新高考數(shù)學一輪復習講義+分層練習 10.1《兩個計數(shù)原理、排列與組合》教案(教師版)

第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.能正確區(qū)分“類”和“步”，并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.3.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.4.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實際問題.1.兩個計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理條件完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法結(jié)論完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法完成這件事共有N＝mn種不同的方法2.排列、組合的定義排列的定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合的定義合成一組3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n﹣1)(n﹣2)…(n﹣m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)性質(zhì)Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列.()(2)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.()(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√二、教材改編1.圖書館的一個書架有三層，第一層有3本不同的數(shù)學書，第二層有5本不同的語文書，第三層有8本不同的英語書，現(xiàn)從中任取1本書，不同的取法有()A.12B.16C.64D.120答案為：B.解析：書架上共有3＋5＋8＝16本不同的書，從中任取一本共有16種不同的取法，故選B.]2.用數(shù)字1，2，3，4，5組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為()A.8B.24C.48D.120答案為：C.解析：末位只能從2，4中選一個，其余的三個數(shù)字任意排列，故這樣的偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48個.故選C.]3.6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A.144 B.120C.72 D.24答案為：D.解析：“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.]4.五名學生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，則不同的報名方法的種數(shù)為________.五名學生爭奪四項比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有________種.(用數(shù)字作答)4554[五名學生參加四項體育比賽，每人限報一項，可逐個學生落實，每個學生有4種報名方法，共有45種不同的報名方法.五名學生爭奪四項比賽的冠軍，可對4個冠軍逐一落實，每個冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.]考點1兩個計數(shù)原理的綜合應用利用兩個基本計數(shù)原理解決問題的步驟第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的.第二步，分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種.第三步，弄清在每一類或每一步中的方法種數(shù).第四步，根據(jù)兩個基本計數(shù)原理計算出完成這件事的方法種數(shù).(1)如果一個三位正整數(shù)如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為()A.240B.204C.729D.920(2)(2016·全國卷Ⅱ)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24B.18C.12D.9(3)如圖所示的五個區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A.24B.48C.72D.96(1)A(2)B(3)答案為：C.解析：(1)如果這個三位數(shù)含0，則0必在末位，共有這樣的凸數(shù)Ceq\o\al(2,9)個；如果這個三位數(shù)不含0，則這樣的凸數(shù)共有Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,9)個.即共有2Ceq\o\al(2,9)＋Ceq\o\al(3,9)Aeq\o\al(2,2)＝240個.(2)從E到G需要分兩步完成：先從E到F，再從F到G.從F到G的最短路徑，只要考慮縱向路徑即可，一旦縱向路徑確定，橫向路徑即可確定，故從F到G的最短路徑共有3條.如圖，從E到F的最短路徑有兩類：先從E到A，再從A到F，或先從E到B，再從B到F.因為從A到F或從B到F都與從F到G的路徑形狀相同，所以從A到F，從B到F最短路徑的條數(shù)都是3，所以從E到F的最短路徑有3＋3＝6(條).所以小明到老年公寓的最短路徑條數(shù)為6×3＝18.(3)法一：(以位置為主考慮)分兩種情況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D各有1種，有4×3×2＝24種涂法.②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48種涂法.故共有24＋48＝72種涂色方法.法二：(以顏色為主考慮)分兩類.(1)取4色：著色方法有2Aeq\o\al(4,4)＝48(種).(2)取3色：著色方法有Aeq\o\al(3,4)＝24(種).所以共有著色方法48＋24＝72(種).](1)應用兩個計數(shù)原理的難點在于明確是分類還是分步：分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標準是關(guān)鍵；分步要做到“步驟完整”，步步相連才能將事件完成.(2)較復雜的問題可借助圖表來完成.(3)對于涂色問題：①分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素；②注意對每個區(qū)域逐一進行，分步處理.[備選例題]1.甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有()A.4種B.6種C.10種D.16種答案為：B.