人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步備課 4.3.3 余角和補(bǔ)角（教學(xué)設(shè)計(jì)）

4.3.3余角和補(bǔ)角教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)?數(shù)學(xué)》七年級(jí)上冊(cè)（以下統(tǒng)稱“教材”）第四章“幾何圖形初步”4.3角第3課時(shí)，內(nèi)容包括余角、補(bǔ)角、方位角的概念及應(yīng)用．2.內(nèi)容解析余角補(bǔ)角及方位角是本章重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是后續(xù)學(xué)習(xí)圖形與幾何必備的知識(shí)基礎(chǔ)．正確理解此概念需明確兩點(diǎn)：①余角（補(bǔ)角）是相對(duì)于兩個(gè)角而言，當(dāng)滿足了和為90°（180°）時(shí)，就稱這兩個(gè)角互為余角（補(bǔ)角），其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角（補(bǔ)角）.不能單純地說(shuō)某個(gè)角是余角（補(bǔ)角）.②余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系，不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：理解余角、補(bǔ)角、方位角等概念．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）了解余角、補(bǔ)角的概念，掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì)，并能利用余角、補(bǔ)角的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.（2）了解方位角的概念，并能用方位角知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：學(xué)生能理解當(dāng)滿足了和為90°（180°）時(shí)，就稱這兩個(gè)角互為余角（補(bǔ)角），其中一個(gè)角叫做另一個(gè)角的余角（補(bǔ)角）.不能單純地說(shuō)某個(gè)角是余角（補(bǔ)角）；知道余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系．達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：能用方位角知識(shí)準(zhǔn)確表示物體的位置及距離．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析針對(duì)余角和補(bǔ)角，學(xué)生易忽視概念中的“互為”二字，不能單純地說(shuō)某個(gè)角是余角（補(bǔ)角）.余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒(méi)有關(guān)系，不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系.同時(shí)學(xué)生對(duì)于文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化以及在什么情形下用哪種語(yǔ)言表達(dá)最為貼切，學(xué)生還不是能夠自由的運(yùn)用．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：探索并掌握同角（等角）的余角、補(bǔ)角相等的性質(zhì)．四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）溫故知新，引入課題對(duì)于三角板，我們已經(jīng)很熟悉了，我們來(lái)回顧一下三角板各個(gè)角的度數(shù)．問(wèn)題1：在一副三角尺中，除了直角，其他兩個(gè)角的和有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：學(xué)生回憶，回答問(wèn)題，教師出示多媒體.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)回憶與本節(jié)課內(nèi)容密切相關(guān)的引導(dǎo)性材料，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)進(jìn)程心中有數(shù)，幫助學(xué)生掌握研究問(wèn)題的方法.（二）余角和補(bǔ)角的概念在一副三角尺中，每塊都有一個(gè)角是90°，而其他兩個(gè)角的和是90°（30°+60°=90°，45°+45°=90°）.一般地，如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角（簡(jiǎn)稱為兩個(gè)角互余），即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.師生活動(dòng)：小組合作探究，師生歸納．師生歸納：余角是成對(duì)出現(xiàn)的，所以不能說(shuō)某個(gè)角是余角．針對(duì)訓(xùn)練：圖中給出的各角，哪些互為余角？類(lèi)似地，如下圖，如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.師生歸納：補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，所以不能說(shuō)某個(gè)角是補(bǔ)角.針對(duì)訓(xùn)練：1.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？2.圖中給出的各角中，哪些互為余角？哪些互為補(bǔ)角？解：互余的角有：①與④，②與③互補(bǔ)的角有：①與⑧，②與⑦，③與⑥，④與⑤.3.填表：4.已知3組數(shù)，①對(duì)A組的每一個(gè)角，在B組中找出它的補(bǔ)角，并用線連接.②B組中有哪些角的余角在C組中，分別找出并用線連接.【設(shè)計(jì)意圖】用一副三角尺引出余角和補(bǔ)角的概念，加深學(xué)生對(duì)余角和補(bǔ)角的認(rèn)識(shí)．（三）典例分析例1：若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍，求這個(gè)角的度數(shù).解：設(shè)這個(gè)角為x°，則它的補(bǔ)角是(180－x)°，余角是(90－x)°.根據(jù)題意，得180－x=4(90－x).解得x=60.答：這個(gè)角的度數(shù)是60°.針對(duì)訓(xùn)練：1.一個(gè)角是70°39′，求它的余角和補(bǔ)角．解：余角：90°－70°39′=19°21′補(bǔ)角：180°－70°39′=109°21′2.一個(gè)角的補(bǔ)角是它的3倍，這個(gè)角是多少度？解：設(shè)這個(gè)角為x°，則180°－x=3x，∴x=45°．3.一個(gè)角是鈍角，它的一半是什么角？它的余角呢？補(bǔ)角呢？解：它的一半是銳角；因?yàn)殁g角大于90°，所以它沒(méi)有余角；補(bǔ)角是銳角.4.已知∠A與∠B互余，且∠A的度數(shù)比∠B度數(shù)的3倍還多30°，求∠B的度數(shù).