四川省眉山市重點(diǎn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月數(shù)學(xué)期末模擬試題(含答案)

-2024學(xué)年眉山市重點(diǎn)學(xué)校高二上學(xué)期期末模擬考試數(shù)學(xué)試卷（本試卷滿分150分，答題時(shí)間120分鐘）第I卷（選擇題）一、單選題（每道題5分，共8道題，總分40分）1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x?y+5=0的傾斜角是（

）A．π6 B．π4 C．2π2．若在等比數(shù)列an中，a1+a2=8，A．20 B．18 C．16 D．143．若拋物線y2=2mx的準(zhǔn)線經(jīng)過橢圓x24+A．-2 B．-1 C．1 D．24．已知直線3x+4y+1=0與圓(x?1)2+(y?1)2=4相交于A,BA．125 B．65 C．855．同時(shí)拋擲一紅一綠兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點(diǎn)數(shù)，y表示綠色骰子的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A=“x+y=7”，事件B=“xy為奇數(shù)”，事件C=“x>3”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．A與B對(duì)立 B．PC．A與C相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立6．如圖，在三棱錐S—ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱EF上，且滿足EGGF=12，若SA=a，SB=A．13a?C．16a?7．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱號(hào).他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若經(jīng)過拋物線y2=8x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P在直線x?y+6=0上，則直線AB的方程為（

A．x?y?2=0 B．x?2y?2=0C．x+y?2=0 D．x+2y?2=08．拋物線y2=2pxp>0，過拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸交于M、N兩點(diǎn)，且MN=A．12 B．1 C．74 二、多選題（每道題5分，共4道題，選全得5分，選不全得2分，選錯(cuò)得0分）9．下列說法中，正確的是（

）A．直線2x+y+3=0在y軸上的截距是3B．直線x+y+1=0的傾斜角為135°C．A(1,4),B(2,7),C(?3,?8)三點(diǎn)共線D．直線3x+4y+1=0與4x+3y+2=0垂直10．已知等比數(shù)列an滿足a1=1，公比q=A．?dāng)?shù)列a2n是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列{C．?dāng)?shù)列l(wèi)og2an是等差數(shù)列 11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3,1，P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，Q為直線l：y=x上一動(dòng)點(diǎn)，則（

A．△APQ周長(zhǎng)的最小值為42 B．AP+C．AP+PQ的最小值為22 12．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1A．三棱錐P?A1B．異面直線A1D,C．直線AA1與面AD．當(dāng)點(diǎn)P為B1D1中點(diǎn)時(shí)，三棱錐第II卷（非選擇題）三、填空題（每道題5分，共4道題，總分20分）13．已知直線l1:ax?3y+1=0與直線l214．已知數(shù)列an滿足a1a2a3?a15．直線l:y=mx+1?1與圓C:x?12+y2=6交于A16．已知拋物線y2=?8x的焦點(diǎn)與雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F相同，A,B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為H，BF的中點(diǎn)為K，HK四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）17．（本題10分）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A2,3，B1,2，(1)求BC邊上的高所在直線l1(2)若直線l2過點(diǎn)C，且點(diǎn)A，B到直線l2的距離相等，求直線18．（本題12分）高中數(shù)學(xué)試卷滿分是150分，其中成績(jī)?cè)?30,150內(nèi)的屬于優(yōu)秀.某數(shù)學(xué)老師為研究某次高三聯(lián)考本校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，隨機(jī)抽取了200位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（均在90,150內(nèi)）作為樣本，并整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本的中位數(shù)，并估計(jì)本次高三聯(lián)考該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）(2)從樣本數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20,130，130,140的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求這2人來自兩組的概率.19．（本題12分）在等比數(shù)列an中(1)求an(2)設(shè)bn=?1n?1log2a20．（本題12分）已知圓C過點(diǎn)A(6,0),B(1,5)，且圓心在直線l:2x?7y+8=0上.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)D0,5且斜率為k的直線l與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N，若OM?ON=30，其中21．（本題12分）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，DE//BF，AD=DE=4，BF=1．(1)求平面AEF與平面CEF所成銳二面角的余弦值；(2)在棱DE上是否存在點(diǎn)G，使得直線BG與AD所成角的余弦值為23?若存在，求點(diǎn)G到平面ACF22．（本題12分）已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)，且與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A,B．若直線P2A與直線P2B參考答案：1．B【分析】求出直線的斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)直線x?y+5=0的傾斜角為α，直線x?y+5=0的方程可化為y=x+5，所以斜率為k=tan因?yàn)?≤α<π，所以α=故選：B.2．B【分析】利用等比數(shù)列的基本量進(jìn)行計(jì)算即可【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a3a故選：B3．A【分析】找到橢圓的右焦點(diǎn)1,0，利用y2【詳解】解：橢圓x24+y23=1的右焦點(diǎn)1,0，拋物線y故選：A．4．A【分析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)利用半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形求解.【詳解】圓(x?1)2+(y?1)2=4則圓心到直線的距離d=|3×1+4×1+1|所以|AB|=2r故選：A5．C【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)立事件概念分析判斷；對(duì)于B：事件的運(yùn)算結(jié)合古典概型運(yùn)算求解；對(duì)于CD：根據(jù)古典概型結(jié)合獨(dú)立事件的概念分析判斷.【詳解】由題意可知：x,y∈1,2,3,4,5,6對(duì)于選項(xiàng)A：事件A=“x+y=7”，事件B=“xy為奇數(shù)”，例如x=y=2，則x+y=4≠7，xy=4不為奇數(shù)，即A事件和B事件可以同時(shí)不發(fā)生，所以A事件與B事件不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：樣本空間共36個(gè)樣本點(diǎn)，且A=1,6,2,5,3,4B=1,1,1,3,1,5C=x,y|x∈4,5,6,y∈1,2,3,4,5,6則B∩C=5,1,5,3對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镻BPC=1對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)锳∩C=4,3,5,2且PAPC所以A與C相互獨(dú)立，故C正確．故選：C．6．D【分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可得SG=2=2故選：D

