攝像機一維標定加權(quán)線性算法研究版

StudyontheWeightedLinearAlgorithms CameraCalibrationwith1DStudyontheWeightedLinearAlgorithms CameraCalibrationwith1D KunfengADissertationSubmittedUniversityofChineseAcademyofInpartialfulfillmentoftheForthedegreeDoctorofInstituteofAutomation,ChineseAcademyof 獨創(chuàng)性聲明本人聲明所遞交的論文是我個人在導師指導下進獨創(chuàng)性聲明本人聲明所遞交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已表或撰寫過的研究成果。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論作了明確地說明并表示了謝意簽名 日期 關于論文使用授權(quán)的說明本人完全了解中國科學院自動化研究所有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：國科學院自動化研究所有權(quán)保留送交論文的復印件，允許論文被查閱和借閱；可布論文的全部或部分內(nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復制手段保存論（保密的論文在解密后應遵守此規(guī)定簽名 導師簽名 日期 摘摘攝像機標定是計算機視覺中的基本問題之一，它是三維重建、機器人導航、虛擬現(xiàn)實等視覺應用的必要步驟。在基于參考物的標定方法中，一維物體因制作簡單以及不發(fā)生自遮擋的優(yōu)點而被廣泛使用。本文討論如何利用加權(quán)技術進一步提高基于一維物體的攝像機標定的精度，主要貢獻能被概括如下：1．加權(quán)線性算法的一階誤差分析。根據(jù)一階誤差傳播理論，發(fā)現(xiàn)簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項不受權(quán)重的一階誤差項影響，進而得到一階誤差項的簡單形式。然后將此結(jié)摘摘攝像機標定是計算機視覺中的基本問題之一，它是三維重建、機器人導航、虛擬現(xiàn)實等視覺應用的必要步驟。在基于參考物的標定方法中，一維物體因制作簡單以及不發(fā)生自遮擋的優(yōu)點而被廣泛使用。本文討論如何利用加權(quán)技術進一步提高基于一維物體的攝像機標定的精度，主要貢獻能被概括如下：1．加權(quán)線性算法的一階誤差分析。根據(jù)一階誤差傳播理論，發(fā)現(xiàn)簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項不受權(quán)重的一階誤差項影響，進而得到一階誤差項的簡單形式。然后將此結(jié)論應用到最優(yōu)加權(quán)線性算法，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)加權(quán)算法與迭代最優(yōu)加權(quán)算法有相同的一階誤差項，因此最優(yōu)加權(quán)線性算法在保證一階精度的前提下極大地降低了計算量。這些結(jié)論是加權(quán)線性算法設計和分析的理論基2.基于一維物體的單攝像機標定的加權(quán)線性算法。為了提高現(xiàn)有線性標定算法的精度，提出了兩個加權(quán)線性算法。首先，為一維物體標記點的相對深度給出了一個相似不變的估計量，使用該估計量標準差的倒數(shù)作為絕對二次曲線的像的約束方程的權(quán)重，得到簡單加權(quán)線性算法；然后，對相對深度約束方程和絕對二次曲線的像的約束方程都進行最優(yōu)加權(quán)，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法。這兩個算法都是相似不變的，并且最優(yōu)加權(quán)線性算法與捆綁調(diào)整算法有相當?shù)臉硕ň?.基于線段的多攝像機標定和歐氏提升的加權(quán)線性算法。首先，通過對基于線段長度的非線性標定方程進行線性化，得到一個比現(xiàn)有線性算法有更高精度、更魯棒的線性算法；然后，基于一階誤差分析對這個新線性算法進行簡單加權(quán)和最優(yōu)加權(quán)，得到兩個更高精度的加權(quán)線性算法；最后，根據(jù)線段長度約束給出了一個加權(quán)非線性算法，進一步提高了加權(quán)線性算法的精關鍵詞攝像機標定，一維物體，加權(quán)線性算法，一階誤差-i摘-摘-iiisnecessarytomanyapplicationsofcomputervisionsuchas3Dreconstruction,mobilerobotnavigation,isnecessarytomanyapplicationsofcomputervisionsuchas3Dreconstruction,mobilerobotnavigation,andvirtualreality.Amongthecameracalibrationmethodsbasedonreferenceobjects,cameracalibrationwith1Dobjectsisusedwidelybecause1Dobjectshavetheadvantagethattheyareeasytomanufactureandimmunetoself-occlusion.Thisthesisinvestigateshowtouseweightedalgorithmstofurtherimprovetheaccuracyofcameracalibrationwith1Dobjects,andthemaincontributionsinclude:Thefirst-ordererrortermsofweightedlinearalgorithmsareanalyzed.Basedonthefirst-ordererrorpropagationtheory,wefindoutthatthefirst-ordererrortermofthesimplyweightedlinearalgorithmisnotinfluencedbythefirst-ordererrortermsoftheweights,andthenobtainacompactexpressionforitsfirst-ordererrorterm.Next,weapplythisconclusiontotheoptimallyweightedlinearalgorithm,andfindoutthatithasthesamefirst-ordererrortermastheiterativelyandoptimallyweightedlinearalgorithm,whichshowsthattheoptimallyweightedlinearalgorithmcanreducethecomputationalloaddramaticallywhileensuringthesamefirst-orderaccuracy.TheseconclusionsarethetheoreticalbasesofthedesigningandanalysingofweightedlinearTofurtherimprovetheaccuraciesoftheexistinglinearalgorithmsforsinglecameracalibrationwith1Dobjects,twoweightedlinearalgorithmsareproposed.First,asimilarity-invariantestimatorfortherelativedepthsofthemovingendpointsisintro-duced,andthereciprocalofthestandarddeviationoftheestimatorineachposeisusedastheweightofthecorrespondingconstraintontheimageoftheabsoluteconic(I-AC),resultinginasimplyweightedlinearalgorithm.Then,theconstraintequationsontherelativedepthsandtheIACarebothoptimallyweighted,resultinganoptimallyweightedlinearalgorithm.Thesetwoweightedlinearalgorithmsarebothsimilarity-invariant,andtheoptimallyweightedlinearalgorithmachievescomparableaccuracytothebundleadjustmentalgorithm.Twoweightedlinearalgorithmsformulti-cameracalibrationandEuclideanup-gradingwithsegmentsareproposed.First,thenonlinearcalibrationequationsderivedfromtheknowledgeofsegmentlengthsarelinearized,resultinganewlinearalgorith-mwhichachieveshigheraccuracyandrobustnessthantheexistinglinearalgorithms.Then,thisnewlinearalgorithmaresimplyweightedandoptimallyweightedbasedonthefirst-ordererroranalysis,resultingintwoweightedlinearalgorithmswithhigh-eraccuracy.Atlast,weproposeaweightednonlinearalgorithmbasedonthelengthconstraints,whichfurtherimprovestheaccuraciesoftheweightedlinearalgorithms.KeyWords:Cameracalibration,1Dobjects,weightedlinearalgorithm,first-ordererroranalysis-iii111223467799緒研究背景和意義............................111223467799緒研究背景和意義.............................預備知識.................................射影空間與視覺幾何................................................................................................................................................................................參數(shù)估計算法.................................................................... ........................................................................................................................................................................................................加權(quán)線性算法的一階誤差分析.....................加權(quán)齊次線性方程組...........................................實驗結(jié)果.......................................................... ......................本章小結(jié)..............................................................................................一維標定的基本原理......................-v.......................................................................................................歸一化對相對深度估計量的影響.......... ..........標記點個數(shù)對FNLA............................................相對深度的新估計量..新估計量的精度分析........................................J=3時的精度分析.................J>3時的精度分析...............................................................................................關于IAC.......................實驗結(jié)果.................................................................................................................................本章小結(jié)...............................................................................................................................................基于QoS的算法.........................C1S和C1A......................C2A.........................線性算法DLT-Like.........................................................線性化...........................................................DLT-Like算法與現(xiàn)有線性算法的關系.............................................. ......................-vi ............... .................................................................................................實驗結(jié)果...................................................................................................................................