已打印高一數(shù)學必修2第一章-空間幾何體及其表面積與體積測試題(二)

高一數(shù)學必修2第一章空間幾何體的外表積與體積根底自測1.如圖是一個幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的外表積是.2.如下圖，在棱長為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一點，且PB1=A1B1，那么多面體P-BCC1B1的體積為.3.正方體外接球的體積為,那么正方體的棱長等于.4.假設三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，那么其外接球的外表積是.5三棱錐S—ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S為直角頂點的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，那么三棱錐S—ABC的外表積是.例題精講1．如下圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=c，并且a＞b＞c＞求沿著長方體的外表自A到C1的最短線路的長.2．如下圖,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影局部以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的外表積(其中∠BAC=30°)及其體積.3.如下圖，長方體ABCD—A′B′C′D′中，用截面截下一個棱錐C—A′DD′，求棱錐C—A′DD′的體積與剩余局部的體積之比.4．如下圖，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E為AB的中點，將△ADE與△BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱錐的外接球的體積.穩(wěn)固練習1.如下圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一動點，那么CP+PA1的最小值是.2.如下圖，扇形的中心角為90°，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個局部，這兩局部各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為.3.如下圖，三棱錐A—BCD一條側(cè)棱AD=8cm，底面一邊BC=18cm，其余四條棱的棱長都是17cm，求三棱錐A—BCD的體積.4.如下圖，正四棱錐S—ABCD中，底面邊長為a,側(cè)棱長為a.〔1〕求它的外接球的體積；〔2〕求它的內(nèi)切球的外表積.課后作業(yè)一、填空題1.如下圖，E、F分別是邊長為1的正方形ABCD邊BC、CD的中點，沿線AF，AE，EF折起來，那么所圍成的三棱錐的體積為.2.長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3，對角線長為2，那么這個長方體的體積是.3.三棱錐S—ABC的各頂點都在一個半徑為r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC=r，那么球的體積與三棱錐體積的比值是.4.〔2007·遼寧文，15〕假設一個底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個球的面上，那么此球的體積為.5.各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，那么這個球的外表積是.6.一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，那么該正三棱錐的體積是.7.〔2023·四川理，15〕正四棱柱的對角線的長為，且對角線與底面所成角的余弦值為，那么該正四棱柱的體積等于.8.〔2023·上海春招〕一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如下圖，那么該凸多面體的體積V=.二、解答題9.一個正三棱臺的上、下底面邊長分別是3cm和6cm,高是cm,〔1〕求三棱臺的斜高；〔2〕求三棱臺的側(cè)面積和外表積.10.如下圖，正△ABC的邊長為4，D、E、F分別為各邊中點，M、N、P分別為BE、DE、EF的中點，將△ABC沿DE、EF、DF折成了三棱錐以后.〔1〕∠MNP等于多少度？〔2〕擦去線段EM、EN、EP后剩下的幾何體是什么？其側(cè)面積為多少？11.如下圖，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1E是棱CC1上的點，且CE=CC1.〔1〕求三棱錐C—BED的體積；〔2〕求證：A1C⊥12.三棱錐S—ABC中，一條棱長為a,其余棱長均為1，求a為何值時VS—ABC最大，并求最大值.參考答案根底自測1.122.3.4.95.3+例題精講1.解將長方體相鄰兩個面展開有以下三種可能，如下圖.