【數(shù)學(xué)】2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（九省聯(lián)考）試題（解析版）

2024年1月普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試適應(yīng)性測(cè)試（九省聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.樣本數(shù)據(jù)16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位數(shù)為（）A.14 B.16 C.18 D.20【答案】B【解析】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，則其中位數(shù)為16.故選：B.2.橢圓的離心率為，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由題意得，解得，故選：A.3.記等差數(shù)列前項(xiàng)和為，則（）A.120 B.140 C.160 D.180【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，故選：C.4.設(shè)是兩個(gè)平面，是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】對(duì)于A，可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，對(duì)于D，平行，不可能垂直，故D錯(cuò)誤，由線面平行性質(zhì)得C正確，故選：C5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有（）A.20種 B.16種 C.12種 D.8種【答案】B【解析】因?yàn)橐液捅g恰有人，所以乙丙及中間人占據(jù)首四位或尾四位，①當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；②當(dāng)乙丙及中間人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，排乙丙有種方法，排甲有種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有種排法，所以有種方法；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種排法，故選：B.6.已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.是一個(gè)半徑為的圓 B.是一條與相交的直線C.上的點(diǎn)到的距離均為 D.是兩條平行直線【答案】C【解析】設(shè)，由，則，由在直線上，故，化簡(jiǎn)得，即的軌跡為為直線且與直線平行，上的點(diǎn)到的距離，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7.已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】由題，得，則或，因，所以，.故選：A8.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，，則的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，，則，即，故，則有，即，即，則，由，故.故選：D.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.曲線的對(duì)稱軸為C.在區(qū)間單調(diào)遞增D.的最小值為【答案】AC【解析】，即，對(duì)于A，，易知為偶函數(shù)，所以A正確；對(duì)于B，對(duì)稱軸為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，，則，所以，故D錯(cuò)誤；故選：AC10.已知復(fù)數(shù)均不為0，則（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】設(shè)、；對(duì)A：設(shè)，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，又，即有，故B正確；對(duì)C：，則，，，則，即有，故C正確；對(duì)D：，，故，故D正確.故選：BCD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)【答案】ABD【解析】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.故選：ABD.三、填空題12.已知集合，若，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值為.故答案為：.13.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球的直徑相等，則圓錐的體積與球的體積的比值是__________，圓錐的表面積與球的表面積的比值是__________．【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，球的半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高，母線，由題可知：，所以球的半徑所以圓錐的體積為，球的體積，所以；圓錐的表面積，球的表面積，所以，故答案為：；.14.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，如取時(shí)可滿足等號(hào)成立，綜上可知的最小值為，故答案為：四、解答題15.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直．（1）求；（2）求的單調(diào)區(qū)間和極值．解：（1），則，由題意可得，解得；（2）由，故，則，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為、，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值，有極小值.16.盒中有標(biāo)記數(shù)字1，2，3，4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球．（1）求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；（2）記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“取出的個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件，先確定個(gè)不同數(shù)字的小球，有種方法，然后每種小球各取個(gè)，有種取法，所以.（2）由題意可知，的可取值為，當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以；當(dāng)時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為的小球、有兩個(gè)數(shù)字為的小球，所以，所以的分布列為：所以.17.如圖，平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，為與的交點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，點(diǎn)為線段中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，則，又，平面，平面，所以平面.（2）解：【方法一】：由題知正方形中，平面，所以建系如圖所示，則，則，，設(shè)面的法向量為，面的法向量為，則，取，則取，則.設(shè)二面角大小為，則，所以二面角的正弦值為.【方法二】：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題設(shè)得，，，，，，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，可?。O(shè)是平面的法向量，則，即，可取．所以．因此二面角的正弦值為．18.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn)，其中在軸上方，分別為的中點(diǎn)．（1）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．（1）證明：【方法一】：由，故，由直線與直線垂直，故兩只直線斜率都存在且不，設(shè)直線、分別為、，有，、、、，聯(lián)立與直線，即有，消去可得，，故、，則，故，，即，同理可得，當(dāng)時(shí)，則，即，由，即，故時(shí)，有，此時(shí)過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，即時(shí)，有，亦過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)為；【方法二】：設(shè)，，不妨設(shè)．設(shè)，則．由，得，故，，，．所以．同理可得．若，則直線，MN過(guò)點(diǎn)．若，則直線，MN過(guò)點(diǎn)．綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)．（2）解：法1：由、、、，則，由、，故，同理可得，聯(lián)立兩直線，即，有，即，有，由，同理，故，故，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則，由、，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，下證：由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，有，由直線過(guò)定點(diǎn)，此時(shí)，同理，當(dāng)時(shí)，有點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，有，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故恒成立，且時(shí)，等號(hào)成立，故，法2：設(shè)H為AD的中點(diǎn)，S為直線GM與AD的交點(diǎn)．由M，H分別為AB，AD的中點(diǎn)知，所以，故．設(shè)T為直線GN與AD的交點(diǎn)，同理可得．所以．由（1）中的法2可得，同理可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．因此的面積的最小值為8．19.離散對(duì)數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)是素?cái)?shù)，集合，若，記為除以的余數(shù)，為除以的余數(shù)；設(shè)，兩兩不同，若，則稱是以為底的離散對(duì)數(shù)，記為．（1）若，求；（2）對(duì)，記為除以的余數(shù)（當(dāng)能被整除時(shí)，）．證明：，其中；（3）已知．對(duì)，令．證明：．（1）解：若，又注意到，所以.（2）解：【方法一】：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，此時(shí)，，故，此時(shí).當(dāng)時(shí)，因相異，故，而，故互質(zhì).記，則，使得，故，故，設(shè)，則，因?yàn)槌缘挠鄶?shù)兩兩相異，且除以的余數(shù)兩兩相異，故，故，故，而其