小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)趣味學(xué)習(xí) 找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律整套

小學(xué)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)趣味學(xué)習(xí)——找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)（按班級(jí)順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)稱為第2項(xiàng)，…，第n個(gè)數(shù)就稱為第n項(xiàng).如數(shù)列（3）中，第1項(xiàng)是45，第2項(xiàng)也是45，第3項(xiàng)是44，第4項(xiàng)是46，第5項(xiàng)45。根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列（即有無(wú)窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為無(wú)窮數(shù)列，上面的幾個(gè)例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無(wú)窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問(wèn)題的依據(jù)，本講將從簡(jiǎn)單數(shù)列出發(fā)，來(lái)找出數(shù)列的規(guī)律。例1

觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20。②19，17，15，13，（），9，7。③1，3，9，27，（），243。④64，32，16，8，（），2。⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…⑥1，3，4，7，11，18，（），47…⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）.⑧1，2，6，24，120，（），5040。⑨1，1，3，7，13，（），31。⑩1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析與解答①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：13—2=11。不妨把①與②聯(lián)系起來(lái)繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列①中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列①是遞增的；數(shù)列②中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列②是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似①②這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.③1，3，9，27，（），243。此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填81，即81=27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即243＝81×3。④64，32，16，8，（），2與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律。綜合③④考慮，數(shù)列③是遞增的數(shù)列，數(shù)列④是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像③④這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。⑤1，1，2，3，5，8，（），21，34…首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。這個(gè)以1，1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無(wú)窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)列，它來(lái)源于一個(gè)有趣的問(wèn)題：如果一對(duì)成熟的兔子一個(gè)月能生一對(duì)小兔，小兔一個(gè)月后就長(zhǎng)成了大兔子，于是，下一個(gè)月也能生一對(duì)小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對(duì)兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長(zhǎng)，按順序記錄每個(gè)月中所有兔子的數(shù)目（以對(duì)為單位，一月記一次），就得到了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是數(shù)列⑤的原型，因此，數(shù)列⑤又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級(jí)遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。⑥1，3，4，7，11，18，（），47…在學(xué)習(xí)了數(shù)列⑤的前提下，數(shù)列⑥的規(guī)律就顯而易見(jiàn)了，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29，即29=11＋18。數(shù)列⑥不同于數(shù)列⑤的原因是：數(shù)列⑥的第2項(xiàng)為3，而數(shù)列⑤為1，數(shù)列⑥稱為魯卡斯數(shù)列。⑦1，3，6，10，（），21，28，36，（）。方法1：繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以猜想，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的和，那么，第5項(xiàng)為15，即15=10+5，最后一項(xiàng)即第9項(xiàng)為45，即45＝36＋9.代入驗(yàn)算，正確。方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項(xiàng)：1=1第2項(xiàng)：3=1＋2第3項(xiàng)：6=1+2+3第4項(xiàng)：10=1+2+3+4第5項(xiàng)：（）第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項(xiàng)：（）即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項(xiàng)為15，即：15=1+2+3+4+5；第九項(xiàng)為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。⑧1，2，6，24，120，（），5040。方法1：這個(gè)數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：所以，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：除第1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)與其前一項(xiàng)的乘積.因此，括號(hào)中的數(shù)為第6項(xiàng)720，即720=120×6。方法2：受⑦的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：第1項(xiàng)1=1第2項(xiàng)2=1×2第3項(xiàng)6=1×2×3第4項(xiàng)24=1×2×3×4第5項(xiàng)120=1×2×3×4×5第6項(xiàng)（）第7項(xiàng)5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項(xiàng)應(yīng)為1×2×3×4×5×6=720⑨1，1，3，7，13，（），31與⑦類似：可以猜想，數(shù)列⑨的規(guī)律是該項(xiàng)=前項(xiàng)+2×（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那么，括號(hào)中應(yīng)填21，代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。⑩1，3，7，15，31，（），127，255。因此，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填為63。小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個(gè)方面來(lái)考慮：①尋找各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)間的關(guān)系；②考慮相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。事實(shí)上，數(shù)列⑦或數(shù)列⑧的兩種方法，就是分別從以上兩個(gè)不同的角度來(lái)考慮問(wèn)題的.但有時(shí)候，從兩個(gè)角度的綜合考慮會(huì)更有利于問(wèn)題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，?huì)使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。在⑩題中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括號(hào)中為26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49=7×7，64=8×8，即每項(xiàng)都等于自身項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。本題各項(xiàng)只與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來(lái)考慮問(wèn)題，勢(shì)必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)×項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號(hào)中填35，即35=6×6-1。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。前面的方法均不適用于這個(gè)數(shù)列，在觀察的過(guò)程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)（即第1，3，5，7，9項(xiàng)）和偶數(shù)項(xiàng)（即第2，4，6，8項(xiàng)）來(lái)考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如下：奇數(shù)項(xiàng)：1，2，3，4，5偶數(shù)項(xiàng)：2，4，8，16可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32（32=16×2）。(14)2