三個圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為：=，=，=，∵a＞b＞c＞0,∴ab＞ac＞bc＞0.故最短線路的長為.2.解如下圖,過C作CO1⊥AB于O1,在半圓中可得∠BCA=90°,∠BAC=30°,AB=2R,∴AC=R,BC=R,CO1=R,∴S球=4R2,=×R×R=R2,=×R×R=R2,∴S幾何體表=S球++=R2+R2=R2,∴旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的外表積為R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2∴V幾何體=V球-〔+〕=R3-R3=R3.3.解長方體可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′.設它的底面ADD′A′面積為S，高為h，那么它的體積為V=Sh.而棱錐C—A′DD′的底面面積為S，高是h,因此，棱錐C—A′DD′的體積VC—A′DD′=×Sh=Sh.余下的體積是Sh-Sh=Sh.所以棱錐C—A′DD′的體積與剩余局部的體積之比為1∶5.4.解由條件知，平面圖形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.∴折疊后得到一個正四面體方法一作AF⊥平面DEC，垂足為F，F(xiàn)即為△DEC的中心.取EC的中點G，連接DG、AG，過球心O作OH⊥平面AEC.那么垂足H為△AEC的中心∴外接球半徑可利用△OHA∽△GFA求得.∵AG=，AF==，在△AFG和△AHO中，根據(jù)三角形相似可知，AH=.∴OA===.∴外接球體積為×OA3=··=方法二如下圖，把正四面體放在正方體中.顯然，正四面體的外接球就是正方體的外接球.∵正四面體的棱長為1，∴正方體的棱長為，∴外接球直徑2R=·，∴R=，∴體積為·=.∴該三棱錐外接球的體積為. 穩(wěn)固練習1.52.1∶13.解取BC中點M，連接AM、DM，取AD的中點N，連接MN∵AC=AB=CD=BD，∴BC⊥AM，BC⊥DM，又∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.∴AM=DM=4，∴NM⊥AD，∴MN=8.∴S△ADM=·MN·AD=·8·8=32.∴VA—BCD=VB—ADM+VC—ADM=×S△ADM×〔BM+CM〕=×32×18=192〔cm3〕.4.解〔1〕設外接球的半徑為R，球心為O，那么OA=OC=OS，所以O為△SAC的外心，即△SAC的外接圓半徑就是球的半徑.∵AB=BC=a，∴AC=a.∵SA=SC=AC=a，∴△SAC為正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.〔2〕設內(nèi)切球半徑為r，作SE⊥底面ABCD于E，作SF⊥BC于F，連接EF，那么有SF==.S△SBC=BC·SF=a×a=a2.S棱錐全=4S△SBC+S底=〔+1〕a2.又SE===，∴V棱錐=S底h=a2×a=.∴r=,S球=4r2=a2.課后作業(yè)1.2.483.44.45.246.7.28.1+9.解〔1〕設O1、O分別為正三棱臺ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如下圖，那么O1O=，過O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，那么D1D為三棱臺的斜高；過D1作D1E⊥AD于E，那么D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=,那么DE=OD-O1D1=-=.在Rt△D1DE中,D1D===.(2)設C、C′分別為上、下底的周長，h′為斜高，S側(cè)=〔C+C′〕h′=(3×3+3×6)×=(cm2),S表=S側(cè)+S上+S下=+×32+×62=(cm2).故三棱臺斜高為cm,側(cè)面積為cm2，外表積為cm2.10.解〔1〕由題意，折成了三棱錐以后，如下圖，△MNP為正三角形，故∠MNP=∠DAF=60°.〔2〕擦去線段EM、EN、EP后，所得幾何體為棱臺，其側(cè)面積為S側(cè)=SE—ADF側(cè)-SE—MNP側(cè)=3××22-3××12=.11.〔1〕解∵CE=CC1=，∴VC—BDE=VE—BCD=S△BCD·CE=××1×1×=.(2)證明連接AC、B1C，∵AB=BC，∴BD⊥∵A1A⊥底面ABCD,∴BD⊥A1A.∵A1∴BD⊥平面A1AC.∴BD⊥A1C.∵tan∠BB1C==tan∠CBE==,∴∠BB1C=∠CBE.∵∠BB1C+∠BCB1=90°,∴∠CBE+∠BCB1=90°,∴BE⊥B1C.∵BE⊥A1B1，A1B1∩B1C=B∴BE⊥平面A1B1C，∴BE⊥A1C.∵BD∩BE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，∴A1C⊥12.解方法一如下圖，設SC=a，其余棱長均為1，取AB的中點H，連接HS、HC，那么AB⊥HC，AB⊥HS，∴AB⊥平面SHC.在面SHC中，過S作SO⊥HC，那么SO⊥平面ABC.在△S