第四講2-機(jī)器人的位姿描述課件

第3章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)3.1機(jī)器人的位姿描述3.2齊次表示及變換3.3機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程3.4機(jī)器人微分運(yùn)動(dòng)

包括靜態(tài)的相對(duì)位置關(guān)系的描述和動(dòng)態(tài)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系描述。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2014機(jī)器人的任務(wù)是什么？如何對(duì)其描述？我們需要研究手的位置、姿態(tài)和運(yùn)動(dòng)軌跡以及與工件之間的關(guān)系。問題：機(jī)器人的手如何抓住工件？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20142.第3章機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)研究：

手或工具在空間的位姿及運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)中的表示，以及它們與各個(gè)關(guān)節(jié)變量之間的關(guān)系。其中：正運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：已知關(guān)節(jié)的位置和運(yùn)動(dòng)，求手的位置和運(yùn)動(dòng)。逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題：已知手的位置和運(yùn)動(dòng)，反求關(guān)節(jié)的位置和運(yùn)動(dòng)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2014一、機(jī)器人位置和姿態(tài)（位姿）的表示

表示剛體最好的方法是使用坐標(biāo)系，即剛體的位姿可以用附著于剛體上并與其一起運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系（稱局部、隨體坐標(biāo)系）和固定（全局、參考）坐標(biāo)系之間的幾何關(guān)系來描述。我們可以將剛體相對(duì)固定(基座)坐標(biāo)系的位姿分解成平移(位置)和旋轉(zhuǎn)(姿態(tài))兩部分。

3.1機(jī)器人的位姿描述山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20141、空間位置（點(diǎn)）的表示任意點(diǎn)p在空間的位置可以用坐標(biāo)系中的位置矢徑（簡稱位矢或點(diǎn)矢）圖表示，或用一個(gè)3×1的列矩陣來描述；例如，點(diǎn)p在{A}坐標(biāo)系中表示為：

ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ3.1機(jī)器人的位姿描述{A}其中：px，py，pz為P點(diǎn)的坐標(biāo)分量。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20143.1機(jī)器人的位姿描述位矢不同與一般矢量，它的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。{A}{B}P山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20146.2、姿態(tài)（或稱方向）的表示我們知道：兩個(gè)剛體間的相對(duì)姿態(tài)（方向）可以用附著與它們上的隨體坐標(biāo)系之間的相對(duì)姿態(tài)來描述。3.1機(jī)器人的位姿描述山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2014一剛體相對(duì)于參考坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)等價(jià)于固聯(lián)在該剛體上的隨體坐標(biāo)系{B}相對(duì)于{A}的姿態(tài)。這時(shí)，坐標(biāo)系{B}的姿態(tài)等價(jià)于它的三個(gè)基矢量iB、jB和kB的方向。3.1機(jī)器人的位姿描述{A}{B}山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2014坐標(biāo)系{B}相對(duì)于坐標(biāo)系{A}的姿態(tài)可以用坐標(biāo)系{B}的三個(gè)基矢量iB、jB和kB在坐標(biāo)系{A}中的表示（即[AiB

AjB

AkB]）給出。（這里前上標(biāo)A說明{B}的三個(gè)基矢量在A坐標(biāo)系中表示），

AiB

是基矢量iB在{A}的三個(gè)坐標(biāo)方向上的投影，我們可用3×1列向量表示它，最后將它們組合成一個(gè)3×3的矩陣。3.1機(jī)器人的位姿描述山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20143.1機(jī)器人的位姿描述{A}kajaia{B}kbjbib即：行、列分別可有兩種理解。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所20143.1機(jī)器人的位姿描述úúú?ùêêê?é=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBkkAjkAikAkjjjijAkijiAiiARAB

基矢量都是單位矢量，因此，上式又可以寫成：山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所201411.3.1機(jī)器人的位姿描述

上述兩個(gè)矩陣的方位關(guān)系，可以看做：初始時(shí)，{B}坐標(biāo)系與{A}坐標(biāo)系重合，后來坐標(biāo)系{B}以某個(gè)v為轉(zhuǎn)軸相對(duì)坐標(biāo)系{A}旋轉(zhuǎn)角度?得到的。

