適用于新教材2023版高中數(shù)學課時素養(yǎng)檢測十七一元線性回歸模型及其應用新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE十七一元線性回歸模型及其應用(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.若冬季晝夜溫差x(單位:℃)與某新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)量y(單位:顆)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為y=2.5x-3,則下列結論中不正確的是 ()A.y與x具有正相關關系B.回歸直線過點(x,y)C.若冬季晝夜溫差增加1℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆D.若冬季晝夜溫差的大小為10℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)一定是22顆【解析】選D.因為回歸直線的斜率為2.5,所以y與x具有正相關關系,則A正確;回歸直線過點樣本中心點(x,y),則B正確;冬季晝夜溫差增加1℃,則該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)約增加2.5顆,所以C正確;若冬季晝夜溫差的大小為10℃,則可估計該新品種反季節(jié)大豆的發(fā)芽數(shù)為22顆,但不可確定,所以D錯誤.2.在生物學上,有隔代遺傳的現(xiàn)象.已知某數(shù)學老師的體重為62kg,他的曾祖父、祖父、父親、兒子的體重分別為58kg、64kg、58kg、60kg.如果體重是隔代遺傳,且呈線性相關,根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得解釋變量x與響應變量的回歸方程為=x+,其中=0.5,據(jù)此模型預測他的孫子的體重約為 ()A.58kg B.61kg C.65kg D.68kg【解析】選B.由于體重是隔代遺傳,且呈線性相關,則取數(shù)據(jù)(58,58),(64,62),(58,60),得x=58+64+583=60,y=58+62+60即樣本點的中心為(60,60),代入=x+,得=60-0.5×60=30,則=0.5x+30,取x=62,可得=0.5×62+30=61kg.故預測他的孫子的體重約為61kg.3.設某大學的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關關系.根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的經(jīng)驗回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結論中不正確的是 ()A.y與x具有正的線性相關關系B.經(jīng)驗回歸直線過點(x,y)C.若該大學某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm,則可判定其體重必為58.79kg【解析】選D.當x=170時,=0.85×170-85.71=58.79,體重的估計值為58.79kg.4.對于樣本點分布在指數(shù)函數(shù)曲線y=aebx(其中a,b為待定參數(shù)且a>0)周圍時,令z=lny,c=lna,經(jīng)過變換后得到的線性回歸方程為 ()A.y=bx+c B.y=cx+bC.z=bx+c D.z=cx+b【解析】選C.因為y=aebx,所以lny=lna+bx,所以z=c+bx.5.用y關于x的方程y=menx來擬合一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10)時為了求出其回歸方程,設z=lny,得到z關于x的線性回歸方程z=0.6x+1,則 ()A.m=e,n=0.6 B.m=0.6,n=eC.m=1,n=0.6 D.m=0.6,n=1【解析】選A.由題意,y=menx得到z=lny=lnmenx=lnm+nx=0.6x+1,故n=0.6,lnm=1,所以n=0.6,m=e.6.(多選題)研究變量x,Y得到一組樣本數(shù)據(jù),進行回歸分析,以下說法正確的是 ()A.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好B.用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越小說明擬合效果越好C.在回歸直線方程=0.2x+0.8中,當解釋變量x每增加1個單位時,響應變量平均增加0.2個單位D.若變量Y和x之間的相關系數(shù)為r=-0.9462,則變量Y和x之間的負相關性很強【解析】選ACD.A可用殘差平方和判斷模型的擬合效果,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故A正確;B用相關指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越大說明擬合效果越好,故B錯誤;C在經(jīng)驗回歸方程=0.2x+0.8中,當解釋變量x每增加1個單位時,響應變量平均增加0.2個單位,故C正確;D若變量Y和x之間的相關系數(shù)為r=-0.9462,r的絕對值趨向于1,則變量Y和x之間的負相關性很強,故D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某數(shù)學老師身高為176cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm,170cm和182cm.因兒子的身高與父親的身高有關,該老師用線性回歸分析的方法預測他孫子的身高為cm.

【解析】設父親身高為xcm,兒子身高為Ycm,則x173170176Y170176182x=173,y=176,=0×(-=y-x=176-1×173=3,所以=x+3,當x=182時,=185.答案:1858.已知變量x,Y線性相關,由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)x=4,y=5,經(jīng)驗回歸方程=x+中的系數(shù),滿足+=4,則經(jīng)驗回歸方程為.

