城市用水量預(yù)測(cè)模型(數(shù)學(xué)建模論文)

PAGEPAGE10城市供水量預(yù)測(cè)模型摘要水是生命之源，地球上水的總量雖然巨大，但能夠被人類(lèi)利用的淡水資源卻極其匱乏，而且分布極不平衡。淡水資源的短缺給人們的生產(chǎn)生活帶來(lái)了諸多不變，因此我們應(yīng)該珍惜水資源，對(duì)水資源要合理且可持續(xù)的利用。本文以?xún)蓚€(gè)自來(lái)水廠2001—2007年間每天的供水量為依據(jù)，運(yùn)用灰色系統(tǒng)理論、模糊線(xiàn)性回歸、二元線(xiàn)性回歸、組合預(yù)測(cè)等數(shù)學(xué)方法對(duì)所給問(wèn)題建立模型并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了分析。關(guān)鍵詞：灰色系統(tǒng)理論模糊線(xiàn)性回歸組合預(yù)測(cè)matlab問(wèn)題分析該問(wèn)題是根據(jù)日供水量記錄估計(jì)未來(lái)一時(shí)間段的用水量，只有一些數(shù)據(jù)內(nèi)部機(jī)理不明確屬于灰色系統(tǒng)問(wèn)題。我們需要在一定的假設(shè)下，對(duì)已知數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，并運(yùn)用一些方法完成對(duì)未來(lái)一時(shí)間段用水量的預(yù)測(cè)。對(duì)問(wèn)題（1）的分析：為預(yù)測(cè)2008年上半年日用水量，我們考慮到溫度與用水量的正相關(guān)性，需先對(duì)溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)。由于我們只需預(yù)測(cè)出2008年上半年的日用水量，并且通過(guò)對(duì)2005-2007年每年相應(yīng)時(shí)段內(nèi)的日用水量及溫度的散點(diǎn)圖觀察分析，我們知道這幾年里相應(yīng)時(shí)段內(nèi)溫度及用水量均穩(wěn)定在某一值附近。故我們可以以三年內(nèi)相應(yīng)時(shí)間段溫度及相應(yīng)的日用水量的平均值作為數(shù)據(jù)基礎(chǔ)建立數(shù)學(xué)模型，所建模型可以很好的表征用水量在一年中（此模型只考慮上半年）隨時(shí)間的變化趨勢(shì)及相關(guān)制約因素的作用，故我們用其進(jìn)行預(yù)測(cè)是合理有效的。首先，我們建立一年內(nèi)上半年溫度隨時(shí)間（天）變化的線(xiàn)性回歸模型，得到上半年溫度與時(shí)間序列（天）的關(guān)系，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)出2008年上半年每天的溫度。然后，為找出溫度與用水量的關(guān)系，以所求得的用水量與溫度的均值為基礎(chǔ)，分別建立了二元線(xiàn)性回歸模型和模糊線(xiàn)性回歸模型，表示出了每天最高溫度、最低溫度與用水量的關(guān)系。通過(guò)觀察2001-2007年用水量整體隨時(shí)間變化的關(guān)系圖，我們很明顯的看到用水量變化總體來(lái)說(shuō)是呈增長(zhǎng)趨勢(shì)的。以上模型只是以2005-2007年三年的相關(guān)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，沒(méi)有考慮到溫度、用水量長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)整體隨時(shí)間（年）的變化規(guī)律。為彌補(bǔ)這個(gè)缺陷我們建立了GM（1，1）模型單獨(dú)對(duì)2008日用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)。但該模型沒(méi)有表示出溫度對(duì)用水量的影響。以上模型各有利弊，為了綜合上述模型的優(yōu)點(diǎn)，我們以它們?yōu)榛A(chǔ)又建立了組合預(yù)測(cè)模型，很好的提高了預(yù)測(cè)精度。對(duì)問(wèn)題（二）的分析：通過(guò)對(duì)所給數(shù)據(jù)觀察，我們可以得出任何時(shí)段內(nèi)該城市的日用水量與兩水廠的供水量之和均相等的結(jié)論。以這個(gè)結(jié)論為前提，利用問(wèn)題（一）所求結(jié)果，我們只需對(duì)一號(hào)水廠或是二號(hào)水廠2008年上半年日供水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，從而可以得到另一水廠2008年上半年日供水量。對(duì)問(wèn)題（三）的分析：為確定能使2008年8月份的總用水量不超過(guò)5045萬(wàn)噸的水價(jià)調(diào)整方案，只需找出各年8月份用水量與對(duì)應(yīng)水價(jià)之間的關(guān)系，通過(guò)這個(gè)關(guān)系即可以確定滿(mǎn)足上述條件的水價(jià)調(diào)整方案。但本題所給數(shù)據(jù)較少，我們利用GM（1，1）理論分別對(duì)8月份用水量及相應(yīng)水價(jià)進(jìn)行了預(yù)測(cè)擴(kuò)充，得出了2008~2010年的相關(guān)數(shù)據(jù)。