(shù)列｛斯｝中，5=2/8=4,函數(shù)f(%)=%(AaI)(X_。2)…(工一。8),貝/(0)=()

96

A.2

9

B.?Z

12

C.92

15

D.9Z

【考點】I【考點】

【答案】A

110.2

3logι3

2>1>3(7)>0>I

【解析】V2,.a<b<cι故答案為：A由指數(shù)，對數(shù)的運算，即可得出

相互的大小關(guān)系.

11、4力BC的外接圓的圓心為。，半徑為1,2'。=/B+4C,且|。*=MB],則向量S在向量CB

方向上的投影為()

1

A.2

3

B.~2

1

C.^2

3

D.2

【考點】

【答案】D

4

【解析】由題意可得：GB—4°)+G4C-∕°)=0,即：OB+OC=O1OB=-OC

即外接圓的圓心°為邊BC的中點，則△ABc是以BC為斜邊的直角三角形

結(jié)合|。*=MBl=I有=*∣C*=口

則向量CA在向量CB方向上的投影為C'∣c°sj="XT=2,

故答案為：D.

由題意可得°B+°C=°,即外接圓的圓心。為BC的中點，AABC是以BC為斜邊的直角三角形,

從而得到NACB,不難得出答案.

二、填空題(共4題，共20分)

_2nπ$2021_

12、已知數(shù)歹/冊｝的通項公式為°n="'OS彳，前八項和為S”，則礪=.

【考點】

【答案】1011

【解析】根據(jù)題意得到，將n賦值分別得到°】=°,fl2=-4,。3=°，。4=16

=°，。6=-36以7=0,∏g=64ɑ?=θ,ɑ??=—100,a”=0,π∣2=144

將四個數(shù)看成是一組，每一組的和分別為：12,28,44……..

可知每四組的和為等差數(shù)列，公差為16.前2021項公525組，再加最后一項為0.故前2021項和為

505×504

(505×12÷^~2—×16)÷2020=1011.

故答案為：1011.

根據(jù)an的通項公式，將n賦值可得到a1,a2,a3???,將四個數(shù)看成是一組，每一組的和分別

為：12,28,44……,不難求出S2020,S2021,即可得出其比值大小.

12

13、已知拋物線與圓C：(xT)2+6-2)2=7-2(τ>0)有公共點P,若拋物線在點處的切線與

圓C也相切，則r=.

【考點】

【答案】√2

【解析】設(shè)點P(xθ,4χ0),則由χ2=4y,求導(dǎo)y'=2χ,

.?.拋物線在P點處的切線的斜率為k=xθ,

圓(×-1)2+(y-2)2=r2(r>0)的圓心的坐標為C(1,2),

也

ΛkPC=?ro-l,

.?kPC?k=?xO=-1,解得：xθ=2

.,.P(2,1),

?,?f—IPC|―,

設(shè)公共點P的坐標為(xo,×02),對拋物線求導(dǎo)，表示出在P點處的斜率K,由于拋物線在P點處的

切線與圓C也相切，則KPC?K=T,可求得xθ=2,將P點坐標代入圓C的方程可得r的大小.

14、我市某小學(xué)三年級有甲、乙兩個班，其中甲班有男生30人，女生20人，乙班有男生25人，女生25

人，現(xiàn)在需要各班按男、女生分層抽取20%的學(xué)生進行某項調(diào)查，則兩個班共抽取男生人數(shù)是.

【考點】

【答案】11

【解析】甲班有男生30人，乙班有男生25人，女生25人，現(xiàn)在需要各班按男生分層抽取20%的學(xué)生，故

有30X20%+25X20%=6+5=11

所以答案是：11.

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用分層抽樣的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握先將總

體中的所有單位按照某種特征或標志(性別、年齡等)劃分成若干類型或?qū)哟?，然后再在各個類型或?qū)哟?/p>

中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本.

y≤X

{x+y≤1

15、已知實數(shù)x，y滿足y≥-l,則目標函數(shù)Z=2x-y的最大值為.

【考點】

【答案】5

y≤x

（x+y≤l

【解析】由約束條件y≥-ι作出可行域如圖,

化目標函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,由圖可知，當(dāng)直線y=2x-z過A時，

直線在y軸上的截距最小，Z有最大值為5.

所以答案是：5.

【考點精析】掌握二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域是解答本題的根本，需要知道不等式組表

示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部.

三、解答題（共7題，共35分）

16、交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）

統(tǒng)一為。元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)

系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如表：

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同

型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：（I）求一輛普通6

座以下私家車（車險已滿三年）在下一年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率；（口）某二手車銷售商專門銷售

這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進一輛事故車虧損

5000元，一輛非事故車盈利IOooO元.且各種投保類型車的頻率與上述機構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問題：

①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，某顧客欲在店內(nèi)隨機挑選兩輛車，求這兩輛車恰

好有一輛為事故車的概率；②若該銷售商一次購進120輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求一輛車盈利

的平均值.