本章小結(jié)..........................................................................................i致-vii-viii-viii插圖目1-1-1-1-1-1-1-1-............插圖目1-1-1-1-1-1-1-1-......................3456678針孔攝像機模型.................................................雙目攝像機成像示意圖..................................................三種常用標定物............................. .........................2-二次曲線的圖像及用于擬合的30個圖.............3-3-3-3-3-3-3-3-3-一維標定物成像示意圖.........................k(J)隨J變化的趨勢...........................std(?(3))隨J.........................istd(?(3))和std(?(4))隨J...................ii模擬實驗中三個標記點時的精度比較.................模擬實驗中多個標記點時的精度比較.........................................................................4-4-4-4-4-4-4-4-4-............................................................標定物一個姿態(tài)在兩個視圖中的圖像.................146個線段的端點在兩個視圖中的圖...............重建的146個線段和攝像機姿.............................................-ix-x-x表格目1- .表格目1- .........................三種...........三種?...........一維標定線性算法的對比........................2-2-3--xi-xii-xii第一緒論 研究第一緒論 研究依據(jù)待標定攝像機的數(shù)目，攝像機標定可以分為單攝像機標定和多攝像機標定這兩類。通過使用預先標定的單攝像機進行自由移動以拍攝物體在多個角度下的圖像，可以重建出其三維結(jié)構(gòu)[1–3]、確定攝像機自身的移動軌跡[4–7、在物體的圖像中添加虛擬元素以實現(xiàn)虛擬現(xiàn)實8,9等。使用內(nèi)外參數(shù)預先標定的多攝像機，可以更加精確地獲得其公共視野中物體的三維結(jié)構(gòu)014]5,16]。在計算機視覺的以上應用中，攝像機的高精度標定對于系統(tǒng)的精度及魯棒性非常重要。為了獲得攝像機的高精度標定結(jié)果，通常需要使用度量信息已知的物體來作為標定物7–3]。在這些標定物中，一維物體具有制作簡單、攜帶方便及不會發(fā)生自遮擋等優(yōu)點，所以基于一維物體的攝像機標定尤其是多攝像機標定具有廣泛的應用價值。在攝像機標定過程中，一維物體的尺寸、標記點個數(shù)、運動次數(shù)都會影響最終的標定精度，其中一維物體應當在不超出攝像機的可視范圍的前提下盡量長；標記點應在保證其能被魯棒檢測并較精確定位的前提下盡量多；一維物體應當在不影響方便性的前提下使運動次數(shù)盡量多。當一維物體在一定運動次數(shù)下的圖像給定，并且提取出其標記點的帶噪聲的測量值，此時使用不同的算法利用這些測量值進行攝像機標定也會具有不同的精度?，F(xiàn)有線性算法的精度受圖像點噪聲的影響比較嚴重，因而本文的研究方向 預備在本節(jié)及本文后續(xù)章節(jié)中，標量使用斜體表示（例如x,y,z），列向量使用黑斜體表示（例如x,y,z），矩陣使用黑體表示（例如X,Y,Z），xT（XT）示向量x（矩陣X）-1 射影空間與視覺 歐式平面坐標系中的一個點可以用二維坐標來表示，例如點x2)T 射影空間與視覺 歐式平面坐標系中的一個點可以用二維坐標來表示，例如點x2)T直線的一般方程為ax1bx2c=0，其中(abc)為描述直線的參數(shù)。令x(x1x21)Tlabc)T，則直線的一般方程ax1bx2c0(1-lTx=在(1-1)如果對x或l的三個分量同時乘以一個非零系數(shù)k等式關系依然成立。于是，(x1x21)T和k(x1x21)T表示同一個點，(abc)T和k(abc)T表示同一條直線。這里稱x和l為分別為點和直線的齊次坐標，相應地稱?=(x1,x2)T為點的非齊次坐標。使用符號“∝”表示齊次坐標間的等價關系，即(x1x21)T∝k(x1x21)T，(abc)T∝k(abc)T。任意一個最后一維非零的三維向量(x1x2w)T(w6=0)都表示歐式平面一個點。另外定義無窮遠點為齊次坐標的最后一維為零的點，其齊次坐標的形式為(x1,2,0)T。所有無窮遠點都在一條直線上，這條直線稱為無窮遠直線，其坐標為∞=k(0,,1)T。所有歐式平面中的點加上無窮遠直線構(gòu)成二維射影空間，也稱為射影平面二維射影空間中的一個二次曲線上的點滿足C11x212C12x1x2+C22x22(C13x1C23x2C33=0，也可以寫成xTCx=0，其中C是二次曲線的系數(shù)矩C11C12C(1-=0仍然成立，這表示表示的也是二次曲線的齊次坐標。經(jīng)過點x且與C相切的直線由lCx給出。對于非退化二次曲線，C是可逆矩陣，因而x=C?1l，可以驗證lTC?1l=0。這x=H21H22H31H32(1--2H為k(0,0,1)T時，這種特殊的射影變換稱為仿射變換?？梢则炞C在仿射變H為k(0,0,1)T時，這種特殊的射影變換稱為仿射變換?？梢则炞C在仿射變下無窮遠點保持為無窮遠點，即無窮遠直線保持不變。對于一般的射影變換，無窮遠直線在射影變換下不再具有不變性。然而，射影變換保持點的共線關系[24,25]對圖像點做變換x0=Hx之后，則相應地直線l在變換后的坐標為l0H?Tl，二次曲線C在變換后的系數(shù)矩陣為C0=H?TCH?1。這里H?T是(H?1)T0及0T01(HT)?1的簡寫?？梢则炞C0T=0、0T0==0上、點在二次曲線上及直線與二次曲線相切依然成立，如圖1-1HCxl 圖1-二維射影變換保留點、直線、二次曲線 在三維歐式空間中，一個點的非齊次坐標為 =(X1,X2,X3)T，=k(X1X2X31)T。點與所在的平面的關系可以表示應的齊次坐標為為π1X1π2X2+π3X3+π4=0(π1π2π3π4)為表示平面的參數(shù)。令π=(π1π2π3π4)TπTX=(1- 0)T。所有無窮點都在一個平面上，這個平面稱為無窮遠平面，其坐標為π∞=k(0001)T三維射影空間中的一個二次曲面上的點滿足Q11X2+12Q12X1X2+Q22X22Q13X1X32Q23X2X3Q33X22(Q14X1Q24X2Q34X3Q44=03-3以寫成XTQX=0，其中QQ11Q12Q13Q(1-Q以寫成XTQX=0，其中QQ11Q12Q13Q(1-Q13Q23Q33Q14Q24Q34因為對Q中的元素整體乘以一個尺度因子之后，0仍然成立，這表示 表示的也是二次曲面的齊次坐標。經(jīng)過點X且與二次曲面Q相切的平為π=QX?？梢则炞C所有與Q相切的平面都滿足的是二次曲面QH11H12H13=0，此處Q?1H21H22H23H24H31H32H33H41H42H43XX=(1-其中變換矩陣H為任意4階可逆矩陣。當H的最后一行是k(0,0,0,1)T時，此時的即無窮遠平面保持不變。對于一般的射影變換，無窮遠平面在射影變換下不具有不變性對射影空間做(1-6)所示的射影變換后，平面π和二次曲面Q在變換后的坐標分別為π0H?Tπ和Q0H?TQH?1?？梢则炞Cπ0TX00、X0TQ0X00及0T01=0，于是點在平面上、點在二次曲面上及平面與二次曲面依然成立，如圖1-2QHXπ圖1-三維射影變換保留點、平面、二次曲面 針孔攝像機模型是最簡單的成像模型，其成像過程如圖1-3所示。