【解析】由題知,點(4,5)在回歸直線上,則4+=5,又+=4,所以=113,=13,即經(jīng)驗回歸方程為=13x+113答案:=13x+11三、解答題9.(10分)某種產(chǎn)品的廣告費用支出x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下的對應數(shù)據(jù):x/百萬元24568y/百萬元3040605070(1)畫出散點圖;(2)求經(jīng)驗回歸方程;(3)試預測廣告費用支出為10百萬元時,銷售額多大.【解析】(1)散點圖如圖所示:(2)列出下表,并用科學計算器進行有關計算:i12345合計xi2456825yi3040605070250xiyi601603003005601380x416253664145所以x=255=5,y=2505=50,∑i=15xiy所以=∑i=15xiy=y-x=50-6.5×5=17.5.所以所求的經(jīng)驗回歸方程為=6.5x+17.5.(3)根據(jù)上面求得的經(jīng)驗回歸方程,當廣告費用支出為10百萬元時,=6.5×10+17.5=82.5(百萬元),即廣告費用支出為10百萬元時,銷售額大約為82.5百萬元.【補償訓練】近年來,隨著互聯(lián)網(wǎng)的發(fā)展,“共享汽車”在我國各城市迅猛發(fā)展,為人們出行提供了便利,但也給城市交通管理帶來了一些困難.為掌握“共享汽車”在M省的發(fā)展情況,M省某調查機構從該省抽取了5個城市,分別收集和分析了“共享汽車”的A,B兩項指標數(shù)xi,yi(i=1,2,3,4,5),數(shù)據(jù)如下表所示:項目城市1城市2城市3城市4城市5A指標數(shù)x46285B指標數(shù)y44354經(jīng)計算得∑i=15(xi-(1)試求y與x間的相關系數(shù)r,并利用r說明y與x是否具有較強的線性相關關系(若|r|>0.75,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合);(2)建立y關于x的回歸方程,并預測當A指標數(shù)x為7時,B指標數(shù)y的估計值.附:相關公式:r=∑i=1n(xi-x)(yi參考數(shù)據(jù):0.3≈0.55,0.9【解析】(1)由已知,x=4+6+2+8+55=5,y=4+4+3+5+4所以相關系數(shù)r=∑i=15(xi-x)(所以y與x有較強的線性相關關系,可以用線性回歸模型擬合y與x的關系;(2)由(1)知=∑i=15(xi-x)(yi-y)故y與x的線性回歸方程為=310x+52當x=7時,=310×7+52=4.6(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知變量x,Y的取值如表:x12345Y1015304550由散點圖分析可知Y與x線性相關,且求得經(jīng)驗回歸方程為=x-3,據(jù)此可預測:當x=8時,的值為 ()A.63 B.74 C.85 D.96【解析】選C.由題得x=1+2+3+4+55y=10+15+30+45+505=30故樣本點的中心的坐標為(3,30),代入=x-3,得=30+33=11.所以=11x-3,取x=8,得=11×8-3=85.2.若一函數(shù)模型為y=ax2+bx+c(a≠0),將y轉化為t的線性回歸方程,需做變換t= ()A.x2 B.(x+a)2C.x+b2a2 D.以上都不對【解析】選C.y=ax2+bx+c(a≠0)=ax+b2a2+4ac-b24a,根據(jù)線性回歸方程是一次函數(shù)可知,令t=x+b2a2,則y=at+4ac-3.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時,為了求出經(jīng)驗回歸方程,設z=lny,將其變換后得到經(jīng)驗回歸直線方程=0.2x+3,則c,k的值分別是 ()A.e2,0.6 B.e2,0.3C.e3,0.2 D.e4,0.6【解析】選C.因為y=cekx,等式兩邊同時取對數(shù)可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=kx+lnc,設z=lny,則上式可化為z=kx+lnc,因為z=0.2x+3,則k=0.2,lnc=3,所以c=e3,k=0.2.4.(多選題)由相關變量x,y之間的一組數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10),得到y(tǒng)關于x的線性回歸方程為=1.4x+0.8,且x=3,去除兩個歧義點(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,得到y(tǒng)關于x的新線性回歸方程的回歸系數(shù)為1.5,則去除這兩個歧義點后 ()A.xj(j=1,2,…,8)的平均值變大B.xj(j=1,2,…,8)的平均值不變C.新線性回歸方程為=1.5x+0.5D.當x增加1個單位時,y增加1.5個單位【解析】選BC.將x=3代入=1.4x+0.8得y=5,又因為1.2+4.82=3,2.4+7.62=5,故去除兩個歧義點(1.2,2.4)和(4.8,7.6)后,其數(shù)據(jù)的平均值不變,故A錯誤,B正確;設新線性回歸方程為=1.5x+a,將數(shù)據(jù)中心(3,5)代入得a=0.5,故C正確;故當x增加1個單位時,y平均增加1二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知某成對樣本數(shù)據(jù)的殘差圖如圖,則樣本點數(shù)據(jù)中可能不準確的是從左到右第個.

