數(shù)學（文）：課時作業(yè)13 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 作業(yè)

課時作業(yè)13變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算一、選擇題1．(2018·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)cosx，則f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝()A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)解析：由題可知，f(π)＝－eq\f(1,π)，f′(x)＝－eq\f(1,x2)cosx＋eq\f(1,x)(－sinx)，則f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(1,π)＋eq\f(2,π)×(－1)＝－eq\f(3,π).答案：C2．(2018·廣東廣州一模)設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2，若曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為x＋y＝0，則點P的坐標為()A．(0,0) B．(1，－1)C．(－1,1) D．(1，－1)或(－1,1)解析：由題可知，f′(x)＝3x2＋2ax，則有f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋2ax0＝－1.因為切點可寫為(x0，－x0)，所以xeq\o\al(3,0)＋axeq\o\al(2,0)＝－x0，兩式聯(lián)立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,x0＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,x0＝1，))則點P的坐標為(－1,1)或(1，－1)．故選D.答案：D3．(2018·湖南邵陽模擬)已知a>0，曲線f(x)＝2ax2－eq\f(1,ax)在點(1，f(1))處的切線的斜率為k，則當k取最小值時，a的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C．1 D．2解析：由題意可得，f′(x)＝4ax＋eq\f(1,ax2)，所以f′(1)＝4a＋eq\f(1,a)≥2eq\r(4a·\f(1,a))＝4，當且僅當a＝eq\f(1,2)時，f′(1)取最小值為4.故選A.答案：A4．已知f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mx＋eq\f(7,2)(m<0)，直線l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點為(1，f(1))，則m的值為()A．－1 B．－3C．－4 D．－2解析：∵f′(x)＝eq\f(1,x)，∴直線l的斜率為k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切線l的方程為y＝x－1.g′(x)＝x＋m，設直線l與g(x)的圖象的切點為(x0，y0)，則有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋mx0＋eq\f(7,2)，m<0，于是解得m＝－2.答案：D5．(2018·成都第二次診斷)若曲線y＝f(x)＝lnx＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負數(shù)的切線，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－eq\f(1,2)，＋∞) B．[－eq\f(1,2)，＋∞)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)解析：f′(x)＝eq\f(1,x)＋2ax＝eq\f(2ax2＋1,x)(x>0)，根據(jù)題意有f′(x)≥0(x>0)恒成立，所以2ax2＋1≥0(x>0)恒成立，即2a≥－eq\f(1,x2)(x>0)恒成立，所以a≥0，故實數(shù)a的取值范圍為[0，＋∞)．故選D.答案：D6．(2018·重慶診斷)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，其導函數(shù)為f′(x)，則f(2017)＋f(－2017)＋f′(2017)－f′(－2017)的值為()A．0 B．2C．2017 D．－2017解析：∵f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx，∴f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx，f(x)＋f(－x)＝eq\f(2,ex＋1)＋sinx＋eq\f(2,e－x＋1)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋cosx＋eq\f(2e－x,e－x＋12)－cos(－x)＝0，∴f(2017)＋f(－2017)＋f′(2017)－f′(－2017)＝2.答案：B二、填空題7．已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，則函數(shù)f(x)的解析式為________．解析：由題意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，則f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x.答案：f(x)＝x2－8x8．(2018·河南百校聯(lián)盟質(zhì)檢)設曲線f(x)＝exsinx在(0,0)處的切線與直線x＋my＋1＝0平行，則m＝________.解析：∵f′(x)＝ex(sinx＋cosx)，∴k＝f′(0)＝1＝－eq\f(1,m)，∴m＝－1.答案：－19．(2017·天津卷)已知a∈R，設函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________．解析：因為f′(x)＝a－eq\f(1,x)，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：110．(2018·西安一模)定義1：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上可導，即f′(x)存在，且導函數(shù)f′(x)在區(qū)間D上也可導，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在二階導函數(shù)，記作f″(x)＝[f′(x)]′.