在針孔-4YXXvuxCZ1-3針孔攝像機模像機模型中，空間點XXYZ1)T于Z軸且與原點距離為ff00fYXXvuxCZ1-3針孔攝像機模像機模型中，空間點XXYZ1)T于Z軸且與原點距離為ff00f00uv1ff1?x==(1-在數(shù)碼攝像機中，成像元件CCD或者CMOS傳感器作為成像平面。由于圖像坐標系的定義不同以及成像元件的制造工藝限制，通?？臻g點X的圖點x具有以下形γ0001?=K?(1-x其中K稱為攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣，fv)表示圖像平面上兩個坐標軸的尺度因子，主點(u0,v0)表示Z軸上點的像，γ[26]對下世界坐標系可以任意選擇。同一個空間點在攝像機坐標系下的坐標Xc世界坐標系下的坐標Xw存在以下關RXc(1-X1以上變換關系如圖1-4所示將方程(1-9)代入到(1-8)，得到世界坐標系下空間點Xw與其圖像點x的關為(1-x∝K[R,t]Xw=其中，P稱為攝像機的投影矩陣，R和t稱為攝像機的外參-5R,Z1-4世界坐標系與攝像機坐標R,Z1-4世界坐標系與攝像機坐標三維空間中絕對二次曲線?∞為無窮遠平面∞上的一條二次曲線，在歐式坐標系中?∞上的點X=(XYZ0)T滿足X2+Y2+Z2=0。絕對二次曲線?∞在攝像機P中的像為ω=K?TK?1，這里ω的形式與攝像機外參數(shù)R，t無 假設兩個攝像機的投影矩陣分別為P1=K1[I|0]和P2=K2[R|t]，此時世界 =K1RTt且e2 =K2t。空間點X在兩個攝像機中的圖像分別為x1=P1X及x2=P2X。圖1-5為雙目攝像機成像示意圖。XC21-5雙目攝像機成像示-6對于任意的空間點X，其兩個圖像點x對于任意的空間點X，其兩個圖像點x1及x2均滿足如下關(1-其中矩陣F[e2]×K2RK11=K?2TRK1[e1]×稱為兩個攝像機的基礎矩陣，其秩為2且e1和e2分別為F的右零向量和左零向量?；A矩陣F僅僅由兩個攝像機內(nèi)參數(shù)及相對姿態(tài)決定，與世界坐標系的選取無關。當兩個攝像機的內(nèi)參數(shù)已知時，定義兩個攝像機中的歸一化圖像點分為1=K11x1及2=K21x2，此時x01和x02滿足如下關0 Ex=(1- 其中矩陣E=[t]×R=R[RTt]×1-6多攝像機成像示當攝像機個數(shù)為n(n≥2)時，使用Pi=Ki[Ri|ti](i=12n)表示第i個攝像機的投影矩陣，xi=PiX表示X在第i個攝像機中的圖像，如圖1-6同n=2時如(1-11)所示關系類似，在n=3和n=4 攝像機標 單攝像機標定即確定其內(nèi)參數(shù)矩陣或者其投影矩陣。這個過程通常需要借助于一個度量結(jié)構(gòu)已知的物體即標定物。常用的標定物按照其標記點的維度分為三維標定物、二維標定物及一維標定物，如圖1-7所示。圖1.7(a)[17][27,28]-7(a)三維標(b)二維標(a)三維標(b)二維標1-7三種常用標定(c)一維標個能夠精確控制位移的平面圖案，這個標定裝置也等價與一個三維標定物。三維標定物上每個標記點的三維坐標是已知的，因而可以通過方程(1-10)求解攝像機投影矩陣并最終分解得到攝像機的內(nèi)外參數(shù)。使用三維標定物進行攝像機標定僅僅需要攝像機拍攝其一幅圖像，并且因為使用三維標定物容易獲得較高的標定精度，所以三維標定物常用于攝像機高精度標定中。三維標定物雖然在標二維標定物,19]中的相對位置已知的標記點都位于一個平面內(nèi)，如圖1.7(b)所示。標定攝像機的五個內(nèi)參數(shù)需要拍攝二維標定物至少3次不同姿態(tài)的圖像。這個標定過程通常分為三步：首先計算二維標定物上標記點在歐式坐標系下的坐標與其在每幅圖像中對應投影點坐標的單應矩陣，然后利用這些單應矩陣構(gòu)造關于絕對二次曲線的像的線性約束并求解，最后利用絕對二次曲線的像分解得到內(nèi)參數(shù)矩陣。攝像機不同姿態(tài)的外參數(shù)也可以在求解內(nèi)參數(shù)矩陣后方便地恢復出來。二維標定物的制作工藝比三維標定物簡單因此造價更低，并且也更容易制作成較大的尺寸。對于一般的標定精度要求，甚至可以使用普一維標定物0–22,29]由多個共線的點構(gòu)成，如圖1.7c)所示。在標定單攝像機時，一維標定物上至少需要有三個距離已知的標記點，并且需圍繞其中一個標記點旋轉(zhuǎn)或者保證其中一個或者全部標記點在平面內(nèi)運動。一維標定的一般步驟是首先構(gòu)造對絕對二次曲線的像的線性約束然后求解并分解得到攝像機內(nèi)參數(shù)，在這個過程中一維標定物的運動參數(shù)也可以恢復出來。一維標定物的制作非常簡單，僅僅需要固定幾個標記點在一個直桿上。一維標定物也容易制作成較大的尺寸，并且其占用的空間小、方便攜帶。由于一維標定物具有以上優(yōu)點，近年來基于一維標定物的攝像機標定獲得了廣泛的關注[30–32]-8 在多攝像機標定方法中，自標定方法不需要借助于單攝像機標定時所 在多攝像機標定方法中，自標定方法不需要借助于單攝像機標定時所必需的標定物，然而需要對攝像機的內(nèi)參數(shù),33–36]或者攝像機的運動方式7–39]做一些約束。自標定方法一般通過求解絕對二次曲線的像或者絕對二次曲面來升級射影重建到歐式重建并標定攝像機的內(nèi)外參數(shù)。由于自標定方法不需要借助于標定物，使用自標定方法進行多攝像機標定具有較大的靈活性。但是，一般情況下自標定方法的標定精度不高，所有其大部分應用都是在不方在使用標定物（三維標定物、二維標定物及一維標定物）進行多攝像機標定時，可以通過以下步驟完成整體標定：首先分別標定各個攝像機的內(nèi)參數(shù)及其相對于標定物的外參數(shù)；然后把各個攝像機的外參數(shù)統(tǒng)一到一個公共的世界坐標系中,41]。以上過程通常需要多個攝像機同時觀察到標定物上的所有標記點，否則統(tǒng)一各個攝像機的外參數(shù)到一個公共的世界坐標系時需要增量式地逐步添加以上攝像機，這個增量式過程會帶來誤差累計而影響整體標定精度。當待標定的多個攝像機環(huán)繞其公共視野區(qū)域時（如圖1-8所示），使用三維物體和二維物體會因為自遮擋而造成標記點不能同時被全部攝像機觀察到，然而一維物體可以從各個角度觀察到而無自遮擋情況。在使用一維物體進行多攝像機標定時，一維標定物可以做任意運動42–47]，并且其標記點個數(shù)可以進一步減少到兩個[23]。只有兩個標記點的一維標定物比傳統(tǒng)的一維標定物更容易制作，但是現(xiàn)有的標定算法3]的精度受圖像點噪聲影響較大且容易發(fā)生標定失敗的情況，因此本文將研究如何提高使用兩個標記點的一維物體做多攝像機標參數(shù)估計算在第1.2.2節(jié)中的攝像機標定問題以及計算機視覺中其他參數(shù)估計問題-91-8多攝像機系統(tǒng)示數(shù)據(jù)xi(i=121-8多攝像機系統(tǒng)示數(shù)據(jù)xi(i=12N)與模型的參數(shù)的關系可以寫成Fx)=0的形式，因此以上參數(shù)估計問題的任務就是從數(shù)據(jù)xi反推出參數(shù)值θ。通常從圖像中提取得到的觀測值xi會不可避免地存在定位誤差，因而當數(shù)據(jù)的個數(shù)N超過確定θ所需的最少數(shù)目時，一般不存在θ使得Fxi;θ)=0對于所有的xi都成立。