控制系統(tǒng)的頻域分析

教學(xué)過程備注

第四章控制系統(tǒng)的頻域分析

4.1頻率特性概述

頻域分析法是經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行研究和分析的另一種主要方

法，也稱為頻率特性法，即采用頻率特性作為數(shù)學(xué)模型來分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的方法，

與時(shí)域分析法相比，可看出頻率特性的特點(diǎn)。

時(shí)域分析的缺點(diǎn)：

①高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；

②難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響；

③當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。

頻率特性的優(yōu)點(diǎn)：

①無需求解微分方程，圖解（頻率特性圖）法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能

的方向；

②易于實(shí)驗(yàn)分析；

③可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)：

④可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。

本章主要介紹頻率特性的概念、求取方法及特點(diǎn)、頻率特性的圖示方法（極坐

標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖）、系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)及最小相位等概念。

4.1.1頻率特性的基本概念

1、線性定常系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

結(jié)論：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入為一正弦信號(hào)七⑺=Asin切，則該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)

輸出為同頻率的正弦信號(hào)x0（f）=Ssin（（w/+0），但其振幅B和相位。一般均不同于

輸入量，且隨著輸入信號(hào)頻率的變化而變化。

例4.1設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（s）=-W—,K>0,T>0,輸入信號(hào)為x/）=Nsin&,

7\+1

求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

NeoKABc

X0(s)=X,(s)-G(s)---------------------=---------------1---------------b

s~+a)~Ts+1s+jcos-jco"T

SH——

T

/、NKTcoNKNKcoT

-T三

xAtI=----sincot---------coscot+-------7re

\+T2CO21+T2?y21+T2(y2

NK1NKTeoNKcoT~

=..sincot——/,coso)t+-------e1

Jl+4療71+7^7A/I+T2?2Vl+r2(y2X+T-co-

NK..、NKTo)-7

=._?sizn!-arctanTco)^-----；---e1

71+r2^21+X。2

可以看出，第二項(xiàng)為瞬態(tài)項(xiàng)，當(dāng)ffoo時(shí)，該項(xiàng)衰減為0。第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，即其

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為xo(r)=.=?sin(69/-arctanTa))

Vl+T26>2

分析：①與（。與x,3同頻率;

②x?（/）與x,3幅值與相位各不相同，且z（/）的幅值與相位均與。有關(guān)。

NK

幅值：,N；相位：-arctan0

7177^7

2、頻率特性的定義

信號(hào)的角頻率。=24

①穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值：輸入信號(hào)的幅值N,頻率O、系統(tǒng)的固有特性T、K決定。

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號(hào)的幅值成正比，兩者相比即是。的函數(shù)，且與系統(tǒng)的固

有特性T、K有關(guān)；

②穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位：輸入信號(hào)的相位為0,頻率、系統(tǒng)的固有特性T決定。穩(wěn)

態(tài)響應(yīng)的相位與輸入信號(hào)的相位同步變化，且二者之差是。的函數(shù)，且由系統(tǒng)的固

有特性決定。

定義：①幅頻特性A（。）：線性定常系統(tǒng)在正弦輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值

與輸入信號(hào)幅值之比是輸入信號(hào)的頻率。的函數(shù)，定義為系統(tǒng)的幅頻特性；

②相頻特性。（。）：線性定常系統(tǒng)在正弦輸入作用下，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位與輸入

信號(hào)的相位之差是。的函數(shù)，定義為系統(tǒng)的相頻特性。

③頻率特性A⑹.e"⑻：幅頻特性與相頻特性總稱

說明：①4（昉無量綱;

②0（。）的單位是弧度或度;

③4（時(shí)2。⑹是復(fù)變函數(shù)，自變量是復(fù)數(shù)。

頻率特性包括實(shí)部、虛部。

5.1.2頻率特性的求取方法

1、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系

設(shè)一個(gè)穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)其微分方程為

%斕（，）+…+*。（t）+a0xo（t）

=一吊吸）+%鏟％）+…+仇弘）+%玉（。

X0(s)仇,F"+"_yi+…+仇s+%

傳遞函數(shù)為G（s）=

n

Xj(s)ans+%_/”"H—+Q]S+Qo

設(shè)輸入的正弦信號(hào)為巧(。=NsinW，即X,(s)=2

s+刃

X。(s)=X,(，).G(s)=5+…:3:％,上

UnSH-----FCl^S+CLQS4-CD

①確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

設(shè)系統(tǒng)無重復(fù)極點(diǎn)，則X,,(s)=￡2—+—^―+—J

k=\S-Sks-j(0S+j(D

式中：.為系統(tǒng)的極點(diǎn)；&、B、。為待定系數(shù)

