小學(xué)數(shù)學(xué)3年級培優(yōu)奧數(shù)講義 第16講 數(shù)字趣談含解析

第16講數(shù)字趣談

學(xué)習(xí)目標(biāo)

?嘗試使用探索法和分類統(tǒng)計法解決自然數(shù)列計數(shù)問題

知識梳理

在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我們最常見、最熟悉的數(shù)，由這些數(shù)字構(gòu)成的自然

數(shù)列中也有很多有趣的計數(shù)問題，動動腦筋，你就會找到答案。本周的習(xí)題，大都是關(guān)于自然數(shù)列方面的

計數(shù)問題，解題的方法一般是采用嘗試探索法和分類統(tǒng)計法，相信你們能很好地掌握它.

典例分析

考點一：枚舉計數(shù)

例1、在10和40之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)？

例2、在10和1000之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)?

例3、從1——9九個數(shù)中選取，將11寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法?

例4、2000年2月的一天，有三批同學(xué)去植樹，每批的人數(shù)不相等，沒有一個人單獨去的，三批人數(shù)的乘

積正好等于這一天的日期。想一想，這三批學(xué)生各有幾人？

例5、一本連環(huán)畫共100頁，排頁碼時一個鉛字只能排一位數(shù)字。請你算一下，排這本書的頁碼共要用多少

個鉛字？

例6、一本書共250頁，求編碼時需要多少個數(shù)碼？

例7、給一本書編碼，一共用了723個數(shù)字，這本書一共用多少頁？

例8、一本書的頁碼，在印刷時必須用198個鉛字，自這一本書的頁碼中數(shù)字1出現(xiàn)多少次？

考點二：計數(shù)和數(shù)論的綜合題

例1、1~3998這些自然數(shù)中，有多少個能被4整除？

例2、1234~3998這些自然數(shù)中，有多少個能被4整除？

考點三：計數(shù)問題中的乘法原理

加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關(guān)。

乘法原理：一般的，完成一個任務(wù)有N步，第一步有A種做法，第二步有B種做法，第三步有C種

做法.....那么完成這個任務(wù)共有AxBxCx……種方法。

例1、從北京到天津有3種路線，從天津到大連有4種路線，那么從北

京經(jīng)過天津再去大連共有幾種路線。

例2、1~7中選4個不同數(shù)字，組成四位數(shù)，共有多少個?

例3、1~7中選4個不同數(shù)字，組成四位奇數(shù)，共有多少個?

考點四：數(shù)論中位值原理的應(yīng)用

位值原理是方程工具(代數(shù)思想)的一個體現(xiàn)，是將來學(xué)習(xí)進位制的基礎(chǔ)。

如：1234=1000+200+30+4=1x1000+2x100+3x10+4x1

I在千這個位置上，它代表的數(shù)值是1個1000；

2在百這個位置上，它代表的數(shù)值是2個100；

3在十這個位置上，它代表的數(shù)值是3個10；

4在個這個位置上，它代表的數(shù)值是4個1；

位值原理體現(xiàn)的是一種位置和數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。

位值原理的兩種展開方式：

(1)全部展開：如：1234=1x1000+2x100+3x10+4x1

(2)分析題意，根據(jù)需要靈活展開：如：

1234=12x100+34x1；

12345=12x1000+345x1；

12345=123x100+45x1；

12345=12x1000+34X10+5x1；

例1、在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字中間加一個0,那么，所得的三位數(shù)是原數(shù)的6倍。求這個兩位數(shù)。

例2、有一個三位數(shù)，個位數(shù)字是百位的2倍，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字，若百位數(shù)字與

個位數(shù)字對換，新數(shù)比原數(shù)大198,求原數(shù)。

例3、一個三位數(shù)，個位數(shù)字是3,如果把原個位數(shù)字當(dāng)百位數(shù)字，原十位數(shù)字當(dāng)個位數(shù)字，原百位數(shù)字

當(dāng)成十位數(shù)字，那么新數(shù)比原數(shù)小171,求原數(shù)。

實戰(zhàn)演練

＞課堂狙擊

1、在20和50之間有多少個數(shù)是6的倍數(shù)？

2、在I到1000之間有多少個數(shù)是4的倍數(shù)?