接著，我們根據(jù)那些數(shù)據(jù)建立了一元直線(xiàn)回歸模型，得出了8月份用水量與相應(yīng)水價(jià)的關(guān)系，繼而得到相應(yīng)的水價(jià)調(diào)整方案。模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明模型假設(shè)：自來(lái)水廠提供的七年來(lái)每天的供水量數(shù)據(jù)是真實(shí)可靠的每天的自來(lái)水的需求量與當(dāng)天的溫度有關(guān)人們對(duì)自來(lái)水的價(jià)格有一定的敏感性，既提高價(jià)格能抑制自來(lái)水的需求量每天的溫度是相對(duì)獨(dú)立的自來(lái)水廠有足夠的水資源來(lái)滿(mǎn)足用戶(hù)的需求該城市的用水量?jī)H有一號(hào)和二號(hào)這兩個(gè)水廠供應(yīng)。符號(hào)說(shuō)明：表示第i年第j天的用水量。（，）表示第i年第j天的最高溫度。（，）表示第i年第j天的最低溫度。（，）表示2005~2007年相應(yīng)天數(shù)的平均最高溫度。（t=1,2,…,180）表示2005~2007年相應(yīng)天數(shù)的平均最低溫度。（t=1,2,…,180）表示第一個(gè)水廠第i年第j天的供水量（，）表示第二個(gè)水廠第i年第j天的供水量（，）表示第i年八月份水價(jià)（）表示第i年八月份用水總量（）表示第i年第j天用水量的實(shí)際值表示第I個(gè)模型第i年第j天供水量的預(yù)測(cè)值表示第II個(gè)模型第i年第j天供水量的預(yù)測(cè)值模型的建立與求解問(wèn)題（一）的求解：數(shù)據(jù)準(zhǔn)備：通過(guò)對(duì)如圖（一）所示2005~2007年日用水量的分布可知：2005~2007年各個(gè)對(duì)應(yīng)時(shí)段的日用水量q浮動(dòng)不大。由經(jīng)驗(yàn)可知，相鄰年份各個(gè)時(shí)段的溫度T相差不大。故我們對(duì)數(shù)據(jù)做如下處理：注：青線(xiàn)、綠線(xiàn)、藍(lán)線(xiàn)分別表示2005、2006、2007年上半年日用水量的變化曲線(xiàn)圖（一）2005~2007年上半年日用水量的分布圖ii．溫度的預(yù)測(cè)：為了說(shuō)明溫度對(duì)日用水量的影響，我們需對(duì)2008年上半年的溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先，我們分別做出溫度，（j=1,2,…,180）隨時(shí)間（天）變化的散點(diǎn)圖如圖（二）所示，可以看出溫度在這半年內(nèi)隨時(shí)間的變化呈線(xiàn)性增長(zhǎng)趨勢(shì)，故我們用線(xiàn)性回歸分別對(duì)，（j=1,2,…,180）進(jìn)行線(xiàn)性擬合，所求得的曲線(xiàn)如圖（二）中直線(xiàn)所示：圖（二）對(duì)最高溫度、最低溫度的擬合曲線(xiàn)的回歸方程分別為，，它們的相關(guān)系數(shù)分別為：可以看出該回歸方程的預(yù)測(cè)精度較高，我們可以用它們完成對(duì)2008年上半年最高、最低溫度預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附表1。iii.模型建立模型I：二元線(xiàn)性回歸模型為了表現(xiàn)出最高溫度、最低溫度對(duì)日用水量的影響，我們首先建立日用水量對(duì)最高、最低溫度，（j=1,2,…,180）的二元線(xiàn)性回歸模型，所求得的回歸方程為：，先把2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對(duì)其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見(jiàn)圖（四），得到每年每個(gè)月平均誤差系數(shù)分別為：0.051176、0.028478、0.018252。由此可以看出該模型的預(yù)測(cè)精度比較高。模型II：模糊線(xiàn)性回歸模型由于模糊線(xiàn)性回歸模型能夠很好的處理影響用水量變化的各種不確定性因素，在這里我們也建立了日用水量對(duì)最高、最低溫度，（j=1,2,…,180）的模糊線(xiàn)性回歸模型，所得結(jié)果一般形式為:（1）其中，(j=1,2),由于,說(shuō)明最低溫度與日用水量的相關(guān)度很低，這與實(shí)際生活中客觀規(guī)律是一致的即當(dāng)溫度高于一定的程度時(shí)才會(huì)對(duì)日用水量產(chǎn)生明顯的影響。之后，先把2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對(duì)其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見(jiàn)圖（四），得到各年每個(gè)月平均誤差系數(shù)分別為：0.031268、0.033255、0.043079。通過(guò)與模型I預(yù)測(cè)精度比較，該模型誤差精度要稍微差一些。