x.1）=之A/如+&*+Ce-/

k=\

由數(shù)學(xué)知，當(dāng)乂具有負(fù)實(shí)部時(shí)有l(wèi)ime'"=0

r->00

可見，當(dāng)，―8時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)中與負(fù)實(shí)部極點(diǎn)有關(guān)的指數(shù)項(xiàng)將衰減為零，故系

統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為x<t）=B*+Ce-jw,

若系統(tǒng)中含有"個(gè)重復(fù)極點(diǎn)外,

v,、Al4，A弋4Bc

(s-sjk一與廣s-Sqk=p+is-sks-ja>s+jct)

AA〃

即12(p2)vSt，ia,

X(f)=[產(chǎn)D+t-+???+Ale+YAke+B*+Ce-

(P-D!(P-2)!I。k=p+l

顯然可見，對(duì)前p項(xiàng)中的e"同樣滿足lime"=0,那么當(dāng)所有極點(diǎn)實(shí)部為負(fù)時(shí)，前

f->8

n項(xiàng)是收斂的。此時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為：x?(t)=BeiM+Ce-jM

②確定參數(shù)B、C：

由G(s)?士蘭人+上+工得：

S+Ct)?=]S—SkS—J①5+JCD

6=G（s）.——C匠人―一

S+JCO［_A-=Is~SkS+JG_

/、NN

取s=/0得：B=G（八y）?工：同理可得C=—G（—j。）*

2j2j

③確定頻率特性：

考慮到G（_/&）與G（-"y）為共輒復(fù)數(shù)，可記

G（a）=|G（j叫-G（-＞）=|G（j叫e/G（j。）

代入可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：

七,（。=G（/。）?裊e""-G（-jto）-^-eJ^

2j2j

=|G（j叫ejZGM■—?e加_|G（j叫e-jZGM■—?e"

2j2j

j［.+NG（J?）］_-j［cot+ZG（j&））］

=|G（j砌?N------------------------------------

=|G（/砌?N-sin［（yr+ZG（j?y）］

由頻率特性定義知：系統(tǒng)的幅頻特性為A（o）=口（加），相頻特性為乩9）=ZG（j7y）

則系統(tǒng)的頻率特性為A（（o）-ejM=|G（＞J-eyzc（＞）=G（ja＞）

④結(jié)論：綜上可見，將傳遞函數(shù)的自變量s變?yōu)閖o,就是系統(tǒng)的頻率特性。

故頻率特性可記為G（〃y）,幅頻特性記為順加），相頻特性也記為NG（〃y）。

傳遞函數(shù)的自變量s=a+何，而頻率特性是傳遞函數(shù)在a=0且匕=啰時(shí)的特例。

分析：描述系統(tǒng)的3種數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性間的關(guān)系:

系統(tǒng)微分方程拉氏變換傳遞函數(shù)$=）小頻率特性

⑤表示方法：G（jo）=w（＜w）+M。）=|G（j叫/"（""）=A（o）?e訥⑼

實(shí)部“（（y）為實(shí)頻特性，虛部v（ty）為虛頻特性，且有“（3）=|G0°l-cosNG（〃y）,

丫⑹=|G（J叫sinZG（j7y）

而G（j④）=A（o）-e刖⑼，故A（（y）=|G0（y）|=JM2（.）+/（0）,/.G^jco）

當(dāng)〃（。）＞0時(shí)，0（（y）=2〃;r+arctanU^；

當(dāng)“（（y）＜0時(shí)，^（＜w）-1n7r+7T+arctan—7—r;

u（a＞）

當(dāng)”（＜y）=0且v（（y）〉0口寸，。（＜y）=2〃〃+g不

當(dāng)”（o）=0且丫（。）＜0時(shí)，“（3）=2〃萬一3萬

當(dāng)〃3）=v（o）=0時(shí)，°（3）=任意值

其中n為待定整數(shù)，視具體情況而定。

2、頻率特性的求法

1）利用時(shí)間響應(yīng)求取

方法一：已知G（s）,x/）為正弦信號(hào)，可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，再根據(jù)頻率特性定

