高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)與策略 第1部分 專題1 三角函數(shù)與平面向量 突破點(diǎn)1 三角函數(shù)問(wèn)題教師用書(shū) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

專題一三角函數(shù)與平面向量建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系[高考點(diǎn)撥]三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點(diǎn)，常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平面向量?jī)?nèi)容，一大題?？疾榻馊切蝺?nèi)容，有時(shí)平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識(shí)相交匯．本專題按照“三角函數(shù)問(wèn)題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門(mén)別類進(jìn)行備考．突破點(diǎn)1三角函數(shù)問(wèn)題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第167頁(yè))提煉1三角函數(shù)的圖象問(wèn)題(1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定：利用函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點(diǎn)坐標(biāo)確定φ.(2)三角函數(shù)圖象的兩種常見(jiàn)變換提煉2三角函數(shù)奇偶性與對(duì)稱性(1)y＝Asin(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為偶函數(shù)；對(duì)稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解得．y＝Atan(ωx＋φ)，當(dāng)φ＝kπ(k∈Z)時(shí)為奇函數(shù)；對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)可由ωx＋φ＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)解得，無(wú)對(duì)稱軸.提煉3三角變換常用技巧(1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦.提煉4三角函數(shù)最值問(wèn)題(1)y＝asinx＋bcosx＋c型函數(shù)的最值：可將y轉(zhuǎn)化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)＋c其中tanφ＝eq\f(b,a)的形式，這樣通過(guò)引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)＋c的最值問(wèn)題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解．(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，sinxcosx＝eq\f(sin2x,2)，cos2x＝eq\f(1＋cos2x,2)，將y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x轉(zhuǎn)化整理為y＝Asin2x＋Bcos2x＋C，這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來(lái)求最值．回訪1三角函數(shù)的圖象問(wèn)題1．(2015·山東高考)要得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))的圖象，只需將函數(shù)y＝sin4x的圖象()A．向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位 B．向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位C．向左平移eq\f(π,3)個(gè)單位 D．向右平移eq\f(π,3)個(gè)單位B[由y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))＝sin4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))得，只需將y＝sin4x的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位即可，故選B.]2．(2016·全國(guó)甲卷)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-1所示，則()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))圖1-1A[由圖象知eq\f(T,2)＝eq\f(π,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝eq\f(π,2)，故T＝π，因此ω＝eq\f(2π,π)＝2.又圖象的一個(gè)最高點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，2))，所以A＝2，且2×eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故φ＝2kπ－eq\f(π,6)(k∈Z)，結(jié)合選項(xiàng)可知y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).故選A.]3．(2013·山東高考)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則φ的一個(gè)可能取值為()A.eq\f(3π,4) B.eq\f(π,4)C．0 D．－eq\f(π,4)B[y＝sin(2x＋φ)eq\o(→,\s\up10(向左平移),\s\do25(\f(π,8)個(gè)單位))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ)).當(dāng)φ＝eq\f(3π,4)時(shí)，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，為奇函數(shù)；當(dāng)φ＝eq\f(π,4)時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，為偶函數(shù)；當(dāng)φ＝0時(shí)，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，為非奇非偶函數(shù)；當(dāng)φ＝－eq\f(π,4)時(shí)，y＝sin2x，為奇函數(shù)．故選B.]回訪2三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題4．(2016·山東高考)函數(shù)f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)的最小正周期是()A.eq\f(π,2) B．πC.eq\f(3π,2) D．2πB[法一：∵f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinx＋\f(1,2)cosx))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx－\f(1,2)sinx))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.法二：∵f(x)＝(eq\r(3)sinx＋cosx)(eq\r(3)cosx－sinx)＝3sinxcosx＋eq\r(3)cos2x－eq\r(3)sin2x－sinxcosx＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，∴T＝eq\f(2π,2)＝π.故選B.]5．(2016·全國(guó)甲卷)若將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)稱軸為()A．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)(k∈Z) B．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)C．x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,12)(k∈Z) D．x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)(k∈Z)B[將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,12)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象．由2x＋eq\f(π,6)＝kx＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)，即平移后圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,6)(k∈Z)．]6．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-2所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為()圖1-2A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(1,4)，kπ＋\f(3,4)))，k∈ZB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(1,4)，2kπ＋\f(3,4)))，k∈ZC.