高考數(shù)學真題分項匯編（2014-2023） 專題27 不等式選講（文理通用）（原卷版+解析版）

十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—不等式選講目錄題型一：含絕對值不等式的解法 1題型二：不等式的最值 2題型三：含絕對值不等式的成立問題 3題型四：含絕對值函數(shù)的圖像及其應用 3題型五：不等式證明 5題型一：含絕對值不等式的解法1．(2021年高考全國乙卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集;(2)若，求a的取值范圍．2．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求a的取值范圍．3．(2020江蘇高考·第23題)設，解不等式．4．(2019·全國Ⅱ·理·第23題)已知函數(shù)．當時，求不等式的解集；當時，，求的取值范圍．5．(2019·江蘇·第23題)設，解不等式.6．(2015高考數(shù)學新課標1理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍7．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第24題)解不等式8．(2014高考數(shù)學課標2理科·第24題)(本小題滿分10)選修4-5：不等式選講．設函數(shù)=(Ⅰ)證明：2；(Ⅱ)若，求的取值范圍．9．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第23題)[選修4—5:不等式選講]已知函數(shù),．(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范圍10．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第23題)[選修4—5：不等式選講](10分)已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．11．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第24題)選修4—5:不等式選講已知函數(shù).(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)設函數(shù),當時,,求的取值范圍.題型二：不等式的最值1．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第24題)[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值．2．(2014高考數(shù)學課標1理科·第24題)選修4—5:不等式選講若,且．(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由．3．(2015高考數(shù)學陜西理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講已知關于的不等式的解集為．(Ⅰ)求實數(shù)，的值；(Ⅱ)求的最大值．4．(2015高考數(shù)學福建理科·第23題)選修4-5：不等式選講已知，函數(shù)的最小值為4．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的最小值．題型三：含絕對值不等式的成立問題1．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷(理)·第23題)[選修4－5：不等式選講](10分)設函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍．2．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第23題)[選修4–5：不等式選講](10分)已知．(1)當時，求不等式的解集；(2)若時不等式成立，求的取值范圍．題型四：含絕對值函數(shù)的圖像及其應用1．(2023年全國甲卷理科·第23題)設，函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．2．(2023年全國乙卷理科·第23題)已知．(1)求不等式的解集；(2)在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積．3．(2020年高考課標Ⅰ卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)畫出的圖像；(2)求不等式的解集．4．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．(I)畫出的圖像；(II)求不等式的解集．(I)見解析(II)5．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷(理)·第23題)【選修4—5：不等式選講】(10分)設函數(shù)．(1)畫出的圖象；(2)當時，，求的最小值．題型五：不等式證明1．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第24題)[選修4-5:不等式選講]已知為實數(shù),且證明2．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)·第23題)已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．3．