【考點】

15+5_1

【答案】解：（I）一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保費的頻率為：P=』一

（H）①由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商店內(nèi)的三輛該品牌的車齡已滿三年的二手車有一輛事故車，設(shè)為

b1,另外兩輛非事故車設(shè)為a1,a2,從三輛車中挑選兩輛為（a1,a2）,（a1,b1）（a2,b1）,

2

總共3種情況，其中兩輛車恰好有一輛為事故車的概率為手.

②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該銷售商一次購進120輛該品牌車齡已滿三年的二手車有事故車40輛，非事故車

80輛，所以一輛車盈利平均值為由K-5000）×40+10000X80]=5000元

【解析】（1）利用等可能事件概率計算公式，求出一輛普通6座以下私家車第四年續(xù)保時保費高于基本保

費的頻率，（2）①根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將三輛該品牌的車齡已滿三年的二手車有一輛為事故車，設(shè)為b1,另

外兩輛非事故車設(shè)為a1,a2,使用列舉法即可得出兩輛車恰好有一輛為事故車的概率，②由統(tǒng)計數(shù)據(jù)

可知，購進120輛車，有事故車40輛，非事故車80輛，由此即可求出一輛車盈利的平均值.

17、已知/O）=歸一。2|+∣χ+2α+3∣.

⑴證明：f(%)≥2■,

(2)若，(一R<3,求實數(shù)。的取值范圍.

【考點】

【答案】

22

(1)證明：因為f(x)=?x-a?+∣x+2α+3∣≥∣x÷2α+3-x÷α∣ι

而IX+2a+3—%+?=∣a2+2a+3∣=(a+1)~+2≥2,

所以f(x)之2.

93

∕,(-?33a+2a+3,a≥一不

a2+2+∣2a+2∣=(23

(i—2a,aV-彳.

(2)解:因為

33

{a≥一不{a<一彳，

所以Q“+2a+3V3,或a?—2aV3,

解得一l<a<0,所以0的取值范圍是（一1，°）

【解析】（1）根據(jù)絕對值不等式Ial+Ibl≥lɑ-川即可證明，（2）表示出一分,脫掉絕對值，用分

段函數(shù)表示，即可解出a的取值范圍.

18、如圖，底面為等腰梯形的四棱錐ETBCD中，E4_L平面/!BCD,F為”的中點，ABlICD,

AB=2CDy/-ABC=I

⑴證明：DF〃平面EBq

(2)若4E=GB=2,求三棱錐E-BCF的體積

【考點】

【答案】

(1)證明：取EB的中點G,連接FG,CGt因為F為E4的中點，

所以FG=

1

又因為8=2叫CD,

所以四邊形DFGC是平行四邊形，

所以DF//CG,又DF,平面EBC,CGU平面，

所以DF〃平面.

1

(2)解：等腰梯形"SCD中，作CH_148于“，則8"=2,在Rt/BHC中，乙力BC=60°,則

CH=^taneoo=?,即點C到的距離日=號，又E/_L平面，CHU平面，所以CH_LE71,

又AB∩EA=A.?.CH?平面4BE

111FF

二三棱錐E-BCF的體積I/E-BCF=vC-BEF=3's?BEF'=3'?×?×2)'T=6^

【解析】⑴取EB的中點G,連接FG,CG,由中位線性質(zhì)不難得到DFGC為平行四邊形，故DF

//CG,又DFa平面EBC,CGU平面EBC,所以平面.(2)等腰梯形ABCD中，作CHLAB

于H,求出點B到CD的距離，即可求出三棱錐B-CDE的體積.

19、已知函數(shù)O=αsm(產(chǎn))cα>0)在同一半周期內(nèi)的圖象過點。，p,Q,其中為坐標原點，為

函數(shù)f(χ)圖象的最高點，為函數(shù)的圖象與X軸的正半軸的交點，△°PQ為等腰直角三角形.

（1）求α的值；

n3

（2）將繞原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角"（°"二α<彳），得到△。履fl,若點pl’恰好落在曲線y=7

（X>0）上（如圖所示），試判斷點Q,是否也落在曲線（）上，并說明理由.

【考點】

【答案】

T2"8

（1）解：因為函數(shù)/（'）=。565'"）（。>°）的最小正周期3,所以函數(shù)T（X）的半周

期為4,

所以QQI=4,即有Q坐標為（4,0）,

又因為P為函數(shù)圖象的最高點，所以點的坐標為（2，?）.

|。Ql

又因為△°PQ為等腰直角三角形，所以°=亍=2

,=3

（2）解：點Q不落在曲線Y（X>0）上，理由如下：

由⑴知，∣°Pl=2渦，

所以點的坐標分別為（2而。s（α+g）,2依皿α+》），（4cosα,4sina）.

