《函數(shù)極限與無窮小》課件

THEFIRSTLESSONOFTHESCHOOLYEAR《函數(shù)極限與無窮小》ppt課件目CONTENTS函數(shù)極限的概念無窮小的概念極限的四則運算重要極限無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系錄01函數(shù)極限的概念函數(shù)極限的數(shù)學(xué)表達limf(x)=A，表示當(dāng)x趨近于某點或無窮時，f(x)趨近于A。函數(shù)極限的幾何意義函數(shù)在某點的極限相當(dāng)于函數(shù)圖像上的一點，當(dāng)x軸上的點趨近于該點時，函數(shù)值趨近于該點的y坐標。函數(shù)極限的定義函數(shù)在某點的極限是指當(dāng)自變量趨近于該點時，函數(shù)值的趨近值。函數(shù)極限的定義對于給定的函數(shù)，其在某點的極限是唯一的。唯一性函數(shù)在某點的極限存在時，其值是有界的。有界性當(dāng)x趨近于某點時，f(x)的值在某鄰域內(nèi)有界。局部有界性當(dāng)x趨近于某點時，f(x)的符號保持不變。局部保號性函數(shù)極限的性質(zhì)對于給定的函數(shù)，其在某點的極限可能不存在。函數(shù)極限的存在性函數(shù)在某點的左右極限存在但不相等，此時函數(shù)在該點不連續(xù)。第一類間斷點函數(shù)在某點的左右極限至少有一個不存在，此時函數(shù)在該點也不連續(xù)。第二類間斷點函數(shù)極限的存在性01無窮小的概念無窮小是極限為零的變量或函數(shù)。無窮小是微積分的基本概念之一，是研究函數(shù)極限和連續(xù)性的基礎(chǔ)。無窮小是相對于自變量無限趨近于某個點或無窮的情況而言的，其值可以是非常接近于零，但永遠不等于零。010203無窮小的定義無窮小的性質(zhì)無窮小具有可加性、可減性、可乘性和可除性。無窮小與有界函數(shù)的商在一定條件下可能為無窮大。無窮小與常數(shù)的乘積仍為無窮小。無窮小是唯一一個既不是常數(shù)也不是無窮大的數(shù)學(xué)概念。同階無窮小兩個無窮小的比值在一定條件下趨于常數(shù)，這個常數(shù)稱為它們的階數(shù)。等價無窮小兩個無窮小在一定條件下可以相互替換，即它們的比值等于1。高階無窮小一個無窮小是另一個無窮小的更高階的無窮小，即其階數(shù)更高。低階無窮小一個無窮小是另一個無窮小的更低階的無窮小，即其階數(shù)更低。無窮小的比較01極限的四則運算若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)+g(x)]=A+B。極限的加法規(guī)則若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)-g(x)]=A-B。極限的減法規(guī)則若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B，則lim(x→x0)[f(x)*g(x)]=A*B。極限的乘法規(guī)則若lim(x→x0)f(x)=A和lim(x→x0)g(x)=B（B≠0），則lim(x→x0)[f(x)/g(x)]=A/B。極限的除法規(guī)則極限的四則運算規(guī)則03舉例3lim(x→∞)(2+3/n)^n=e^(6)。01舉例1lim(x→0)[2x+sin(3x)]/[5x-cos(2x)]=(0+0)/(0-1)=0。02舉例2lim(x→1)[(1/(1-x))-3/(1-x^2)]=(1/0-3/0)=-2。極限的四則運算舉例應(yīng)用1求函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)或切線斜率。應(yīng)用2研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值。應(yīng)用3解決一些實際問題，如瞬時速度、相對誤差等。極限的四則運算應(yīng)用03020101重要極限重要極限的定義重要極限一重要極限二重要極限三lim(x->0)(1+x)^(1/x)=elim(x->∞)x^n/e^x=0(n為正整數(shù))lim(x->0)sin(x)/x=1每個極限只有一個確定的值。唯一性有界性局部保號性極限的值總是存在且在一定的范圍內(nèi)。在某點附近，函數(shù)值的符號保持不變。030201重要極限的性質(zhì)通過利用重要極限的性質(zhì)，可以將復(fù)雜函數(shù)化簡為簡單函數(shù)，從而更容易求得其極限。解決復(fù)雜函數(shù)的極限問題利用重要極限，可以計算無窮小量，從而得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分等。無窮小量計算在某些情況下，可以利用重要極限來近似計算函數(shù)的值，提高計算的精度和效率。近似計算重要極限的應(yīng)用01無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小是函數(shù)極限的特殊情況01無窮小是函數(shù)在某一點或無窮遠處的極限值，是函數(shù)極限的一種特殊情況。02無窮小表示函數(shù)在某點的值無限接近于0，但不等于0。03無窮小是函數(shù)極限的一種表現(xiàn)形式，是研究函數(shù)極限的基礎(chǔ)。無窮小在函數(shù)極限中的應(yīng)用01無窮小在求函數(shù)極限中起到關(guān)鍵作用，通過無窮小可以化簡函數(shù)的復(fù)雜形式。02利用無窮小的性質(zhì)，可以將復(fù)雜的函數(shù)形式轉(zhuǎn)化為容易處理的形式，從而求得函數(shù)的極限。無窮小在解決實際問題中也有廣泛應(yīng)用，例如在微積分、物理、工程等領(lǐng)域。03無窮小與函數(shù)極限的關(guān)聯(lián)性無窮小和函數(shù)極限之間存在密切的關(guān)聯(lián)性，無窮小是研究函數(shù)極限的重要工具。通過研究無窮小的性質(zhì)和變化規(guī)律，可以深