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(1,4)，k＋\f(3,4)))，k∈ZD.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈ZD[由圖象知，周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(1,4)))＝2，∴eq\f(2π,ω)＝2，∴ω＝π.由π×eq\f(1,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,4))).由2kπ<πx＋eq\f(π,4)<2kπ＋π，k∈Z，得2k－eq\f(1,4)<x<2k＋eq\f(3,4)，k∈Z，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2k－\f(1,4)，2k＋\f(3,4)))，k∈Z.故選D.]回訪3三角恒等變換7．(2016·全國(guó)甲卷)若coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，則sin2α＝()A.eq\f(7,25) B.eq\f(1,5)C．－eq\f(1,5) D．－eq\f(7,25)D[因?yàn)閏oseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，所以sin2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝2×eq\f(9,25)－1＝－eq\f(7,25).]8．(2016·全國(guó)乙卷)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝________.－eq\f(4,3)[由題意知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，θ是第四象限角，所以cosθ＋eq\f(π,4)＞0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝eq\f(4,5).taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)－\f(π,2)))＝－eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(\f(4,5),\f(3,5))＝－eq\f(4,3).]9．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝________，b＝________.eq\r(2)1[∵2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，∴1＋eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝eq\r(2)，b＝1.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第167頁(yè))熱點(diǎn)題型1三角函數(shù)的圖象問(wèn)題題型分析：高考對(duì)該熱點(diǎn)的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩方面：一是考查三角函數(shù)解析式的求法；二是考查三角函數(shù)圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低.(1)(2016·青島模擬)將函數(shù)y＝eq\r(3)cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,12)C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,6)(2)(2016·衡水中學(xué)四調(diào))已知A，B，C，D是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ＜\f(π,2)))一個(gè)周期內(nèi)的圖象上的四個(gè)點(diǎn)，如圖1-3所示，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))，B為y軸上的點(diǎn)，C為圖象上的最低點(diǎn)，E為該圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B與D關(guān)于點(diǎn)E對(duì)稱，eq\o(CD,\s\up10(→))在x軸上的投影為eq\f(π,12)，則()圖1-3A．ω＝2，φ＝eq\f(π,3) B．ω＝2，φ＝eq\f(π,6)C．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,3) D．ω＝eq\f(1,2)，φ＝eq\f(π,6)(1)A(2)A[(1)設(shè)f(x)＝eq\r(3)cosx＋sinx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))，向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度得g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋m＋\f(π,3))).∵g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，∴g(x)為偶函數(shù)，∴eq\f(π,3)＋m＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，∴m＝eq\f(π,6)＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為eq\f(π,6).(2)由題意可知eq\f(T,4)＝eq\f(π,6)＋eq\f(π,12)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，ω＝eq\f(2π,π)＝2.又sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＋φ))＝0,0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，故選A.]1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定(1)A由最值確定，A＝eq\f(最大值－最小值,2)；(2)ω由周期確定；(3)φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定．提醒：根據(jù)“五點(diǎn)法”中的零點(diǎn)求φ時(shí)，一般先依據(jù)圖象的升降分清零點(diǎn)的類型．2．在圖象變換過(guò)程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對(duì)于其中的自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個(gè)系數(shù)提取后再確定變換的單位長(zhǎng)度和方向．[變式訓(xùn)練1](1)(2016·煙臺(tái)模擬)將f(x)＝sin2x的圖象右移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜φ＜\f(π,2)))個(gè)單位后，得到g(x)的圖象，若對(duì)于滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|的最小值為eq\f(π,3)，則φ的值為()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)(2)(2016·江西八校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝Asinωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖1-4所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)的值為()圖1-4A．0 B．3eq\r(2)C．6eq\r(2) D．－eq\r(2)(1)B(2)A[(1)g(x)＝sin[2(x－φ)]＝sin(2x－2φ)，則f(x)，g(x)的最小正周期都是T＝π.若對(duì)滿足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，則|x1－x2|＝eq\f(T,2)－φ＝eq\f(π,2)－φ＝eq\f(π,3)，從而φ＝eq\f(π,6).(2)由題圖可得，A＝2，T＝8，eq\f(2π,ω)＝8，ω＝eq\f(π,4)，∴f(x)＝2sineq\f(π,4)x.∴f(1)＝eq\r(2)，f(2)＝2，f(3)＝eq\r(2)，f(4)＝0，f(5)＝－eq\r(2)，f(6)＝－2，f(7)＝－eq\r(2)，f(8)＝0，而2016＝8×252，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝0.]熱點(diǎn)題型2三角函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題題型分析：三角函數(shù)的性質(zhì)涉及周期性、單調(diào)性以及最值、對(duì)稱性等，是高考的重要命題點(diǎn)之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等.(2016·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝4tanx·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3).