2024年人教版七年級數(shù)學(xué)寒假提高講義 第05課 平行線與相交線章節(jié)復(fù)習(xí)及單元測試（原卷版）

第第頁第05課平行線與相交線章節(jié)復(fù)習(xí)及單元測試課程標(biāo)準(zhǔn)1.熟練掌握對頂角，鄰補角及垂線的概念及性質(zhì)，了解點到直線的距離與兩平行線間的距離的概念；2.區(qū)別平行線的判定與性質(zhì)，并能靈活運用；3.了解命題的概念及構(gòu)成，并能通過證明或舉反例判定命題的真假；4.了解平移的概念及性質(zhì).知識精講知識精講知識點01相交線1.對頂角、鄰補角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系，它們的概念及性質(zhì)如下表：圖形頂點邊的關(guān)系大小關(guān)系對頂角112∠1與∠2有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角SKIPIF1<0有公共頂點∠3與∠4有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.鄰補角互補即∠3+∠4=180°注意：⑴對頂角是成對出現(xiàn)的，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角.對頂角的特征:有公共頂點，角的兩邊互為反向延長線.⑵如果∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α與∠β不一定是對頂角.⑶如果∠α與∠β互為鄰補角，則一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，則∠α與∠β不一定是鄰補角.鄰補角的特征:有公共頂點，有一條公共邊，另一邊互為反向延長線.⑶兩直線相交形成的四個角中，每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個.2.垂線及性質(zhì)、距離（1）垂線的定義：當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.如圖1所示，符號語言記作：AB⊥CD，垂足為O.注意：要判斷兩條直線是否垂直，只需看它們相交所成的四個角中，是否有一個角是直角，兩條線段垂直，是指這兩條線段所在的直線垂直.（2）垂線的性質(zhì)：垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記).垂線性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.簡稱：垂線段最短.（3）點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離，如圖2：PO⊥AB，點P到直線AB的距離是垂線段PO的長.注意：垂線段PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條.知識點02平行線1.平行線判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.注意：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒有交點（不相交），那么兩直線平行.（2）如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行（平行線的傳遞性）.（3）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.（4）平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.2.平行線的性質(zhì)性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.注意：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒有公共點.（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.3.兩條平行線間的距離如圖3，直線AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離.注意：（1）兩條平行線之間的距離處處相等.（2）初中階級學(xué)習(xí)了三種距離,分別是兩點間的距離、點到直線距離、平行線間的距離.這三種距離的共同點在于都是線段的長度,它們的區(qū)別是兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度,點到直線距離是直線外一點引已知直線的垂線段的長度,平行線間的距離是一條直線上的一點到與之平行的另一直線的距離.（3）如何理解“垂線段”與“距離”的關(guān)系：垂線段是一個圖形，距離是線段的長度，是一個量，它們之間不能等同.知識點03命題及平移1.命題：判斷一件事情的語句，叫做命題.每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項；結(jié)論是由已知事項推出的事項.2.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移.注意：平移的性質(zhì)：（1）平移后，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等；（2）平移后，對應(yīng)角相等；（3）平移后，對應(yīng)點所連線段平行(或共線)且相等；【典例1】如圖，已知AB∥CD，BC∥DE.若∠A=20°，∠C=120°，則∠AED的度數(shù)是________.【即學(xué)即練1】如圖，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判斷∠C與∠AED的大小關(guān)系嗎？并說明理由.分類討論思想【思想解讀】分類討論思想是一種常見的數(shù)學(xué)思想方法.具體來說，就是把包含多種可能情況的問題，按照某一標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后對每一類分別進行解決.【應(yīng)用鏈接】在幾何問題中，涉及到圖形之間的位置關(guān)系不定時，需要應(yīng)用分情況討論問題的方法.【典例2】如圖，AD∥BC，當(dāng)點P在射線OM上運動時(點P與點A，B，O三點不重合)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD與∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.【即學(xué)即練2】如圖，在Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=60°，點D在邊OA上，將圖中的△COD繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，在第________秒時，邊CD恰好與邊AB平行.方程思想【思想解讀】方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系通過適當(dāng)設(shè)元建立起方程(組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解的思維方式.【應(yīng)用鏈接】在應(yīng)用垂直、角平分線或角度之間的比值進行角度的計算時，常用方程的思想，構(gòu)建方程解決問題.【典例3】如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOC，F(xiàn)O⊥CD于點O，若∠BOD∶∠EOB=2∶3，求∠AOF的度數(shù).平行線與相交線單元檢測一、單選題1.下面的四個圖形中，能夠通過基本圖形平移得到的圖形有（）A.1個B.2個C.3個D.4個2.下列命題是真命題的是（）A.如果數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的積SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是正數(shù)B.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等C.有公共點的兩個角是對頂角D.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補3.如圖，直線a、b被直線c所截，下列選項中不一定能判定a∥b的是（）A.∠1＝∠3B.∠1＝∠4C.∠2＝∠4D.∠2＝∠54.如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點O到PR所在直線的距離是線段（）的長.A.OQB.ORC.OPD.PQ5.下列說法中，錯誤的是（）A.兩點之間線段最短B.若AC＝BC，則點C是線段AB的中點C.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行D.平面內(nèi)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直6.如圖所示，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，則下列條件中能判定AB∥CD的是（）A.∠1＝∠2B.∠DAE＝∠BC.∠D＋∠BCD＝180°D.∠3＝∠47.一個學(xué)員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（