因此，也稱為坐標(biāo)系{B}相對(duì){A}的旋轉(zhuǎn)矩陣，記為。

山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所201412.3.1機(jī)器人的位姿描述旋轉(zhuǎn)矩陣的性質(zhì)：1、列向量兩兩正交，行向量兩兩正交。2、列向量和行向量都是單位向量。3、旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣，其行列式等于1。4、它的逆矩陣等于它的轉(zhuǎn)置矩陣，即：5、矩陣R的9個(gè)元素中，只有三個(gè)是獨(dú)立的，為什么？6、旋轉(zhuǎn)矩陣R是保長度的變換，即矢量經(jīng)矩陣R變換后其長度保持不變。

R還稱為特殊正交群，記作SO(3)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所201413.3、位姿的統(tǒng)一表示把位置和姿態(tài)組合起來，看做{B}坐標(biāo)系先移動(dòng)，再轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖，我們定義一個(gè)3＊4矩陣[]來描述，其中，表示{B}相對(duì){A}的姿態(tài)，表示{B}的原點(diǎn)相對(duì){A}的位移。我們可以將{B}坐標(biāo)系相對(duì){A}坐標(biāo)系描述為：ｚAｙAｘAｏAｚBｙBｘBｏBp3.1機(jī)器人的位姿描述這個(gè)的表示有何不足？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所201414.3.1機(jī)器人的位姿描述小結(jié)：1、機(jī)器人的位姿可用附加在機(jī)器人各桿件上的坐標(biāo)系的位姿來描述。2、介紹了坐標(biāo)系之間相對(duì)位姿的表示方法。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0215.第二節(jié)

齊次表示及變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0216.3.2.1、不同直角坐標(biāo)系之間的表示關(guān)系

研究點(diǎn)在不同坐標(biāo)系中的表示關(guān)系。1、平移坐標(biāo)系間設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}具有相同的姿態(tài)，但它倆的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，若用3×1矩陣iPjorg表示坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)相對(duì)坐標(biāo)系{i}的位置，則同一點(diǎn)P在兩個(gè)坐標(biāo)系中的矢徑之間的關(guān)系為：3.2齊次表示及變換P山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所201417.2、坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，但它倆的姿態(tài)不同。設(shè)有一矢徑P，它在{j}坐標(biāo)系中的表示為jP，它在{i}中如何表示？設(shè)為P點(diǎn)在{i}中表示，其x分量為，則：3.2齊次變換及運(yùn)算山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0218.由：3.2齊次變換及運(yùn)算可知：是什么？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0219.3.2齊次變換及運(yùn)算可見：坐標(biāo)系間的旋轉(zhuǎn)矩陣將點(diǎn)在兩個(gè)原點(diǎn)重合但指向不同的坐標(biāo)系中的表示聯(lián)系起來，或者說：通過矩陣變換，可從點(diǎn)在一個(gè)坐標(biāo)系中的表示求得它在另一個(gè)原點(diǎn)重合但指向不同的坐標(biāo)系中的表示，即：山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0220.3、解釋對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式可以給出多種不同的解釋，前面介紹的是同一個(gè)點(diǎn)（或位矢）在不同的坐標(biāo)系的靜態(tài)位置表示之間的關(guān)系。從運(yùn)動(dòng)學(xué)的觀點(diǎn)看，上述數(shù)學(xué)關(guān)系也可以看成：在一個(gè)坐標(biāo)系中的位矢（點(diǎn)）的“向前”平移或旋轉(zhuǎn)，或則，坐標(biāo)系相對(duì)位矢“向后”的平移或旋轉(zhuǎn)，到達(dá)終點(diǎn)位置。3.2齊次變換及運(yùn)算問：這時(shí)的iPjorg是什么？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0221.或兩個(gè)坐標(biāo)系開始重合，然后一個(gè)坐標(biāo)系與位矢向量一起相對(duì)另一個(gè)坐標(biāo)系平移或旋轉(zhuǎn)。3.2齊次變換及運(yùn)算山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0222.4、常用的旋轉(zhuǎn)變換、繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)軸方向相對(duì)于坐標(biāo)系{i}繞的z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)θ角。θ角的正負(fù)一般按右手法則確定，即由z軸的矢端看，逆時(shí)鐘為正。3.2齊次變換及運(yùn)算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0223.3.2齊次變換及運(yùn)算26一月2024令:ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ記住此矩陣的特點(diǎn)和各元素的意義以及矩陣元素的特點(diǎn)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所24.、繞x軸旋轉(zhuǎn)α角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運(yùn)算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0225.③繞y軸旋轉(zhuǎn)β角的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.2齊次變換及運(yùn)算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0226.例：復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng):3.2齊次表示及變換注意：轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)固定的坐標(biāo)系進(jìn)行的，并且結(jié)構(gòu)與轉(zhuǎn)動(dòng)順序有關(guān)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0227.繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)繞用A坐標(biāo)系(基為xyz)表示的k軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角，則旋轉(zhuǎn)矩陣為：其中：3.2齊次表示及變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0228.反之，若給定任一旋轉(zhuǎn)矩陣:則可計(jì)算出其對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角：3.2齊次表示及變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0229.接下來我們研究：