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第23題)設a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．(1)證明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．4．(2019·全國Ⅲ·理·第23題)設，且．(1)求的最小值；(2)若成立，證明：或．5．(2019·全國Ⅰ·理·第23題)已知，，為正數(shù)，且滿足．證明：(1)；(2)．6．(2014高考數(shù)學遼寧理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講設函數(shù)，，記的解集為M，的解集為N．(1)求M；(2)當時，證明：．7．(2014高考數(shù)學江蘇·第24題)【選修4-5：不等式選講】已知，證明：．8．(2014高考數(shù)學福建理科·第23題)(本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講已知定義在上的函數(shù)的最小值為．(I)求的值；(II)若為正實數(shù)，且，求證：．9．(2015高考數(shù)學新課標2理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4-5不等式選講設均為正數(shù)，且，證明：(Ⅰ)若，則；(Ⅱ)是的充要條件．10．(2015高考數(shù)學湖南理科·第18題)設，且．證明:(1)；(2)與不可能同時成立．11．(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第23題)[選修4-5：不等式選講](10分)已知，證明：(1)；(2)．12．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)，為不等式的解集．(I)求；(II)證明：當時，．13．(2016高考數(shù)學江蘇文理科·第24題)[選修4-5：不等式選講]設，，，求證：．

十年（2014－2023）年高考真題分項匯編—不等式選講目錄題型一：含絕對值不等式的解法 1題型二：不等式的最值 8題型三：含絕對值不等式的成立問題 10題型四：含絕對值函數(shù)的圖像及其應用 11題型五：不等式證明 17題型一：含絕對值不等式的解法1．(2021年高考全國乙卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集;(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)．(2)．解析：(1)當時，，表示數(shù)軸上的點到和的距離之和，則表示數(shù)軸上的點到和的距離之和不小于，故或，所以的解集為．(2)依題意，即恒成立，，故，所以或，解得．所以的取值范圍是．【點睛】解絕對值不等式的方法有零點分段法、幾何意義法．2．(2020年高考課標Ⅱ卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求a的取值范圍．【答案】(1)或；(2)．解析：(1)當時，．當時，，解得：；當時，，無解；當時，，解得：；綜上所述：的解集為或．(2)(當且僅當時取等號)，，解得：或，的取值范圍為．【點睛】本題考查絕對值不等式的求解、利用絕對值三角不等式求解最值的問題，屬于?？碱}型．3．(2020江蘇高考·第23題)設，解不等式．【答案】【解析】或或或或,所以解集為4．(2019·全國Ⅱ·理·第23題)已知函數(shù)．當時，求不等式的解集；當時，，求的取值范圍．【答案】；【官方解析】當時，.當時，；當時，.所以，不等式的解集為.因為，所以.當，時，所以，的取值范圍是.【分析】根據(jù)，將原不等式化為，分別討論，，三種情況，即可求出結果；分別討論和兩種情況，即可得出結果.【解析】當時，原不等式可化為；當時，原不等式可化，即，顯然成立，此時解集為；當時，原不等式可化為，解得，此時解集為空集；當時，原不等式可化為，即，顯然不成立；此時解集為空集；綜上，原不等式的解集為；當時，因為，所以由可得，即，顯然恒成立；所以滿足題意；當時，，因時，顯然不能成立，所以不滿足題意；綜上，的取值范圍是. 【點評】本題主要考查含絕對值的不等式，熟記分類討論的方法求解即可，屬于?？碱}型.5．(2019·江蘇·第23題)設，解不等式.【答案】見解析【解析】當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，即，無解；當時，原不等式可化為，解得.綜上，原不等式的解集為.6．(2015高考數(shù)學新課標1理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．(Ⅰ)當時，求不等式的解集；(Ⅱ)若的圖像與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(2，+∞)分析：(Ⅰ)利用零點分析法將不等式f(x)>1化為一元一次不等式組來解；(Ⅱ)將化為分段函數(shù)，求出與軸圍成三角形的頂點坐標，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關于的不等式，即可解出的取值范圍．解析：(Ⅰ)當a=1時，不等式f(x)>1化為|x+1|-2|x-1|＞1，等價于或或，解得，所以不等式f(x)>1的解集為．(Ⅱ)由題設可得，，所以函數(shù)的圖像與軸圍成的三角形的三個頂點分別為，，，所以△ABC的面積為．由題設得＞6，解得．所以的取值范圍為(2，+∞)．7．(2015高考數(shù)學江蘇文理·第24題)解不等式【答案】分析：根據(jù)絕對值定義將不等式化為兩個不等式組的并集，分別求解即可解析：原不等式可化為或．