江西省高安2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=e*T+x—2的零點(diǎn)為機(jī)，若存在實(shí)數(shù)〃使f—a-a+3=0且|加一〃區(qū)1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

7"]「7一

A.[2,4]B.2,-C.-,3D.[2,3]

22I.

2.雙曲線二-與=1（“>0力>0）的左右焦點(diǎn)為耳，居，一條漸近線方程為/:y=-一無，過點(diǎn)石且與/垂直的直線分

crb-a

別交雙曲線的左支及右支于P,Q,滿足o「=go[+goC，則該雙曲線的離心率為（）

A.MB.3C.75D.2

3.已知￡=（2sin絲,cos絲）,B=（gcos絲,2cos絲），函數(shù)，（》）=標(biāo)在區(qū)間[0,網(wǎng)]上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正

22223

實(shí)數(shù)"的取值范圍為（）

,85、75、57、7》

A.rf—,—）B.r）C.r）D.（—,2]

5242344

4.已知加，〃是兩條不重合的直線，戶是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）

A.若加//a,aII（3,則加〃￡或mu。

B.若加〃〃，m//a,n^ta,則"〃a

C.若〃?_!_〃，mLa,ri工B,則a_L/?

D.若/n_L〃，m±a,則〃〃a

5.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，

亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的）.類比“趙

爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角

形.設(shè)DF=2A尸=2,若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形（陰影部分）的概率是（）

c

D3V13

'26

6.已知拋物線C：/=2外（〃>0）的焦點(diǎn)為尸（0,1）,若拋物線C上的點(diǎn)A關(guān)于直線/：y=2x+2對(duì)稱的點(diǎn)8恰好在

射線y=ll（x<3）上，則直線AP被C截得的弦長(zhǎng)為（）

91100118127

A.—B.---C.---D.---

9999

22

7.已知月,工分別為雙曲線C:=-4=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是其一條漸近線上一點(diǎn)，且以耳居為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)

a~b~

p,若的面積為名叵/，則雙曲線的離心率為（）

3

A.6B.2C.V5D.3

8.在正方體A3CD-4BGA中，點(diǎn)E,F,G分別為棱RD,的中點(diǎn)，給出下列命題：①A￡_LEG

TT

②GC〃ED；③BC平面BGG；④■和四成角為“正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

x-y+l>0

9.如果實(shí)數(shù)人y滿足條件｛y+l>0,那么2x-y的最大值為（）

x+y+l<0

A.2B.1C.-2D.-3

2

10.雙曲線工-y2=l的漸近線方程是（）

4

A.x±2y=0B.2x±y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

11.設(shè)0Wx42;r,且Jl-sin2x=sin九一cosx，則（）

八兀，71,，、兀萬,，3萬

A."B.—C.—WxW—D.—WxW—

444422

12.已知集合A={y|y=|x|-1,x￡R},B={x|x>2},則下列結(jié)論正確的是（）

A.-3GAB.3史BC.AAB=BD.AUB=B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x-y+2>0

13.若變量x,N滿足約束條件3x+y<0,則z=3x+2y的最大值為.

x+y>0

14.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%+%=4+3,則Sg=.

15.已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1.國(guó)7=2函，點(diǎn)N、T分別為線段8C、CA上的動(dòng)點(diǎn)，則

麗?而+及?麗?麗取值的集合為

16.已知sinla+aju一不，那么tana-sina=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)唐詩是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取，某研究人員將唐詩分成7

大類別，并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇，統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的

篇數(shù)，得到下表：

愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計(jì)

篇數(shù)100645599917318500

含，，山，，字的

5148216948304271

篇數(shù)

含，，簾，，字的

2120073538

篇數(shù)

含，，花，，字的

606141732283160

篇數(shù)

(1)根據(jù)上表判斷，若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇，則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大，屬于哪個(gè)類

別的可能性最小，并分別估計(jì)該唐詩屬于這兩個(gè)類別的概率；

(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為：

①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系，貝！某字，，為，，某類別，，的關(guān)鍵字；

②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字，則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的K?的觀測(cè)值越大，排名就越靠前;

設(shè)“山”，，簾“，，花”和，，愛情婚姻”對(duì)應(yīng)的犬觀測(cè)值分別為卜,k2,卜.已知Z產(chǎn)0.516,k2?31.962,請(qǐng)完成下面列聯(lián)

表，并從上述三個(gè)字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.

屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計(jì)

含“花”字的篇數(shù)

不含“花”的篇數(shù)

總計(jì)

,“2n(ad-bcY4,

附：K"=-----------------------------，其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

18.(12分)已知函數(shù)，(x)='x2-or+(a-l)lnx,g(x)=〃一Hnx的最大值為L(zhǎng)

2e

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=0時(shí)，令尸(%)=2〃力+g(x)+21nx+2,是否存在區(qū)間[加，〃仁(1,+8),使得函數(shù)尸(左)在區(qū)間網(wǎng)〃]

上的值域?yàn)閇刈m+2),左(〃+2)]?若存在，求實(shí)數(shù)A的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=2sinx+|a-3|+|a-l|.

(1)若/(g)>6,求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)證明：VxeR,7(x)2|a—3]—工+1恒成立.

a

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=e*-ln(x+/n)+肛mwR.

(1)若x=0是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)根W2時(shí)，證明：/(%)>m

21.(12分)如圖，在四棱柱ABC?！狝gGA中，平面ABCD,底面ABC。滿足A￡>〃3C,且

AB=AD=AA,=2,BD=DC=2垃.

(I)求證:AB，平面ADRA；

(II)求直線AB與平面4cA所成角的正弦值.

22.(10分)設(shè)數(shù)陣A>=［："其中小、4、%、&e{1,2,…,6}.設(shè)5={0,02,…,1…,6},

其中弓<02<…<6，/@N*且/W6.定義變換外為“對(duì)于數(shù)陣的每一行，若其中有攵或—左,則將這一行中每個(gè)數(shù)都

乘以一1；若其中沒有攵且沒有一左，則這一行中所有數(shù)均保持不變"(上=4、e2、…、弓).小(4)表示“將4經(jīng)

過氣變換得到A,再將A經(jīng)過氣變換得到42、…，以此類推，最后將AT經(jīng)過線變換得到4”，記數(shù)陣4中四個(gè)

數(shù)的和為G(4).

fl2),

(1)若4=b5〉寫出4經(jīng)過外變換后得到的數(shù)陣A1；

⑵若4=16'S={1,3},求八(4)的值；

(3)對(duì)任意確定的一個(gè)數(shù)陣4,證明：I(4)的所有可能取值的和不超過Y.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

易知/(x)單調(diào)遞增，由/(I)=0可得唯一零點(diǎn)m=1,通過已知可求得0W〃W2,則問題轉(zhuǎn)化為使方程

f—狽—〃+3=（）在區(qū)間［0,2］上有解，化簡(jiǎn)可得。=x+l+.-2,借助對(duì)號(hào)函數(shù)即可解得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【詳解】

易知函數(shù)/（X）="T+X-2單調(diào)遞增且有惟一的零點(diǎn)為加=1,所以|1一〃區(qū)1,.??04“<2,問題轉(zhuǎn)化為：使方程

f—奴—。+3=()在區(qū)間［0,2］上有解，即a=工=。+1廠-2(x+l)+4=%+1+4一?

x+1X+lX+1

4

在區(qū)間［0,2］上有解,在區(qū)間的值域?yàn)?/p>

而根據(jù)，，對(duì)勾函數(shù)，，可知函數(shù)i+1+77r2［0,2］［2,3］,.?.ZWaWB.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查了方程有解問題，分離參數(shù)法及構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，考查了利用“對(duì)勾函數(shù)”求參數(shù)取值

范圍問題，難度較難.

2.A

【解析】

2ab3a2b4

設(shè)p（x,y）,Q（W，%），直線PQ的方程為X=_y—c

聯(lián)立方程得到X+%(b2-a2)c

根據(jù)向量關(guān)系化簡(jiǎn)到b2=9a2，得到離心率.

【詳解】

設(shè)。(8％),。(々,必)，直線PQ的方程為x=—c.

b

x=-y-c,

a442y24

聯(lián)立I22(b-a)y-2ahcy+ah=0,

L2b2’

2ab3_a2b&

則%+%(b2-a2)c，y'y2=(b2-a2)c2-

因?yàn)镺戶=go［+goC，所以P為線段QK的中點(diǎn)，所以刈=2乂，

（弘+必）_9_^1.一吟一_傷2

整理得層=9片,

2伍2_。2）-c2a2。4（〃一“2）

故該雙曲線的離心率e=JI5.

故選：A.