解析：分兩類：甲第一次踢給乙時，滿足條件的有3種傳遞方式(如圖)；同理，甲第一次踢給丙時，滿足條件的也有3種傳遞方式.由分類加法計數(shù)原理可知，共有3＋3＝6(種)傳遞方式.]2.如圖所示的幾何體是由三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成，現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有()A.6種B.9種C.12種D.36種答案為：C.解析：先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面，有3×2＝6(種)涂法；然后涂三棱柱的三個側(cè)面，有2×1＝2(種)涂法.共有6×2＝12(種)不同的涂法.]1.一個旅游景區(qū)的游覽線路如圖所示，某人從P點處進，Q點處出，沿圖中線路游覽A，B，C三個景點及沿途風景，則不同(除交匯點O外)的游覽線路有()A.6種B.8種C.12種D.48種答案為：D.解析：從點P處進入后，參觀第一個景點時，有6個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,6)種選法，參觀完第一個景點，參觀第二個景點時，有4個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,4)種選法，參觀完第二個景點，參觀第三個景點時，有2個路口可以選擇，從中任選一個，有Ceq\o\al(1,2)種選法，則共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝48(種)線路.故選D.]2.甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9，0，2，1，5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()A.64B.80C.96D.120答案為：B.解析：5日至9日，日期尾數(shù)分別為5，6，7，8，9，有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日.第一步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2×2＝4(種)；第二步，安排奇數(shù)日出行，分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3×2×2＝12(種)，第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)，共計12＋8＝20(種).根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為4×20＝80.]考點2排列問題求解排列應用問題的6種常用方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相隔問題把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價轉(zhuǎn)化的方法3名女生和5名男生排成一排.(1)若女生全排在一起，有多少種排法？(2)若女生都不相鄰，有多少種排法？(3)[一題多解]若女生不站兩端，有多少種排法？(4)其中甲必須排在乙左邊(可不鄰)，有多少種排法？(5)其中甲不站最左邊，乙不站最右邊，有多少種排法？[解](1)(捆綁法)由于女生排在一起，可把她們看成一個整體，這樣同5名男生合在一起有6個元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種排法，而其中每一種排法中，3名女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320種不同排法.(2)(插空法)先排5名男生，有Aeq\o\al(5,5)種排法，這5名男生之間和兩端有6個位置，從中選取3個位置排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400種不同排法.(3)法一(位置分析法)：因為兩端不排女生，只能從5名男生中選2人排，有Aeq\o\al(2,5)種排法，剩余的位置沒有特殊要求，有Aeq\o\al(6,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400種不同排法.法二(元素分析法)：從中間6個位置選3個安排女生，有Aeq\o\al(3,6)種排法，其余位置無限制，有Aeq\o\al(5,5)種排法，因此共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400種不同排法.(4)8名學生的所有排列共Aeq\o\al(8,8)種，其中甲在乙左邊與乙在甲左邊的各占eq\f(1,2)，因此符合要求的排法種數(shù)為eq\f(1,2)Aeq\o\al(8,8)＝20160.(5)甲、乙為特殊元素，左、右兩邊為特殊位置.法一(特殊元素法)：甲在最右邊時，其他的可全排，有Aeq\o\al(7,7)種不同排法；甲不在最右邊時，可從余下6個位置中任選一個，有Aeq\o\al(1,6)種.而乙可排在除去最右邊位置后剩余的6個中的任一個上，有Aeq\o\al(1,6)種，其余人全排列，共有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種不同排法.由分類加法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種不同排法.法二(特殊位置法)：先排最左邊，除去甲外，有Aeq\o\al(1,7)種排法，余下7個位置全排，有Aeq\o\al(7,7)種排法，但應剔除乙在最右邊時的排法Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)種，因此共有Aeq\o\al(1,7)·Aeq\o\al(7,7)﹣Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法.法三(間接法)：8名學生全排列，共Aeq\o\al(8,8)種，其中，不符合條件的有甲在最左邊時，有Aeq\o\al(7,7)種排法，乙在最右邊時，有Aeq\o\al(7,7)種排法，其中都包含了甲在最左邊，同時乙在最右邊的情形，有Aeq\o\al(6,6)種排法.因此共有Aeq\o\al(8,8)﹣2Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(6,6)＝30960種排法.(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法.(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.1.把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有________種.36[(捆綁法和插空法的綜合應用)記其余兩種產(chǎn)品為D，E.