金榜預(yù)測(cè)卷01（解析版）-2023年高考數(shù)學(xué)金榜預(yù)測(cè)卷(天津卷)

2023年高考金榜預(yù)測(cè)卷（一）

數(shù)學(xué)（天津卷）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共9個(gè)小題，每小題5分，共45分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

只有一個(gè)符合題目要求.

1.集合A={x|/>4},8=何一5cx<1},則（6A）C8=（）

A.料-5cxe-2}B.1x|-2<x<2jC.|x|-2<x<l|D.|x|-2<x<l}

【答案】D

【詳解】犬>4,則x>2或x<—2,則4={1x<-2或x>2},={乂-24x42},

B={x|-5<x<l},l）li］（^A）nB={x|-2<x<l},

故選：D.

2.“f>4”是“x>2”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)閤2>4解得x<—2或x>2,

所以“犬>4”是“x>2”成立的必要不充分條件，

故選：B

3.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,

隔離分家萬(wàn)事休”，如函數(shù)〃對(duì)=視騁的圖像大致是（）

A.B.

【詳解】由[曰>0,八得xwO,即函數(shù)定義域是{xIxxO},排除AB,

e-e#0

x>l時(shí)，ln|x|>0,ex-e-x>0.f(x)>0,Ovxvl時(shí)，ln|xj<0,er-ex>0,/(x)<0,

因此排除C,

故選：D.

4.某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度)，以[160,180),[180,200),[200,220),

【答案】B

【詳解】在頻率分布直方圖中，各小矩形面積和為1,

即20x(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+0.005+0.0025)=1,

解得，x=0.0075.

故選：B.

1

5.已知aulogzG，b=20A,c=(g)3,則。，b,c的大小關(guān)系是()

A.b<a<cB.a<c<hC.a<h<cD.b<c<a

【答案】C

【詳解】由題知，0=log21<log2y/3<log2>/4=1,

即：031,又b=2°4>2°=l,所以&>。；

04l56

...^=(2)=2=64,

15

b〈c,

所以：a<b<c.

故選：C.

6.已知乃)，sintz=|,貝!jtan(a+等于()

A.-B.7C.--D.-7

77

【答案】D

【詳解】因?yàn)?且sina=|,所以cosau-Jl-sin%=-1,

sina3

所以tana-----=—

cosa4

3乃3/八

atana+tan——---1-(-1)

,,/加、44r

故tan(a+—)=-------------=------------=—7

4■371/5、/<、

1-tana-tan——1-(——)x(-1)

44

故選：D.

7

7.橢圓的中心為點(diǎn)風(fēng)TO),它的一個(gè)焦點(diǎn)為廠(-3,0),相應(yīng)于焦點(diǎn)尸的準(zhǔn)線方程為、=-1,

則這個(gè)橢圓的方程是()

A.2^+空=]B,+J

213213

C.D.

【答案】D

【詳解】因?yàn)闄E圓中心為點(diǎn)燈一1,0),且一個(gè)焦點(diǎn)為網(wǎng)一3,0),

所以該橢圓為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓向左平移一個(gè)單位后的橢圓,

設(shè)橢圓方程為色江+.=1，由題，。=-1一(-3)=2,

a2b1

72s

又因?yàn)闇?zhǔn)線方程為X=-；,所以幺=2,解得/=5,h2=a2-c2=\,

2c2

橢圓方程為：(”+1)=2=1.

5

故選：D.

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，它

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖是以一正方體的各條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的多面體，這是一個(gè)有八個(gè)

面為正三角形，六個(gè)面為正方形的“阿基米德多面體”.若該多面體的棱長(zhǎng)為1,則經(jīng)過(guò)該多面

體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的表面積為()

A.8兀B.4兀C.3兀D.2兀

【答案】B

【詳解】將該多面體補(bǔ)形為正方體，則由OR=1,AO=AR,AO±AR,

所以由勾股定理得：AO=AR力,所以正方體的邊長(zhǎng)為】&?2近，

22

所以經(jīng)過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球?yàn)檎襟wABCD-E尸GH的棱切球，

所以棱切球的直徑為該正方體的面對(duì)角線，長(zhǎng)度為0xa=2，

故過(guò)該多面體的各個(gè)頂點(diǎn)的球的半徑為1,球的表面積為4兀xF=4兀.

故選：B

9.已知函數(shù)/(x)=sinx(sinx+cosx)-；,給出以下四個(gè)命題:

①的最小正周期為兀；

②/(x)在上的值域?yàn)椋?/p>

③“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)傳，。)中心對(duì)稱：

11-jr

④“X)的圖象關(guān)于直線x=￥對(duì)稱.