解得或．綜上，原不等式的解集是．8．(2014高考數(shù)學課標2理科·第24題)(本小題滿分10)選修4-5：不等式選講．設函數(shù)=(Ⅰ)證明：2；(Ⅱ)若，求的取值范圍．【答案】解析：(Ⅰ)，僅當時等號成立，所以2．(Ⅱ)=當時，=，解得當時，=，解得綜上所述，的取值范圍為．9．(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第23題)[選修4—5:不等式選講]已知函數(shù),．(1)當時,求不等式的解集;(2)若不等式的解集包含,求的取值范圍【答案】(1);(2)．【分析】(1)將代入,不等式等價于,對按,,討論,得出最值的解集;(2)當時,．若的解集包含,等價于當時,,則在的最小值必為與之一,所以且,得,所以的取值范圍為．【解析】(1)當時,不等式等價于①當時,①式化為,無解;當時,①式化為,從而;當時,①式化為,從而所以不等式的解集為(2)當時,所以的解集包含,等價于當時,又在的最小值必為與之一,所以,得．所以的取值范圍為．10．(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第23題)[選修4—5：不等式選講](10分)已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范圍．【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】(1)因為所以不等式等價于或或由無解；由；由綜上可得不等式的解集為．(2)解法一：先求不等式的解集為空集時的取值范圍不等式的解集為空集等價于不等式恒成立記，則當時，當時，當時，所以所以不等式的解集為空集時，所以不等式的解集非空時，的取值范圍為．解法二：原式等價于存在，使成立，即設由(1)知當時，，其開口向下，對稱軸所以當時，，其開口向下，對稱軸為所以當時，，其開口向下，對稱軸為所以綜上所以的取值范圍為．11．(2016高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第24題)選修4—5:不等式選講已知函數(shù).(Ⅰ)當時,求不等式的解集;(Ⅱ)設函數(shù),當時,,求的取值范圍.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)當時,.解不等式,得.因此,的解集為.(Ⅱ)當時,當時等號成立.所以當時,等價于.①當時,①等價于,無解.當時,①等價于,解得所以的取值范圍是.題型二：不等式的最值1．(2018年高考數(shù)學江蘇卷·第24題)[選修4—5：不等式選講](本小題滿分10分)若x，y，z為實數(shù)，且x+2y+2z=6，求的最小值．【答案】4證明：由柯西不等式，得．因為，所以，當且僅當時，不等式取等號，此時，所以的最小值為4．2．(2014高考數(shù)學課標1理科·第24題)選修4—5:不等式選講若,且．(1)求的最小值;(2)是否存在,使得?并說明理由．【答案】解析:(1)由,得,且當時等號成立,故,且當時等號成立,∴的最小值為．(2)由,得,又由(1)知,二者矛盾,所以不存在,使得成立．3．(2015高考數(shù)學陜西理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講已知關于的不等式的解集為．(Ⅰ)求實數(shù)，的值；(Ⅱ)求的最大值．【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)．分析：(Ⅰ)先由可得，再利用關于的不等式的解集為可得，的值；(Ⅱ)先將變形為，再利用柯西不等式可得的最大值．解析：(Ⅰ)由，得則解得,(Ⅱ)當且僅當，即時等號成立，故．4．(2015高考數(shù)學福建理科·第23題)選修4-5：不等式選講已知，函數(shù)的最小值為4．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的最小值．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)因為，當且僅當時，等號成立，又，所以,所以的最小值為,所以．(Ⅱ)由(1)知，由柯西不等式得,即．當且僅當,即時，等號成立所以的最小值為．題型三：含絕對值不等式的成立問題1．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷(理)·第23題)[選修4－5：不等式選講](10分)設函數(shù)．(1)當時，求不等式的解集；(2)若，求的取值范圍．【答案】解析：(1)當時，可得的解集為．(2)等價于．而，且當時等號成立，故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．2．(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第23題)[選修4–5：不等式選講](10分)已知．(1)當時，求不等式的解集；(2)若時不等式成立，求的取值范圍．【答案】解析：(1)當時，，即故不等式的解集為．(2)當時成立等價于當時成立．若，則當時；若，的解集為，所以，故．綜上，的取值范圍為．題型四：含絕對值函數(shù)的圖像及其應用1．(2023年全國甲卷理科·第23題)設，函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若曲線與軸所圍成的圖形的面積為2，求．【答案】(1)(2)2解析：(1)若,則,即,解得,即,若,則,解得,即,綜上,不等式的解集為．(2)．畫出的草圖,則與軸圍成,的高為,所以,所以,解得．2．(2023年全國乙卷理科·第23題)已知．