安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

“八校聯(lián)盟”20232024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在試卷上無效．3．非選擇題必須用毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱點是B，則等于（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間兩點間距離公式，結(jié)合對稱的性質(zhì)計算即得.【詳解】令坐標(biāo)原點為，依題意，.故選：C2.設(shè)為定點，，動點滿足，則動點的軌跡是（）A.線段 B.直線 C.圓 D.橢圓【答案】A【解析】【分析】對的位置分類討論即可求解.【詳解】若在直線外，由三角形兩邊長大于第三邊有，不合題意，故必在直線上，若在線段外，也有，不合題意，故必在線段上，且總有，故選：A.3.已知直線l的一個方向向量為，直線l的傾斜角為，則的值為（）A. B.0 C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量得出直線斜率，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】因為直線l的一個方向向量為，直線l的傾斜角為，所以，所以，故選：A4.設(shè)，則是直線與直線平行的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將代入直線方程，判斷充分性；由直線平行的依據(jù)判斷必要性.【詳解】充分性：當(dāng)時，直線，直線.顯然，兩直線斜率相等，故兩直線平行，充分性成立.必要性：若兩直線平行，則有即，解得或，經(jīng)檢驗兩直線不重合，顯然，必要性不成立.故選：B【點睛】5.已知點D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點，實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面及二次函數(shù)的最值求解.【詳解】因為，且四點共面，由空間四點共面的性質(zhì)可知，即，所以，所以當(dāng)時，有最小值.故選：D6.已知P是直線l：上一動點，過點P作圓C：的兩條切線，切點分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖像給出外接圓的表達式即可求解.【詳解】如圖，由知四邊形的外接圓以為直徑，故面積，而最小值為點到的距離，故，故選：B7.已知矩形的四個頂點都在橢圓上，邊和分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點，且，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由條件建立方程求解即可.【詳解】由橢圓方程，當(dāng)時，，所以，因為，所以，即，所以，解得或（舍去），故選：A8.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分別為PD，PB的中點，，，，若AG⊥平面EFC，則=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，，，又平面，，，解得.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.點關(guān)于直線的對稱點為B.過，兩點的直線方程為C.經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】AD【解析】【分析】利用點關(guān)于直線的對稱知識判斷A的正誤；運用直線的兩點式方程判斷B的正誤；利用直線的截距相等可判斷C的正誤；求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距可得到三角形的面積判斷D的正誤；【詳解】對于A，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，即對稱點為，A正確；對于B，兩點式使用前提是，故B錯誤；對于C，經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線也可以為過原點，即，故C錯誤；對于D，直線與兩坐標(biāo)軸交點分別為，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故D正確；故選：AD10.如圖，直三棱柱中，，，D、E分別為、的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥B.直線DE與平面所成角的正弦值為C.平面與平面ABC夾角的余弦值為D.DE與所成角為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐項分析判斷.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對于選項A：可得，因為，可知與不平行，所以與不平行，故A錯誤；對于選項B：可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為，故B正確；對于選項C：可得平面ABC的法向量，則，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為，故C正確；對于選項D：因為，可得，則DE與所成角的余弦值為，所以DE與所成角不為，故D錯誤；故選：BC.11.已知為圓錐底面圓的直徑，，，點為圓上異于的一點，為線段上的動點（異于端點），則（）A.直線與平面所成角的最大值為B.圓錐內(nèi)切球的體積為C.棱長為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)D.當(dāng)為的中點時，滿足的點有2個【答案】AC【解析】【分析】A：根據(jù)線面垂直得到線面角，然后結(jié)合三角函數(shù)以及線段長度分析角的最大值；B：根據(jù)幾何體的軸截面圖進行分析計算；C：先考慮將正四面體補形為正方體，然后根據(jù)正方體的外接球以及B選項的結(jié)果進行判斷；D：假設(shè)成立，通過線面垂直推導(dǎo)線線垂直并逐步推出矛盾.【詳解】A：過作交于點，連接，如下圖所示：因為圓錐底面，所以，又因為，，平面，所以平面，所以與平面所成角即為，且，又，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)位于的中點處時取等號，所以，所以直線與平面所成角的最大值為，故正確；B：根據(jù)題意可得軸截面如下圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，因為，所以為等邊三角形，所以，又因為，所以，所以，所以，所以內(nèi)切球的體積為，故錯誤；C：將棱長為的正四面體補形為正方體，如下圖所示：由圖可知正方體的棱長為，此正方體的外接球的半徑等于，所以正四面體可以在半徑為的球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，由B選項的結(jié)果可知，棱長為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)，故正確;D：當(dāng)為的中點時，如下圖:因為等邊三角形，所以，又因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，又因為圓錐底面，所以，且相交，平面，所以平面，因為平面，所以，這顯然不成立，所以滿足的點不存在，故錯誤；故選：AC.12.