O

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】/(x)=sinx-(sinx+cosx)--^

=s.inx-cosx+si.n^2x——1

2

對(duì)于①：因?yàn)門=寧=兀，所以/(x)周期為兀，即①正確;

對(duì)于②：因?yàn)閸?，［所?卜卜翥!

所以sin(2x-；_1_.

5萬(wàn)

則/(X)的值域?yàn)?即②錯(cuò)誤;

對(duì)于③：因?yàn)橐粀0,

所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)［w，oj中心對(duì)稱，即③錯(cuò)誤;

5K_x/|

對(duì)于④：因?yàn)榱薚-V為/(X)的最大值,

所以f(x)的圖象關(guān)于直線》=答對(duì)稱，即④正確；

O

所以正確命題為①④，共2個(gè)正確命題.

故選：B.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線

上.)

10.已知復(fù)數(shù)z滿足z（2-i）=i,則|5z-i|=,

【答案】應(yīng)

【詳解】由z（2-i）=i,得

ii（2+i）_-l+2i

所以|5z-i|=5xZ1121T++i卜④,

故答案為：立.

11.在(1-幻5(2犬+1)的展開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為.

【答案】10

【詳解】依題意，(1-X)5=1-5X+10X2-10X3+5X4-X5,因此(l-x)"2x+l)展開(kāi)式中4項(xiàng)為

10X2-2%-10X31=10X3.

所以項(xiàng)的系數(shù)為10.

故答案為：10

12.已知直線/：x—y+3=0被圓。：(》-“)2+(丫-2)2=4(°>0)截得的弦長(zhǎng)為2夜，貝心的

值為.

【答案】1

【詳解】依題意可得圓心c(a,2),半徑r=2.

」|。一2+3||。+1|

則圓心到直線的距離d="+(_])2=，

由勾股定理可知，d2+=產(chǎn)，代入化簡(jiǎn)可得|。+1|=2,

且。>0,解得a=\.

故答案為：1.

x2-2x+l,x>0

13.已知函數(shù)〃(%)=、l+x,函數(shù)g(x)=〃(l-x)-爾+加-:恰有三個(gè)不同的零點(diǎn),

--「，兀，°4

ll-4x

則用的取值范圍是.

【答案】[0,2-9Uk8+2加｝

化簡(jiǎn)，y=m（尤-1）+；,故y=對(duì)一"+；的必過(guò)點(diǎn)（1,；）,

g（x）=〃（i-幻-g+m-。恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，即為〃（1-％）=咫-〃2+，有一個(gè)不同的實(shí)根，

44

作出y=〃。一幻和y=g-機(jī)+!的圖像，

4

直線y=〃優(yōu)一相+,與曲線y=x“x＜l）相切時(shí)，Wx2-mx+/n--=O,由△=（）,可得

44

"一4帆+1=0,解得機(jī)=2-6或加=2+百，乂由尤＜1,得/=加一］＜1,故加=2+石（舍

4

去），

12-x

當(dāng)丁=如一加+：與曲線y=^---^（XN1）相切時(shí)'兩圖像恰有三個(gè)交點(diǎn)，令

44x-3

］2-x-

iwc-m+-=--一一此時(shí)，解得旭=-8+2行，

44x-3

結(jié)合圖像可得，0＜加工2-6或機(jī)=一8+2后

故答案為：［O,2-G）U卜8+2岳｝

14.有編號(hào)分別為1,2,3的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，從中取出2個(gè)，則取出的編號(hào)互不相同

的概率為;在取出球的編號(hào)互不相同的條件下，1號(hào)紅球被取到的概率為.

41

【答案】-##0.8-

【詳解】解：從編號(hào)分別為1,2,3的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，隨機(jī)取出2個(gè)的取法C：=15,

2個(gè)球編號(hào)相同的取法C；C；=3,則球的編號(hào)互不相同的取法15-3=12,

所以取出的球的編號(hào)互不相同的概率/?=￡=，

因?yàn)榍虻木幪?hào)互不相同的取法有15-3=12種,

其中1號(hào)紅球取到的情況有C；=4種，

41

所以在取出球的編號(hào)互不相同的條件下，1號(hào)紅球被取到的概率

故答案為：—!g

15.在“BC中，AB=4,AC=3,NB4C=90°,點(diǎn)。在線段BC上(點(diǎn)。不與端點(diǎn)B,C重

合)，延長(zhǎng)AO到P,使得AP=9,PA=mPB+PC(m為常數(shù))，

(i)^PA=APD<則九=;

(ii)線段CD的長(zhǎng)度為.