3、從1一9九個數(shù)中選取，將13寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法？

4、將12分拆成3個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方法？

5、2001年5月的一天，有三批學(xué)生去參加助殘活動，每批人數(shù)不相等，三批人數(shù)的乘積正好等于這一天的

日期。想一想，這三批學(xué)生最多各有多少人？

6、將12個乒乓球分別標(biāo)上自然數(shù)1、2、3、...12作為球號，然后放在布袋中，甲、乙、丙三人各從袋中

拿出4個球，而且三人各自所拿四個球的球號和都相等。甲的兩個球標(biāo)著5和12,乙的兩個球標(biāo)著6和8,

丙的一個球標(biāo)著1,問丙的其他三個球上分別標(biāo)的是多少？

7、有三個不同的數(shù)字，排列3次，組成3個三位數(shù)，這3個三位數(shù)相加的和是768,又知道計算的過程中

沒有進位，那么這3個數(shù)字連乘所得積是多少？

＞課后反擊

1.從1開始，按照1、5、9、13…的規(guī)律往下排，第100個數(shù)是多少？

2.四張卡片上分別寫著1、9、9、5,用它們組成的四位數(shù)中最大與最小的數(shù)之和是多少？

3.猜謎語比賽，謎語按難易分為兩類，每人可以猜三條，每猜對一條較難的謎語得3分，每猜對一條較容

易的謎語得1分。結(jié)果有8人得1分，7人得2分，6人得3分，5人得4分，4人得5分。問恰好猜對

兩條謎語的有多少人？

4.用5、7、2、0、8,這5個數(shù)字組成兩個五位數(shù)，這兩個五位數(shù)相減的差是66663o這兩個數(shù)中較大的

一個數(shù)可能是多少？

5.有兩個數(shù)，A的各位數(shù)字之和是35,B的各位數(shù)字之和是26,兩數(shù)相加時進位三次，那么A+B的各位

數(shù)字之和是多少？

6.有一個四位數(shù)，去掉千位數(shù)字后所得三位數(shù)的15倍恰好是原來的四位數(shù)。求這個四位數(shù)？

名師點撥

學(xué)會綜合運用枚舉法、乘法原理、位值原理等方法解決數(shù)字問題。

學(xué)霸經(jīng)驗

＞本節(jié)課我學(xué)到了

＞我需要努力的地方是

第16講數(shù)字趣談

覆教學(xué)目標(biāo)

之

?嘗試使用探索法和分類統(tǒng)計法解決自然數(shù)列計數(shù)問題

知識梳理

在日常生活中，0、1、2、3、、4、5、6、7、8、9是我們最常見、最熟悉的數(shù),

由這些數(shù)字構(gòu)成的自然數(shù)列中也有很多有趣的計數(shù)問題，動動腦筋，你就會找到

答案。本周的習(xí)題，大都是關(guān)于自然數(shù)列方面的計數(shù)問題，解題的方法一般是采

用嘗試探索法和分類統(tǒng)計法，相信你們能很好地掌握它。

典例分析

考點一：枚舉計數(shù)

例1、在10和40之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)？

【解析】由嘗試法可求出答案：

3x4=123x5=153x6=183x7=213x8=24

3x9=273x10=303x11=333x12=363x13=39

例2、在10和1000之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)？

【解析】求10和1000之間有多少個數(shù)是3的倍數(shù)，用一一列舉的方法顯得很麻煩?？梢赃@樣思考:

10+3=3……1說明10以內(nèi)有3個數(shù)是3的倍數(shù)：

1000+3=333……1說明1000以內(nèi)有333個數(shù)是3的倍數(shù)。

333-3=330說明10——1000之間有330個數(shù)是3的倍數(shù)。

例3、從1——9九個數(shù)中選取，將11寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法?

【解析】將1——9的九個自然數(shù)從小到大排成一列：

1,2,3,4,5,6,7,8,9

先看最小的1和最大的9相加之和為10不符合要求，但用第二小的2和最大的9相加,

和為11符合要求，得11=2+9。依次做下去，可得11=3+8,11=4+7,11=5+6。

共有4種不同的寫法。

例4、2000年2月的一天，有三批同學(xué)去植樹，每批的人數(shù)不相等，沒有一個人單獨去的，三批人數(shù)的乘

積正好等于這一天的日期。想一想，這三批學(xué)生各有幾人？

【解析】2000年2月有29天，三批同學(xué)人數(shù)的乘積不能大于29,我們可以先用最小的幾個數(shù)試乘（1除外）:

2x3x4=24,24<29；2x3x5=30,30>29,不合題意。所以，這三批學(xué)生的人數(shù)是2,3,4人。

例5、一本連環(huán)畫共100頁，排頁碼時一個鉛字只能排一位數(shù)字。請你算一下，排這本書的頁碼共要用多少

個鉛字？

【解析】這道題可以分類計算：

從第1頁到第9頁，共9頁，每頁用1個鉛字，共用1x9=9個；

從第10頁到第99頁，共90頁，每頁用2個鉛字，共用2x90=180個；

第100頁，只有1頁共用3個鉛字。

所以這本書的頁碼共用9+180+3=192個鉛字。

例6、一本書共250頁，求編碼時需要多少個數(shù)碼？

【解析】由于本書的頁碼有一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)；

而幾位數(shù)就需要幾個數(shù)碼。故須分類計數(shù)，再相加。

一位數(shù)：有.9個，共需9x1=9個數(shù)碼；

兩位數(shù)：有90個，共需90x2=180個數(shù)碼；

三位數(shù)：有250-99=151個，共需151x3=453個數(shù)碼；

共需9+180+453=642個數(shù)碼。

記住規(guī)律：

一位數(shù)：1~9,有9個；

兩位數(shù)：10-99,有99-10+1=90個，或99-9=90；

三位數(shù)：100-999,有999-100+1=900個，或999-99=900個：

四位數(shù)：9000個；

例7、給一本書編碼，一共用了723個數(shù)字，這本書一共用多少頁？

【解析】剛才例子是正著問，此題倒著問。邊嘗試邊計算：

一位數(shù)：有9個，共計用去9個數(shù)碼；

兩位數(shù)：有90個，共需90x2=180個數(shù)碼；

三位數(shù)：有900個，共需900x3=2700個數(shù)碼；

而此題只有723個數(shù)碼，多于9+180,小于9+180+2700,說明數(shù)的頁數(shù)是三位數(shù)。

一位數(shù)和兩位數(shù)共計用去9+180=189個數(shù)碼，

還剩723-189=534個數(shù)碼給三位數(shù)用，每個三位數(shù)用3個數(shù)碼，

則還有534+3=178個三位數(shù)，

第178個三位數(shù)是99+178=277,故本書有277頁。

例8、一本書的頁碼，在印刷時必須用198個鉛字，自這一本書的頁碼中數(shù)字1出現(xiàn)多少次？

【解析】一位數(shù)和兩位數(shù)共計用去9+180=189個數(shù)碼，

還剩198-189=9個數(shù)碼給三位數(shù)用，每個三位數(shù)用3個數(shù)碼，

則還有9+3=3個三位數(shù)，

第3個三位數(shù)是102,故本書有102頁。

那么本題轉(zhuǎn)化為：一本書有102頁，問1出現(xiàn)多少次？

即相當(dāng)于問：1~102里1出現(xiàn)的次數(shù)。

數(shù)少時可以按由小到大的順序枚舉，即便如此，也很少有孩子能一次想全。

因此，為使計數(shù)不重不漏，我們一定要按照一定的順序枚舉。

本題來說最好的枚舉順序我認為是這樣的：

最多有3位數(shù)，因此，1如果出現(xiàn)一定是在個位、十位、或百位。

所以我們把個、十、百位的1分類計數(shù)，然后再相加。

個位1：1,11,21,31,....101?有11個;

十位1：10,11,12,....,19.。有10個;

百位1：100,101,102。有3個。

1出現(xiàn)24次。

考點二：計數(shù)和數(shù)論的綜合題

例1、1~3998這些自然數(shù)中，有多少個能被4整除？

【解析】最簡單的方法是找規(guī)律，除以幾，數(shù)就有幾種可能，

如除以4,余數(shù)可能0-3,共四種；

連續(xù)自然數(shù)（或等差數(shù)列）除以同一個數(shù)余數(shù)肯定成周期，周期為除數(shù)

123456789...

除以4余數(shù)123012301...

周期為4,3998+4=999...2,余下的2個為1和2,因此能被4整除的共999個。

注意：在這個范圍內(nèi)被4整除的和除以4余3的有999個；

除以4余1的和除以4余2的都有999+1=1000個。

例2、1234~3998這些自然數(shù)中，有多少個能被4整除？

【解析】1234~3998共有3998-1234+1=2765個數(shù)。

123412351236123712381239124012411242..