如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點，下列命題正確的是（）A.P為橢圓上一點，線段PF1中點為Q，則為定值B.直線與橢圓交于R，S兩點，A是橢圓上異與R，S的點，且、均存在，則C.若橢圓上存在一點M使，則橢圓離心率的取值范圍是D.四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義、直線斜率公式、離心率公式，結(jié)合橢圓和矩形的對稱性、基本不等式、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點為Q，所以，于是有，所以本選項命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點，因為直線經(jīng)過原點，而橢圓是關(guān)于原點的中心對稱圖形，所以R，S兩點關(guān)于原點對稱，不妨設(shè)，，，因為A是橢圓上異與R的點，所以有，兩個式相減，得，因此，所以本選項命題是假命題；C：橢圓上存在一點M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即M為上（下）頂點時取等號，而，所以，因此本選項命題是真命題；D：因為矩形和該橢圓的對稱軸和對稱中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點為，即，所以矩形的面積為，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，因此本選項命題真命題，故選：ACD【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義、橢圓和矩形的對稱性、基本不等式進行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念計算即可得解.【詳解】向量在向量上的投影向量為：.故答案為：14.已知P為圓上一點，則點到P點的距離的最大值為_________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)點的軌跡為圓，由圓的幾何性質(zhì)，求利用兩圓上兩點間的距離的最大值.【詳解】由知圓心為，半徑為，又，所以點的軌跡方程為，則圓心為，半徑，故，所以.故答案為：815.若關(guān)于的不等式的解集是，則值是________．【答案】2【解析】【分析】將給定不等式等價轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再借助幾何圖形及給定解集確定直線過的點即得.【詳解】不等式，令，即表示以點為圓心，1為半徑的圓在x軸及上方的半圓，表示過定點的直線，因此不等式的解集是，等價于半圓在直線及上方時，的取值集合恰為，觀察圖象得直線恰過點，則有，所以.故答案為：216.半徑為R的球面上有A、B、C、D四個點，，則的最大值為_______【答案】【解析】【分析】由題意可求出間距離的最大值，結(jié)合棱錐體積確定當(dāng)平面時取最大值，從而利用棱錐體積公式求得答案.【詳解】由題意知半徑為R的球面上有A、B、C、D四個點，，設(shè)球心為O，則O到AB的距離為，到CD的距離為，則間距離的最大值為，此時位于O點兩側(cè)，所在的小圓面平行時，間距離最大；設(shè)M為AB上一點，則的面積的最大值為，設(shè)到平面的距離為，而，則，當(dāng)平面時取等號，即當(dāng)平面時，取到最大值，最大值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，三棱錐中，點D、E分別為和的中點，設(shè)，，．（1）試用，，表示向量；（2）若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的運算即可求得答案；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運算律求出，的模，以及二者的數(shù)量積，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問1詳解】；【小問2詳解】由題意可知：，，故，，故，，，則，，由于異面直線和所成角范圍大于小于等于，∴異面直線和所成角的余弦值為．18.已知直線．（1）若直線l不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍．（2）若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點，當(dāng)△AOB的面積為時（O為坐標(biāo)原點），求此時相應(yīng)的直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先確定直線過定點，再根據(jù)條件，求斜率的取值范圍；（2）首先分別求直線與坐標(biāo)軸的交點，并表示的面積，即可求直線的斜率和方程.【小問1詳解】由題意可知直線，易知直線過定點，當(dāng)直線過原點時，可得，當(dāng)時，直線不經(jīng)過第二象限．【小問2詳解】由題意可知∵直線與軸、軸正半軸的交點分別是，，當(dāng)時，由得：，即：，或，即：直線的方程為或.19.如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點，連接，利用面面垂直、線面垂直，以及線段長度求證線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進而求出其夾角大小即可.【小問1詳解】取中點，連接都是邊長為2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為20.已知定點，動點滿足，O為坐標(biāo)原點．（1）求動點M的軌跡方程（2）若點B為直線上一點，過點B作圓M的切線，切點分別為C、D，若，求點B的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式，化簡即得.（2）利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合兩點間的距離公式，列出方程組求解即得.【小問1詳解】依題意，，，即，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】由點為直線上一點，又分別與圓相切于點，得，而，則有四邊形為矩形，又，因此四邊形為正方形，由（1）知，，則，設(shè)，則，解得或，所以點的坐標(biāo)為或.21.如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.（1）求點到平面距離；（2）設(shè)點為線段的中點，點滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，得到點到平面的距離即為的長，由勾股定理求出答案；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面及平面所成的角相等列出方程，求出的值.【小問1詳解】如圖，過點作⊥于點，過點作于點，連接.因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點到平面的距離即為的長，因為平面，所以，因為四邊