）A.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°

B.第一次向右拐50°，第二次向右拐130°C.第一次向左拐50°，第二次向左拐130°

D.第一次向左拐30°，第二次向右拐30°8.如圖a是長方形紙帶，∠DEF=26°，將紙帶沿EF折疊成圖b，再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是（）A.102°B.108°C.124°D.128°9.如圖所示，若AB∥EF，用含SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的式子表示SKIPIF1<0，應(yīng)為（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<010.如圖，直線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0、點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的角平分線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的度數(shù)為（）A.26oB.32oC.36oD.42o二、填空題11.如圖所示，計劃把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足為B，然后沿AB開渠，能使所開的渠道最短，這樣設(shè)計的依據(jù)是___________________.12.把命題“等角的補角相等”改寫成“如果…那么…”的形式是______.13.如圖，直線AB，CD相交于點O，EO⊥AB于點O，∠EOD=50°，則∠BOC的度數(shù)為_____.14.如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向向右平移1個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為_____________.15.如圖，請你添加一個條件使得AD∥BC，所添的條件是__________.16.如圖，AB∥CD，則∠1+∠3—∠2的度數(shù)等于__________.三、解答題17.如圖，l1，l2，l3交于點O，∠1＝∠2，∠3∶∠1＝8∶1，求∠4的度數(shù).18.如圖，直線CD與直線AB相交于C，根據(jù)下列語句畫圖、解答.（1）過點P作PQ∥CD，交AB于點Q；（2）過點P作PR⊥CD，垂足為R；（3）若∠DCB=120°，猜想∠PQC是多少度？并說明理由19.如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圖中SKIPIF1<0的余角是______SKIPIF1<0把符合條件的角都填出來SKIPIF1<0；SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，那么根據(jù)______可得SKIPIF1<0______度；SKIPIF1<0如果SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的度數(shù).20.如圖，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試說明SKIPIF1<0的理由.解：把SKIPIF1<0的對頂角記作SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（對頂角相等）.因為SKIPIF1<0（已知），所以SKIPIF1<0（），所以SKIPIF1<0（）.（請繼續(xù)完成接下去的說理過程）21.如圖，點D、E在AB上，點F、G分別在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2.（1）求證：DC∥EF；（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度數(shù).22.如圖，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B，求證：DE∥BC.23.已知：直線SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別在直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0為平面內(nèi)一點.（SKIPIF1<0）如圖，SKIPI