【解析】原始數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)往往是殘差絕對值過大的那個數(shù)據(jù),即偏離平衡位置過大的數(shù)據(jù).答案:66.某公司調查了商品A的廣告投入費用x(萬元)與銷售利潤Y(萬元)的統(tǒng)計數(shù)據(jù),如表:廣告費用x(萬元)2356銷售利潤Y(萬元)57911由表中的數(shù)據(jù)得經(jīng)驗回歸直線方程為=x+,則當x=7時銷售利潤y的估值為萬元.

【解析】由題表中數(shù)據(jù)可得x=2+3+5+64=4,y=5+7+9+11所以=∑i=14xiy所以=y-x=8-1.4×4=2.4,故經(jīng)驗回歸方程為=1.4x+2.4,所以當x=7時,=1.4×7+2.4=12.2.答案:12.27.在研究兩個變量的相關關系時,觀察散點圖,發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條曲線y=ebx+a的周圍,令z=lny,求得經(jīng)驗回歸方程=0.25x-2.58,則該模型的經(jīng)驗回歸方程為.

【解析】由經(jīng)驗回歸方程=0.25x-2.58得ln=0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以該模型的經(jīng)驗回歸方程為=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.588.已知某產(chǎn)品連續(xù)4個月的廣告費xi(千元)與銷售額yi(萬元)(i=1,2,3,4),經(jīng)過對這些數(shù)據(jù)的處理,得到如下數(shù)據(jù)信息:①∑i=14xi=18,∑i=14yi=14;②廣告費x和銷售額y之間具有較強的線性相關關系;③回歸系數(shù)=0.8.則廣告費平均值為千元,當廣告費為6千元時【解析】由題意得,x=184=4.5,y=144=3由y=x+得,=3.5-0.8×4.5=-0.1,所以=0.8x-0.1.當x=6時,=0.8×6-0.1=4.7.答案:4.54.7三、解答題9.(10分)為了落實習主席提出的“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求,某市計劃自2014年初起開始實施綠化行動.實施綠化的第x年(如2014年對應的x=1),綠化面積為y平方公里,則連續(xù)五年x,y之間的數(shù)據(jù)如下表:x12345y13678(1)已知對于一組數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),若其擬合直線方程=x+,記Q=∑i=1n(yi-xi-)2,若Q越小則擬合效果越好.若根據(jù)表中數(shù)據(jù),觀察得出的擬合直線方程分別為l1:=2x-1,l2:=32x+12,使用Q判斷哪條直線的擬合效果更好;(2)試用(1)中所求的擬合效果較好的直線,估計2024年的綠化面積.【解析】(1)根據(jù)直線l1:=2x-1得出的數(shù)據(jù)列表如表:x12345y13678l1:=2x-113579根據(jù)直線l2:=32x+12得出的數(shù)據(jù)列表如表x12345y13678l2:=32x+123.556.58分別根據(jù)表中數(shù)據(jù)及Q的公式可得,Q1=02+02+12+02+(-1)2=2,Q2=(-1)2+(-0.5)2+12+0.52+02=2.5,因為Q1<Q2,所以直線l1:=2x-1的擬合效果更好.(2)由題意可知,l1:=2x-1,2024年對應的x=11,所以預測綠化面積=2×11-1=21(平方公里).【補償訓練】生物學家預言,21世紀將是細菌發(fā)電造福人類的時代.說起細菌發(fā)電,可以追溯到1910年,英國植物學家利用鉑作為電極放進大腸桿菌的培養(yǎng)液里,成功地制造出世界上第一個細菌電池.然而各種細菌都需在最適生長溫度的范圍內(nèi)生長.當外界溫度明顯高于最適生長溫度,細菌被殺死;如果在低于細菌的最低生長溫度時,細菌代謝活動受抑制.為了研究某種細菌繁殖的個數(shù)Y是否與在一定范圍內(nèi)的溫度x有關,現(xiàn)收集了該種細菌的6組觀測數(shù)據(jù)如表:溫度x/℃21232427293