定義2：若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上的二階導數(shù)恒為正，即f″(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上為凹函數(shù)．已知函數(shù)f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1在區(qū)間D上為凹函數(shù)，則x的取值范圍是________．解析：∵f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2＋1，∴f′(x)＝3x2－3x，f″(x)＝6x－3，令f″(x)>0，解得：x>eq\f(1,2).答案：(eq\f(1,2)，＋∞)三、解答題11．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(2，f(2))處的切線方程．(2)求經(jīng)過點A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．解：(1)因為f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲線在點(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)設曲線與經(jīng)過點A(2，－2)的切線相切于點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，因為f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5，所以切線方程為y－(－2)＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x－2)，又切線過點P(x0，xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－4)，所以xeq\o\al(3,0)－4xeq\o\al(2,0)＋5x0－2＝(3xeq\o\al(2,0)－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，所以經(jīng)過A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0.12．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值．(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝b＝0，,f′0＝－aa＋2＝－3，))解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－eq\f(1,2).所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).1．(2018·廣州模擬)過點A(2,1)作曲線f(x)＝x3－3x的切線最多有()A．3條 B．2條C．1條 D．0條解析：由題意得，f′(x)＝3x2－3，設切點為(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，那么切線的斜率為k＝3xeq\o\al(2,0)－3，利用點斜式方程可知切線方程為y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)，將點A(2,1)代入可得關(guān)于x0的一元三次方程2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7＝0.令z＝2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7，則z′＝6xeq\o\al(2,0)－12x0.由z′＝0得x0＝0或x0＝2.當x0＝0時，z＝7>0；x0＝2時，z＝－1<0.所以方程2xeq\o\al(3,0)－6xeq\o\al(2,0)＋7＝0有3個解．故過點A(2,1)作曲線f(x)＝x3－3x的切線最多有3條．答案：A2．(2018·蚌埠模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx－x3與g(x)＝x3－ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點，則a的取值范圍為()A．(－∞，e) B．(－∞，e]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e)))解析：函數(shù)f(x)＝lnx－x3與g(x)＝x3－ax的圖象上存在關(guān)于x軸的對稱點，所以f(x)＝－g(x)有解，所以lnx－x3＝－x3＋ax，所以lnx＝ax在(0，＋∞)有解，分別設y＝lnx，y＝ax，若y＝ax為y＝lnx的切線，因為y＝lnx的導數(shù)y′＝eq\f(1,x)，設切點為(x0，y0)，所以a＝eq\f(1,x0)，ax0＝lnx0，所以x0＝e，所以a＝eq\f(1,e)，結(jié)合圖象可知，a≤eq\f(1,e).答案：D3．(2018·開封模擬)若函數(shù)f(x)＝|lnx|－mx恰有3個零點，則m的取值范圍是________．解析：令f(x)＝|lnx|－mx＝0，得到函數(shù)y＝|lnx|與y＝mx，它們在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象如下：當x>1時，y＝lnx，y′＝eq\f(1,x)，設兩個函數(shù)相切，此時切點為(x0，y0)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x0)＝m，,y0＝mx0，,y0＝lnx0，))解得m＝eq\f(1,e)，結(jié)合圖象得，欲使有三個零點，則需滿足：m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))4．(2018·合肥市第一次質(zhì)檢)已知直線y＝b與函數(shù)f(x)＝2x＋3和g(x)＝ax＋lnx分別交于A，B兩點，若|AB|的最小值為2，則a＋b＝________.解析：設點B(x0，b)，欲使|AB|最小，曲線g(x)＝ax＋lnx在點B(x0，b)處的切線與f(x)＝2x＋3平行，則有a＋eq\f(1,x0)＝2，解得x0＝eq\f(1,2－a)，進而可得a·eq\f(1,2－a)＋lneq\f(1,2－a)＝b①，又點A坐標為(eq\f(b－3,2)，b)，所以|AB|＝x0－eq\f(b－3,2)＝eq\f(1,2－a)－eq\f(b－3,2)＝2②，聯(lián)立方程①②可解得，a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.答案：25．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的圖象為曲線C.(1)求過曲線C上任意一點切線斜率的取值范圍；(2)若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線