上海市2022屆高三數(shù)學(xué)模擬卷及答案

上海市2022屆高三數(shù)學(xué)模擬卷

一、填空題

1.設(shè)集合M=｛0,1,2｝,N=｛1,a｝，若M?N,則實(shí)數(shù)a=

2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z=A^,貝l」|z|=.

3.不等式/>2的解集是

4.若方程組卷:；二；無解，則實(shí)數(shù)a=.

5.從總體中抽取6個(gè)樣本：4,5,6,10,7,4,則總體方差的點(diǎn)估計(jì)值為.

6.若數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和的=1即+；，則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)即=.

7.二項(xiàng)式甑+展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

8.小明給朋友發(fā)拼手氣紅包，1毛錢分成三份（不定額數(shù)，每份是1分的正整數(shù)倍），若這三個(gè)紅包

被甲、乙、丙三位同學(xué)搶到，則甲同學(xué)搶到5分錢的概率為.

9.如圖，F(xiàn)為雙曲線盤-吟=l（b>a〉0）的右焦點(diǎn)，過F作直線/與圓好+產(chǎn)=房切于點(diǎn)”，與雙

曲線交于點(diǎn)P，且M恰為線段PF的中點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程是.

10.若函數(shù)/（%）=3（3%+軟3>0）在[0,捫的值域?yàn)閇.1,爭(zhēng)，則3的取值范圍是

11.若分段函數(shù)/（久）=:將函數(shù)y=|/（X）-/（a）|,xe[m,用的最大值記作

Za[m,n],那么當(dāng)—2WznW2時(shí)，Z2[m,m+4]的取值范圍是；

12.已知向量a,B滿足同=3,|瓦=1，若存在不同的實(shí)數(shù)兒凡伍也豐0）,使得cl=

Aid+3雄，且?-2）??-B）=0（i=1,2）,則瓦-司的取值范圍是

二、單選題

13.設(shè)％>0,貝廣a=1”是"x+^>2恒成立”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

14.已知0>a>b,若lim1—=25，則（）

"任n一%

n-8a-b

A.a=—25B.a=—5C.b=—25D.b=-5

15.已知函數(shù)/（%）=asin%-bcosx（a、b為常數(shù)aW0,xeR）在％=日處取得最小值，則函數(shù)

/（￥-％）是（）

A.偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)（兀，0）對(duì)稱

B.偶函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)（當(dāng)，0）對(duì)稱

C.奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)（竽，0）對(duì)稱

D.奇函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)（兀，0）對(duì)稱

16.已知數(shù)列｛%｝,｛%｝,&｝,以下兩個(gè)命題:①若｛斯+匕｝,｛%+7｝,｛%+%｝都是遞增數(shù)

列，則｛冊(cè)｝,｛%｝,｛%｝都是遞增數(shù)列；②若｛%+%｝,[bn+cn）,｛an+%｝都是等差數(shù)列,則

｛凝｝，｛3｝，｛/｝都是等差數(shù)列，下列判斷正確的是（）

A.①②都是真命題B.①②都是假命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是真命題

三、解答題

17.如圖，正四棱錐P-ABCD中.

（1）求證：BD，平面P4C；

（2）若4B=2,VPTBCD=竽，求二面角4-PB-C的余弦值.

18.已知/（x）=V5sinwx+3coswx（w>0）

（1）設(shè)y=/。+。）（0<。<芻是周期為兀的偶函數(shù)，求卬，8；

（2）若g（x）=/（3x）在（-京期上是增函數(shù)，求w的最大值；并求此時(shí)g（x）在[0,兀]的取值范圍.

19.如圖，OM,ON是某景區(qū)的兩條道路（寬度忽略不計(jì)，OM為東西方向），Q為景區(qū)內(nèi)一

景點(diǎn)，A為道路0M上一游客休息區(qū)，已知tan/MON=-3,OA=6（百米），Q到直線

OM,ON的距離分別為3（百米），等（百米），現(xiàn)新修一條自A經(jīng)過Q的有軌觀光直路并延

伸至道路ON于點(diǎn)B,并在B處修建一游客休息區(qū).