義求取。

例4.2已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G（s）=—J,K＞0,T〉0,求其頻率特性。

75+1

解：當(dāng)x,3=Nsin。/時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：

x?（r）=,.=.sin（（y?-arctanTty）

J1+L療

所以系統(tǒng)的幅頻特性為A(o)=/長,相頻特性為03)=—arctanTTy

Vl+T2(y2

頻率特性為G(j(y)=~/長=.e-arctanTw

Vl+T2<y2

2)G(s)\s=j(o=G(jco)

KK-jKTco

方法二：解：將s=代入G(s)得:G(，0)=

jT(o+\l+T2?2

co

貝ij“⑹=—±--,v(<w)=-*7

''1+T2(y2''\+T2CD

A(0)=儼3)=/長,°((y)=arctan=-arctanT①

Vi+r2<y2u[co)

3)實(shí)驗(yàn)法：對(duì)實(shí)際系統(tǒng)求取頻率特性的一種常用而重要的方法。如果在不知道系

統(tǒng)的傳遞函數(shù)或數(shù)學(xué)模型時(shí)，只有采用實(shí)驗(yàn)法。

4.1.3頻率特性分析法的特點(diǎn)

(1)系統(tǒng)的頻率特性是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的頻譜(傅里葉變換)

拉氏變換：尸⑸=[/(，)*"力

傅里葉變換:F(ja))=rf(t)e-Joxdt

J-OC'

由于X0(s)=X,(s).G(s),則X。(松)=Xj(為.GO。)

當(dāng)x/)=M)時(shí)，X,(s)=l

輸出為單位脈沖響應(yīng)x“(/)=「(G(s))=g(f)

而乂6。)=尸[即)]=1，X00(y)=F[g(f)]

那么G(jo)=xjj(o)=r[g(r)]

傳遞函數(shù)是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的拉氏變換

頻率特性是單位脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換。

對(duì)頻率特性的分析就是對(duì)單位脈沖響應(yīng)的頻譜分析。

(2)時(shí)域分析：線性系統(tǒng)的過渡過程以獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

頻域分析：不同頻率正弦輸入下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，以獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

(3)根據(jù)頻率特性可選擇系統(tǒng)工作的合適頻率范圍。

4.2頻率特性的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖）

A3）、。（⑹都是輸入信號(hào)頻率o的函數(shù)。為了更直觀地了解頻率特性的變化

規(guī)律，可采用圖示的方法，將頻率特性繪制成曲線圖形，常用方法有極坐標(biāo)圖和對(duì)

數(shù)坐標(biāo)圖。

5.2.1極坐標(biāo)圖的基本概念

又稱奈奎斯特圖，也稱幅相頻率特性圖，表示了。從零變化至無窮大時(shí)，

oe[0,8）時(shí)，在極坐標(biāo)上頻率特性的幅值與相角的關(guān)系圖。極坐標(biāo)圖實(shí)在復(fù)平面內(nèi)

用不同頻率的矢量之端點(diǎn)軌跡來表示系統(tǒng)的頻率特性。

極軸：極坐標(biāo)系中，橫向正半軸射線

幅頻特性A（。）：從原點(diǎn)出發(fā)的矢量長度

相頻特性。（。）：矢量與極軸間的夾角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，NG。。）

5.2.2典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

一般復(fù)雜的系統(tǒng)都是由典型環(huán)節(jié)組成，熟悉典型環(huán)節(jié)的頻率特性后，可討論一

般系統(tǒng)的頻率特性。

[的喇

1、比例環(huán)節(jié)：G（s）=K

G（ja））=K=KeJ0,則6（汝）|=K,NG（%）=0。oRe

2、積分環(huán)節(jié)：G（5）=-

s

==-j—=—e%，

jCDCO（D

則2=-90°

0,V（69）=---

CO

當(dāng)3=0foo時(shí)，=，應(yīng)由-oofO,

CD

方向?yàn)樽韵露稀?/p>

3、微分環(huán)節(jié)：G（s）=s

.n_

G（jco）=j①=a）e2,則|G（，＜y）=0,ZG（j7w）—

當(dāng)（y=Of8時(shí)，|G（J⑹|=口應(yīng)由0-＞oo

注意：對(duì)比微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖，可看出

兩者并不關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱（方向不對(duì)稱）。

4、慣性環(huán)節(jié)：G（s）=—!—

Ts+1

所以

G（/&）=春"瑞-arctan77?