7．A【分析】首先根據(jù)題意可得到P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x=?2上，又在直線x?y+6=0上，從而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；根據(jù)PF⊥AB，即可求出直線AB的斜率，從而可求出直線AB的方程.【詳解】根據(jù)題意，可知P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x=?2上，又點(diǎn)P在直線x?y+6=0上，所以P?2,4，又F2,0，所以因?yàn)镻F⊥AB，所以kAB=1，所以直線AB的方程為y?0=x?2，即故選：A.8．B【分析】本題首先可根據(jù)傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn)得出直線的方程為y=x?p2，然后聯(lián)立直線方程與拋物線方程，得出x1+x2=3p、y1+y【詳解】拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為因?yàn)閮A斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn)，所以直線的方程為y=x?聯(lián)立y2=2pxy=x?p2設(shè)Ax1,y1，By1+y故圓心坐標(biāo)為32p,p，半徑為AB2當(dāng)x=0時(shí)，?32p2+則MN=72故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查拋物線與圓、直線的相關(guān)問題的求解，能否求出以AB為直徑的圓的方程是解決本題的關(guān)鍵，考查韋達(dá)定理以及拋物線定義的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是難題.9．BC【分析】根據(jù)直線方程求得縱截距，傾斜角判斷AB，由斜率關(guān)系判斷C，由直線的位置關(guān)系判斷D，【詳解】A.直線2x+y+3=0在y軸上的截距是?3，A錯(cuò)；B.直線x+y+1=0的斜率為?1，傾斜角為135°，B正確；C.由A(1,4),B(2,7),C(?3,?8)得kAB=7?42?1=3，kD.直線3x+4y+1=0與4x+3y+2=0的斜率分別為?34，故選：BC．10．ACD【分析】根據(jù)給定條件求出an【詳解】在等比數(shù)列an中，a1=1，公比q=對(duì)于A，a2n=122n?1對(duì)于B，1an=2n?1，顯然1對(duì)于C，log2an對(duì)于D，an2=故選：ACD11．BCD【分析】設(shè)A關(guān)于直線l：y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A11,3，A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A23,?1，對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱性可得PQ+【詳解】設(shè)A3,1關(guān)于直線l：y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A11,3，A3,1關(guān)于可知QA=對(duì)于選項(xiàng)A：可得△APQ周長(zhǎng)PQ+當(dāng)且僅當(dāng)A1所以△APQ周長(zhǎng)的最小值為25對(duì)于選項(xiàng)B：設(shè)A3,1到x軸，直線l：x?y=0的距離分別為d則d1可得AP+所以AP+AQ的最小值為對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)锳P+設(shè)A23,?1到直線l：x?y=0的距離為可得A2所以AP+PQ的最小值為對(duì)于選項(xiàng)D：作PC⊥l，垂足為C，因?yàn)橹本€l的斜率k=1，則∠COP=45°，可得CP=則AP+可得2AP所以2AP故選：BCD.12．ACD【分析】易證B1D1//平面A1BD，故三棱錐P?A1BD體積為定值；易得B【詳解】因?yàn)镈D1//BB又因?yàn)锽1D1?平面A1BD，BD?平面A1BD，所以B1D1//平面A1BD，又P為線段因?yàn)锽1D1//BD，故A1D與B1D1所成角等價(jià)于以DA方向?yàn)閤軸，DC方向?yàn)閥軸，DD1方向?yàn)閯tD0,0,0,A2,0,0,B2,2,0設(shè)平面A1BD的法向量為n=x,y,z，則n?DA1=0n?DB=0，即x+z=0則sinθ=當(dāng)點(diǎn)P為B1D1中點(diǎn)時(shí)，VP?A1BD=VA1?BDP，易得A1P⊥B1D1，BB1⊥平面A1B1C所以cos∠BPD=BP2+DP2?BD22BP?DP=12?82×6=13，sin∠BPD=2故選：ACD13．-3【詳解】試題分析：因?yàn)橹本€l1:ax?3y+1=0與直線l考點(diǎn)：本題考查兩直線垂直的充要條件點(diǎn)評(píng)：若兩直線方程分別為A1x+14．λ≥1【分析】根據(jù)給定條件求出an【詳解】在數(shù)列an中，a1a2a3?則有an=n+1n，而an+1an=n(n+2)(n+1)2又an+1an≤λ對(duì)任意所以實(shí)數(shù)λ的取值范圍為λ≥1.故答案為：λ≥1【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：給定數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和或者前n項(xiàng)積，求通項(xiàng)時(shí)，先要按n≥2然后看n=1時(shí)是否滿足n≥2時(shí)的表達(dá)式，若不滿足，就必須分段表達(dá).15．