教無(wú)定法解有通法-小學(xué)數(shù)學(xué)方程解法之我見(jiàn) 論文

教無(wú)定法，解有通法——小學(xué)數(shù)學(xué)方程解法之我見(jiàn)摘要：本文，筆者就學(xué)生在方程解法的學(xué)習(xí)及練習(xí)過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)的一些問(wèn)題，基于問(wèn)題背景指出問(wèn)題所在；通過(guò)積極探索解決策略，對(duì)方程解法進(jìn)行的大膽嘗試；最后，通過(guò)歸納總結(jié)、延伸拓展，對(duì)有關(guān)解法進(jìn)行總結(jié)。在某種程度上，會(huì)給學(xué)生的自學(xué)提供方便。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)，方程，解法引言：作為教師，大家都知道方程在中學(xué)數(shù)學(xué)中的作用不亞于函數(shù)，其實(shí)方程、和不等式，它們?nèi)咧g的關(guān)系可謂是”。鑒于此，小學(xué)階段方程的學(xué)習(xí)雖卻顯得尤為重要。關(guān)于小學(xué)方程的解法及思2011版數(shù)學(xué)課標(biāo)中，課程內(nèi)容部規(guī)定：①能用方程表示簡(jiǎn)單情景中的等量關(guān)系（如：3x+2=5，2x-x=3）；②了解等式的性質(zhì)解簡(jiǎn)單的方程。筆者提出了自己的見(jiàn)解，本文就以小學(xué)北師大版教材為研究對(duì)象進(jìn)行闡述。一、問(wèn)題背景師：學(xué)完第3、4節(jié)《方程》中關(guān)于方程的解法內(nèi)容后，你有什么感受？生1：我又學(xué)會(huì)了一種解方程的方法，很開(kāi)心。生2：如果只用“等式的基本性質(zhì)”去解方程，我覺(jué)得之前學(xué)的三個(gè)量之間的運(yùn)算關(guān)系沒(méi)有用了，那為什么還要學(xué)呢？生3：舍近求遠(yuǎn)，小學(xué)的知識(shí)還沒(méi)學(xué)好哩，還沒(méi)鞏固好哩，就學(xué)習(xí)初中的內(nèi)容等式有點(diǎn)太早了。（個(gè)別學(xué)生竊竊私語(yǔ)：聽(tīng)我姐姐說(shuō)這是初生4：我也喜歡“加、減、乘、除”四則運(yùn)算中三個(gè)兩之間的關(guān)系去用“等式基本性質(zhì)”生：……師：雖然同學(xué)們現(xiàn)在還不喜歡用等式的基本性質(zhì)去解方程，但我們一定要敢于接受新事物，敢于拋棄舊知識(shí)學(xué)習(xí)新東西，敢于挑戰(zhàn)自己。其實(shí)，作為教師的筆者，在這樣說(shuō)的時(shí)候，也是違心的。從學(xué)生的課堂表現(xiàn)、課后作業(yè)及練習(xí)考試中也可以發(fā)現(xiàn)，能用性質(zhì)直接解的題很少。大部分同學(xué)還是喜歡“固步自封”——走老路、用來(lái)老方法！基于以上教學(xué)背景的考量，筆者覺(jué)得有”融合，重新認(rèn)識(shí)去解決有關(guān)方程的一些問(wèn)題。二、解決策略1．追本溯源，弄清概念早在3600多年前，埃及人就會(huì)用方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。大約在2000年前成書(shū)的我國(guó)的九章算術(shù)》中，已經(jīng)會(huì)用方程解一次方程組。直到300多年前，法國(guó)的數(shù)學(xué)家笛卡爾第一《個(gè)提出用x、y、z代表未知數(shù)，才形成了現(xiàn)在的方程。四年級(jí)下冊(cè)第五章《認(rèn)識(shí)方程》的第1節(jié)是《用字母表示數(shù)》，安排了兩個(gè)課時(shí)；第2節(jié)是《等量關(guān)系》；第3節(jié)才引出《方程》。這足以說(shuō)明認(rèn)識(shí)方側(cè)面反映出方程的晦澀難懂，也足以體現(xiàn)其在數(shù)學(xué)大廈中的地位。教材中給出的方程概念是：”像10=x，4y=20，……這樣，含有未知數(shù)”首先，對(duì)概念進(jìn)”分析。即對(duì)概念的構(gòu)成要素進(jìn)行分析探未知數(shù)+等式=方程”的形式。筆者認(rèn)為，這是學(xué)習(xí)概念、認(rèn)識(shí)概念、理解概念、運(yùn)用概念”的基礎(chǔ)，方程的概念包含以下幾個(gè)重要“要素”：（1）“像……這樣①10=x+2，可以是x+2=10，10=2+x。由于加法是減法的逆運(yùn)算，所以也可以是10=x-2，10=2-x；②4y=2000，乘是除的逆運(yùn)算，所以方程的形式也可以是4÷y=2000，y÷4=2000；這樣的教學(xué)分析，看似多余，在筆者看來(lái)，這恰恰是對(duì)方程知識(shí)的精準(zhǔn)梳理。像這樣的拓展是很有必要的，因?yàn)樵诤笃诮夥匠痰恼n堂學(xué)習(xí)及課后練習(xí)中，會(huì)遇到很多教材中沒(méi)見(jiàn)過(guò)的方程類型。