模型III：灰色微分方程模型以上兩個(gè)模型均只建立在2005~2007年相關(guān)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，沒(méi)有考慮這幾年相應(yīng)時(shí)間段內(nèi)日用水量的變化趨勢(shì)，觀察圖（三）可知各年用水量在相應(yīng)時(shí)間段內(nèi)呈遞增趨勢(shì)，因此我們建立此模型予以彌補(bǔ)前兩個(gè)模型的缺陷。圖（三）2001~2007年日用水量的變化曲線(xiàn)我們先把2001~2007年上半年的日用水量（i=1,2,…,7j=1,2,…,180）的j列進(jìn)行累加生成得到累加生成序列，然后按照模型準(zhǔn)備部分的步驟得到該列對(duì)應(yīng)的灰微分方程為（j=1,2,…,180）其中，（j=1,2,…,180）,對(duì)數(shù)列進(jìn)行累減還原得到原始數(shù)列擬合序列為：然后利用matlab編程循環(huán)即可預(yù)測(cè)出每一年前180天的日用水量。我們用2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對(duì)其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見(jiàn)圖（四），得到2005~2007年上半年每個(gè)月平均誤差系數(shù)分別為：0.0069587、0.010846、0.00036306。由此可知該模型的預(yù)測(cè)精度比以上兩個(gè)模型均有所提高。模型IV：最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型模型III考慮了溫度對(duì)日用水量的影響，但沒(méi)有考慮日用水量各年整體的變化趨勢(shì)，而模型III考慮了日用水量各年整體的變化趨勢(shì)但忽略了溫度對(duì)日用水量的影響，它們各有利弊。由于模型I比模型II預(yù)測(cè)精度更高，而模型III預(yù)測(cè)精度比前兩者均更高，所以我們把模型I和模型III進(jìn)行組合：，（2）其中（j）+（j）=1建立下列式子：

令,則使最小令R=(1,1),則上述問(wèn)題可歸結(jié)為以下優(yōu)化問(wèn)題:利用拉格朗日乘子法求條件極值，設(shè)：則函數(shù)L的極值比滿(mǎn)足即解得，又由于RK=1，因此最后得到組合系數(shù)為利用已知數(shù)據(jù)通過(guò)matlab編程即可得到系數(shù)矩陣，（j=1,2,…,180）見(jiàn)附表1將，（j=1,2,…,180）代入式子（2）即可得組合后的模型，為了與前面所建模進(jìn)行對(duì)比我們用2005~2007年上半年的相關(guān)數(shù)據(jù)按月（30天）進(jìn)行累加（方便作圖），然后對(duì)其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見(jiàn)圖（四），得到2005~2007年上半年每個(gè)月平均誤差系數(shù)分別為：0.0034153、0.0084898、0.0011233。該模型的預(yù)測(cè)精度已經(jīng)非常高了，故我們用其對(duì)2008年上半年的日用水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果見(jiàn)附表2圖（四）對(duì)問(wèn)題（一）所建模型的誤差評(píng)判注：圖中直方圖、黑色曲線(xiàn)、紅色曲線(xiàn)、藍(lán)色曲線(xiàn)分別為模型I、模型II、模型III、模型IV所擬合出的2005~2007年上半年各個(gè)月用水總量，為預(yù)測(cè)值。‘o’為2005~2007年上半年各個(gè)月用水總量實(shí)測(cè)值。問(wèn)題（二）的求解：由上面的問(wèn)題分析可知，我們只需預(yù)測(cè)出一號(hào)水廠在2008年上半年的日供水量，然后依據(jù)問(wèn)題（一）的求解結(jié)果即可預(yù)測(cè)出二號(hào)水廠在2008年上半年的日供水量。首先，我們依據(jù)一號(hào)水廠2001~2007年上半年日供水量，建立GM（1，1）模型完成對(duì)2008年上半年的日供水量預(yù)測(cè)，然后我們用2002~2007的相關(guān)數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行誤差檢驗(yàn)，見(jiàn)圖（五），對(duì)2002~2007年上半年預(yù)測(cè)的各年的平均誤差系數(shù)分別：0.020128、0.01469、0.026702、0.022941、0.025683、0.00035384。由此可知該模型對(duì)一號(hào)水廠的預(yù)測(cè)精度比較高。圖（五）對(duì)2002~2007年上半年各月一號(hào)水廠供水總量的預(yù)測(cè)值與觀察值的比較灰色關(guān)聯(lián)度的計(jì)算：按照模型準(zhǔn)備部分介紹的一種新的關(guān)聯(lián)度計(jì)算方法，我們用matlab編程得到前半年每天的用該模型對(duì)供水量的預(yù)測(cè)值與觀測(cè)值的關(guān)聯(lián)度見(jiàn)附表3，對(duì)180天的關(guān)聯(lián)度求平均為0.52596，按照這種關(guān)聯(lián)度計(jì)算法的等級(jí)要求預(yù)測(cè)精度已經(jīng)比較好。