將A，B視為一個元素，先與D，E進行排列，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種方法，再將C插入，每種排列均只有3個空位可選，故不同的擺法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)×3＝2×6×3＝36(種).]2.現(xiàn)有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學坐在一起探討一個數(shù)學課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有________種.(用數(shù)字作答)8[先按排甲，其選座方法有Ceq\o\al(1,4)種，由于甲、乙不能相鄰，所以乙只能坐甲對面，而丙、丁兩位同學坐另兩個位置的坐法有Aeq\o\al(2,2)種，所以共有坐法種數(shù)為Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,2)＝4×2＝8種.]考點3組合問題組合問題的常見類型與處理方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取.(2)“至少”或“至多”含有幾個元素的題型：若直接法分類復雜時，逆向思維，間接求解.某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名隊長.現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生當選；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選.[解](1)只有一名女生當選等價于有一名女生和四名男生當選.故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350種.(2)兩隊長當選，共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165種.(3)至少有一名隊長當選含有兩類：只有一名隊長當選，有兩名隊長當選.故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825種.(或采用排除法：Ceq\o\al(5,13)﹣Ceq\o\al(5,11)＝825(種)).(4)至多有兩名女生當選含有三類：有兩名女生當選，只有一名女生當選，沒有女生當選.故選法共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966種.含有附加條件的組合問題通常用直接法或間接法，應注意“至少”“最多”“恰好”等詞的含義的理解.1.某單位擬安排6位員工在今年6月9日至11日值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值9日，乙不值11日，則不同的安排方法共有()A.30種B.36種C.42種D.48種答案為：C.解析：若甲在11日值班，則在除乙外的4人中任選1人在11日值班，有Ceq\o\al(1,4)種選法，9日、10日有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種安排方法，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝24(種)安排方法；若甲在10日值班，乙在9日值班，余下的4人有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)種安排方法，共有12種安排方法；若甲、乙都在10日值班，則共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝6(種)安排方法.所以總共有24＋12＋6＝42(種)安排方法.]2.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為()A.232B.252C.472D.484答案為：C.解析：分兩類：第一類，含有1張紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264(種)；第二類，不含有紅色卡片，不同的取法共有Ceq\o\al(3,12)﹣3Ceq\o\al(3,4)＝220﹣12＝208(種).由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法有264＋208＝472(種).]考點4分組、分配問題分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配.(1)分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個數(shù)都相等；②部分均勻分組，應注意不要重復；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復現(xiàn)象.(2)分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解.整體均分問題國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學免費培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學校去任教，有________種不同的分派方法.90[先把6個畢業(yè)生平均分成3組，有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學校，有Aeq\o\al(3,3)＝6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學校，共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90種分派方法.]本題屬于整體均分問題，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復計數(shù).部分均分問題將6本不同的書分給甲、乙、丙、丁4個人，每人至少1本的不同分法共有________種.(用數(shù)字作答)1560[把6本不同的書分成4組，每組至少1本的分法有2種.①有1組3本，其余3組每組1本，不同的分法共有eq\f(Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(3,3))＝20(種)；②有2組每組2本，其余2組每組1本，不同的分法共有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))·eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))＝45(種).所以不同的分組方法共有20＋45＝65(種).然后把分好的4組書分給4個人，所以不同的分法共有65×Aeq\o\al(4,4)＝1560(種).]