所以如心懸二ZG(jco)--arctanTct)

①當(dāng)0=0-8時(shí)，ZG（j（y）=O^--y

②當(dāng)勿=0時(shí)，起始點(diǎn)（1,川）

當(dāng)＜ye（0,oo）時(shí),?（＜y）＞0?v（＜y）＜0,故位于第四象限

當(dāng)=■時(shí)，NG（J啰）=一?

當(dāng)iy.8時(shí)，“（3）、u（＜y）、順法］均趨向于0,NG（j初的極限為-5，即終結(jié)于

坐標(biāo)原點(diǎn);

③〃⑹=］+'，,則［〃3—g）］2+［V3）］2=；,可見，極坐標(biāo)圖

為圓心在化川］處，半徑為L的一個(gè)半圓。

（2）2

5、一階微分環(huán)節(jié)：G（s）=Ts+l

則G（j（y）=1+jTco=+TO

所以限/砌=JT%2+],ZG（jco）-arctanTco,

V{CO）-TG）

①當(dāng)3=0時(shí)，起始點(diǎn)（1,川）；

②當(dāng)3Tg時(shí)，“3）=1,V（6O）=0—>00,

NG（jco）=0—>—o

1

6、振蕩環(huán)節(jié)：G（5）=

T2S2+2^TS+\s2+2&a）“s+冠

1

故G（j（y）=

一1+j2的（y+@；

—0+,后一0

J%

2^—

1

所以|G（"y]=NG（jco）=jarctan-------

分析:①當(dāng)（w=0時(shí)，|G（j砌=|G（JO）=1,NG（汝）=0°,起始點(diǎn)Q,jO）；

②當(dāng)《y=q時(shí)，|G（j⑹=',NG（/0）=9O°；

2g

③當(dāng)g=8時(shí)，|G（/⑹=0,ZG（j<y）=-90°o

幅值：①當(dāng)J較大時(shí)"之苧時(shí)，A(G)隨口的增大而減小;

②當(dāng)自較小時(shí)(夕苧時(shí))，諧振現(xiàn)象，A(0)隨啰的

增大而增大，出現(xiàn)一個(gè)最大值，然后逐漸減小至0。

7.延時(shí)環(huán)節(jié)：G(s)=er

)

/.G{jco)=e~jTa=COSTCO-jsinTO)

u((v)=COSTCO,v(69)=sinTO),a(/)=1,

蟻cd)-arctanT(?,

分析：當(dāng)0:0—>+8時(shí)，(/)(co):0->-oo；

當(dāng)。=+oo時(shí)，。(/y)=-oo,終點(diǎn)無法確定

故延時(shí)環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖并非一個(gè)圓，而是無窮多個(gè)單位圓循環(huán)而成。

補(bǔ)：開環(huán)傳遞函數(shù)表示成若干典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即G(S)=G|(S)G2(S)…G.(S)

G(〃y)=A(⑼/(⑼

所以系統(tǒng)的頻率特性：=43)/"3)4(0)/屈明-4(。)0泌初

=A[(<y)A2(?)???A"((y)/M⑺+魚⑷+地，⑷]

A((w)=A,(<y)A2(a))??-An(⑼,。⑼=必(啰+我(口)+3)

可見，系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與各典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖之間不存在明顯關(guān)系即疊加關(guān)

系，故仍按一般系統(tǒng)進(jìn)行處理。

5.2.3奈奎斯特圖的一般畫法

1、步驟：

①頻率特性G("y)；

②A((y),。(⑼，w((y),v(ty)；

③分析A((y),。(⑼隨。的變化趨勢(shì)，注意關(guān)鍵點(diǎn)的處理;