此時，使用不同的算法來估計θ會得到不同的估計精度 三焦張量等）的估計問題中，數(shù)據(jù)xi與模型的參數(shù)θ的關系F(xiθ)=0可以寫ξTθ=(1-i二次曲線一般方程為C11x21+2C12x1x2+C22x2+2(C13x1+C23x2)2C330ξ=(x2,2x1x2,x2,2x1,2x2,12θ=(C11,C12,C22,C13,C23,(1-令平面標定算法[18]中圖像點與棋盤格標記點的單應矩陣H-10二次曲線的像ω分別h11h12h31h32h33ω11ω12ω12ω22ω二次曲線的像ω分別h11h12h31h32h33ω11ω12ω12ω22ω13ω23Hω(1-則H與ω滿hTωh2=1T(1-2=1=(h11h21,h11h22+h12h21,h12h22,h11h23+h13h21,+h13h22,ξ(2)=,2h11h12,h2,2h11h13,2h12h13,2θ=(ω11,ω12,ω22,ω13,ω23,(1-例1.1及例1.2分別給出了在二次曲線擬合和攝像機一維標定的線性算法中參令矩陣A為[ξ1,ξ2,...,ξn]T，于是從(1-13)得到關于θ的齊次線性方程Aθ=(1-因為θ為零向量時精確滿足方程組(1-18)，但這個零向量不是有意義的解，所需要對θ的尺度施加約束。在約束θTθ=1下，方程組(1-18)2=argmin s.t.θθ=(1-θ通常較低。文獻[48]提出對數(shù)據(jù)xi(1-=i=1,2,...,i-11使用歸一化的數(shù)據(jù)點x0構(gòu)造歸一化參數(shù)θ0的方iA0θ0=然后通過奇異使用歸一化的數(shù)據(jù)點x0構(gòu)造歸一化參數(shù)θ0的方iA0θ0=然后通過奇異值分解來獲得θ0在尺度約束(1-0=1下的最小二乘解D0D對進行反歸一化得到參數(shù)θ的估計量θNLS1。這種對數(shù)據(jù)進行歸一化處理文獻[49–57]基于對θ估計量偏差的分析提出直接對θ約束θTNθ=1下，計算方程組(1-18)的最小二乘解θNLS2=argmin(1-s.t.θNθ=θMθ=(1- 在估計θ的線性算法中，最小二乘解對應的目標函X (1-i X (1-i其中加權(quán)矩陣W=Diag(w1w2wn)。最小化目標函數(shù)(1-25)與最小化(1-都需要約束θ的尺度。目標函數(shù)(1-25)在約束θTNθ=1θWLS=argmin(WAθ)TWAθs.t.θTNθ=(1-θ方法是使用數(shù)據(jù)點xi(i=12n)不確定度來確定相應的權(quán)重wi。權(quán)重wi設-12據(jù)xi的不確定度。在文獻[20,58]中，權(quán)重wi1wi=(1-其中)為xi的協(xié)方差矩陣的跡。利用這種權(quán)重計算方法的加權(quán)線性算稱為簡單加權(quán)線性算法，該算法不需要對θ的據(jù)xi的不確定度。在文獻[20,58]中，權(quán)重wi1wi=(1-其中)為xi的協(xié)方差矩陣的跡。利用這種權(quán)重計算方法的加權(quán)線性算稱為簡單加權(quán)線性算法，該算法不需要對θ的初始估計，且在加權(quán)求得θWLS后不需要迭代。簡單加權(quán)線性算法的精度能夠比未加權(quán)的線性算法的精度有顯著提高且計算量基本相當。然而，在不同數(shù)據(jù)點xi具有相同的不確定度時，簡在文獻[51,59]的迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，計算權(quán)重wi的代數(shù)殘差與幾何殘差在一階近似中等價，其中權(quán)重wi1wi=(1- ?ξTixi組得到θ的新估計量之后，文獻[51,59]更新權(quán)重以迭代計算θ的新估計量，直至nVi(1-?ξV?ξ|Ti| iθˉ表示xθξ x=其中，ξ 分別表示、ˉ處的衡iiiiii以上迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中的迭代加權(quán)過程會引入較大的計算量。文獻60]提出利用θ的初始估計量計算最優(yōu)權(quán)重i，在求解加權(quán)線性方程組之后不再迭代，這種非迭代的最優(yōu)加權(quán)線性算法避免了使用迭代加權(quán)因而計算量更小。然而，現(xiàn)有文獻未對其估計量的一階誤差項的協(xié)方差矩陣作分析。實際上，不采用迭代加權(quán)的最優(yōu)加權(quán)線性算法解的一階誤差項的協(xié)方差矩陣也等于CR簡單加權(quán)線性算法以及最優(yōu)加權(quán)線性算法比線性算法具有更高的精度，并且都比基于迭代優(yōu)化的非線性算法–69]的計算量小，因而在對計算量要求嚴格的應用場合具有更大的優(yōu)勢。另外，非線性算法也需要其提供的初始值，一般情況下精度高的初始值會增加非線性算法收斂到全局最優(yōu)解的可能，同時也會降低非線性算法的迭代次數(shù)。本小節(jié)三種加權(quán)線性算法的對比，如表1-1-13示一不需一能需多能1-1加權(quán)線性算法的論示一不需一能需多能1-1加權(quán)線性算法的論文的研究內(nèi)容及組織論文的1、加權(quán)線性算法的一階誤差分析。首先對簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項做分析，發(fā)現(xiàn)權(quán)重的一階誤差項不影響加權(quán)線性算法的一階誤差項，從而得到計算簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項的簡潔表達式；然后將以上結(jié)論應用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同的一階誤差項，因而最優(yōu)加權(quán)線性算法可以在不影響精度的前提下降低了計算量2、基于一維物體的單攝像機的加權(quán)線性算法。首先為一維標定物移動端標記點的相對深度提出一個具有相似不變性的估計量，并基于該估計量提出一個標定精度更高的線性算法；然后利用相對深度估計量標準差的倒數(shù)對該線性算法中線性方程組進行加權(quán)，得到一個簡單加權(quán)線性算法；最后對相對深度和絕對二次曲線的像的線性方程組都進行最優(yōu)加權(quán)，進而提出一個最優(yōu)加權(quán)線性算3、使用線段標定多攝像機的加權(quán)線性算法。線段是只有兩個標記點的一維物體，在多攝像機標定中不易發(fā)生自遮擋。首先為使用線段進行歐式升級并標定多攝像機的約束方程提出新的線性化方法，進而得到一個新的線性算法；然-14對以上線性算法的結(jié)果進行優(yōu)化，最終得到精確的歐式升級和多攝像機系統(tǒng)標定的結(jié)果。論文的對以上線性算法的結(jié)果進行優(yōu)化，最終得到精確的歐式升級和多攝像機系統(tǒng)標定的結(jié)果。論文的-15-16-16第二章第二加權(quán)線性第二章第二加權(quán)線性算法的一階誤差 引一般情況下計算機視覺問題中的圖像點測量值都不可避免地存在定位誤差，這些定位誤差也稱為圖像點測量值的噪聲。計算機視覺問題使用這些帶噪聲的圖像點測量值來進行參數(shù)估計，得到的估計量也會受到這些噪聲的影響而產(chǎn)生估計誤差。參數(shù)估計量的好壞可以使用其誤差的統(tǒng)計特性來衡量。當待估計參數(shù)為標量時，常用的統(tǒng)計特性有偏差、標準差、方差、均方根誤差等；當待估計參數(shù)為一個向量時，常用的統(tǒng)計特性有偏差向量、協(xié)方差計算機視覺中許多基本問題（例如估計單應矩陣、基礎矩陣、攝像機投影矩陣等）都存在線性算法。線性算法能直接給出參數(shù)的估計量且計算量較小，又可以作為其他非線性算法的初始值，因而具有廣泛的應用。線性算法雖然計算簡單，然而其估計精度通常比非線性算法低。為了進一步提高線性算法的精度，對其線性方程組進行加權(quán)進而可以得到加權(quán)線性算法。對線性算法和加權(quán)線性算法進行統(tǒng)計意義下的精度分析，可以給出其誤差的可能范圍。另外，通過對比線性算法和加權(quán)線性算法誤差的不同可能范圍，也有助于研究加權(quán)對精在圖像點噪聲的幅度相對較小的情況下，線性算法解的偏差一般都小于其標準差7]，因而此時可以使用其一階誤差項來近似表示誤差。