本題屬于局部均分問題，解題時注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù).第二屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2019年4月25日至27日在北京舉行，為了保護各國元首的安全，將5個安保小組全部安排到指定三個區(qū)域內(nèi)工作，且這三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，則這樣的安排方法共有()A.96種B.100種C.124種D.150種答案為：D.解析：因為三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組，所以可以把5個安保小組分成三組，有兩種分組的情況：一種是1，1，3，另一種是1，2，2.當按照1，1，3來分時，共有N1＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝60(種)，當按照1，2，2來分時，共有N2＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90(種)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理知N＝N1＋N2＝150種.]不等分問題(1)若將6名教師分到3所中學任教，一所1名，一所2名，一所3名，則有________種不同的分法.(2)把8個相同的小球全部放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則不同的放法種數(shù)為()A.35B.70C.165D.1860(1)360(2)答案為：C.解析：(1)將6名教師分組，分三步完成：第1步，在6名教師中任取1名作為一組，有Ceq\o\al(1,6)種分法；第2步，在余下的5名教師中任取2名作為一組，有Ceq\o\al(2,5)種分法；第3步，余下的3名教師作為一組，有Ceq\o\al(3,3)種分法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種分法.再將這3組教師分配到3所中學，有Aeq\o\al(3,3)＝6種分法，故共有60×6＝360種不同的分法.(2)根據(jù)題意，分4種情況討論：①沒有空盒，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選3個，插入隔板，將小球分成4組，順次對應4個盒子，有Ceq\o\al(3,7)＝35種放法；②有1個空盒，在4個盒中任選3個，放入小球，有Ceq\o\al(3,4)＝4種選法，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選2個，插入隔板，將小球分成3組，順次對應3個盒子，有Ceq\o\al(2,7)＝21種分組方法，則有4×21＝84種放法；③有2個空盒，在4個盒中任選2個，放入小球，有Ceq\o\al(2,4)＝6種選法，將8個相同的小球排成一列，排好后，各球之間共有7個空位，在7個空位中任選1個，插入隔板，將小球分成2組，順次對應2個盒子，有Ceq\o\al(1,7)＝7種分組方法，則有6×7＝42種方法；④有3個空盒，即將8個小球全部放進1個盒子，有4種放法.故一共有35＋84＋42＋4＝165種放法.]本題屬于不等分問題，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù).1.將甲、乙等5名交警分配到三個不同路口疏導交通，每個路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.18種B.24種C.36種D.72種答案為：C.解析：1個路口3人，其余路口各1人的分配方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種.1個路口1人，2個路口各2人的分配方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，由分類加法計數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的分配方案為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36種.]2.將六名教師分配到甲、乙、丙、丁四所學校任教，其中甲校至少分配兩名教師，其它三所學校至少分配一名教師，則不同的分配方案共有________種.(用數(shù)字作答)660[若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)種，則不同的分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(3,3)＝660種.]兩個計數(shù)原理、排列與組合一、選擇題1.“中國夢”的英文翻譯為“ChinaDream”，其中China又可以簡寫為CN，從“CNDream”中取6個不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有()A.360種B.480種C.600種D.720種答案為：C.解析：從其他5個字母中任取4個，然后與“ea”進行全排列，共有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)＝600種，故選C.]2.有4位教師在同一年級的4個班中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學檢測時要求每位教師不能在本班監(jiān)考，則不同的監(jiān)考方法有()A.8種B.9種C.10種D.11種答案為：B.解析：設四位監(jiān)考教師分別為A，B，C，D，所教班分別為a，b，c，d，假設A監(jiān)考b，則余下三人監(jiān)考剩下的三個班，共有3種不同方法，同理A監(jiān)考c，d時，也分別有3種不同方法，由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的監(jiān)考方法.]3.安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A.12種B.18種C.24種D.36種答案為：D.解析：由題意可得其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種).故選D.]4.現(xiàn)有小麥、大豆、玉米、高粱4種不同農(nóng)作物供選擇，在如圖所示的四塊土地上進行種植，要求有公共邊界的兩塊地不能種同一種農(nóng)作物，則不同的種植方法共有()A.36種 B.48種C.24種 D.30種答案為：B.解析：先給B地種植，有4種選擇，再給C塊地種植，有3種選擇，再給A地種植，有2種選擇，最后給D地種植，有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知共有4×3×2×2＝48(種)不同的種植方法.]5.