專題22 與三角形相關(guān)的壓軸題-三年（2019-2021）中考真題數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編（全國(guó)通用）（原卷版）

1/3專題22與三角形相關(guān)的壓軸題一、選填題1．（2021·山東淄博市·中考真題）如圖，在中，是斜邊上的中線，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．若的面積為5，則的值為（）A． B． C． D．2．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，中，，，．點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，的面積是（）A．3 B． C． D．3．（2021·遼寧中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．4．（2021·山東棗莊市·中考真題）如圖，，，點(diǎn)在上，四邊形是矩形，連接，交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．下列4個(gè)判斷：①；②；③；④若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則為等腰直角三角形，其中，判斷正確的是______．（填序號(hào)）5．（2021·內(nèi)蒙古呼和浩特市·中考真題）已知菱形的面積為﹐點(diǎn)E是一邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)．連接，若AE平分，則線段與的和的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________．6．（2021·河南中考真題）小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1，在中，，，．第一步，在邊上找一點(diǎn)，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖2，第二步，將紙片沿折疊，點(diǎn)落在處，如圖3．當(dāng)點(diǎn)恰好在原直角三角形紙片的邊上時(shí)，線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．7．（2021·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為6的等邊中，點(diǎn)，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，交于點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)__________．8．（2020·黑龍江牡丹江市·中考真題）如圖，在中，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)D在上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接．則下列結(jié)論中：①；②；③；④；⑤若平分，則；⑥，正確的有___________．（只填序號(hào)）9．（2021·湖南中考真題）如圖，在中，，，，交于點(diǎn)．點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．10．（2021·湖北鄂州市·中考真題）如圖，四邊形中，，，于點(diǎn)．若，，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____________．11．（2021·江蘇宿遷市·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=4，BC=5，點(diǎn)D、F分別在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于點(diǎn)F，則△AFE面積的最大值是_________．二．解答題1．（2021·四川資陽(yáng)市·中考真題）已知，在中，．（1）如圖1，已知點(diǎn)D在邊上，，連結(jié)．試探究與的關(guān)系；（2）如圖2，已知點(diǎn)D在下方，，連結(jié)．若，，，交于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，已知點(diǎn)D在下方，連結(jié)、、．若，，，，求的值．2．（2021·浙江金華市·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B在直線上，過(guò)點(diǎn)B作AB的垂線，過(guò)原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．①若，求證：．②若，求四邊形的面積．（2）是否存在點(diǎn)B，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求OB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2021·安徽中考真題）如圖1，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E在邊BC上，且，，作交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．（1）求證：；（2）如圖2，若，，，求BE的長(zhǎng)；（3）如圖3，若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，求的值．