當線性算法使用齊次線性方程組時，文獻,58]給出了其一階誤差項的簡潔形式；當線性算法使用非齊次線性方程組時，文獻[70]基于奇異值分解的一階誤差傳播模型來計算其一階誤差項。由于奇異值分解的一階誤差傳播模型計算量大，所以有必在分析加權(quán)線性算法的一階誤差項時，理論上可以將其加權(quán)線性方程類比線性算法中的線性方程組，然后應用文獻,,70]權(quán)線性算法的權(quán)重也受噪聲影響時，采用以上方法求解一階誤差項的過程會變得更加復雜。文獻]給出了迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的一階誤差項，但是沒有-17誤差項的簡潔形式。然后，分別對使用齊次線性方程組和使用非齊次線性方程組的簡單加權(quán)線性算法解進行分析，得出簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項不受權(quán)重的一階誤差項影響的結(jié)論。最后，通過將這一結(jié)論應用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項的參數(shù)估計量的協(xié)方在參數(shù)估計算法中參數(shù)θ的估計量是關于圖像點測量值x的函數(shù)，表示ˉ=ˉ?(2-誤差項的簡潔形式。然后，分別對使用齊次線性方程組和使用非齊次線性方程組的簡單加權(quán)線性算法解進行分析，得出簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項不受權(quán)重的一階誤差項影響的結(jié)論。最后，通過將這一結(jié)論應用到最優(yōu)加權(quán)線性算法中，得到最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項的參數(shù)估計量的協(xié)方在參數(shù)估計算法中參數(shù)θ的估計量是關于圖像點測量值x的函數(shù)，表示ˉ=ˉ?(2-?x+O(?xx)?θ?表示x的偏導數(shù)矩陣或者Jacobian?|x=xˉ表示在x=ˉ處量，O(?xT?x)表示?x的二階無窮小項。在?x趨向于零的過程中，?θ?由? ?x來主導。因而在圖像點真實值一階項ˉ的鄰域內(nèi)可以使?(2-??定義圖像點測量值x的協(xié)方差矩陣為Vx，則其誤差項?x的協(xié)方差矩陣也為Vx。利用表達式(2-2)中的近似，可以得出的協(xié)方差矩陣??(2-表達式(2-3)表明計算參數(shù)估計量的協(xié)方差矩陣Vθ?時，關鍵在于計算其?|ˉ不道，通常使用以下兩種方法來近似?x|x=xˉ：第一種方法是在測量值x差分計算偏導數(shù)矩陣；第二種方法是首先用解析法求出?θ?的表達式，然后代?作為[58,71]線性算法的一階誤齊次線當線性算法中的參數(shù)θ是齊次形式時，使用圖像點xi(i=12n)-18第二章造一組關于θAθ=方程組(2-4)在尺度約束θTNθ=1(2-2=argmin(2-s.t.θNθ=θ其中N為對稱矩陣。當矩陣N第二章造一組關于θAθ=方程組(2-4)在尺度約束θTNθ=1(2-2=argmin(2-s.t.θNθ=θ其中N為對稱矩陣。當矩陣N取值為單位矩陣時，對應的線性算法就性算法。當對圖像點使用Harty的歸一化方法48]進行預處理之后再計算最小二乘解時，也存在一個N使得帶約束的最小二乘算法與歸一化線性算法等價。文獻9–7給出了更多的關于的選取。另外，文獻7]也指出無論怎么選取?1,?2,,?n獻[57,58]中給出的線性算法解的一階誤差項的形式，很容易推導出θLS關于系數(shù)矩陣A中元素的偏導數(shù)在x的真實值ˉ處的衡量：?ˉ(2-[25]，符號“?”其中vec(A)為A中的元素按行優(yōu)先的順序組成的一個列向量 [72]，ˉˉA)(2-= ?θˉˉ+T這里?vec(A)具有分塊對角的形式，其第i個子矩陣是 。在將圖像測量數(shù)據(jù)x??i入到(2-7)估計真實值處的偏導數(shù)時，因為矩陣偽逆的計算依賴矩陣秩的確所以在計算ˉ+時需考慮到ˉ不滿秩。令參數(shù)θ的維度為r，則ˉ的秩為ˉ?1，非齊次線性方當線性算法中的參數(shù)使用非齊次形式時，使用圖像點xi(i=12n)以構(gòu)造一組關于的約束方程ξ0T?(2-(i=1,2,...,i令矩陣A0為[ξ10ξ20ξn0]T，向量b為[b1b2bn]T，于是得到關于的非齊次A0?(2-在計算非齊次線性方程組(2-9)的最小二乘解時，不需要對的尺度做約束。非-19次線性方程組(2-9)的最小二乘解b(2-為了計算θ?LS對A0中元素的偏導數(shù)，首先計算+中元素對A0中元素的偏數(shù)?+ ?T01T)=?0?0=(I?A0)?T01)?I]?T[(0)?0?T次線性方程組(2-9)的最小二乘解b(2-為了計算θ?LS對A0中元素的偏導數(shù)，首先計算+中元素對A0中元素的偏數(shù)?+ ?T01T)=?0?0=(I?A0)?T01)?I]?T[(0)?0?T?0?000000=?(I?A)[(AA ?(AA ][(I?A+ ??I]?T0)0A)0)?0(0A)0T?T[(0A)1(0A)?0?I]?T?0?+T0T]?T?I]?T0A++T0)=?0?0(2-0)+0T?T++T?0然后根據(jù)復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法θ?LS對A0中元素的偏導數(shù)??LS ?+?0?0){[(A0)+0T?T++T?0+0T+bT)]?T0)+A?0?T?0?T T00T(2-=[(AA +b— ˉˉˉ?LS?[ˉ0+(2-θ?LS對b的偏導數(shù)在真實值ˉ處的結(jié)果?=ˉ+(2--20第二章θ?LS關于x的偏導數(shù)在真實值ˉ處衡量??(ˉ?T+ˉ+(2-0這里具有分塊對角的形式，其第i個子矩陣是ξi。在將圖像測量數(shù)據(jù)x??iˉ以直接用0第二章θ?LS關于x的偏導數(shù)在真實值ˉ處衡量??(ˉ?T+ˉ+(2-0這里具有分塊對角的形式，其第i個子矩陣是ξi。在將圖像測量數(shù)據(jù)x??iˉ以直接用0+來近似ˉ0。 加權(quán)線性算法的一階誤差分加權(quán)齊次線性方在對齊次線性方程組(2-4)進行加權(quán)時，通常做法是在對θ的尺度施加約束條件下最小化代數(shù)殘差的加權(quán)范數(shù)，即θ估計量的一般形θWLS=argmin(Aθ)TMAθs.t.θTNθ=(2-θ其中矩陣M通常是對稱正定矩陣，因而可以對其進行Cholesky分解表示為=WTW。于是，可以得出θWLS是下述加權(quán)線性方程組在約束=1(2-在文獻[51,59,60]的加權(quán)線性算法中，加權(quán)矩陣W會受到數(shù)據(jù)點x噪聲的影響，因此本節(jié)接下來分析加權(quán)矩陣W的一階誤差項如何影響θWLS的一階誤差項。根據(jù)復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則，在數(shù)據(jù)點的真實值量θWLS關于x的偏導數(shù) ˉ處，估 ?θWLS?vec(W)+(2-.= 估計量θWLS在x=ˉ處關于vec(W)和vec(A)=[?(ˉˉT](Iˉ?(ˉˉ)+(TˉT)=(2-=-21[?(ˉˉ][ˉ?[(ˉˉˉ(2-因此，無論加權(quán)矩陣W是否受數(shù)據(jù)點x噪聲的影[?(ˉˉ][ˉ?[(ˉˉˉ(2-因此，無論加權(quán)矩陣W是否受數(shù)據(jù)點x噪聲的影響，表達式(2-18)都可以簡寫?{[(ˉˉˉˉT}(2-將測量數(shù)據(jù)x代入到表達式(2-21)，估計真實值ˉ處的偏導數(shù)矩陣時同第2.3.1節(jié)類似。