給定初始位置i和最終位置k，如何通過平移或旋轉(zhuǎn)變換來實(shí)現(xiàn)的問題。3.2齊次表示及變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0230.

看平面的一般運(yùn)動(dòng)情況3.2齊次表示及變換可見旋轉(zhuǎn)中心改變后，移動(dòng)距離就變化，但旋轉(zhuǎn)角度相同。問題：能否選擇某個(gè)旋轉(zhuǎn)中心使得所需的移動(dòng)為零？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0231.平面繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可以證明：存在唯一的旋轉(zhuǎn)中心，僅通過旋轉(zhuǎn)就能使物體從i位置到達(dá)j位置，如圖。3.2齊次表示及變換而旋轉(zhuǎn)中心位于物體對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的中垂線的交點(diǎn)上。平移是無窮遠(yuǎn)位置的特例。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0232.空間繞任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)可以證明：存在旋轉(zhuǎn)軸e，通過旋轉(zhuǎn)使物體從i位置到達(dá)j位置，然后經(jīng)平移d到達(dá)k位置如圖。3.2齊次表示及變換當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸e選擇的合適時(shí)，平移的徑向分量為零，這時(shí)就成為繞e軸的旋轉(zhuǎn)和沿e軸的平移，即螺旋運(yùn)動(dòng)。i到k位置山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0233.3.2齊次變換及運(yùn)算5、聯(lián)合（平移+旋轉(zhuǎn)）表示設(shè)坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}的坐標(biāo)原點(diǎn)不重合并具有不同的姿態(tài)。則空間任一位矢在坐標(biāo)系{i}和坐標(biāo)系{j}之間的關(guān)系如何？

引入與{i}坐標(biāo)系平行，與{j}的原點(diǎn)重合的中間坐標(biāo)系{I’}，則：平移、旋轉(zhuǎn)都相對(duì){i}進(jìn)行。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0234.例：已知坐標(biāo)系{B}先沿坐標(biāo)系{A}的x軸移動(dòng)12個(gè)單位和沿坐標(biāo)系{A}的y軸移動(dòng)6個(gè)單位，然后繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)30°，求：1、平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣。

2、假設(shè)某點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的矢量為，求該點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}中的表示。3.2齊次表示與變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0235.解：無論平移還是轉(zhuǎn)動(dòng)都是相對(duì)A坐標(biāo)系的，由題意可得平移變換矩陣和旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：

和則：

3.2齊次表示與變換26一月202436.思考題：

若坐標(biāo)系{i}先旋轉(zhuǎn)變換到{i’}，再相對(duì){i’}平移，則上述關(guān)系是應(yīng)如何變化？3.2齊次表示與變換即存在誰先誰后、相對(duì)誰平移、旋轉(zhuǎn)的問題。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0237.3.2齊次表示與變換我們這里講的都是剛體用直角坐標(biāo)分量表示或繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)、平移；另外，還可以用歐拉角、四元數(shù)等表示剛體的運(yùn)動(dòng)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2017/09/1238.3.2齊次表示與變換3.2.2、齊次坐標(biāo)變換