④連線。

例4.3繪制系統(tǒng)G（s）="的極坐標(biāo)圖。

r（詞①T%2+

解系統(tǒng)的頻率特性為：=

1+Jitt）1+/co

，/、Ta>,、T2CO2,、Ta>..、1

,〃（⑼=----廠干,v（d>）=----丁一=arctan——

捫+72療l+T2?21+T2（y2Teo

rr

分析：當(dāng)G：Of8時(shí)，族（⑼：耳->0

〃3）〉0,v⑼〉0,故位于第一象限

且有［〃（0—g）］2+［y（（y）『=；,故為半圓。

4.3頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（波特圖）

極坐標(biāo)圖在一張圖上表示出整個(gè)頻域中隨口變化的系統(tǒng)的頻率特性，為了更好

地研究頻率特性在不同頻段的特點(diǎn)，以及與。間

的關(guān)系，可采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。產(chǎn)03歸。砌

60

4.3.1對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的基本概念40

on

又稱伯德圖（Bode圖），所采用的坐標(biāo)稱為對(duì)o

o.oio.iiiolooloooiosa

數(shù)坐標(biāo)系，由對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖3

組成。前者的縱坐標(biāo)為20聞G0g],單位時(shí)分貝，

用dB表示；后者的縱坐標(biāo)為度或弧度，兩者的縱2K

坐標(biāo)均按線性分度，而橫坐標(biāo)是角速度0,采用f_

,o.oid.i,1ioido1600,16s?

1g。分度（這樣在同一張圖上同時(shí)能展出頻率特性音

的低頻和高頻部分，可在較寬的頻率范圍內(nèi)研究

系統(tǒng)的頻率特性），故坐標(biāo)點(diǎn)。不得為0。1到10的距離等于10到100的距離，這

個(gè)距離表示10倍頻程，用dec表示。

對(duì)數(shù)幅頻特性圖縱坐標(biāo)單位定義為IdB=201g|G（j。）

當(dāng)|G（j⑹=1時(shí)，201g|G（j⑹=048；當(dāng)|G（j⑹=10時(shí)，201g|G（_/（y）|=2048

優(yōu)點(diǎn)：

①可將串聯(lián)環(huán)節(jié)頻率特性的乘除運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為Bode圖的加減運(yùn)算；

②系統(tǒng)的Bode圖可由各環(huán)節(jié)的Bode圖疊加而成；

③對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行近似分析時(shí)，只需畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線，大大簡化了圖

形的繪制；

④拓寬了圖形所能表示的頻率范圍；

⑤兩系統(tǒng)的頻率特性互為倒數(shù)時(shí)，其對(duì)數(shù)幅頻/相頻特性曲線關(guān)于橫坐標(biāo)軸對(duì)稱。

幾點(diǎn)說明：

①在波形圖中，由于橫坐標(biāo)采用了對(duì)數(shù)分度，因此。=0不可能在橫坐標(biāo)中表示出

來，橫坐標(biāo)上表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定，橫坐標(biāo)一般只標(biāo)注口的

自然數(shù)值；

②在對(duì)數(shù)頻率特性圖中，角頻率。變化的倍數(shù)往往比其變化的數(shù)值更有意義。為

此通常采用頻率比德概念：頻率變化十倍的區(qū)間稱為一個(gè)十倍頻程，記為dec；頻

率變化兩倍的區(qū)間稱為一個(gè)二倍頻程，記為。以；

注意到：頻率變化十倍時(shí)，在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上時(shí)等距的，等于一個(gè)單位。

③用L3)=201g|G(汝)|,0(0)=NG(j0)。

4.3.2典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖

1、比例環(huán)節(jié)：

j0

G（ja））=K=Ke」加]gW叫

/GQM

/.A（6J）=K,0⑹=0201gWH

20

201g|G（ico\=20加K..0,0

曰一6,三八,Q0101110100100010sa0.010.1iioi6oi6ooib5七

-20

NG0（y）=0-jr

當(dāng)改變K時(shí)，導(dǎo)致對(duì)數(shù)幅頻曲線升高或降低相應(yīng)的常值，但不影響相位角。

2、積分環(huán)節(jié)：G(/<y)=——=-j—=—e]

jo)CDCD

A(69)=—，。(訪=——

CD2

???201g|G(J^=—20Igo,NG(%)=—90°

當(dāng)g=1時(shí)，L(a))=0；

當(dāng)6y=10時(shí)，L((y)=—20；

當(dāng)0=100時(shí)，L(o)=—40

可看出，積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻圖為一條直線，此

直線的斜率為-20d6/dec,對(duì)數(shù)相頻圖為等于

-色的一條直線。

2

若系統(tǒng)中兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)，則L3)=T01g/,NG（j0）=-180°

.工

3、微分環(huán)節(jié)：G(ja))=ja)=/5

/.A(⑼=co,。⑹=-

201g|G（j<y^=201g?y,ZG（jw）=90°

若系統(tǒng)中兩個(gè)微分環(huán)節(jié)串聯(lián)，則L（o）=401go,

ZG（j（p）=180°

可看出，微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的波特圖關(guān)于橫坐標(biāo)