最后，可以利用表達式(2-21)及(2-3)估計出θWLS的協(xié)方差矩陣令(k≥1)為第k次迭代得到的估在迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，計量，表示由線性算法提供的初始值θLS。使用(k≥0)計算WAθ的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，是代數(shù)殘差的最優(yōu)加權(quán)矩陣即W(k)=(k≥0)在圖像點真實值x=ˉ )≥opt。使用最優(yōu)加權(quán)矩陣W(k)opt進行加權(quán)得到的新估計量為 ≥真實值x=ˉ ?{[(ˉˉˉˉT}(2-(k≥根據(jù)表達式(2-22)，可以得出下述結(jié)論結(jié)方差矩陣能夠達到理論下限VKCR結(jié)論2.1表明，在齊次線性方程組的迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，使用一次最加權(quán)非齊次線性方程同上小節(jié)中的加權(quán)齊次線性方程組(2-17)類似，加權(quán)的非齊次線性方程組A0?(2-0+b(2--22第二章根據(jù)復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則，估計量?WLS關于測量值x的偏導數(shù)在實值x=ˉ!?WLS??0=++ ?0(2-，?WLˉ0第二章根據(jù)復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則，估計量?WLS關于測量值x的偏導數(shù)在實值x=ˉ!?WLS??0=++ ?0(2-，?WLˉ0?WLS?=+[?(ˉˉ0)+?Tˉ0T]ˉˉ0)+(IbT)?(ˉˉ0)+[?Tˉˉˉ0)+ˉˉˉ(??TˉˉT=(2-?WLS?WLS?0=A0[?(ˉˉ0)+?Tˉ?[(ˉˉˉ(2-??==(ˉˉ0+ˉ(2-表達式(2-26)表明加權(quán)矩陣W的一階誤差項不影響?WLS的一階誤差項。通過把表?WL陣在真實值xˉ??{[(ˉˉˉ?T+[(ˉ0)+ˉ(2-在將測量值x代入到(2-29)中估計真實值ˉ處的偏導數(shù)時，因為矩陣ˉAˉ0和WA0具0+(ˉˉ及(2-3)可以估計出?WLS的協(xié)方差矩陣。在迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法中，令?(k(k≥1)為第k次迭代得到的估計量表示由線性算法提供的初始值θ?LS。使用?(k(k≥0)計算的最-23是代數(shù)殘差A0?(k優(yōu)加權(quán)矩陣—b的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，即W(k)=?((k≥0)在圖像點真實值xˉ是代數(shù)殘差A0?(k優(yōu)加權(quán)矩陣—b的逆協(xié)方差矩陣的Cholesky分解，即W(k)=?((k≥0)在圖像點真實值xˉ(k≥0)的真實值都相等，其真 0A?都等于其真實值θ，所以最優(yōu)加權(quán)矩W實值在這里表示為opt。使用最優(yōu)加權(quán)矩陣W(kop)t進行加權(quán)得到的新估計量表示為?(k1。根據(jù)本小節(jié)之前對加權(quán)線性算法解的一階誤差分析，當k?(kˉ?kˉˉopt]?θ =?ˉˉ0)+ˉ根據(jù)表達式(2-30)，可以得出下述結(jié)論k≥(2-結(jié)矩陣能夠達到理論下限VKCR結(jié)論2.1和2.2表明，無論最優(yōu)加權(quán)線性算法使用齊次線性方程組還是非齊次 實驗本節(jié)以從多個圖像點擬合二次曲線為例，驗證對線性算法和加權(quán)線性算法的一階誤差分析。從圖像點擬合二次曲線與攝像機標定中估計絕對二次曲線的像具有類似的形式，因而對二次曲線擬合的討論具有一般意義。本節(jié)待擬合的二次曲線為一個橢圓，其中心坐標為(25,25)T，半長軸和半短軸的長度別為20和8像素，且長軸與v軸的夾角為的30個圖像點如圖2-1所示齊次形二次曲線的方程為C11u2+2C12uv+C22v2+2(C13u+C23v)+C33=0，其中θ=(C11C12C22C13C23C33)T為二次曲線的參數(shù)，(u,v)T(u2,2uivi,v2,2ui,2vi,1)θ=ξTθ=(2-iii-24500u圖2-1二次曲線的圖像及用于擬合的30個圖對圖2-1中的500u圖2-1二次曲線的圖像及用于擬合的30個圖對圖2-1中的橢圓進行參數(shù)化時，齊次形式θ的真實5.679×3.496×4.193×?2.294×?1.922×109.996×ˉ假設30個圖像點的噪聲為獨立同分布的零均值高斯噪聲且標準差則由這30個圖像點的非齊次坐標組成的60維測量數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣 σ2I60×60。使用一階誤差分析，得出線性算法解θLS、最優(yōu)加權(quán)線性算為為-25v解θOWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解θOWLS的協(xié)方差矩陣的預測值分別0.3682?0.0789?0.0789解θOWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解θOWLS的協(xié)方差矩陣的預測值分別0.3682?0.0789?0.0789?0.0101?3.9731 ?0.0577Vpredict=10?80.3228?0.0653?0.0653?0.0082?3.5395 ?0.0529=Vpredict=10?8 V 、 以上對角線元素可以看出θOWLS1和θOWLS中參數(shù)的方差小于θLS中對應參數(shù)的 p為0.8767,0.8716,0.8500,0.8936,0.8536,0.9353 0.3683?0.0792?0.0792?0.0099?3.9660 ?0.0576-26第二章0.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5324 ?第二章0.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5324 ?0.05270.3227?0.0654?0.0654?0.0081?3.5323 ?0.0527?8=10 協(xié)方差矩陣預測相應的測量VritS1Vpdt值Vθeasure、Vmθeasure、Vmeasure這里為了評價預測值與測量VVk?kFkVkF 差別程度0.1314%0.1295%表2-1三種的協(xié)方差矩陣預測值與測量值的差別另外，最優(yōu)加權(quán)線性算法和迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的解θOWLS1和θOWLSVθOWLS1—F=VF非齊次形式參在對二次曲線C11u2+2C12uv+C22v2+2(C13u+C23v)+C33=0進行參數(shù)化時也可以采用非齊次形式參數(shù)化。因為θ=(C11C12C22C13C23C33)T齊次形式，所以在本小節(jié)中固定其最后一維C33為1。于是，新的參數(shù)向量-27??220θ=ξθ=??220θ=ξθ=(2-(u,v,v,,)1iiiiiii對圖2-1中的橢圓進行參數(shù)化時，非齊次形式的真實值5.682×3.498×?4.195×假設30個圖像點的噪聲為獨立同分布的零均值高斯噪聲且標準差為σ，則由這30個圖像點的非齊次坐標組成的60維測量數(shù)據(jù)x的協(xié)方差矩陣為Vxσ2I60×60。