（2）“含有未知數(shù)公元250年前后，古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖寫了一本數(shù)學(xué)巨著《算術(shù)》，引入了并使用符號(hào)表示未知數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要事件，開(kāi)啟了符號(hào)代數(shù)的大門。因此，人們常常稱丟番圖為“代”。”含有未知數(shù)”，這一點(diǎn)不難理解，因?yàn)樵诘?節(jié)《用字母表示數(shù)》的新課中已經(jīng)講明：未知數(shù)可以使用圖形、漢字代替，也可以使用字母（大小寫均可以）等。但在數(shù)學(xué)上，常用小寫的英語(yǔ)字母x、y、z等來(lái)表示。再回到圖形、符號(hào)、漢字等表示未知數(shù)，其實(shí)像以下這些形式：“符號(hào)等式”、“圖形等式”、“文字等式”等等，學(xué)生們并不陌生，本質(zhì)已知：（）+2=5，問(wèn)：（）=？已知：□+△=6，□□+△△+○=15，求：○=？已知：甲+乙+丙=7，甲+乙=5，求：丙=？針對(duì)“未知”，字典中是這樣給出的定義：代數(shù)式和方程中數(shù)值需要經(jīng)過(guò)的數(shù)，指還不知道還不確定的事情。簡(jiǎn)而言之，在數(shù)學(xué)上，我們可以定義未知數(shù)為還不知道的數(shù)；在算式中，我們可以稱之為不能直接看出數(shù)值的量。（3）“等式等式表示兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式相等的算式，這兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)代數(shù)式之間用等號(hào)連接，如3241，a1.2，b=1/2，A=20%等等。在筆者看來(lái)，等式就是用等號(hào)連接的數(shù)值相等的式子。在新授課中，理清等式與方程之間的關(guān)系，很有必要。2.巧用數(shù)學(xué)規(guī)律，助力方程解答縱觀整個(gè)北師大版教材，只在四年級(jí)下冊(cè)“猶抱琵琶半遮面”的展示出等式性質(zhì)，但并沒(méi)給出明確說(shuō)明，也沒(méi)有明確指出到底該怎樣去求解方程。在某種程度上講，這給師生提供了很大的自由發(fā)揮空間，同時(shí)也帶來(lái)了些許煩惱。到底怎樣系統(tǒng)、有根據(jù)的去歸納整理方程的解法呢？筆者認(rèn)為，可以從以下幾個(gè)方面著手：（1）巧妙運(yùn)用四則運(yùn)算法則通過(guò)概念的“要素”分析，不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)方程的本質(zhì)就是等式。這就不難想到二年級(jí)學(xué)習(xí)過(guò)的四則運(yùn)算法則，它其實(shí)也是等式的一種表現(xiàn)形式。筆者在結(jié)束二年級(jí)“和、差、積、商”的運(yùn)算教學(xué)后，為了盡力去幫助學(xué)生建立“交換”的概念和“方程”意識(shí)，后期一律采用以上形式進(jìn)行展示。學(xué)生理解記憶、全面復(fù)習(xí)時(shí)也采用這種方式，即等號(hào)“=”前面只保留一項(xiàng)，盡力向中、高年級(jí)解方程的最終目標(biāo)“未知項(xiàng)=已知項(xiàng)”這種形式靠攏，也就“=”的左邊只有一項(xiàng)是”的形式，“x=已知項(xiàng)”的形式。（2）合理使用運(yùn)算規(guī)律在小學(xué)階段有關(guān)計(jì)算、方程求解時(shí)，經(jīng)常用到的運(yùn)算規(guī)律如下。其實(shí)每個(gè)規(guī)律都可以理解為一個(gè)概念、一個(gè)方程。同時(shí)，每個(gè)規(guī)律的運(yùn)用，都體現(xiàn)著對(duì)方程解法的多角度理解。對(duì)規(guī)律的運(yùn)用，蘊(yùn)含著對(duì)概念的理解。在某種意義上講，筆者覺(jué)得，解方程的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出的“解”這一過(guò)程本身，而是側(cè)重于對(duì)于數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的深層次把握。所以，解方程還有另一層含義，就是回憶概念、運(yùn)用概念，而概念本身就隱藏在構(gòu)成規(guī)律的每一個(gè)要素中！（3）準(zhǔn)確把握運(yùn)算順序在進(jìn)行脫式計(jì)算時(shí)，老師會(huì)告訴學(xué)生必須熟記運(yùn)算順序：“有括號(hào)的，先算括號(hào)（先算小括號(hào)（），再算[]，最后算{}）里的；再算乘除；最”。在脫式計(jì)算中沒(méi)有未知數(shù)，是成立的；由于方程中含有未知數(shù)，用運(yùn)算順序作為方程的解法前提，卻與之有不同之處。即：應(yīng)先算加減，最后算乘除或者“去”（括號(hào)里若出現(xiàn)未知數(shù)，沒(méi)辦法接運(yùn)算，應(yīng)該是“先去括號(hào)”）。