本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

3.B

【解析】

TT44

先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出/(x)=2sin(@c+m)+l,函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最

63

-TTJTJTK7T

值點(diǎn)，。4+2='+攵肛氏wZ解出，x=—+—,keZ,再建立不等式求出攵的范圍，進(jìn)而求得。的范圍.

623(oCD

【詳解】

解：f(x)=A/3sin<yx+2cos^^-=>/3sina>x+cosa>x+1

TT

-2sin(ox+不)+1

^cox+-=-+k7v,keZ,解得對(duì)稱軸1=二+且，AwZ,/(0)=2,

623coco

又函數(shù)在區(qū)間［0,?］恰有3個(gè)極值點(diǎn)，只需^+—<—<^-+—

33(DCD3JCDCD

75

解得一《?<一.

42

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.

⑴利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成)=40!!(5+0)+，或)，=ACOS(5+O)+，的形式;⑵根據(jù)

自變量的范圍確定cox+(p的范圍，根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.

4.D

【解析】

根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，可判定A；由線面平行的判定定理，可判斷B；C中可判斷a,￡所成的二面角為

90°;D中有可能“ua,即得解.

【詳解】

選項(xiàng)A：若“〃a,an/3,根據(jù)線面平行和面面平行的性質(zhì)，有〃7〃力或機(jī)u/7,故A正確;

選項(xiàng)B：若加〃"，mHa,n（za,由線面平行的判定定理，有〃〃a,故B正確；

選項(xiàng)C：若〃?_!_〃，加，。，n±/3,故a,4所成的二面角為90。，則故C正確；

選項(xiàng)D,若〃mLa,有可能“ua,故D不正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間中的平行垂直關(guān)系判斷，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象能力，屬于中檔題.

5.A

【解析】

根據(jù)幾何概率計(jì)算公式，求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.

【詳解】

在中，AD=3,BD=1,乙位小=120°，由余弦定理，得AB=J4）2+_2AD?6。cos1200=比5，

DF2

所以而

V13,

所以所求概率為2些=[-1=]=—.

^^ABC\V13）13

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由焦點(diǎn)得拋物線方程，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（加，9加2）,根據(jù)對(duì)稱可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，寫出直線A/方程，聯(lián)立拋物線求

4

交點(diǎn)，計(jì)算弦長(zhǎng)即可.

【詳解】

拋物線C：x2=2py（P>0）的焦點(diǎn)為尸（0，D,

則"=1,即p=2,

2

設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（相，1根2）,6點(diǎn)的坐標(biāo)為（〃，11），n<3,

4

如圖:

34

m=----

m=63

解得或，35(舍去)，

n=2

n=一

9

A(6,9)

4

工直線AF的方程為y=§x+l,

設(shè)直線AF與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,

2

3+1x-——

yx=63

由3,解得

21

x二

4yy=一

?9

,何-O

?'I皿=J(6+?+(*1j100

9

故直線AF被C截得的弦長(zhǎng)為坐.

9

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，屬于中檔題.

7.B

【解析】

根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)P（面,%）在第一象限，求出此坐標(biāo)，再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.

【詳解】

由題意，設(shè)點(diǎn)P（%,%）在第一象限，雙曲線的一條漸近線方程為y=

所以，y（）=-x（），

a

又以耳鳥為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)P,貝ij|OP|=c,即片+火”2,解得/=*y.=b9

1=c2-

所以，SAPFF=工?2c?y（）=c?/?=2°b?,即c=2"b,BPc~（，

所以，雙曲線的離心率為e=2.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的離心率，解決本題的關(guān)鍵在于求出。與c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的方法對(duì)四個(gè)命題逐一分析，由此得出正確命題的個(gè)數(shù).

【詳解】

設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A（2,0,0），G（0,2,2）,G（2,l,2）,

C（0,2,0）,E（l,0,2）,D（0,0,0）,B1（2,2,2）,F（0,0,l）,B（2,2,0）.

①，Xq=（-2,2,2）,￡G=（1,1,0）,A^-￡G=-2+2+0=0,所以AG，EG,故①正確.

②，GC=（-2,1,-2）,￡D=（-1,0,-2）,不存在實(shí)數(shù)■使文=4詼，故GC7/ED不成立，故②錯(cuò)誤.

③，麗=（一2,-2,-1）,筋=（0,-1,2）,國(guó)'=（-2,0,2）,即由=0斑畫=2M,故平面8GC；不

成立，故③錯(cuò)誤.