使用一階誤差分析，得出線性算法解?LS、最優(yōu)加權(quán)線性算法解?OWLS1、迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法解?OWLS的協(xié)方差矩陣的預測值分別0.3686?0.0789?0.07890.1316Vpredict=10?8?0.0101?3.97941.7848?2.67990.3232?0.0653?0.06530.1147=Vpredict=10?8?0.0082?3.5452 1.5667?2.2861、 LS、 θ c以上對角線元素可以看出?OWLS1和?OWLS中參數(shù)的方差小于θ?LS中對應參數(shù)的prdict 和Vpr?edict中的對角線元素與Vpred?ict中的對應對角線元素的比 θθ 零均值高斯噪聲，以測量各個算法解的協(xié)方差矩陣。θ?LS、?OWLS1、?OWLS的-28第二章?0.07920.1316Vmeasure=10?8?0.0099?3.9722第二章?0.07920.1316Vmeasure=10?8?0.0099?3.9722?2.6796?0.06550.1147?0.0081?3.5379?2.2859?0.0655?3.5379協(xié)方差矩陣預測相應的測量值 rdictLS、 、VOWLSc值Vm?easure、Vme?asure、Vmea?sure都非常接近。這里為了評價預測值與測量θθ θ值之間的差別程度，對于每一個估計量θ?k VkF別程度。三個估計量協(xié)方差矩陣的預測值與測量值的差別程度如表2-2所示 0.1314%0.1285%表2-2三種θ的協(xié)方差矩陣預測值與測量值的差別另外，最優(yōu)加權(quán)線性算法和迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法的解θ?OWLS1和θ?OWLS VF=VF-29 本章 本章本章主要研究計算線性算法和加權(quán)線性算法受圖像點噪聲影響的一階誤差項。首先，通過對使用非齊次線性方程組的線性算法進行分析，給出其一階誤差項的簡單形式。然后，分別對使用齊次線性方程組和非齊次線性方程組的簡單加權(quán)線性算法進行分析，發(fā)現(xiàn)其一階誤差項不受權(quán)重的一階誤差項影響，從而得到簡單加權(quán)線性算法的一階誤差項的簡潔形式。最后，通過將這一結(jié)論應用于最優(yōu)加權(quán)線性算法，得出最優(yōu)加權(quán)線性算法與迭代最優(yōu)加權(quán)線性算法具有相同一階誤差項的結(jié)論，進而證明最優(yōu)加權(quán)線性算法的一階誤差項的協(xié)方差矩陣也能達到理論下限CR。本章也從大量模擬實驗中統(tǒng)計出的各個算法解的協(xié)方差矩陣測量值，并將其與使用一階誤差分析得到的預測值相比較，實驗結(jié)驗證了以上結(jié)論的-30第三基于一第三基于一維物體的單攝像機標定的加權(quán)線性 引單攝像機標定即確定它的內(nèi)參數(shù)矩陣，是三維重建中重要的一步。使用場景在多個未標定攝像機下的投影對應關系只能得到這個場景的射影重建。如果預先對這些攝像機的內(nèi)參數(shù)進行標定，則可以得到這個場景的歐式重建。攝像機標定方法通?？梢员环譃閮深悾鹤詷硕ǚ椒ê突跇硕ㄎ锏姆椒?。自標定方法不需要對場景幾何結(jié)構(gòu)的任何知識但需要對攝像機的內(nèi)參數(shù),33–36]或者攝像機的運動方式的一些先驗知識37–39]；基于標定物的方法使用度量結(jié)構(gòu)已知的標定物，例如三維標定物7,27,28]、二維標定物,19]和一維標定物,43,46]。同自標定方法相比，基于標定物的方法由于利用度量信息通常能提供更高的標定精度。使用一維物體進行單個攝像機標定最早由文獻0]提出，這里的一維物體至少有三個距離已知的標記點，通過圍繞其中一個固定的標記點的旋轉(zhuǎn)進行攝像機標定。一維物體在每個姿態(tài)下的圖像都可以為絕對二次曲線的像（iagefthesolteconic,C）提供一個線性約束。當給定六個以上姿態(tài)的圖像后就可以線性求解出C，進而標定攝像機的五個內(nèi)參數(shù)并重建一維物體上的標記點。當使用攝像機的簡化模型使得待標定的內(nèi)參數(shù)個數(shù)減一維標定物的尺寸較大且不易發(fā)生自遮擋，相比于平面標定物或者三維標定物，一維物體在攝像機標定中具有更加靈活的優(yōu)點，因而被廣泛應用。文獻]對使用旋轉(zhuǎn)一維物體進行攝像機標定時的退化配置進行了簡單的分析，而文獻73]對退化配置進行了更深入的研究。文獻21]從幾何的角度對文獻20]中的標定方程進行改寫，從而得到了一個與原來算法精度相當?shù)男滤惴?。另外，文獻]也指出當一維物體在一個平面內(nèi)運動時也能進行攝像機標定。在文獻[22,29]一維物體上的一個標記點在平面內(nèi)運動。一維物體除了可以用于標定普通的針孔攝像機，也可以用于標定反射折射攝像機74–77]，此時一維物體可以做任意2–在標定單個針孔攝像機時，使用一維物體的旋轉(zhuǎn)僅僅需要一個固定的支-31點，比約束所有或者單個標記點在平面內(nèi)運動更加方便實現(xiàn)。由于文獻0]中的線性算法對圖像點噪聲非常敏感，并且捆綁調(diào)整算法使用其進行初始化后迭代優(yōu)化時也容易陷入到局部極值，所以許多研究工作專注于提高其標定精度。文獻]提出使用圖像點歸一化8點，比約束所有或者單個標記點在平面內(nèi)運動更加方便實現(xiàn)。由于文獻0]中的線性算法對圖像點噪聲非常敏感，并且捆綁調(diào)整算法使用其進行初始化后迭代優(yōu)化時也容易陷入到局部極值，所以許多研究工作專注于提高其標定精度。文獻]提出使用圖像點歸一化8]做預處理來提高線性算法的精度，該算法顯著地提高了標定精度。為了避免線性算法得到的C的估計量不是正定矩陣而造成不能通過Colesy分解得到內(nèi)參數(shù)矩陣，文獻1]提出在正定矩陣的約束下最小化代數(shù)殘差，然后對這個帶約束的最小二乘問題進行松弛并轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題。文獻32]使用eteroscedasticerroiariales方法來優(yōu)化線性算法的解，該迭代算法比捆綁調(diào)整算法更容易全局收斂，但是其計算復雜度仍然比線性算法高許多。文獻[78]提出利用交比不變性校正鏡頭畸變以提高一維標定由于線性算法具有能直接求解和計算量小的優(yōu)勢，本章專注于降低一維標定線性算法對噪聲的敏感度以提高其精度。文獻0]中的歸一化線性算法比文獻0]中的線性算法只多了一步數(shù)據(jù)點歸一化的預處理過程，另外兩個算法都需要首先估計一維物體上自由移動端標記點與固定端標記點的深度比值（簡稱為固定端標記點的相對深度），然后構(gòu)造對C的線性約束方程。因此，本章首先分析數(shù)據(jù)歸一化帶來精度提升的原因，然后提出固定端標記點的相對深度的精度更高的估計量，并使用這個估計量得到一個相似不變性的線性標定算法。最后，為了進一步提升該線性算法的精度，提出了以下兩種加權(quán)線性算法：對關于C的約束方程組進行加權(quán)得到簡單加權(quán)線性算法；對關于相對深度的約束方程組和關于IAC的方程組都進行最優(yōu)加權(quán)得到最優(yōu)加權(quán)線性算一維標定的現(xiàn)有算一維標定的基本γ0001K(3-其中(fu,fv)表示圖像縱橫軸的尺度因子，γ是攝像機成像元件的傾斜系數(shù)，(u0v0)T表示主點的位置。一維物體上標記點的個數(shù)記為J(J>其旋轉(zhuǎn)次數(shù)記為I(I>6)．固定端的標記點的非齊次坐標和齊次坐標分別記-32為?1=(X1Y1Z1)T和X1X1Y1Z11)T，第j個標記點在第i置的非齊次坐標和齊次坐標分別記為?i=(XiYiZi)T和Xi=(XiYiZij j (i=1I,j=2J)，其與固定端標記點?1的距