（1）求有軌觀光直路AB的長；

（2）已知在景點(diǎn)Q的正北方6百米的P處有一大型組合音樂噴泉，噴泉表演一次的時(shí)長為9分

鐘，表演時(shí)，噴泉噴灑區(qū)域以P為圓心，r為半徑變化，且t分鐘時(shí)，r=2VH（百米）（OWtW

9,0<a<l）.當(dāng)噴泉表演開始時(shí)，一觀光車S（大小忽略不計(jì)）正從休息區(qū)B沿（1）中的軌

道以注（百米/分鐘）的速度開往休息區(qū)A,問：觀光車在行駛途中是否會(huì)被噴泉噴灑到，并

說明理由.

20.定義符號(hào)函數(shù)sgn（x）=｛1]已知函數(shù)/（X）=/-2x（/-a）?sgn（X2-a）.

(1)已知f(l)Wf(O),求實(shí)數(shù)a的取值集合；

(2)當(dāng)a=l時(shí)，g(x)=〃%)-kx在區(qū)間(一2,0)上有唯一零點(diǎn)，求k的取值集合；

(3)已知f(x)在［0,1］上的最小值為f(l),求正實(shí)數(shù)a的取值集合；

21.設(shè)m為正整數(shù)，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列｛冊(cè)｝定義如下：的=1,即+1=［號(hào)'為偶數(shù)’.

an+771,為奇數(shù).

(1)若m=5,寫出。8，。9，。10；

(2)求證：數(shù)列單調(diào)遞增的充要條件是根為偶數(shù)；

(3)若僧為奇數(shù)，是否存在九＞1滿足即=1?請(qǐng)說明理由.

答案解析部分

1.【答案】0,2

2.【答案】|

3.【答案】(|,1)

4.【答案】±2

5.【答案】竽

6.【答案】(―2)時(shí)1

7.【答案】5005

8.【答案】1

9.【答案】y=±2x

10.【答案】舟，|］

1L【答案】［4,60］

12.【答案】［2,2魚)U［2或，2V3)

13.【答案】A

14.【答案】D

15.【答案】D

16.【答案】D

17.【答案】(1)證明：因?yàn)镻—ABC。是正棱錐，

???P在面4BCD內(nèi)射影是4c與BD的交點(diǎn)。，

即POJ■面力BCD,POA.BD,

又BD1AC,PO與/C在面PAC內(nèi)相交,

BD_L面PAC；

⑵解：???—BCD巖X22XPO=警,

???PO=V2>PB=，2+2=V2>

則△PAB與aPBC為邊長是2的正三角形，取PB的中點(diǎn)E,連AE,CE，

則AEJ.PB,CE1PB,N4EC是二面角的平面角,

cosZ-AEC="A8一

2x/3xV3

1

Z.AEC=arccos(一亍)

J

18.【答案】⑴解：/(%)=V3sinivx+3cosivx=2V3sin(ivx+^),

設(shè)/(x+0)=2V3sin[iv(x+0)+芻=2V3sin(wx+w。+號(hào))，

因?yàn)?％+0)的周期為兀，故卻=7T,故w=2.

所以J(x+。)=2V3sin(2x+20+亨)，而+。)為偶函數(shù)，

所以20+5="+會(huì)武2即0=竽+各k€Z，

因?yàn)?<。<去故。=$,

綜上，w=2,e=各

(2)解：g(x)=/(3x)=2gsin(3wx+專)，

令2/CTT—3s3wx+與W2/OT+「kCZ,解得竺曰<丫<竺上1，

故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為四譚，2人+耳,kez，

所以存在k6Z使得竺二普<_衛(wèi)<衛(wèi)<竺上1成立.

3iv-2^3-3w

57r7rl

因?yàn)閃>0,所以Z=0,故二E<v衛(wèi)v衛(wèi)?即0VWWN，

3w-23-3w6

故W的最大值為上

此時(shí)g(x)=2>/3sin(^+^),

因?yàn)閤e[0,n],故界*+長學(xué)所以遮W2sin(x+看)S2國，

9(%)在[0,兀]上的取值范圍為[遍，2V3].

19.【答案】(1)解：以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0M為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則由題設(shè)得：46,0),直線ON的方程為y=—3%,Q(%o,3)(x0>0).