除以4余數(shù)230123012

周期為4,2765+4=691……1,余下的一個是2,因此能被4整除的有691個。

注意：在這個范圍內(nèi)被4整除的、除以4余3以及除以4余1的有691個；

除以4余2的都有691+1=692個。

考點三：計數(shù)問題中的乘法原理

加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關(guān)。

乘法原理：一般的，完成一個任務(wù)有N步，第一步有A種做法，第二步有B種做法，第三步有C種

做法，……那么完成這個任務(wù)共有AxBxCx……種方法。

例1、從北京到天津有3種路線，從天津到大連有4種路線，那么從北

京經(jīng)過天津再去大連共有幾種路線。

【解析】完成任務(wù)分兩步，第一步從北京到天津，第二步從天津到大連，分步用乘法原理，3x4=12

例2、1~7中選4個不同數(shù)字，組成四位數(shù)，共有多少個？

【解析】組成四位數(shù)，需要一位一位的確定各個位上的數(shù)字，分四步。

第一步：1~7中選一個數(shù)字放到千位，共7種；

第二步：從剩下的6個數(shù)字中選一個數(shù)字放到百位，共6種；

第三步：從剩下的5個數(shù)字中選一個數(shù)字放到十位，共5種；

第四步：從剩下的4個數(shù)字中選一個數(shù)字放到個位，共4種；

分步用乘法：7x6x5x4=840種。

特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先考慮。

例3、1~7中選4個不同數(shù)字，組成四位奇數(shù)，共有多少個？

【解析】特殊位置優(yōu)先考慮

奇數(shù)，末位特殊，1,3,5,7共4中選擇。

第二步：從剩下的6個數(shù)字中選一個數(shù)字放到千位，共6利I

第三步：從剩下的5個數(shù)字中選一個數(shù)字放到百位，共5種；

第四步：從剩下的4個數(shù)字中選一個數(shù)字放到十位，共4種；

分步用乘法：4x6x5x4=480種。

考點四：數(shù)論中位值原理的應(yīng)用

位值原理是方程工具(代數(shù)思想)的一個體現(xiàn)，是將來學(xué)習(xí)進位制的基礎(chǔ)。

如：1234=1000+200+30+4=1x1000+2x100+3x10+4x1

1在千這個位置上，它代表的數(shù)值是1個1000；

2在百這個位置上，它代表的數(shù)值是2個100；

3在十這個位置上，它代表的數(shù)值是3個10；

4在個這個位置上，它代表的數(shù)值是4個1；

位值原理體現(xiàn)的是一種位置和數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系。

位值原理的兩種展開方式：

(1)全部展開：如：1234=1x1000+2x100+3x10+4x1

(2)分析題意，根據(jù)需要靈活展開：如：

1234=12x100+34x1；

12345=12x1000+345x1；

12345=123x100+45x1；

12345=12x1000+34X10+5x1；

例1、在一個兩位數(shù)的兩個數(shù)字中間加一個0,那么，所得的三位數(shù)是原數(shù)的6倍。求這個兩位數(shù)。

【解析】設(shè)原來的兩位數(shù)是時，那么新的三位數(shù)就是帥0,新數(shù)是原數(shù)的6倍，

得到方程：出?0=6xa/?(a,b均為整數(shù)；0Va$9；0<b<9)

根據(jù)位值原理：M=10a+b；ab0=100a+b；

則100a+b=6(10a+b)

100a+b=60a+6b

40a=5b

8a=b(0<a<9；0<b<9)

a=l,b=8

原數(shù)為18。

例2、有一個三位數(shù)，個位數(shù)字是百位的2倍，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字，若百位數(shù)字與

個位數(shù)字對換，新數(shù)比原數(shù)大198,求原數(shù)。

【解析】只看這一個條件：若百位數(shù)字與個位數(shù)字對換，新數(shù)比原數(shù)大198。

設(shè)原數(shù)為Me,則新數(shù)為c%,原數(shù)+198=新數(shù)

abc+198=cba

100a+1Ob+c+198=100c+1Ob+a

198=99c-99a

c-a=2

又，個位數(shù)字是百位的2倍，即c=2a,

差倍問題，c=4,a=2

又，百位數(shù)字與個位數(shù)字之和等于十位數(shù)字，b=a+c=6

原數(shù)為264

例3、一個三位數(shù)，個位數(shù)字是3,如果把原個位數(shù)字當(dāng)百位數(shù)字，原十位數(shù)字當(dāng)個位數(shù)字，原百位數(shù)字

當(dāng)成十位數(shù)字，那么新數(shù)比原數(shù)小171,求原數(shù)。

【解析】設(shè)原數(shù)為M3,則新數(shù)為

（a,b均為整數(shù)；0<aW9；0@W9）新數(shù)比原數(shù)小171,即：

3ab+\l\=ab3（新數(shù)+171=原數(shù)）

可以按剛才思路展開，但仔細分析后就會發(fā)現(xiàn)ah始終作為一個整體出現(xiàn)，

可以用第二種展開方式：

3ab=300+ab,ab3=10ab+3,

3ab+l7l=ab3

300+而+171=1Oab+3,設(shè)ab=X,

300+X+171=10X+3

X=523

原數(shù)為523。

實戰(zhàn)演練

>課堂狙擊

1、在20和50之間有多少個數(shù)是6的倍數(shù)？

【解析】要想求出從20到50之間6的倍數(shù)的個數(shù)，根據(jù)找一個數(shù)倍數(shù)的方法，列舉出6的倍數(shù)，然后找

出在20-50范圍內(nèi)的即可.