④，麗=（-1,0,—1）,甌=（0,0,2）,設(shè)M和Bq成角為氏則cos）=—=-f—=三,由于

\EF\,\BB}V2x22

7T

,所以e=7故④正礁

綜上所述，正確的命題有2個(gè).

故選：C

X

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

9.B

【解析】

解：當(dāng)直線2x—y=z過點(diǎn)A（O,—1）時(shí)，z最大，故選B

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是1-y2=l,整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2c

解：雙曲線工一y2

4y1

2

其漸近線方程是工-y2=l

4

整理得x±2y=l.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

11.C

【解析】

將等式變形后，利用二次根式的性質(zhì)判斷出sincos］，即可求出工的范圍.

【詳解】

?/Vl-sin2x=Vsin2x+cos2x—2sinxcosx

=J(sinx-cos?2

=|sinx-cosx|

=sinx-cosx

sinx-cosx.O,即sinx..cosx

Oxxlk21

???生瓢—

44

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查解三角函數(shù)方程，恒等變化后根據(jù)sinx,cosx的關(guān)系即可求解，屬于簡(jiǎn)單題目.

12.C

【解析】

試題分析：集合A={y|yN—l}.-.ScA.-.AnB=B

考點(diǎn)：集合間的關(guān)系

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

2

【解析】

37

根據(jù)約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉(zhuǎn)化為直線y=在y軸截距最大的問題的求解，通過數(shù)形結(jié)合的

方式可確定過-g,'ll時(shí)，z取最大值，代入可求得結(jié)果.

【詳解】

由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:

3z3z

將z=3x+2y化為y=—二x+一，則z最大時(shí)，直線y=—二x+—在），軸截距最大;

'2222

33z

由直線y=—2x平移可知，當(dāng)丁=一二x+一過3時(shí)，在y軸截距最大，

222

0

由K；-1身

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在y軸截距的最值的求解問題，通過數(shù)形結(jié)合的

方式可求得結(jié)果.

14.27

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得?5，結(jié)合等差數(shù)列前?項(xiàng)和公式求得S9的值.

【詳解】

因?yàn)椋?,｝為等差數(shù)列，所以4+%=4+。5=4+3,解得%=3,

所以59=9（"；佝）=生畢=9%=27.

故答案為：27

【點(diǎn)睛】

本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，應(yīng)用意識(shí).

15.{-6}

【解析】

根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo)，依題意求出NT,fM，MN，的表達(dá)式，再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求

和即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：以3c的中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn),8c所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為）’軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則川0,6）,3（-1,0）,0（1,0）/

則通6），隴=（2,0）,兇=（-1,6）,

設(shè)N(f,O),AT=AAC,

OT=OA+AT=OA+AAC=(0,y/3)+^,-^)=(A,y/3(l-A)),

即點(diǎn)T的坐標(biāo)為（A,73（1-乃）,

2273、

則祈=(丸_乙6(1_;1)),加=->/3(l-2),MN=,+2,

3力3J

337

所以而初+覺而+Ei?麗

——lx(A—/)+(—,\/3)x>/3(1—A)+2x^———AJ+Ox

--73(1-2)+

3

（一1）十+|卜

百X=-6

故答案為：{-6}

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算，以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算，是中檔題.

一9

16.

20

【解析】

由已知利用誘導(dǎo)公式可求cos?,進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.

【詳解】

14

(2J5

.4.,169

..cos?=——，sin-2a=1-cos2-a=1-----=—,

52525

9

.sin-a759

tana?sina=-------==-----.

cosa_420

5

9

故答案為：一二.

20

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最??；屬于“山水田園”類別的概率約為

694

—；屬于“其他”類別的概率約為一(2)填表見解析；選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?

271271

“簾”

【解析】

(1)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表算出頻率，比較大小即可判斷；

(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表完成列聯(lián)表，算出K?觀測(cè)值，查表判斷.