由更禁1=空，解得的=3,所以Q(3,3).

v10n

故直線AQ的方程為y=-(x-6),

由｛/二花。得山式

即B(-3,9)，故AB=7(-3-6)24-92=9&,

答：水上旅游線AB的長為9y/2km-

(2)解：將噴泉記為圓P,由題意可得P(3,9),

生成t分鐘時(shí)，觀光車在線段AB上的點(diǎn)C處，

則=,0<t<9,所以C(-34-1,9-t).

若噴泉不會(huì)灑到觀光車上，則PC2>N對(duì)te[0,9]恒成立，

即PC2=(6-t)2+t2=2t2-12t+36>4at,

當(dāng)t=0時(shí)，上式成立，

當(dāng)te(0,9]時(shí)，2a<t+學(xué)一6,(t+苧-6)=6魚—6,當(dāng)且僅當(dāng)t=3/時(shí)取等號(hào),

tLmin

因?yàn)閍e(0,1),所以r<PC恒成立，即噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上.

答：噴泉的水流不會(huì)灑到觀光車上.

20.［答案］(1)解：因?yàn)?(I)=(-1+2a，&W1'/(0)=0,

(3—2a,a>1,

所以,i)d.a>1,

或

3—2QW0,

解得：a<*或Q>

所以實(shí)數(shù)a的取值集合為(—8,u[|,+oo).

x2—2x(x2—1),%2-1>0,

(2)解：當(dāng)。=1時(shí)，/(%)=

X2+2x(x2—1),%2—1<0,

(x2—2x(x2—1),%>1或r<—1,

所以/(%)=

\x2+2%(%2—1),-1<%<1,

因?yàn)?/(%)-依在區(qū)間(一2,0)上有唯一零點(diǎn),

所以方程/￡=與在區(qū)間(-2,0)上有唯一的根，

所以函數(shù)y=k與y=寫在區(qū)間(一2,0)上有唯一的交點(diǎn)，

函數(shù)y=絡(luò)的圖象，如圖所示：

當(dāng)一8<k<一孝或憶=一1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以k的取值集合為(—8,-孝)u{—1}時(shí)，g(x)=/(X)一依在區(qū)間(一2,0)上有唯一零點(diǎn).

(3)解：當(dāng)x=l時(shí)，/(X)2/(1)在4€[0,1]恒成立，

因?yàn)?(%)=x2—2x(x2—a)-sgn(x2—a),/(I)=1—2(1—a)-sgn(l—a),

①當(dāng)a>1時(shí)，f(x)>/(I)<=>x24-2x(x2-a)>3-2a?2a(x-1)<2x34-%2-3,

所以2。？在總牛尤=2/+3%+3在46[0,1)恒成立，

所以2a>2+3+3=8=>a>4.

②當(dāng)0<a<1時(shí)，/(x)>/(l)<=>%2-2x(x2-a)-sgn(x2-a)>2a-1,

i)當(dāng)VH<x<1時(shí)，上式=x2—2x(x2—a)>2a—1,

所以2aM2/+x+i在％w[仿，1)恒成立，

所以2aW2a+V^+l,此時(shí)0VaW1的數(shù)都成立；

ii)當(dāng)0<x<6時(shí)，/(x)>f(1)<=>x24-2x(x2-a)>2a-1,

所以2a<2x2-x+1在％G[0,VH)恒成立，

當(dāng)VHW；，即0vQ工時(shí)'2aW2a-yfo,+l=0Va<l,

所以0VaMm;

當(dāng).vVHwi,即eVaWl時(shí)，2aW2(/)2—,+i=>0工

所以VaW

1616

7

所以0<aW正；

綜合①②可得：0<&￡/或。24，

所以正實(shí)數(shù)a的取值集合為：(0,U[4,+oo).

21.【答案】(1)解：a8=6,a9=3,a10=8.

(2)證明：先證“充分性”.

當(dāng)血為偶數(shù)時(shí)，若“為奇數(shù)，則冊(cè)+i為奇數(shù).

因?yàn)榈?1為奇數(shù)，所以歸納可得，對(duì)VTIWN*,即均為奇數(shù)，則即+1=0?+6，

所以an+i-a