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，則8(4,0),C(0,3),

所以南=(4,0),(0,3)

由刀="?而+■一近得刀=〃1(/4+.月)+1|一m)(刀+.右)，

整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=(-&*,())+(0,6m-9)=(-8m,6m-9),

27

由AP=9得64M+(6m-9)2=81解得/n=石或/n=0,

3__3

當(dāng)機(jī)=0時(shí)，PA=-PC,此時(shí)RC重合，由⑸=24可得/=此時(shí)8=0,

因?yàn)辄c(diǎn)。不與端點(diǎn)8,C重合，

所以C3=0不滿足題意，舍去，

當(dāng)相=三時(shí)，麗=(-",一笑)，A4的直線方程為^=二*，

8c的宜線方程為A臺(tái)1,

72

--

土+2=1x=25722

所

43以

聯(lián)立解得，212-5-2-

7--

y=-x25

：24

—14442

所以昨（爭(zhēng).）

若麗=2而，則假一募解得4=5,

此時(shí)正假"可小

Q1Q

故答案為：!；y.

三、解答題：（本大題5個(gè)題，共75分）

16.在“WC中，角AB，C所對(duì)的邊分別為〃也c.已知a=3且加，+芋。2,coSiA——.

sinn14

⑴求。的值；

（2）求sinB的值；

⑶求sin（2A-1）的值.

【答案】(l)c=7⑵38(3)-迪

1449

sinA+sinC

【詳解】（1）由=2邊化角可得半=2,

sinBb

又因?yàn)閍=3,所以c=2/7-3,

13

又因?yàn)閍?=。2+c?-2/?c'cosA得力2+c2——be=9,

13

將c=2人一3代入戶+。2—亍8。=9,整理得5必=0,

8=5或人=0（舍），所以c=7.

（2）由（1）得得b=5,c=7,且〃*=/+/-2accos5,

a2+c2-b29+49-2511

則cosB=

2ac2x3x7b4

所以sin3=A/1-COS2B=

14

(3)由余弦定理c2=a2+b2-labcosC,

9+25-49

得cosC=

2ab302

因?yàn)镃c(0,乃)，所以C二k，

又因?yàn)閏osA=,所以sin4=Vl-cos2A=主8,

1414

二廠八1cAc.4Ac3-\/31339\[3

助以sin2A—2sinA.cosA=2x---x——-----,

141498

cos2A=2cos2A-l=2x--1=—

19698

所以sin(2A-9=sin(2A-714」sin2A-^cos2A

2322

1390百7186

=—x----------------x——=---------

29829849

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD〃BC,ADLDC,BC=CD=LAD=2,

E為棱4Q的

2

中點(diǎn)，A4_L平面A3CD.

⑴證明：AB〃平面PCE

(2)求證：平面平面尸8。

⑶若二面角尸-CD-A的大小為45。，求直線AO與平面尸8￡)所成角的正切值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

⑶立

2

【詳解】⑴VBC//AE且BC=AE,.,.四邊形BCEA為平行四邊形，

/.AB//EC,又A8＜Z平面尸CE,ECu平面尸CE,

所以A8〃平面PCE.

(2)：PA_L平面ABC。，3Du平面ABCD,.?.以J_8￡＞，

連接BE,?.?BCV/DE且BC=DE,...四邊形3CDE為平行四邊形，

VDEJ.CD,BC=CD=2,二平行四邊形88E為正方形，；.BDLEC,

又ABHEC,：.BDJ.AB,

又PAnAB=A,尸448匚面9，,比＞人面印，

BDu面尸8。，,平面PAB±平面PBD.

(3)；PA，平面A3C￡>,C￡>u平面ABC。，APA1CD,

又C￡>_LA￡),PAr>AD=A,PAA。u平面尸AZ),，CD_L平面PAD,

因?yàn)镻Du平面PAO,CD_LA。，

，NPD4為二面角P—CD—A的平面角，從而/PD4=45。，所以A4=AO=4,

作A〃_LP3于M,連接例￡>,

;平面尸AB_L平面PB￡),A"u平面抬8，平面抬8c平面P8￡>=PB，

AW1面尸蛆，所以N4W為直線A￡)與平面所成角，

PAAB4x2

在直角A/VIB中，AB=CE=2叵,PA=4,PB=2娓,AM^-=^

PB2#3

因?yàn)?02面尸8。，DMu而PBD,所以AA7J_DM，

在直角AAW￡>中，AD=4.AM=—,DM=-JAD2-AM2=—.

33

/.tanZADM=—,

2

則直線AO與平面汽股所成角的正切值為旦.

2

18.已知等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且既=45,%+34=4().數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和為［,

滿足37；+1=4”.

⑴求數(shù)列｛4｝、他｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%='(網(wǎng)「2),求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和R.