(1)求不等式的解集；(2)在直角坐標系中，求不等式組所確定的平面區(qū)域的面積．【答案】(1)；(2)8．解析：(1)依題意，，不等式化為：或或，解，得無解；解，得，解，得，因此，所以原不等式的解集為：(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影，由，解得，由,解得，又，所以的面積．3．(2020年高考課標Ⅰ卷理科·第23題)已知函數(shù)．(1)畫出的圖像；(2)求不等式的解集．【答案】(1)詳解解析；(2)．【解析】(1)因為，作出圖象，如圖所示：(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，可得函數(shù)的圖象，如圖所示：由，解得．所以不等式的解集為．【點睛】本題主要考查畫分段函數(shù)的圖象，以及利用圖象解不等式，意在考查學生的數(shù)形結合能力，屬于基礎題．4．(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4—5：不等式選講已知函數(shù)．(I)畫出的圖像；(II)求不等式的解集．【答案】(I)見解析(II)【官方解答】(I) ，如圖所示：(II)由得表達式及圖像，當時，得或當時，得或故的解集為；的解集為，解集為．【民間解答】(I) 如上圖所示：(II)當，，解得或當，，解得或或當，，解得或或綜上，或或，解集為．5．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷(理)·第23題)【選修4—5：不等式選講】(10分)設函數(shù)．(1)畫出的圖象；(2)當時，，求的最小值．【答案】【官方解析】(1)的圖像如圖所示(2)由(1)知，的圖像與軸交點的縱坐標為，且各部分所在直線斜率的最大值為，故當且僅當且時，在成立，因此的最小值為．【民間解析】(1)，可作出函數(shù)的圖象如下圖(2)依題意可知在上恒成立，在上也恒成立當時，恒成立即在上恒成立所以，且，此時，當時，即恒成立結合，可知即綜上可知，所以當，時，取得最小值．題型五：不等式證明1．(2017年高考數(shù)學江蘇文理科·第24題)[選修4-5:不等式選講]已知為實數(shù),且證明【答案】解析:證明:由柯西不等式得,直線的普通方程為．因為,,所以,因此2．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(理)·第23題)已知a，b，c均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)若，則．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】(1)證明：由柯西不等式有，所以，當且僅當時，取等號，所以；(2)證明：因為，，，，由(1)得，即，所以，由權方和不等式知，當且僅當，即，時取等號，所以3．(2020年高考課標Ⅲ卷理科·第23題)設a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．(1)證明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，證明：max{a，b，c}≥．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析．解析：(1)，均不為，則，；(2)不妨設，由可知，，，．當且僅當時，取等號，，即．【點睛】本題主要考查了不等式的基本性質以及基本不等式的應用，屬于中檔題．

4．(2019·全國Ⅲ·理·第23題)設，且．(1)求的最小值；(2)若成立，證明：或．【答案】(1)；(2)見詳解．【官方解析】(1)由于 故由已知得，當且僅當時等號成立． 所以的最小值為． (2)由于 故由已知得，當且僅當時等號成立． 因此的最小值為 由題設知，解得或．【解法2】柯西不等式法(1)，故，當且僅當時等號成立．所以的最小值為．(2)，所以．當且僅當時等號成立．成立．所以成立，所以有或．【點評】本題兩問思路一樣，既可用基本不等式，也可用柯西不等式求解，屬于中檔題型．5．(2019·全國Ⅰ·理·第23題)已知，，為正數(shù)，且滿足．證明：(1)；(2)．【答案】解：(1)因為，又，故有．所以.(2)因為為正數(shù)且，故有所以．6．(2014高考數(shù)學遼寧理科·第24題)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講設函數(shù)，，記的解集為M，的解集為N．(1)求M；(2)當時，證明：．【答案】(1)[0，]；(2)見解析．解析：(1)由f(x)=2|x﹣1|+x﹣1≤1可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．綜上，原不等式的解集為[0，]．(2)由g(x)=16x2﹣8x+1≤4，求得≤x≤，∴N=[，]，∴M∩N=[0，]．∵當x∈M∩N時，f(x)=1﹣x，x2f(x)+x[f(x)]2=xf(x)[x+f(x)]=≤，故要證的不等式成立．7．(2014高考數(shù)學江蘇·第24題)【選修4-5：不等式選講】已知，證明：．【答案】[選修4—4：不等式證明選講]．解析：本小題主要考查本小題滿分10分．證法一：因為，所以，故．證法二：(柯西不等式)．證法三：因為，所以，．故．(江蘇蘇州褚小光)證法四：因為，所以，．故．8．(2014高考數(shù)學福建理科·第23題)(本小題滿分7分)選修4—5：不等式選講已知定義在上的函數(shù)的最小值為．(I)求的值；(II)若為正實數(shù)，且，求證：．【答案】選修：不等式選講解析：(=1\*ROMANI)因為．當且僅當時，等號成立．所以的最小值等于，即．(=2\*ROMANII