對(duì)稱。

注意：當(dāng)橫縱坐標(biāo)交叉點(diǎn)變換時(shí)，兩者數(shù)值一定要

與對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)應(yīng)。

4、慣性環(huán)節(jié)：

((1="訂①_1_jarctanT(o

G/y)=/?、?廣"蘇飛+『"

低頻201g|G詢

漸近線

A(a>)-i=-arctanTco

yJl+T2a>2

201g|G(j^=-201g71+(y2T2

ZG（j69）=-arctanTeo

。

理論上，此時(shí)可采用描點(diǎn)法。當(dāng)啰：Of8時(shí),一

匹

計(jì)算出相應(yīng)的數(shù)值來畫圖，但工程上常采用近4

匹2

似法畫幅頻曲線。令叫=L

①低頻段：co?（oT,略去To,則20咽6（/。）|2-2031=018,為與橫軸重合的

直線，即近似為OdB的水平線，稱為低頻漸近線；

②高頻段：（o?coT,略去1,則201g|G（j3）a—201gT。

當(dāng)=與—lOcoT時(shí)，L（69）=—20；

當(dāng)/?時(shí)，L[a>）-0；

T

當(dāng)0=華時(shí)，L（（y）=-40

即高頻段可近似為斜率為-20〃/dec的直線，稱為高頻漸近線，低頻漸近線和高頻

漸近線的相交處的頻率點(diǎn)物=，，稱為轉(zhuǎn)折頻率（截止頻率），該處

-201g|G（jfyJ=-201gVT+T?—3.0316,ZG（j（y）=-45°□

相頻特性；相0）=-arctanTco

當(dāng)g:0—8時(shí)，NG（j①）:0->一］

當(dāng)0="時(shí)，ZG（j（y）=-^

5、一階微分環(huán)節(jié)：G（jg）=1+jTco=Vl+T2（y2e>arctanr,B

201g|G（j<yl=201g71+<y2T21,2噢的同

NG（，67）=arctanTa>

分析與慣性環(huán)節(jié)類似

另注意到一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性與慣

性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)頻率特

“NG詢

性圖的特點(diǎn)，兩者的對(duì)數(shù)幅頻曲線關(guān)于OdB

匹2

線對(duì)稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對(duì)稱。匹

4

0

由幅頻特性曲線可見，一階微分環(huán)節(jié)對(duì)高

01）110CUT100100010000a）

頻信號(hào)有較大的放大作用，這意味著系統(tǒng)抑制

噪聲能力的下降。

例5.5試證明：若兩系統(tǒng)的傳遞函數(shù)滿足倒數(shù)關(guān)系，它們的Bode圖關(guān)于橫坐標(biāo)軸

對(duì)稱。

證明：.9（s）=看/（加=冊(cè)

G（詞?…如=卬詞:二（詞

.??G(汝)=木,9(起=-/次。)

即20聞GO⑹=-20坨應(yīng)0⑹

故結(jié)論成立。

6、振蕩環(huán)節(jié)：

①低頻段：0《以時(shí)，略去式中色項(xiàng)，得：20國60砌。-209=0,即低頻漸

以

近線為OdB水平線；

②高頻段：>>q時(shí)，略去式中1和2g2項(xiàng)，得：

以

(\2

201g|G(/(y]?-201g—=-401gty+401g??

I?J

高頻漸近線為斜率為-40〃/dec的直線，兩條漸近線的交點(diǎn)為(q,0),即為轉(zhuǎn)折頻

實(shí)際，當(dāng)=，時(shí)，201g|G（j?^-201g2^

可看出此時(shí)精確值與J的大小有關(guān)，即J越小，201g|G0sJ越大（0〈約）。

2^—

相頻特性：NG（，。）=一arctan-----統(tǒng)方

1-f—

\an）

當(dāng)0—0時(shí)，NG（/（y）-0；

當(dāng)<y->oo時(shí)，NG（/（y）->一乃；

當(dāng)6y=0時(shí)，NG（j<y）=—（■。

同樣與J的大小有關(guān)，即J越小，曲線斜率變化越明顯；J越大，曲線過度頻率范

圍越寬。

7、延時(shí)環(huán)節(jié)：G（jco）=e-Jm

4.3.3對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的一般畫法

例4.6試證明：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于若干環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，其Bode圖可