⑶設(shè)4,=%求證：之屈<8-等工

°nk=\2

【答案】⑴)”=2般+3,bn=4"-'

⑵(=[+4〃

2〃+5

(3)證明見(jiàn)解析

【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

5x4

54+——d=454+2d=94=5

由S=45,%+3%=40得，'2，即2q+5“=2。’解得

5cl=2

%+d+3q+9d=40

所以%=q+(〃-l)d=5+2(〃-1)=2〃+3,

由37；+1=4々得羽+1=他,得4=1,

當(dāng)"22時(shí)，31I+1=4〃I，

所以3方+1-3%-1=45-4如,

所以3"=地一地…即b“=4%(〃22),

又2=1/0,所以3=4(“N2),

所以數(shù)列出」是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，所以4=4"，

綜上所述：數(shù)列｛4｝、｛2｝的通項(xiàng)公式分別是：?！?2〃+3,%=4"T.

(2)由(1)知，a“=2〃+3,b?=4"-'

獷以c=2(3q-2)=4"T(6〃+7)=(_4"]

，r

C"-an-a,^-(2"+3)(2〃+5)一(2〃+32n+5)'

(40444242434〃

所以R=C,++…+C”=-----------H--------------1---------------1-???+-----------------------

(57799112”+32n+5

一L上」+上

(52n+5)52〃+5

(3)由⑴知，5“=5〃+當(dāng)22=/+4〃,

,S?rv+4〃

所以4r

______,+4

所以加=產(chǎn)+4〃=而膜?2-二詈，

VnM4"-12"-12"一?2

n+2

所以+

+…+4^++…+2"一1

1+22+23+2〃+2

則一M=——+——+—「+?.?+----,

22,22232"

..1?111n+2

所rri以>1““一”“=o3+萬(wàn)+合+…+萬(wàn)p--—,

所以+”彳T)―華=3+1--,

2.1T2'i2"

\----

2

所以此=8母一景=8一界

所以力曰＜8-墨.

k=l乙

19.己知橢圓C:1+A=l(a＞6＞。)的離心率0=正，短軸長(zhǎng)為2&，橢圓C的左焦點(diǎn)為

a2b22

F,右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)B在橢圓位于x軸上方的部分，

(1)求橢圓C的方程；

⑵若直線A8的斜率為-2,求弦45的長(zhǎng)度；

(3)若直線AB與軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是丫軸上一點(diǎn)，且滿足EFJLOF,直線AE與橢圓C交

于點(diǎn)G.是否存在直線A8,使得AABG的面積為2,若存在，求出直線A8的斜率，若不存

在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴《+其=1

42

⑵半

(3)存在直線A8,使得AABG的面積為2,此時(shí)直線48的斜率4=分也

C_5/2

~a~^2

【詳解】（1）由題意可得助=2&

a~2=b,0~+c2

a=2

解得"=&,

c=V2

22

所以橢圓C的方程為三+匯=1；

42

(2)由(1)可知A(2,0),尸卜血,0),設(shè)6(4,乙)，直線A3的方程為了=々(工一2)化＜0),

^_.￡=1

由,42得（1+2公卜2-8/x+8公一4=0,

y=k（x-2）

_8￡-48k2

所以X*?XpX+X

-1+2公AB1+2/

i、2

弘28A:2-4

所以|AB|=J1+上-旬=Jl+公-4x

\+2k\l+2k2

（3）由（2）可知/.4=告?4k2-2

,即4=

1+2/

-4k4人2-2-4k

所以…［言即8

H=1+2公1+2下’1+2人2

直線A8的方程為、=%（萬(wàn)一2）（々＜0）,令x=0,解得y=-2k,即0（0,-2k）,

設(shè)E（0,%）,由題意有麗.麗=［夜,-%）?卜虛,2k）=2-2⑥￡=0,

解得衣弓,即40,司,

Y

進(jìn)而可得直線AE的方程為］+6=1,

\x2y2,

42

由，得（1+2公）/-40=（）,

N），=1

解得先=蒜4k’進(jìn)而2-4％&2即G2-4公4k

1十乙K1+Z.K、1+2/'1+2戶'

4A、2-4k"2-4〃44、

因?yàn)?，G

1+2于'l+2%）1+2r'1+2%2,

所以反G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故直線3G過(guò)原點(diǎn),

所以心.=4°4|瓦-以=32*-4k4k

l+2k2\+2k2黑二/（9,

當(dāng)巢,=y^y=2（A：＜0）時(shí)，即2內(nèi)+4%+1=0代＜0）,

解得左=山叵=土逑=—,

442

所以存在直線A3,使得的面積為2,此時(shí)直線43的斜率&=多走