4．（2021·四川樂(lè)山市·中考真題）在等腰中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），連結(jié)．（1）如圖1，若，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，結(jié)，，則________；（2）若，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連結(jié)．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，若，且，試探究、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．（2021·重慶中考真題）在等邊中，，，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)，連接EF．圖1圖2圖3（1）將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，且GF的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，連接DG，求線段DG的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E為AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)最小時(shí)，直接寫(xiě)出的面積．6．（2020·江蘇淮安市·中考真題）（初步嘗試）（1）如圖①，在三角形紙片中，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則與的數(shù)量關(guān)系為；（思考說(shuō)理）（2）如圖②，在三角形紙片中，，，將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的值．（拓展延伸）（3）如圖③，在三角形紙片中，，，，將沿過(guò)頂點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．①求線段的長(zhǎng)；②若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的取值范圍．7．（2019·遼寧丹東市·中考真題）已知：在△ABC外分別以AB，AC為邊作△AEB與△AFC．（1）如圖1，△AEB與△AFC分別是以AB，AC為斜邊的等腰直角三角形，連接EF．以EF為直角邊構(gòu)造Rt△EFG，且EF＝FG，連接BG，CG，EC．求證：①△AEF≌△CGF；②四邊形BGCE是平行四邊形．（2）小明受到圖1的啟發(fā)做了進(jìn)一步探究：如圖2，在△ABC外分別以AB，AC為斜邊作Rt△AEB與Rt△AFC，并使∠FAC＝∠EAB＝30°，取BC的中點(diǎn)D，連接DE，EF后發(fā)現(xiàn)，兩者間存在一定的數(shù)量關(guān)系且?jiàn)A角度數(shù)一定，請(qǐng)你幫助小明求出的值及∠DEF的度數(shù)．（3）小穎受到啟發(fā)也做了探究：如圖3，在△ABC外分別以AB，AC為底邊作等腰三角形AEB和等腰三角形AFC，并使∠CAF+∠EAB＝90°，取BC的中點(diǎn)D，連接DE，EF后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定∠EAB＝α?xí)r，兩者間也存在一定的數(shù)量關(guān)系且?jiàn)A角度數(shù)一定，若AE＝m，AB＝n，請(qǐng)你幫助小穎用含m，n的代數(shù)式直接寫(xiě)出的值，并用含α的代數(shù)式直接表示∠DEF的度數(shù)．8．（2020·湖北武漢市·中考真題）問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．9．（2020·山東濰坊市·中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊上，且，連接．現(xiàn)將繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，如圖2，連接．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：垂直平分；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求的面積的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．10．（2021·重慶中考真題）在中，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得．（1）如圖，當(dāng)時(shí)，連接，交于點(diǎn)．若平分，，求的長(zhǎng)；（2）如圖，連接，取的中點(diǎn)，連接．猜想與存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（3）如圖，在（2）的條件下，連接，．若，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．11．（2021·湖北十堰市·中考真題）已知等邊三角形，過(guò)A點(diǎn)作的垂線l，點(diǎn)P為l上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接，把線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連．

（1）如圖1，直接寫(xiě)出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P、B在同側(cè)且時(shí)，求證：直線垂直平分線段；（3）如圖3，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、B分別位于直線異側(cè)，且的面積等于，求線段的長(zhǎng)度．12．（2021·吉林中考真題）如圖①，在中，，，是斜邊上的中線，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．（1）若．直接寫(xiě)出的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；（2）若，垂足為，點(diǎn)與點(diǎn)在直線的異側(cè)，連接，如圖②，判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；（3）若，直接寫(xiě)出的度數(shù)．13．（2021·內(nèi)蒙古通遼市·中考真題）已知和都是等腰直角三角形，．（1）如圖1，連接，，求證：；（2）將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M恰好在邊上時(shí)，求證：；②當(dāng)點(diǎn)A，M，N在同一條直線上時(shí)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．

14．（2021·山東東營(yíng)市·中考真題）已知點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D．我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為“足中距”．（1）[猜想驗(yàn)證]如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，請(qǐng)你猜想、驗(yàn)證后直接寫(xiě)出“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是________．（2）[探究證明]如圖2，當(dāng)點(diǎn)P是線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）[拓展延伸]如圖3，①當(dāng)點(diǎn)P是線段BA延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”O(jiān)C和OD的數(shù)量關(guān)系是否依然成立，若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②若，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系．

15．（2021·湖南婁底市·中考真題）如圖①，是等腰的斜邊上的兩動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖②，作，垂足為H，設(shè)，不妨設(shè)，請(qǐng)利用（2）的結(jié)論證明：當(dāng)時(shí)，成立．16．（2021·湖南）如圖1，在等腰直角三角形中，．點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接，．（1）證明：；（2）如圖2，連接，，交于點(diǎn)．①證明：在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有；②若，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為多少時(shí)，為等腰三角形？