6的倍數(shù)有6、12、18、24、30、36、42、48、54、…，

所以在20到50之間6的倍數(shù)的個數(shù)：24、30、36、42、48,共五個；

答：在20和50之間有5個數(shù)是6的倍數(shù)。

2、在1到1000之間有多少個數(shù)是4的倍數(shù)？

【解析】在1到1000之間有多少個數(shù)是4的倍數(shù)，也就是說1000里面有幾個4,用除法直接求出.

1000+4=250（個），

答：在1到1000之間有250個數(shù)是4的倍

3、從1——9九個數(shù)中選取，將13寫成兩個不同的自然數(shù)之和，有多少種不同的寫法？

【解析】將13拆分成兩個不同的自然數(shù)之和，只要從1?9中分別列舉出來即可.

因為，13=4+9=5+8=6+7,

又因為和為13兩個加數(shù)交換位置還是同一種寫法，

所以只有3種不同的寫法。

4、將12分拆成3個不同的自然數(shù)相加之和，共有多少種不同的分拆方法？

【解析】根據(jù)分析可得，

12=0+1+11=1+1+10=1+2+9=1+3+8=1+4+7=1+5+6=2+2+8=2+3+7=2+4+6=2+5+5=3+3+6=3+4+5=4+4+4=0+2+

10=0+3+9=0+4+8=0+5+7,

去掉相同的自然數(shù)相加之和：1+1+10,2+2+8,2+5+5,3+3+6,4+4+4；

還剩：17-5=12（種）；

所以，共有12種不同的分拆方法。

答：共有12種不同的分拆方法。

5、2001年5月的一天，有三批學(xué)生去參加助殘活動，每批人數(shù)不相等，三批人數(shù)的乘積正好等于這一天的

日期。想一想，這三批學(xué)生最多各有多少人？

【解析】三個不同的數(shù)字中，2、3、4的乘積是24：

比31小，3、4、5的乘積比31大，那么大概范圍就是這幾個數(shù)字；

只有2、3、5的乘積最接近31；而且比31小，所以這三批學(xué)生最多是2人、3人和5人.

故答案為：2人；3人；5人.

6、將12個乒乓球分別標(biāo)上自然數(shù)1、2、3、…12作為球號，然后放在布袋中，甲、乙、丙三人各從袋中

拿出4個球，而且三人各自所拿四個球的球號和都相等。甲的兩個球標(biāo)著5和12,乙的兩個球標(biāo)著6和8,

丙的一個球標(biāo)著1,問丙的其他三個球上分別標(biāo)的是多少？

【解析】12個乒乓球上的數(shù)之和是1+2+3+……+12=78,每人的4個球上數(shù)之和是26。

甲另外兩球的數(shù)之和是26—5—12=9,

乙另外兩球之和是26—6—8=12.

丙另外三球之和是26—1=25。

因為9+1+8=24-7=3+6=4+5,

但是1、5、6、8的球都在別人的手中，

所以甲剩下的兩球上標(biāo)有2和7o

又因為12=1+11=2+10=3+9=4+8=5+7,而1、2、5、7、8的球已經(jīng)出現(xiàn)，

所以乙剩下的兩球數(shù)字是3、9o那么丙所拿的球是4、10、11。

7、有三個不同的數(shù)字，排列3次，組成3個三位數(shù)，這3個三位數(shù)相加的和是768,又知道計算的過程中

沒有進位，那么這3個數(shù)字連乘所得積是多少？

【解析】因為沒有進位，所以三個數(shù)字的百位數(shù)字之和是7,十位數(shù)字之和是6,各位數(shù)字之和是8,而在

每個三位數(shù)中，原來的三個數(shù)字各出現(xiàn)一次，那么有3倍的三個數(shù)字之和為7+6+8=21,這三個數(shù)字的和

為21+3=7。因為3個數(shù)字各不相同，所以只能是1、2、4（不能是0）,它們的積是lx2x4=8。

＞課后反擊

1.從1開始，按