(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上的單調(diào)性．[解](1)f(x)的定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))).1分f(x)＝4tanxcosxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq\r(3)＝4sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx＋\f(\r(3),2)sinx))－eq\r(3)＝2sinxcosx＋2eq\r(3)sin2x－eq\r(3)＝sin2x＋eq\r(3)(1－cos2x)－eq\r(3)＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).4分所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.6分(2)令z＝2x－eq\f(π,3)，則函數(shù)y＝2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))，k∈Z.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z.8分設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，B＝x－eq\f(π,12)＋kπ≤x≤eq\f(5π,12)＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4))).10分所以當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))時(shí)，f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，－\f(π,12)))上單調(diào)遞減.12分研究函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的性質(zhì)的“兩種”意識(shí)1．轉(zhuǎn)化意識(shí)：利用三角恒等變換把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．2．整體意識(shí)：類比于研究y＝sinx的性質(zhì)，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的“x”代入求解便可．[變式訓(xùn)練2](1)(2016·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象．關(guān)于函數(shù)g(x)，下列說(shuō)法正確的是()A．在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是增函數(shù)B．其圖象關(guān)于直線x＝－eq\f(π,4)對(duì)稱C．函數(shù)g(x)是奇函數(shù)D．當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2,3)π))時(shí)，函數(shù)g(x)的值域是[－2,1](2)已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，\f(5π,8)))是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722009】A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(－3π,10)，\f(－9π,10)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9π,10)，\f(4π,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,10)，\f(π,4)))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(π,10)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，＋∞))(1)D(2)C[(1)因?yàn)閒(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，把函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位，得g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝2cos2x.對(duì)于A，由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))可知2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，故g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上是減函數(shù)，故A錯(cuò)；又geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝0，故x＝－eq\f(π,4)不是g(x)的對(duì)稱軸，故B錯(cuò)；又g(－x)＝2cos2x＝g(x)，故C錯(cuò)；又當(dāng)x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))時(shí)，2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，故g(x)的值域?yàn)閇－2,1]，D正確．(2)令2kπ＋eq\f(π,2)＜2x＋φ＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z，所以kπ＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)≤x≤kπ＋eq\f(3π,4)－eq\f(φ,2)，k∈Z，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,4)－\f(φ,2)，kπ＋\f(3π,4)－\f(φ,2)))上單調(diào)遞增．因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,5)，\f(5π,8)))是f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，所以eq\f(5π,8)≤kπ＋eq\f(3π,4)－eq\f(φ,2)，且kπ＋eq\f(π,4)－eq\f(φ,2)≤eq\f(π,5)，k∈Z，解得2kπ＋eq\f(π,10)≤φ≤2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又|φ|＜π，所以eq\f(π,10)≤φ≤eq\f(π,4).故選C.]熱點(diǎn)題型3三角恒等變換題型分析：高考對(duì)該熱點(diǎn)的考查方式主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值；二是以三角恒等變換為載體，考查y＝Asinωx＋φ的有關(guān)性質(zhì).(1)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1-5，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C，B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)，－\f(5,13)))，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則eq\r(3)cos2eq\f(α,2)－sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)－eq\f(\r(3),2)的值為_(kāi)_______．圖1-5(2)已知函數(shù)f(x)＝sin2eq\f(5x,6)－cos2eq\f(5x,6)＋2eq\r(3)sineq\f(5x,6)·coseq\f(5x,6)＋λ的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，則函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,10)))上的最大值為_(kāi)_______．(1)eq\f(5,13)(2)eq\r(3)－eq\r(2)[(1)由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正三角形．由三角函數(shù)的定義可知，sin∠AOB＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(5,13)，∴eq\r(3)cos2eq\f(α,2)－sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3)1＋cosα,2)－eq\f(sinα,2)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)cosα－eq\f(1,2)sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(5,13).(2)f(x)＝sin2eq\f(5x,6)－cos2eq\f(5x,6)＋2eq\r(3)sineq\f(5x,6)·coseq\f(5x,6)＋λ＝－coseq\f(5x,3)＋eq\r(3)sineq\f(5x,3)＋λ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x,3)－\f(π,6)))＋λ.