人教A版2024年高一數(shù)學寒假提高講義 第11課 平面向量的應用 二（原卷版）

第第頁第11課平面向量的應用二余弦定理、正弦定理應用舉例學習目標核心素養(yǎng)1.能將實際問題轉化為解三角形問題.(難點)2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關的實際應用問題.(重點)1.通過利用正、余弦定理解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng).2.通過求解距離、高度等實際問題，提升數(shù)學運算的素養(yǎng).1.基線的概念與選擇原則(1)定義在測量過程中，我們把根據測量的需要而確定的線段叫做基線.(2)性質在測量過程中，應根據實際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度.一般來說，基線越長，測量的精確度越高.思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理.2.測量中的有關角的概念(1)仰角和俯角與目標視線在同一鉛垂平面內的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角.(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標方向線所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉60°.(如圖所示)思考2：李堯出校向南前進了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認為李堯的家在學校的哪個方向？[提示]東南方向.1.如圖，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據，測量時應選用數(shù)據()A.α，a，bB.α，β，aC.a，b，γD.α，β，b2.小強站在地面上觀察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強觀測山頂?shù)难鼋菫?)A.α＋βB.α﹣βC.β﹣αD.α3.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉150°，向新的方向走了3km，結果他離出發(fā)點恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.2eq\r(3)或eq\r(3)D.3測量距離問題【例1】海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A.10eq\r(3)海里B.eq\f(10\r(6),3)海里C.5eq\r(2)海里D.5eq\r(6)海里三角形中與距離有關問題的求解策略：(1)解決與距離有關的問題，若所求的線段在一個三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要根據條件選擇適當?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?(2)解決與距離有關的問題的關鍵是轉化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應用正、余弦定理來解決.1.為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為m.測量高度問題【例2】濟南泉城廣場上的泉標模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟南的標志和象征.李明同學想測量泉標的高度，于是他在廣場的A點測得泉標頂端的仰角為60°，他又沿著泉標底部方向前進15.2m，到達B點，又測得泉標頂部仰角為80°.你能幫助李明同學求出泉標的高度嗎？(精確到1m)解決測量高度問題的一般步驟：(1)畫圖：根據已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形：分析與問題有關的三角形.(3)求解：運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識，注意方程思想的運用.2.某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m).如圖所示，豎直放置的標桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據此算出H的值.角度問題[探究問題]1.某物流投遞員沿一條大路前進，從A到B，方位角是60°，距離是4km，從B到C，方位角是120°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是3km，試畫出示意圖.[提示]如圖所示：2.在探究1中，若投遞員想在半小時之內，沿小路直接從A點到C點，則此人的速度至少是多少？[提示]在探究1圖中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°﹣120°)＝120°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝4eq\r(7)，則此人的最小速度為v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h).3.在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問在C點此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達C點的時間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時)＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時間由探究2可知t2＝eq\f(4\r(7),16\r(7))＝eq\f(1,4)(小時)＝15分鐘；由于30＞15＋10，所以此人在C點能與投遞員相遇.【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值.(結果保留根號，無需求近似值)解決實際問題應注意的問題(1)首先明確題中所給各個角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵最主要的一步.(2)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，要正確使用正、余弦定理解決問題.正弦、余弦定理在實際測量中的應用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.(2)建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解.(4)檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東5°B.北偏西10°C.南偏東5°D.南偏西10°2.如圖，D，C，B三點在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點測得A點仰角分別是60°，30°，則A點離地面的高度AB等于()A.50eq\r(3)米B.100eq\r(3)米C.50米D.100米3.一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A.8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時B.8(eq\r(6)﹣eq\r(2))海里/時C.16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時D.16(eq\r(6)﹣eq\r(2))海里/時4.在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為m.5.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離.平面向量的應用二課堂跟蹤練習一、選擇題1.學校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為()A.12mB.8mC.3eq\r(3)mD.4eq\r(3)m2.一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/hB.34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/hD.34eq\r(2)nmile/h3.我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10°的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為()A.28海里/時B.14海里/時C.14eq\r(2)海里/時D.20海里/時4.在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為()A.20mB.30mC.40mD.60m在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA﹣OB＝40(m).]5.如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A.15eq\r(6)mB.20eq\r(6)mC.25eq\r(6)mD.30eq\r(6)m6.有一個長為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長千米.7.如圖，在高速公路建設中需要確定隧道的長度，工程技術人員已測得隧道兩端的兩點A，B到點C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點間的距離為km.8.一次機器人足球比賽中，甲隊1號機器人由點A開始做勻速直線運動，到達點B時，發(fā)現(xiàn)足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動，如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略機器人原地旋轉所需的時間，則該機器人最快可在距A點dm的C處截住足球.9.在某次軍事演習中，紅方為了準確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C處和D處測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊的距離.10.島A觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時10海里的速度向東南方向航行(如圖所示)，觀察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測得可疑船只在其北偏東75°方向且相距10海里的C處，隨即以每小時10eq\r(3)海里的速度前往攔截.(1)問：海監(jiān)船接到通知時，距離島A多少海里？(2)假設海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時間.平面向量的應用二隨堂檢測1.如圖所示為起重機裝置示意圖.支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30mB.eq\f(15\r(3),2)mC.15eq\r(3)mD.45m2.已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A.10kmB.eq\r(3)kmC.10eq\r(5)kmD.10eq\r(7)km3.某公司要測量一水塔CD的高度，測量人員在該水塔所在的東西方向水平線上選A，B兩個觀測點，在A處測得該水塔頂端D的仰角為α，在B處測得該水塔頂端D的仰角為β，已知AB＝a,0＜β＜α＜eq\f(π,2)，則水塔CD高度為()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ)D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)4.若甲船在B島的正南方A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們的航行時間是()A.eq\f(150,7)minB.eq\f(15,7)hC.21.5minD.2.15h5.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東