17．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·中考真題）數(shù)學(xué)課上，有這樣一道探究題．如圖，已知中，AB=AC=m，BC=n，，點(diǎn)P為平面內(nèi)不與點(diǎn)A、C重合的任意一點(diǎn)，將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a，得線段PD，E、F分別是CB、CD的中點(diǎn)，設(shè)直線AP與直線EF相交所成的較小角為β，探究的值和的度數(shù)與m、n、α的關(guān)系，請(qǐng)你參與學(xué)習(xí)小組的探究過(guò)程，并完成以下任務(wù)：（1）填空：（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）小明研究了時(shí)，如圖1，求出了___________，___________；小紅研究了時(shí)，如圖2，求出了___________，___________；（類比探究）他們又共同研究了α=120°時(shí)，如圖3，也求出了；（歸納總結(jié)）最后他們終于共同探究得出規(guī)律：__________(用含m、n的式子表示)；___________(用含α的式子表示)．（2）求出時(shí)的值和的度數(shù)．18．（2021·遼寧大連市·中考真題）已知，，．（1）找出與相等的角并證明；（2）求證：；（3），，求．19．（2021·廣西貴港市·中考真題）已知在ABC中，O為BC邊的中點(diǎn)，連接AO，將AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到EOF，連接AE，CF．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時(shí)，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，延長(zhǎng)AO到點(diǎn)D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．20．（2021·遼寧營(yíng)口市·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，，，，D為邊中點(diǎn)，連接，且A，F(xiàn)，E三點(diǎn)恰好在一條直線上，交于點(diǎn)H，連接，．（1）求證：；（2）猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段，的長(zhǎng)．21．（2021·山東威海市·中考真題）（1）已知，如圖①擺放，點(diǎn)B，C，D在同一條直線上，，．連接BE，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)F，直線AF交BE于點(diǎn)G．求證：．（2）已知，如圖②擺放，，．連接BE，CD，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)F，直線AF交CD于點(diǎn)G．求的值．

22．（2021·湖北襄陽(yáng)市·中考真題）在中，，，是邊上一點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)，落在直線上時(shí)，①求證：；②填空：的值為_(kāi)_____；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)，與邊相交時(shí)，在上取一點(diǎn)，使，交于點(diǎn)．探究的值（用含的式子表示），并寫(xiě)出探究過(guò)程；（3）拓展運(yùn)用：在（2）的條件下，當(dāng)，是的中點(diǎn)時(shí)，若，求的長(zhǎng)．23．（2021·湖北中考真題）已知和都為等腰三角形，．（1）當(dāng)時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系；_________；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在上時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，①如圖3，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．24．（2021·內(nèi)蒙古中考真題）如圖，已知是等邊三角形，P是內(nèi)部的一點(diǎn)，連接BP，CP．（1）如圖1，以BC為直徑的半圓O交AB于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，連接AP，在BC邊的下方作，，連接DP，求的度數(shù)；（2）如圖2，E是BC邊上一點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，連接EP并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F．若，求證：；（3）如圖3，M是AC邊上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，連接MP．若，，，的面積為，的面積為，求的值（用含a的代數(shù)式表示）．

25．（2021·湖南邵陽(yáng)市·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)為斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿直線折疊，使得點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接，，，．（1）如圖①，若，證明：．（2）如圖②，若，，求的值．（3）如圖③，若，是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2021·吉林長(zhǎng)春市·中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AB—BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合時(shí)，連結(jié)PD．作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)、．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）線段AD的長(zhǎng)為．（2）用含t的代數(shù)式表示線段BP的長(zhǎng)．（3）當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，求的取值范圍．（4）當(dāng)與相等時(shí)，直接寫(xiě)出的值．27．（2021·湖南岳陽(yáng)市·中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，且交線段于點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)．

（1）如圖1，若，則線段與的數(shù)量關(guān)系是________，________；（2）如圖2，在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，．①試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；②求證：；（3）如圖3，若，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值（用含的式子表示）．28．（2021·湖北武漢市·中考真題）問(wèn)題提出如圖（1），在和中，，，，點(diǎn)在內(nèi)部，直線與交于點(diǎn)，線段，，之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問(wèn)題探究（1）先將問(wèn)題特殊化．如圖（2），當(dāng)點(diǎn)，重合時(shí)，直接寫(xiě)