由f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得λ＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)×\f(π,4)－\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,4)＝－eq\r(2)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x－\f(π,6)))－eq\r(2).因?yàn)?≤x≤eq\f(3π,10)，所以－eq\f(π,6)≤eq\f(5x,3)－eq\f(π,6)≤eq\f(π,3).因?yàn)閥＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，所以f(x)的最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,10)))＝2sineq\f(π,3)－eq\r(2)＝eq\r(3)－eq\r(2).]1．解決三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值要堅(jiān)持“三看”原則：一看“角”，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進(jìn)行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡(jiǎn)的方向．2．在研究形如f(x)＝asinωx＋bcosωx的函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，通常利用輔助角公式asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)·sin(x＋φ)把函數(shù)f(x)化為Asin(ωx＋φ)的形式，通過(guò)對(duì)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)性質(zhì)的研究得到f(x)＝asinωx＋bcosωx的性質(zhì)．[變式訓(xùn)練3](1)(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，則()A．3α－β＝eq\f(π,2) B．2α－β＝eq\f(π,2)C．3α＋β＝eq\f(π,2) D．2α＋β＝eq\f(π,2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)＜α＜0，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))等于()A．－eq\f(4,5) B．－eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(3,5)(1)B(2)C[(1)法一：由tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)得eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α)).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，eq\f(π,2)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，由sin(α－β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))，得α－β＝eq\f(π,2)－α，∴2α－β＝eq\f(π,2).法二：tanα＝eq\f(1＋sinβ,cosβ)＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β)))＝eq\f(2cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))))＝coteq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(β,2)))，∴α＝kπ＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(β,2)))，k∈Z，∴2α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.當(dāng)k＝0時(shí)，滿足2α－β＝eq\f(π,2)，故選B.(2)∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＋sinα＝－eq\f(4\r(3),5)，－eq\f(π,2)＜α＜0，∴eq\f(3,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝－eq\f(4\r(3),5)，∴eq\f(\r(3),2)sinα＋eq\f(1,2)cosα＝－eq\f(4,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝cosαcoseq\f(2π,3)－sinαsineq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)cosα－eq\f(\r(3),2)sinα＝eq\f(4,5).]專題一三角函數(shù)與平面向量建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系[高考點(diǎn)撥]三角函數(shù)與平面向量是高考的高頻考點(diǎn)，常以“兩小一大”的形式呈現(xiàn)，兩小題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)與平面向量?jī)?nèi)容，一大題常考查解三角形內(nèi)容，有時(shí)平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識(shí)相交匯．本專題按照“三角函數(shù)問(wèn)題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門(mén)別類進(jìn)行備考．專題限時(shí)集訓(xùn)(一)三角函數(shù)問(wèn)題[建議A、B組各用時(shí)：45分鐘][A組高考達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．(2016·泰安模擬)函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722010】A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)A[函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))，又其為奇函數(shù)，故eq\f(π,3)＋φ＝kπ，π∈Z，解得φ＝kπ－eq\f(π,3)，又|φ|＜eq\f(π,2)，令k＝0，得φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2,3)π))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)min＝－eq\f(\r(3),2)，故選A.]2．(2016·河南八市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝eq\f(1,2)f(x)，則tan2x的值是()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(4,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,4)D[因?yàn)閒′(x)＝cosx＋sinx＝eq\f(1,2)sinx－eq\f(1,2)cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝eq\f(2tanx,1－tan2x)＝eq\f(－6,1－9)＝eq\f(3,4)，故選D.]3．(2016·全國(guó)甲卷)函數(shù)f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))的最大值為()A．4 B．5C．6 D．7B[∵f(x)＝cos2x＋6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos2x＋6sinx＝1－2sin2x＋6sinx＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(3,2)))2＋eq\f(11,2)，又sinx∈[－1,1]，∴當(dāng)sinx＝1時(shí)，f(x)取得最大值5.故選B.]4．(2016·鄭州模擬)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分圖象如圖1-6所示，則f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,12)))的值為()圖1-6A．2－eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1－eq\f(\r(3),2) D．1＋eq\f(\r(3),2)A[由函數(shù)f(x)的圖象得函數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)＝eq\f(2π,ω)＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))))＝π，解得ω＝2，則f(x)＝2sin(2x＋φ)．