5【分析】由于直線l過定點(diǎn)P(?1,?1)，所以當(dāng)CP⊥AB時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，然后先求出CP的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求出AB的長(zhǎng)，從而可求出三角形ABC的面積【詳解】因?yàn)橹本€l:y=mx+1?1恒過定點(diǎn)P(?1,?1)，圓C:x?12+所以當(dāng)CP⊥AB時(shí)，弦AB的長(zhǎng)度最短，因?yàn)镃P=所以AB=2所以三角形ABC的面積為12故答案為：516．42【分析】設(shè)Ax0,y0，B?x0,?y0，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得H,K坐標(biāo)，利用OH【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2=?8x所以雙曲線左焦點(diǎn)為F?2,0∴雙曲線的半焦距c=2．設(shè)Ax0,∴Hx0?2∵HK∴OH⊥OK，即OH?∴4?x0又直線AB斜率為1515，即y∴x02∴AB∵A在雙曲線上，∴x02結(jié)合c2=a2+∴離心率e=c故答案為：4；2317．(1)x?2y+4=0(2)x?y?8=0或13x+5y?32=0【分析】（1）求出直線BC的斜率，則可求出直線l1的斜率，再利用點(diǎn)斜式可求出直線l（2）由題意分直線l2與AB平行和直線l2通過【詳解】（1）因?yàn)閗BC=?4?24?1=?63所以BC邊上的高所在直線l1的方程y?3=即x?2y+4=0.（2）因?yàn)辄c(diǎn)A,B到直線l2的距離相等，所以直線l2與AB平行或通過①當(dāng)直線l2與AB因?yàn)閗AB=3?22?1=1=所以l2方程為y+4=x?4，即x?y?8=0②當(dāng)直線l2通過AB的中點(diǎn)D(所以kCD所以l2的方程為y+4=?135綜上：直線l2的方程為x?y?8=0或13x+5y?32=018．(1)中位數(shù)為116.43分，22%(2)3【分析】（1）由題意得到x=0.010，求出前三組的頻率，分析得到中位數(shù)落在110,120內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為m，列方程求解即可；（2）用分層抽樣的方法求出在120,130，130,140中分別抽取的人數(shù)，再列舉隨機(jī)選出2人的所有結(jié)果，求這2人來自兩組的概率即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知2x+0.012+0.018+0.022+0.028×10=1解得x=0.010，樣本中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0,100內(nèi)的頻率P1在100,110內(nèi)的頻率P2在110,120內(nèi)的頻率為P3∵P1+P∴樣本的中位數(shù)落在110,120內(nèi)，設(shè)樣本的中位數(shù)為m，則0.5?0.32=m?110×0.028，解得故樣本的中位數(shù)為116.43分.由樣本估計(jì)總體，得本次高三聯(lián)考該校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的優(yōu)秀率約為0.12+0.10×100（2）由頻率分布直方圖可知，按分層抽樣的方法，抽取5名學(xué)生中成績(jī)?cè)?20,130內(nèi)的有3名，分別記為A，B，C，在130,140內(nèi)的有2名，分別記為D，E，則從5人中抽取2人的所有抽取情況有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共10種，其中2人來自兩組的有AD，AE，BD，BE，CD，CE，共6種，故所求概率P=6所以這2人來自兩組的概率為3519．(1)an(2)Sn【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得：bn【詳解】（1）由題意可得：a1∵a2+a3=12a4∴an的通項(xiàng)公式a（2）由（1）可得：bn若n為奇數(shù)，可得bn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則Sn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則Sn綜上所述：Sn20．(1)(x?3)(2)y=5【分析】（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，圓心坐標(biāo)代入直線方程，解出三個(gè)a,b,r參數(shù)，即可求出圓的方程；（2）根據(jù)條件設(shè)出直線l的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，將韋達(dá)定理的表達(dá)式代入OM?ON=30，解出k【詳解】（1）設(shè)所求圓的方程為(x?a)2則由題可得：(6?a)2+(0?b)故所求圓C的方程為(x?3)2（2）由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx+5.代入方程(x?3)2+(y?2)設(shè)M(x則x1+xOM=(1+由題設(shè)可得30k(1?k)1+k2+30=經(jīng)檢驗(yàn)k=1k=0所以l的方程為y=5.21．(1)833(2)存在，距離為22【分析】（1）根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）由（1）中坐標(biāo)系，由異面直線所成角的余弦求出點(diǎn)G，再利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）由四邊形ABCD為正方形，DE⊥平面ABCD，知直線DA,DC,DE兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA,DC,DE分別為x,y,