因為點在曲線（）上，所以3=8c”（α+%in（α+》=4sin（2a+；）=4cos2α,即

3π.c"

cos2a=T-O<α<?.sιn2a=?

3又乙、所ct以llY.

又48Sa?4sina=8sin2α=8X92"≠3所以點不落在曲線（）上

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)f（×）的解析式可得出其最小正周期為8,即半周期為4,故Q點的坐標為（4,0）,

P為最高點，解等腰直角三角形后可得P點坐標為（2,2）；（2）由（1）知，OP,OQ的大小，設(shè)出P',

Q'的坐標，根據(jù)點P'在曲線上得出等式，由三角恒等變換可sin2α,將Q'的坐標代入曲線方程,

明顯不滿足.

20、在直角坐標系中，以原點為極點，X軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系，已知直線1的

極坐標方程為P0°s("+，)=3,曲線C的極坐標方程為P=4acosθ(a>0)

(D設(shè)亡為參數(shù)，若"=-2α+/，求直線的參數(shù)方程；

(2)已知直線與曲線交于PQ設(shè)M(O,一2病，且∣PQ∣2=∣MP∣∣MQ∣,求實數(shù)。的值.

【考點】

【答案】

(1)解：直線]的極坐標方程為PC°s("+手)=3

1cF.C1J3-

所以疥OSe一至PSIne=3,即產(chǎn)一Ty=?

因為t為參數(shù)，若丫=-2我+/，代入上式得X=%,

X=鳥

{2^t

所以直線的參數(shù)方程為y=-26+/(為參數(shù))

(2)解：由p=4αcosd(α>°),得p2=4αpcosJ(α>0)

由X=ρcosθ,y=psinJ代入，得/+)心=4αx(α>0)

將直線的參數(shù)方程與C的直角坐標方程聯(lián)立

得F—20(1+ɑ)t+12=0(*)

Δ=[2Λ∣∕3(1+a)]2-4×12=(1+Q)"—4>0

G+=2-?∕3(l+a),t[b=12

9

設(shè)點PQ分別對應(yīng)參數(shù)仆工2恰為上述方程的根

則IMPl=t[,∣MQ∣=t》|PQ|=11一切,

由題設(shè)得LT2產(chǎn)=Gb,

則有[2弗"(1+a)]2—60=0,得a=??∣5-1或a=—Λ∕5^-1

因為a>°,所以.

pcos(θ+7)=34-：

【解析】(1)直線I的極坐標方程為13),利用互化公式可得直角坐標方程：2A

設(shè)t為參數(shù)，即可得出直線I的參數(shù)方程，(I(2)設(shè)圓。與X軸的負半軸的交點為力，過點作兩條斜

率分別為燈上2的直線交圓于B,C兩點，且k也=-3,試證明直線BC恒過一定點，并求出該定點的坐

標.

【考點】

【答案】

15

(1)解：由題意知，圓心°到直線3%―4y+15=°的距離”=Fm=3=r,

所以圓°:χ2+3,2=9.

又圓心到直線1：y=_2x+5的距離C]_涓+]',

所以IMNl=2戶W=4

(2)解：易知外-3,0),設(shè)B(M,力)。。2必)，則直線'Bj=勺(》+3),

kχ3

y=2(+)

由χ2+y2=9,得(好+I)X2+6kγX+9k：-9=0

9好一9-3kj+3

所以一年+1,即“一好+1,

3-3桶6kl

所以'Q+IM+1.

U-LL

由Ai?i=-3得人2-為將F代替上面的好，

3kj-27-18?ι

同理可得"好+9'好+9),

6勺叫

對+1+吊+94k1

BC-3-3g3及-27_3-好

6/4k?3-3好

從而直線"y跖+1一或X"飛+J.

4k1,3-3年9-3桶、

即‘-3-；2ki+l^l^2(ki+l)),

4λl3

化簡得y=用("+?

所以直線BC恒過一定點，該定點為(一手°).

【解析】G)由圓心到直線的距離等于半徑，求得尸3,根據(jù)弦長的計算得出MN,(2)設(shè)出B,C兩點坐

標，得出直線AB方程，與圓的方程聯(lián)立，邊長出直線BC的方程，化簡得出Be恒過定點.

22、已知函數(shù)f(x)=ke'-X2(其中kWR,e是自然對數(shù)的底數(shù))

(1)若k=2,當(dāng)x∈(O,+8)時，試比較/(X)與2的大小;

xx1

(2)若函數(shù)有兩個極值點X"2(4<2)ι求k的取