綜合誤差系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度這兩項(xiàng)指標(biāo)，該模型的預(yù)測(cè)精度相當(dāng)高，所以我們用它對(duì)2008年上半年一號(hào)水廠的供水量進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)附表四。從而可以得到2008年上半年二號(hào)水廠的供水量結(jié)果，見(jiàn)附表五。問(wèn)題（三）的求解：根據(jù)問(wèn)題分析部分對(duì)該問(wèn)題的描述，由于所給數(shù)據(jù)較少，我們先分別用GM（1，1）模型對(duì)各年8月份用水總量及相應(yīng)水價(jià)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，得到2008~2010年每年8月份用水總量及相應(yīng)水價(jià)如下表所示：20012002200320042005200620072008200920108月份用水總量43823000446500004579400046613000477150004852600049713000507150005180000052898000調(diào)整價(jià)格33.43.94.34.755．25.86.36.88月份用水總量與調(diào)整水價(jià)之間的相關(guān)系數(shù)為：=0.99666，所以說(shuō)明調(diào)整價(jià)格與8月份用水總量之間有很強(qiáng)的線(xiàn)性關(guān)系，接著我們直接建立調(diào)整水價(jià)對(duì)8月份用水總量的線(xiàn)性回歸模型，求得結(jié)果如圖（六）所示，圖（六）8月份用水總量與水價(jià)的擬合曲線(xiàn)由圖中所作曲線(xiàn)可以看出擬合吻合度很高，對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)方程為,我們把（噸）代入得模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)模型的評(píng)價(jià)：模型優(yōu)點(diǎn)：在問(wèn)題（一）的求解中，我們利用三種方法分別建立了2008年上半年日用水量的預(yù)測(cè)模型，通過(guò)誤差分析我們可知模型I較模型II有更高的預(yù)測(cè)精度，模型III采用了灰色預(yù)測(cè)法，預(yù)測(cè)精度比前兩者均要高，最后建立的最優(yōu)組合預(yù)測(cè)模型很好的表現(xiàn)出了溫度等因素對(duì)用水量的影響，已經(jīng)達(dá)到了非常高的預(yù)測(cè)精度。問(wèn)題（一）求解中所用模糊線(xiàn)性回歸模型能夠很好的處理影響用水量變化的各種不確定性因素。在問(wèn)題（二）的求解中，我們利用了GM（1，1）理論對(duì)一號(hào)水廠2008年上半年的日供水量進(jìn)行了預(yù)測(cè)，具有較高的預(yù)測(cè)精度，并且所用方法簡(jiǎn)單解決問(wèn)題很有效。在問(wèn)題（三）的求解中，鑒于提高水價(jià)可以限制供水量，我們建立了水價(jià)和供水量之間的線(xiàn)性回歸方程，結(jié)合灰色理論對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)展，解決了數(shù)據(jù)量不足的缺點(diǎn)。本文中采用了圖表相結(jié)合的方法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明解釋?zhuān)?jiǎn)潔直觀。模型缺點(diǎn)：求解問(wèn)題（一）所建立的模型I、模型II，由于只是基于2005~2007三年的數(shù)據(jù)進(jìn)行的計(jì)算分析，雖然預(yù)測(cè)精度較高但是只適用于對(duì)未來(lái)短期內(nèi)用水量的預(yù)測(cè)。影響用水量的因素有很多如：人口增長(zhǎng)、地理位置、降雨量、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)等，但由于數(shù)據(jù)不全面，模型并沒(méi)有反應(yīng)上述因素對(duì)用水量的影響。對(duì)問(wèn)題（一）、（二）的求解均是對(duì)每年的前180天的日用水量及水廠供水量進(jìn)行分析預(yù)測(cè)，這與所要求的對(duì)2008年上半年的日用水量的預(yù)測(cè)嚴(yán)格來(lái)說(shuō)有微小的偏差。模型的改進(jìn)推廣對(duì)于本題中所提出的那些預(yù)測(cè)問(wèn)題我們還可以運(yùn)用其它方法加以預(yù)測(cè)如：偏最小二乘回歸預(yù)測(cè)法，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)法等。它們都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，我們可以嘗試綜合起來(lái)運(yùn)用，最大的