解：設(shè)∠B的度數(shù)為x°，則∠A的度數(shù)為(3x+30)°.根據(jù)題意得：x+(3x+30)=90.解得x=15.故∠B的度數(shù)為15°.例2：如圖，已知O為AD上一點(diǎn)，∠AOC與∠AOB互補(bǔ)，OM，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，若∠MON=40°，試求∠AOC與∠AOB的度數(shù)．解：設(shè)∠AOB=x，因?yàn)椤螦OC與∠AOB互補(bǔ)，則∠AOC=180°－x．因?yàn)镺M，ON分別為∠AOC，∠AOB的平分線，所以∠AOM=，∠AOM=.所以，解得x=50°，則180°－x=130°.即∠AOB=50°，∠AOC=130°.（四）余角和補(bǔ)角的性質(zhì)問(wèn)題2：如圖，∠1與∠2，∠3都互為補(bǔ)角，∠2與∠3的大小有什么關(guān)系？師生活動(dòng)：學(xué)生小組合作探究，師生共同得出結(jié)論：同角（等角）的余角相等.同角（等角）的補(bǔ)角相等.【設(shè)計(jì)意圖】明晰余角、補(bǔ)角的性質(zhì)，為后續(xù)利用余角、補(bǔ)角的性質(zhì)解決幾何問(wèn)題打下基礎(chǔ)．（五）典例分析例3：如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，圖中哪些角互為余角？解：因?yàn)辄c(diǎn)A，O，B在同一直線上，所以∠AOC和∠BOC互為補(bǔ)角.又因?yàn)樯渚€OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°.所以∠COD和∠COE互為余角，同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互為余角.變式訓(xùn)練：如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）∠COE、∠BOE；∠COE、∠BOE；（2）解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．針對(duì)訓(xùn)練：如圖，已知∠AOB=90°，∠AOC=∠BOD，則與∠AOC互余的角有__________________.（∠BOC和∠AOD）（六）方位角問(wèn)題3：如圖，說(shuō)出下列方位（1）射線OA表示的方向?yàn)?（2）射線OB表示的方向?yàn)?（3）射線OC表示的方向?yàn)?（4）射線OD表示的方向?yàn)?（七）典例分析例4：如圖，貨輪O在航行過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上.同時(shí)，在它北偏東40°，南偏西10°，西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B，貨輪C和海島D.仿照表示燈塔方位的方法畫(huà)出表示客輪B，貨輪C和海島D方向的射線.解：畫(huà)法：1.以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，表示正北方的射線為角的一邊，畫(huà)40°的角，使它的另一邊OB落在東與北之間.射線OB的方向就是北偏東40°，即客輪B所在的方向.2.同理畫(huà)出射線OC、射線OD.射線OC、射線OD即為所求.（八）當(dāng)堂鞏固1.一個(gè)角的余角是它的2倍，這個(gè)角的度數(shù)是（A）A．30° B．45° C．60° D．75°2.下列說(shuō)法正確的是（D）A．一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于它本身B．一個(gè)角的余角一定小于它本身C．一個(gè)鈍角減去一個(gè)銳角的差一定是一個(gè)銳角D．一個(gè)角的余角一定小于其補(bǔ)角3.已知∠A與∠B互余，∠B與∠C互補(bǔ)，若∠A=60°，則∠C的度數(shù)是150°.4.∠1與∠2互余，∠1=(6x+8)°，∠2=(4x－8)°，則∠1=62°，∠2=28°.5.如圖，已知∠ACB=∠CDB=90°.（1）圖中有哪幾對(duì)互余的角？答案：∠A+∠B=90°∠A+∠2=90°∠1+∠B=90°∠1+∠2=90°（2）圖中哪幾對(duì)角是相等的角（直角除外）？為什么？答案：∠B=∠2（同角的余角相等）∠A=∠1（同角的余角相等）6.垃圾打撈船A和B都停駐在湖邊觀測(cè)湖面，從A船發(fā)現(xiàn)它的北偏東60°方向有白色漂浮物，同時(shí)，從B船也發(fā)現(xiàn)該白色漂浮物在它的北偏西30°方向.（1）試在圖中確定白色漂浮物C的位置；（2）點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東60°的方向上，那么點(diǎn)A在點(diǎn)C的D方向上.A.南偏東30°B.南偏西30°C.南偏東60°D.南偏西60°（九）感受中考1．（2022?甘肅）若∠A=40°，則∠A的余角的大小是（）A．50° B．60° C．140° D．160°【解答】解：因?yàn)椤螦=40°，所以∠A的余角為：90°－40°=50°，故選：A．2．（2022?連云港）已知∠A的補(bǔ)角為60°，則∠A=°．【解答】解：因?yàn)椤螦的補(bǔ)角為60°，所以∠A=180°－60°=120°，故答案為：120．3.（3分）（2020?通遼4/26）如圖，將一副三角尺按下列位置擺放，使∠α和∠β互余的擺放方式是（）【解答】解：A．∠α與∠β互余，故本選項(xiàng)正確；B．∠α=∠β，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．∠α=∠β，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．∠α與∠β互補(bǔ)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：A．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)．（十）課堂小結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，構(gòu)建知識(shí)與方法框圖：（十一）布置作業(yè)P139：習(xí)題4.3：第8、11、12、13題.五、教學(xué)反思發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力是本節(jié)教學(xué)的另一個(gè)重要目標(biāo)，應(yīng)重視讓學(xué)生從事動(dòng)手操作、觀察、思考、想象、交流等活動(dòng)，為學(xué)生提供一些現(xiàn)實(shí)的、有意義的、有一定挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生勤思考、多動(dòng)手、善交流，在活動(dòng)中獲得幾何概念和性質(zhì)，以及讀圖、表達(dá)、推理等技能，從而豐富學(xué)生的空間想象能力．本節(jié)內(nèi)容涉及的基本概念多，大多數(shù)幾何圖形與性質(zhì)是學(xué)生初次接觸，且比較抽象．作為幾何入門(mén)階段的學(xué)習(xí)，要善于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，注意揭示所學(xué)幾何概念與性質(zhì)同現(xiàn)實(shí)生活