【詳解】

(1)由上表可知，

該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大，屬于“其他”類別的可能性最小

694

屬于“山水田園”類別的概率約為——；屬于“其他”類別的概率約為一；

271271

(2)列聯(lián)表如下:

屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計(jì)

含“花”的篇數(shù)60100160

不含“花”的篇數(shù)40300340

共計(jì)100400500

計(jì)算得：&=—50°X140Q02_845.037；

3100x400x340x160

因?yàn)橛?匕>3.841,kx<3.841,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系，故“花”和“簾”

是“愛情婚姻''的關(guān)鍵字，而“山”不是；

又因?yàn)?>網(wǎng)，故選擇“花”，“簾”作為“愛情婚姻''類別的關(guān)鍵字，且排序?yàn)椤盎ā?，“簾?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)點(diǎn).考查了學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的識(shí)讀與

計(jì)算能力，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

18.(1)I=0;(2)a=2時(shí)，/(x)在(0,+oo)單調(diào)增；l<a<2時(shí)，f(x)在(a-U)單調(diào)遞減，在(0,。一1),。,+?)

單調(diào)遞增；a>2時(shí)洞理”X)在(1,。一1)單調(diào)遞減，在(0』),(。一1,心)單調(diào)遞增；(3)不存在.

【解析】

分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)x=L時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

e

由=：+人=：,可得結(jié)果；⑵求出尸(X),分三種情況討論a的范圍，在定義域內(nèi)，分別令尸(力>0求得x

的范圍，可得函數(shù)/(x)增區(qū)間，/(x)<0求得x的范圍，可得函數(shù)/(x)的減區(qū)間；(3)假設(shè)存在區(qū)間

［加,〃仁(l,+oo),使得函數(shù)/7(力在區(qū)間［巾,〃］上的值域是因利+2),左(〃+2)］,貝！J

產(chǎn)(777、——ij7F17-I-_1_0A

{2In—1/^(m1，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f-xlnx+2=Z(x+2)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)是否存在兩

個(gè)不相等的實(shí)根，進(jìn)而可得結(jié)果.

詳解：(1)由題意得g'(x)=-lnx—l,

令g'(x)=0,解得x=L

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(：,+oo)時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x時(shí)，g(x)取得極大值，也是最大值，

所以=L+=解得〃=0.

\e)ee

(2)/(x)的定義域?yàn)?O,+⑹.

a-\x1-ax+a1(X—1)(X+1-Q)

/'(x)=x-a-\-

XXX

①a—1=1即a=2,則r(x)=(M,,故/(x)在(。，物)單調(diào)增

②若a-l<l,而a>l,故l<a<2,則當(dāng)xe(a-l,l)時(shí)，f\x)<0；

當(dāng)xe(O,a-l)及xe(l,4w)時(shí)，/'(x)>0

故在(a-1,1)單調(diào)遞減，在(0,。一1),(1,+8)單調(diào)遞增.

③若a-l>l,即a>2,同理/(x)在單調(diào)遞減，在(0,1),(1,+oo)單調(diào)遞增

(3)由(1)知F(x)=x2-xlnx+2,

所以F(x)=2x-lnx+l,令/(彳)=1(%)=2%-10￥+1,則〃(％)=2-，>0對(duì)憶￥6(1,+0。)恒成立，所以尸(x)

在區(qū)間(I,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以F(x)>產(chǎn)'⑴=1>0恒成立,

所以函數(shù)尸(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

假設(shè)存在區(qū)間［加,〃仁(1,心)，使得函數(shù)尸(X)在區(qū)間上〃,〃］上的值域是四機(jī)+2)，M"+2)］,

F(/?7)=m2-mlnm+2-k^m+2^

則｛

F(n)=rT-nlnn+2=/:(n+2)

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程f-Mnx+2=Z(x+2)在區(qū)間(1,M)內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,

即方程左=匚獨(dú)竺土工在區(qū)間。,+8)內(nèi)是否存在兩個(gè)不相等的實(shí)根,

x+2

/r2—rlnr+2/、.\X2+3x—4—21nx

令〃(x~xeO,+co),則〃(X)=--5——，

''x+2(x+2)

設(shè)p(x)=x2+3x—4—21nx,XG(1,+CO),則p(x)=2x+3-2=?~1)卜+2)>()對(duì)Vxe(l,+co)恒成立,所

以函數(shù)p(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

故p(x)>p(l)=0恒成立，所以〃")>0,所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程k=1二限+2在

尤+2

區(qū)間(1,+c。)內(nèi)不存在兩個(gè)不相等的實(shí)根.

綜上所述，不存在區(qū)間［/〃，〃仁（1,斗8）,使得函數(shù)尸（x）在區(qū)間［加,〃］上的值域是囪加+2）/（"+2）］.