又因?yàn)楹瘮?shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)－eq\f(π,12)，－2，所以f－eq\f(π,12)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ))＝－2，則2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＋φ＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又因?yàn)閨φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，則f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，所以f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×0－\f(π,3)))＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(17π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋2sineq\f(5π,2)＝－eq\r(3)＋2，故選A.]5．(2016·石家莊二模)設(shè)α，β∈[0，π]，且滿足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，則sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范圍為()A．[－1,1] B．[－1，eq\r(2)]C．[－eq\r(2)，1] D．[1，eq\r(2)]A[由sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝eq\f(π,2)，β＝α－eq\f(π,2)∈[0，π]?α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＋sin(π－α)＝cosα＋sinα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))，α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))?α＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(5π,4)))?sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))?eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))∈[－1,1]，故選A.]二、填空題6．(2016·合肥三模)已知tanα＝2，則sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722011】eq\f(3,5)[∵tanα＝2，∴sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))－sin(3π＋α)cos(2π－α)＝cos2α＋sinαcosα＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,tan2α＋1)＝eq\f(1＋2,4＋1)＝eq\f(3,5).]7．(2016·蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖1-7所示，△EFG(點(diǎn)G在圖象的最高點(diǎn))是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則f(1)＝________.圖1-7－eq\r(3)[由函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)可得φ＝eq\f(π,2)，則f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,2)))＝－Asinωx(A＞0，ω＞0)．又由△EFG是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形可得A＝eq\r(3)，最小正周期T＝4＝eq\f(2π,ω)，ω＝eq\f(π,2)，則f(x)＝－eq\r(3)sineq\f(π,2)x，f(1)＝－eq\r(3).]8．(2015·天津高考)已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，則ω的值為_(kāi)_______．eq\f(\r(π),2)[f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sinωx＋eq\f(π,4)，因?yàn)閒(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱，所以f(ω)必為一個(gè)周期上的最大值，所以有ω·ω＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以ω2＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤eq\f(\f(2π,ω),2)，即ω2≤eq\f(π,2)，所以ω2＝eq\f(π,4)，所以ω＝eq\f(\r(π),2).]三、解答題9．(2016·臨沂高三模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))滿足下列條件：①周期T＝π；②圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于y軸對(duì)稱；③f(0)＝1.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)設(shè)α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(10,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5)，求cos(2α－2β)的值．[解](1)f(x)的周期T＝π，∴ω＝2.1分f(x)的圖象向左平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度，變?yōu)間(x)＝Asineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ)).2分由題意，g(x)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴2×eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.3分又|φ|＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,6)，∴f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).4分∵f(0)＝1，∴Asineq\f(π,6)＝1，∴A＝2.5分因此，f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).6分(2)由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝－eq\f(10,13)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5)，得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝－eq\f(10,13)，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2β＋\f(π,3)＋\f(π,6)))＝eq\f(6,5).7分∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，∴2α，2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴cos2α＝eq\f(5,13)，cos2β＝eq\f(3,5)，sin2α＝eq\f(12,13)，sin2β＝eq\f(4,5)，11分cos(2α－2β)＝cos2αcos2β＋sin2αsin2β＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)＋eq\f(12,13)×eq\f(4,5)＝eq\f(63,65).12分10．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，A＞0，ω＞0,0＜φ＜eq\f(π,2)的部分圖象如圖1-8所示，P是圖象的最高點(diǎn)，Q為圖象與x軸的交點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OQ＝4，OP＝eq\r(5)，PQ＝eq\r(13).圖1-8(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移2個(gè)單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，當(dāng)x∈(－1,2)時(shí)，求函數(shù)h(x)＝f(x)·g(x)的值域．[解](1)由條件知cos∠POQ＝eq\f(42＋\r(5)2－\r(13)2,2×4×\r(5))＝eq\f(\r(5),5).2分又cos∠POQ＝eq\f(xP,\r(5))，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P(1,2).3分由此可得振幅A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又eq\f(2π,ω)＝12，則ω＝eq\f(π,6).4分將點(diǎn)P(1,2)代入f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))，得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1.