新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 2.7《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》教案 (原卷版)

第七節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2，10，eq\f(1,2)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù).1.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1).(2)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0).(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：①loga(M·N)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM﹣logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).3.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù).()(2)log2x2＝2log2x.()(3)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)﹣ln(1﹣x)的定義域相同.()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，(eq\f(1,a),-1)，函數(shù)圖象不在第二、三象限.()二、教材改編1.(log29)·(log34)＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.2D.42.已知a＝2eq\s\up5(－\f(1,3))，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則()A.a＞b＞c B.a＞c＞bC.c＞b＞a D.c＞a＞b3.函數(shù)y＝eq\r(logeq\s\up-5(\f(2,3))（2x－1）)的定義域是________.4.函數(shù)y＝loga(4﹣x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過點(diǎn)________.考點(diǎn)1對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并.(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算.1.設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于()A.eq\r(10)B.10C.20D.1002.計(jì)算：(lgeq\f(1,4)﹣lg25)÷100eq\s\up5(－\f(1,2))＝________.3.計(jì)算：eq\f(（1－log63）2＋log62·log618,log64)＝________.4.已知log23＝a，3b＝7，則log3eq\r(7)2eq\r(21)的值為________.考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.(1)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝loga(x＋eq\f(1,2))(a＞0，且a≠1)的圖象可能是()ABCD(2)當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是()A.(0，eq\f(\r(2),2)) B.(eq\f(\r(2),2)，1)C.(1，eq\r(2)) D.(eq\r(2)，2)[母題探究]1.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2﹣logax＜0對(duì)x∈(0，eq\f(1,2))恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.2.(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)0＜x≤eq\f(1,4)時(shí)，eq\r(x)＜logax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.1.函數(shù)y＝ln(2﹣|x|)的大致圖象為()ABCD2.已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是()A.a＞1，c＞1 B.a＞1，0＜c＜1C.0＜a＜1，c＞1 D.0＜a＜1，0＜c＜13.設(shè)方程10x＝|lg(﹣x)|的兩個(gè)根分別為x1，x2，則()A.x1x2＜0 B.x1x2＝0C.x1x2＞1 D.0＜x1x2＜1考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問題的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)定義域，所有問題都必須在定義域內(nèi)討論.(2)底數(shù)與1的大小關(guān)系.(3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.比較大小(1)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＜c＜b B.a＜b＜cC.b＜c＜a D.c＜a＜b(2)已知a＝log2e，b＝ln2，c＝logeq\s\up-5(\f(1,2))eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A.a＞b＞c B.b＞a＞cC.c＞b＞a D.c＞a＞b對(duì)數(shù)值大小比較的主要方法(1)化同底數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性.(2)化同真數(shù)后利用圖象比較.(3)借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較.解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式(1)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________.和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟已知函數(shù)f(x)＝loga(3﹣ax).(1)當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，函數(shù)f(x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.1.已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2﹣ax＋3a)在[2，＋∞)單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()A.(﹣∞，4] B.[4，＋∞)C.[﹣4，4] D.(﹣4，4]2.函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，則a＝________.3.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,logeq\s\up-5(\f(1,2))（－x），x＜0.))若f(a)＞f(﹣a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一、選擇題1.函數(shù)y＝eq\r(log3（2x－1）＋1)的定義域是()A.[1，2] B.[1，2)C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D.(eq\f(2,3)，＋∞)2.若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝()A.log2x B.eq\f(1,2x)C.logeq\f(1,2)x D.2x﹣23.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則()A.a＜b＜c B.a＜c＜bC.c＜a＜b D.b＜c＜a4.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2﹣m1＝eq\f(5,2)lgeq\f(E1,E2)，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10﹣10.15.設(shè)函數(shù)f(x)＝loga|x|(a＞0，且a≠1)在(﹣∞，0)上單調(diào)遞增，則f(a＋1)與f(2)的大小關(guān)系是()A.f(a＋1)＞f(2) B.f(a＋1)＜f(2)C.f(a＋1)＝f(2) D.不能確定二、填空題6.計(jì)算：lg0.001＋lneq\r(e)＋2eq\s\up8(－1＋log23)＝________.7.函數(shù)f(x)＝loga(x2﹣4x﹣5)(a＞1)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.8.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，,1－log2x，x＞1，))則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________.三、解答題9.設(shè)f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3﹣x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間[0，eq\f(3,2)]上的最大值.10.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝logeq\s\up-2(\f(1,2))x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2﹣1)＞﹣2.1.已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若logab＞1，則()A.(a﹣1)(b﹣1)＜0 B.(a﹣1)(a﹣b)＞0C.(b﹣1)(b﹣a)＜0 D.(b﹣1)(b﹣a)＞02.已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10﹣x)，則()A.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)B.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是增函數(shù)C.f(x)是奇函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)D.f(x)是偶函數(shù)，且在(0，10)上是減函數(shù)3.關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0，x∈R)有下列命題：①函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；②在區(qū)間(﹣∞，0)上，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；③函數(shù)f(x)的最小值為lg2；④在區(qū)間(1，＋∞)上，函數(shù)f(x)是