點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值值，屬于難題.求函數(shù)極值、最值的步驟：（1）確定函

數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果

左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)

極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.

19.（1）（YO,0）U（4,+8）（2）證明見解析

【解析】

（D將不等式化為|a-3|+|。一1|>4,利用零點(diǎn)分段法，求得不等式的解集.

（2）將要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證VxeR,2sinxN-|a-+1恒成立，由2sinx的最小值為-2,得到只要證

a

—2>—|47-1|----F1,即證|a-1|-1---F1>2,利用絕對(duì)值不等式和基本不等式，證得上式成立.

aa

【詳解】

(1),:fj>6,:.2+|a—31+1iz—11>6,即一31+1n—11>4

。-3+a—1>4

當(dāng)aN3時(shí)，不等式化為《°a>4

a>3

(3-a)+(?-l)>4

當(dāng)l<a<3時(shí)，不等式化為此時(shí)a無解

l<a<3

(3-。)+(1-。)>4

當(dāng)aWl時(shí)，不等式化為<:.QV0

a<\

綜上，原不等式的解集為（-8,（））U（4,-8）

(2)要證VXER,/(幻2|。一3|-'+1恒成立

a

即證X/xcR,2sinxN-|a-1|一，+1恒成立

a

即證I?！?|+'+1>2

■:25后了的最小值為一2,，只需證一22一|〃一1|----F1

aa

.?.|“一1|+」+122成立，.?.原題得證

a

【點(diǎn)睛】

本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)、解法，基本不等式等知識(shí)；考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化，分

類與整合思想.

20.(1)遞減區(qū)間為(-1,0),遞增區(qū)間為(0,+8)(2)見解析

【解析】

(1)根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，由x=0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)可求得參數(shù)機(jī).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)

的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)mW2時(shí)，ln(x+M?ln(x+2).代入函數(shù)解析式放縮為/(x)=eX—ln(x+〃2)+〃2N/-ln(x+2)+〃2,代入

證明的不等式可化為，-ln(x+2)〉0,構(gòu)造函數(shù)/?(x)=e'-ln(x+2),并求得"(x),由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定

理可知存在唯一的看,使得"(%)=0*。-*^=0成立，因而求得函數(shù)力。)的最小值〃(Xo)=e*-ln(Xo+2),由對(duì)

數(shù)式變形化簡(jiǎn)可證明〃(x°)>0,即〃(尤)>〃(尤0)>0成立，原不等式得證.

【詳解】

(1)函數(shù)/(幻=6]-1口(1+〃2)+九〃2￡/?

可求得f\x)=e'一——,貝!|f(0)=l--=0

x-vmm

解得m=1,

所以/(x)=ev-ln(x+1)+1,定義域?yàn)?―1,+8)

r(X)=4一一[在(―1,+助單調(diào)遞增，而r(o)=o,

.?.當(dāng)XG(—l,0)時(shí)，/'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

此時(shí)X=0是函數(shù)./'(X)的極小值點(diǎn),

???/。)的遞減區(qū)間為(一1，0),遞增區(qū)間為(0,+8)

(2)證明：當(dāng)機(jī)<2時(shí)，ln(x+m)Wln(x+2)

/.f(x)=ex-ln(x+m)+m>ex-ln(x+2)+w,

因此要證當(dāng)機(jī)<2時(shí)，/(x)>m,

只需證明e'-ln(x+2)+m>m,

即eA-ln(x+2)>0

令h(x)=ex-ln(x+2),

貝小)=e*-——,

x+2

???〃(幻在(-2,”)是單調(diào)遞增，

而廳(—I)=1—1<0,6(0)」>o,

e2

,存在唯一的與,使得/7'(x())=e*—金5=0,xoe(-l,O),

當(dāng)xe(-2,Xo),/z'(x)<O,/z(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe(xo，+8),"(x)>0,單調(diào)遞增,

因此當(dāng)x=/時(shí)，函數(shù)h(x)取得最小值〃*o)=e*-ln(x0+2),

泊=——,ln(x0+2)=-xQ,

/+2

故//(x0)=e*-ln(x0+2)=-+x0=(>+?->0,

玉)+2XQ+2

從而(無o)>(),即/—ln(x+2)>0,結(jié)論成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由函數(shù)極值求參數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)法的綜合應(yīng)

用，屬于難題.

21.(I)證明見解析；(U)J

6

【解析】

(I)證明441A