在解方程初期，這一點(diǎn)很有必要和學(xué)生一起討論學(xué)習(xí)，導(dǎo)學(xué)生自己加以總結(jié)。因此，要準(zhǔn)確把握，合理使用。例如：4x-4=2x+3-(x-2)解：4x-4=2x+3-x+2（括號(hào)里有未知數(shù)，只能”）4x-2x+x=4+3+2（左邊是“”，右邊是“”）（先算加減，最后達(dá)到：=已知項(xiàng)”的狀態(tài)（后算乘除，最后達(dá)到：“x=已知數(shù)”的形式）（4）等式性質(zhì)的歸納總結(jié)四年級(jí)下P《解方程（一）》1①筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)際和圖1，進(jìn)行了簡(jiǎn)單修改。性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加（或者減）同一個(gè)數(shù)（或者同一個(gè)項(xiàng)），等式仍然成立②四年級(jí)下冊(cè)P《解方程（二）》中是這結(jié)合教材中圖2和圖3給出的信息，筆者進(jìn)行了歸納總結(jié)。性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)乘或除以）同一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立。（在實(shí)際的關(guān)于方程問(wèn)題解決時(shí)，學(xué)生大部分還是”，喜歡“開(kāi)門見(jiàn)”的用四則運(yùn)算法則去解方程，很少或不用等式性質(zhì)。筆者認(rèn)為，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因有幾個(gè)：一方面由于小學(xué)階段的方程都是一元一次方程，用算數(shù)方法就可以解決，沒(méi)有必要“曲——使用代數(shù)方法，也就是代數(shù)方法的優(yōu)越性不明顯。同時(shí)，四則運(yùn)算已經(jīng)深深植入了他們的記憶中；一方面是因?yàn)榻滩氖遣捎锰炱揭龇匠痰亩x及性質(zhì)，而學(xué)生理解起來(lái)顯得有些生疏，進(jìn)而對(duì)于利用性質(zhì)去解方程也不習(xí)慣。更進(jìn)一步說(shuō)，最主要還是學(xué)生不明白教材這樣呈現(xiàn)的意義和價(jià)值何在。3.檢驗(yàn)不能少在平時(shí)的數(shù)學(xué)測(cè)試或者練習(xí)時(shí)，為了保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，老師會(huì)提醒學(xué)生多算幾遍、多檢查幾遍。但你告訴學(xué)生怎樣檢查了嗎？在實(shí)際計(jì)算練習(xí)時(shí)，經(jīng)常遇到這種情況：教師要求學(xué)生解一遍、兩遍、三遍……，然后看每一次的結(jié)果是否一樣嗎？筆者認(rèn)為，這的確不失為一種解題方法。但之于方程，最好的方法是把求出的未知數(shù)的值（即方程的解）代入原方程中去，把等號(hào)“=”兩邊的代數(shù)式分別進(jìn)行脫式計(jì)算。等號(hào)“=”左邊代數(shù)式的值是否等于等號(hào)“=”右邊代數(shù)式的值，這種運(yùn)算才算得上是真正的檢驗(yàn)——驗(yàn)算?！竞?jiǎn)例】18x-11x=5.6即：左邊=右邊所以，x=0.8是原方程的解。驗(yàn)算，乍看起來(lái)有浪費(fèi)時(shí)間的”，仔細(xì)分析不難發(fā)現(xiàn)，它實(shí)質(zhì)上提高了計(jì)性，培養(yǎng)了學(xué)生的驗(yàn)算意識(shí)，真正達(dá)到理解方程含義、能解方程、會(huì)解方程的目的！三、總結(jié)拓展小學(xué)階段的方程，都是整式方程。如果學(xué)生能高效地“理解除法、分?jǐn)?shù)、比三者之間的關(guān)系；明確商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和比的性質(zhì)的內(nèi)在”，以下幾種方程類型，最合用來(lái)鍛煉學(xué)生的方程思維，開(kāi)闊學(xué)生的云算視野！1．比例型⑴直接比例型⑵間接比例型：2．分式型教材中的方程問(wèn)題和習(xí)題中的方程計(jì)算，學(xué)生解決起來(lái)得心應(yīng)手。但他們大多就像四則運(yùn)算一樣：只是“同級(jí)”在運(yùn)算。當(dāng)出現(xiàn)“混合”運(yùn)算時(shí)，學(xué)生出錯(cuò)率很高。筆者經(jīng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：針對(duì)小學(xué)階段的方程問(wèn)題，學(xué)生更傾向于用四則運(yùn)算法則。比如問(wèn)題：（x-1/6-3/4）×42+3=12x，用天平原理或者說(shuō)是等式性質(zhì)，就顯得不是那么容易了。方程的解法與解決問(wèn)題是不同的研究方向。教師都深知：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用到的算術(shù)方法的思路是逆向的，對(duì)學(xué)生的思維要求