由各環(huán)節(jié)的Bode圖疊加得到。

證明：G（s）=G］（5）-G2（.?）????Gn（.V）

有G（ja））=G［0訪.G?（四）?…Gn（jco）

|G（j叫e5切）=|G（J叫產(chǎn)仙）.陶（J叫產(chǎn)山⑹|G?（同.e，匈的）

可得|G（詞=G0叫@（j叫…\G?（㈤,

NG（jG=ZG,（加）+ZG2（/0）+???+NG”（而

即201g|G(j^=201g|G,(j^+20聞G2M+…+即lg|G“(j⑹

可見系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻/相頻特性圖為各環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性圖之疊加。

手工繪制步驟：

1）將傳遞函數(shù)表示為典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)，各傳遞函數(shù)（常數(shù)項(xiàng)化為1）相乘;

2）確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并由小到大標(biāo)示在對(duì)數(shù)頻率軸上；

3）分別畫出各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖、相頻曲線；

4）進(jìn)行疊加。

例4.7繪制系統(tǒng)G（s）=y--------、/60（，+：。）-------^的Bode圖。

'）（5+0.2X0.025.V2+5+1000）

解：（1）將傳遞函數(shù)化為尾1形式，求出各轉(zhuǎn)折頻率

Js,

3——+1

110

G(s)=

島+1)(0.0052s2+2xO.lx0.0055+1)

由此看出轉(zhuǎn)折頻率分別為0.2,10和200；

2）將頻率范圍劃分為（0,0.2］、［0.2,10］、［10,200］、［200,8）,各頻率段的近似對(duì)數(shù)

幅頻曲線方程為：

(0,0.2]：L(?)=201g3?9.54

5.斜率要發(fā)生變化，變化的范圍取決于典型環(huán)節(jié)的類型。如遇到慣性環(huán)節(jié)，斜率

改變一20dB/dec；

最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

有些系統(tǒng)中幅頻特性完全相同，但相頻特性卻不同，則可分為最小相位系統(tǒng)和

非最小相位系統(tǒng)。

1、定義：在復(fù)平面右半平面沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)，

具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)；反之，對(duì)應(yīng)非最小相位系統(tǒng)。

特點(diǎn)：

①不穩(wěn)定系統(tǒng)均為非最小相位系統(tǒng)；

②穩(wěn)定系統(tǒng)中包括最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)；

③幅頻特性相同的穩(wěn)定系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位變化范圍最小。

例4.8試比較系統(tǒng)G（s）=受n與G,（s）=工土，（0＜刀＜7,）的幅頻特性與相頻

心5+17^5+1

特性。

解系統(tǒng)G.Q的極點(diǎn)為-工，零

1

G|（J&）=

1+凡0

G2^j（o）=

1+jT2a）

兩系統(tǒng)的幅頻特性相同：|G。砌=寓（加）Y巖事

兩系統(tǒng)的相頻特性分別為：ZG）（=arctanTxco-arctanT2co

ZG,（j（y）=-arctanTxa>-arctanT2co

可以看出，系統(tǒng)G/s）的相位變化范圍小于系統(tǒng)Gz（s）；且對(duì)于任意。值，系統(tǒng)G/s）

的滯后總小于系統(tǒng)G2（s）的滯后。

結(jié)論：G（S）="電塔（H>,H）

Vis+-+1）…（小+1）

故相頻特性：ZG（j69）=arctanr.arctanTkco

i=lk=\

穩(wěn)定系統(tǒng)滿足（工，…Z>0,最小相位系統(tǒng)滿足.,弓…/“>o

有l(wèi)imZG（y\y）=-—,

?->oo2

K，/嚴(yán)

lim201g|G（j69）|=lim201g--------=lim[201gK-20（〃一〃2）但如

<v->a><v->oo（y-xx）"

非最小相位系統(tǒng)：零點(diǎn)中有正有負(fù)，設(shè)有4個(gè)零點(diǎn)分布在復(fù)平面右半平面，q個(gè)值

為負(fù)，有：

limZG（j6J）=—[m—q）--q--n=-—（n-m+2q）

3782222

lim201g|G0（yl=lim[201g/C,-20（n-w）lg（y]

3->811<W->oo

可看出當(dāng)0