∵0＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，于是f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3))).6分(2)由題意可得g(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－2＋\f(π,3)))＝2sineq\f(π,6)x.7分∴h(x)＝f(x)·g(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,3)))·sineq\f(π,6)x＝2sin2eq\f(π,6)x＋2eq\r(3)sineq\f(π,6)x·coseq\f(π,6)x＝1－coseq\f(π,3)x＋eq\r(3)sineq\f(π,3)x＝1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6))).9分當(dāng)x∈(－1,2)時(shí)，eq\f(π,3)x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，10分∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6)))∈(－1,1)，即1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x－\f(π,6)))∈(－1,3)，于是函數(shù)h(x)的值域?yàn)?－1,3).12分[B組名校沖刺]一、選擇題1．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋3(a＞0，且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，若角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則sin2α－sin2α的值為()A.eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)C.eq\f(3,13) D．－eq\f(3,13)D[根據(jù)已知可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,3)，根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sinα＝eq\f(3,\r(13))，cosα＝eq\f(2,\r(13))，所以sin2α－sin2α＝sin2α－2sinαcosα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,\r(13))))2－2×eq\f(3,\r(13))×eq\f(2,\r(13))＝－eq\f(3,13).]2．(2016·東北三省四市第二次聯(lián)考)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|＜\f(π,2)))的圖象向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位，所得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－eq\f(\r(3),2)D[f(x)＝sin(2x＋φ)向右平移eq\f(π,12)個(gè)單位得到函數(shù)g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))＋φ))＝sin2x－eq\f(π,6)＋φ，此函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則－eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).因?yàn)?≤x≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以f(x)的最小值為sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，故選D.]3．(2016·湖北七市四月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R)在x＝eq\f(π,4)處取得最大值，則函數(shù)y＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))是()A．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱B．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱C．奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱D．偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)(π，0)對(duì)稱B[由題意可知f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，即acoseq\f(π,4)＋bsineq\f(π,4)＝0，∴a＋b＝0，∴f(x)＝a(sinx＋cosx)＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝eq\r(2)asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＝eq\r(2)acosx.易知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))是偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))對(duì)稱，故選B.]4．(2016·陜西省第二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分圖象如圖1-9所示，且f(α)＝1，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(5π,6)))＝()圖1-9A．±eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(1,3)C[由圖易得A＝3，函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,ω)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12)－\f(π,3)))，解得ω＝2，所以f(x)＝3sin(2x＋φ)．又因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，－3))在函數(shù)圖象上，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)＋φ))＝－3，解得2×eq\f(π,3)＋φ＝eq\f(3,2)π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z.又因?yàn)?＜φ＜π，所以φ＝eq\f(5π,6)，則f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(5π,6)))，當(dāng)α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))時(shí)，2α＋eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，\f(3π,2))).又因?yàn)閒(α)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(5π,6)))＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(5π,6)))＝eq\f(1,3)＞0，所以2α＋eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(5π,6)))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(5π,6))))＝－eq\f(2\r(2),3)，故選C.]二、填空題5．已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是________．【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67722012】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))[f(x)＝sinωx＋cosωx＝eq\r(2)sinωx＋eq\f(π,4)，令2kπ＋eq\f(π,2)≤ωx＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，解得eq\f(2kπ,ω)＋eq\f(π,4ω)≤x≤eq\f(2kπ,ω)＋eq\f(5π,4ω)(k∈Z)．由題意，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上單調(diào)遞減，故eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))為函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的一個(gè)子區(qū)間，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2kπ,ω)＋\f(π,4ω)≤\f(π,2)，,\f(2kπ,ω)＋\f(5π,4ω)≥π，))解得4k＋eq\f(1,2)≤ω≤2k＋eq\f(5,4)(k∈Z)．由4k＋eq\f(1,2)＜2k＋eq\f(5,4)，解得k＜eq\f(3,8).由ω＞0，可知k≥0，因?yàn)閗∈Z，所以k＝0，故ω的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).]6．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上具有單調(diào)性，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))，則f(x)的最小正周期為