為什么學(xué)習(xí)齊次坐標(biāo)表示？

將坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)用一個(gè)矩陣統(tǒng)一表示。

齊次坐標(biāo)能夠表示投影變換和有理函數(shù)。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0239.1、齊次坐標(biāo)的定義空間中任一點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量用表示，若有四個(gè)不同時(shí)為零的數(shù)與三個(gè)直角坐標(biāo)分量之間存在以下約束關(guān)系：則稱稱為是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，或稱為在齊次(投影)空間表示。3.2齊次變換及運(yùn)算3.2.2、齊次坐標(biāo)變換山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0240.3.2齊次變換及運(yùn)算當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)應(yīng)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，當(dāng)k=1時(shí)則返回三維歐式空間。

在機(jī)器人學(xué)中，一般默認(rèn)k=1。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0241.3.2齊次變換及運(yùn)算2、齊次坐標(biāo)變換為何使用齊次坐標(biāo)？在進(jìn)行聯(lián)合變換時(shí)，變換關(guān)系為：我們?nèi)绾斡煤唵?、統(tǒng)一的矩陣形式表示上述運(yùn)算？

能不能擴(kuò)展成4x4的矩陣表示？

想到了點(diǎn)（矢量）的齊次坐標(biāo)表示。3x13x33x13X4？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0242.將其寫成統(tǒng)一的矩陣形式則有：

3.2齊次變換及運(yùn)算式中，稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣，它是一個(gè)4×4的矩陣，實(shí)現(xiàn)平移和旋轉(zhuǎn)的復(fù)合表示。

山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0243.1）、齊次坐標(biāo)變換矩陣的意義若將齊次坐標(biāo)變換矩陣分塊，則有：意義：左上角的3×3矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它描述了姿態(tài)關(guān)系；右上角的3×1矩陣是兩個(gè)坐標(biāo)系之間的平移變換矩陣，它描述了位置關(guān)系，所以齊次坐標(biāo)變換矩陣又稱為位姿矩陣。

3.2齊次變換及運(yùn)算山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0244.聯(lián)合變換與單步齊次變換矩陣的關(guān)系：任何一個(gè)齊次坐標(biāo)變換矩陣均可分解為一個(gè)平移變換矩陣與一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換矩陣的乘積，即：3.2齊次變換及運(yùn)算山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0245.3.2齊次變換及運(yùn)算{i}{j}

如下圖所示的兩坐標(biāo)系的位姿關(guān)系由平移和旋轉(zhuǎn)形成，對(duì)應(yīng)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型，但可以有兩種解釋得到：

1、{j}先相對(duì){i}旋轉(zhuǎn)，再相對(duì){i}平移，黑>綠>紅,即絕對(duì)變換，即都是相對(duì){i}變換。

2、{j}先相對(duì){i}平移，再相對(duì)平移后的{j}旋轉(zhuǎn)，黑>蘭>紅，即相對(duì)變換。必須解決：

誰先做，相對(duì)誰？山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0246.3.2齊次變換及運(yùn)算

可見，同樣的位姿，既可以按照絕對(duì)運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)，也可以按相對(duì)運(yùn)動(dòng)來理解，但兩種方法的變換順序是不同的。

復(fù)合變換矩陣計(jì)算結(jié)論：存在左乘和右乘原則：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)變換矩陣左乘，即先做的在右邊，后做的在左邊，即向左發(fā)展，如Trans()R()。相對(duì)運(yùn)動(dòng)變換矩陣右乘，即先做的在左邊，后做的在右邊，即向右發(fā)展，如Trans()R()。山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0247.3.2齊次變換及運(yùn)算例3（3-2）：已知坐標(biāo)系{B}先繞坐標(biāo)系{A}的z軸旋轉(zhuǎn)90°，再繞坐標(biāo)系{A}的x軸旋轉(zhuǎn)90°，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐標(biāo)系{A}與{B}之間的齊次坐標(biāo)變換矩陣MAB。解：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，左乘原則。

MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90)

如果上述運(yùn)動(dòng)為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則應(yīng)用右乘原則。有：

MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院機(jī)電工程研究所2010/09/0248.2）、齊次變換的逆變換設(shè)：，等號(hào)兩邊同乘得：可知：

即B系相對(duì)A系變換的逆等于A