有七名同學站成一排照畢業(yè)紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法有()A.240種B.192種C.96種D.48種答案為：B.解析：當丙和乙在甲的左側(cè)時，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝96種排列方法，同理，當丙和乙在甲的右側(cè)時也有96種排列方法，所以共有192種排列方法.]6.某中學語文老師從《紅樓夢》《平凡的世界》《紅巖》《老人與?！?本不同的名著中選出3本，分給三個同學去讀，其中《紅樓夢》為必讀，則不同的分配方法共有()A.6種B.12種C.18種D.24種答案為：C.解析：(1)先從《平凡的世界》《紅巖》《老人與?！啡緯羞x擇2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(種)選法；(2)將選出的2本書與《紅樓夢》共計3本書進行全排列，對應分給三名學生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方法有3×6＝18(種).故選C.]7.福州西湖公園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，不同的安排方案共有()A.90種B.180種C.270種D.360種答案為：B.解析：根據(jù)題意，分3步進行分析：①在6位志愿者中任選1個，安排到甲展區(qū)，有Ceq\o\al(1,6)＝6種情況；②在剩下的5個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有Ceq\o\al(1,5)＝5種情況；③將剩下的4個志愿者平均分成2組，然后安排到剩下的2個展區(qū)，有eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2),Aeq\o\al(2,2))×Aeq\o\al(2,2)＝6種情況，則一共有6×5×6＝180種不同的安排方案.]二、填空題8.由數(shù)字2，0，1，9組成沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個數(shù)為________.10[根據(jù)所組成的沒有重復數(shù)字的四位偶數(shù)的個位是否為0進行分類計數(shù)：第一類，個位是0時，滿足題意的四位偶數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＝6；第二類，個位是2時，滿足題意的四位偶數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分類加法計數(shù)原理得，滿足題意的四位偶數(shù)的個數(shù)為6＋4＝10.]9.已知eq\f(1,Ceq\o\al(m,5))﹣eq\f(1,Ceq\o\al(m,6))＝eq\f(7,10Ceq\o\al(m,7))，則m＝________.2[由組合數(shù)公式化簡整理得m2﹣23m＋42＝0解得m＝2或m＝21(舍去).]10.首屆中國國際進口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有種________(結(jié)果用數(shù)值表示).24[在五天里，連續(xù)的2天，一共有4種，剩下的3人排列，故有4Aeq\o\al(3,3)＝24種.]1.已知兩條異面直線a，b上分別有5個點和8個點，則這13個點可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A.40B.16C.13D.10答案為：C.解析：分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的8個點可以確定8個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的5個點可以確定5個不同的平面.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13個不同的平面.]2.安排A，B，C，D，E，F(xiàn)，共6名義工照顧甲，乙，丙三位老人，每兩位義工照顧一位老人，考慮到義工與老人住址距離問題，義工A不安排照顧老人甲，義工B不安排照顧老人乙，則安排方法共有()A.30種B.40種C.42種D.48種答案為：C.解析：6名義工照顧三位老人，每兩位義工照顧一位老人共有：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90種安排方法，其中A照顧老人甲的情況有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種，B照顧老人乙的情況有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30種，A照顧老人甲，同時B照顧老人乙的情況有：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12種，∴符合題意的安排方法有：90﹣30﹣30＋12＝42種，故選C.]3.把20個不加區(qū)別的小球放入1號，2號，3號的三個盒子中，要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù)，則不同的放法種數(shù)為________.120[先在編號為2，3的盒內(nèi)分別放入1個，2個球，還剩17個小球，三個盒內(nèi)每個至少再放入1個，將17個球排成一排，有16個空隙，插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可，共有Ceq\o\al(2,16)＝120種方法.]4.習近平總書記在湖南省湘西州十八洞村考察時首次提出“精準扶貧”概念，精準扶貧成為我國脫貧攻堅的基本方略.為配合國家精準扶貧戰(zhàn)略，某省示范性高中安排6名高級教師(不同姓)到基礎(chǔ)教育薄弱的甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，因工作需要，其中李老師不去甲校，則分配方案種數(shù)為________.360[法一：根據(jù)甲、乙、丙三所中學進行扶貧支教，每所學校至少1人，可分四種情況：(1)甲校安排1名教師，分配方案種數(shù)有Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；(2)甲校安排2名教師，分配方案種數(shù)有Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；(3)甲校安排3名教師，分配方案種數(shù)有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；(4)甲校安排4名教師，分配方案種數(shù)有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10；由分類計數(shù)原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(種)分配方案